B. (f) सर्वाच्छादक है क्योंकि यह सतत है और दोनों दिशाओं में असीमित फैलता है/(f) is onto because it is continuous and unbounded in both directions
Step 1
Concept
This is a continuous odd-degree polynomial.
Step 2
Why this answer is correct
As \(x\to\infty\), the value goes to \(\infty\), and as \(x\to-\infty\), it goes to \(-\infty\), so every real value is attained.
Step 3
Exam Tip
Do not be confused by turning points; end behavior is very useful for onto property. चरण 1: यह विषम घात का सतत बहुपद है। चरण 2: \(x\to\infty\) पर मान \(\infty\) की ओर और \(x\to-\infty\) पर \(-\infty\) की ओर जाता है, इसलिए बीच के सभी वास्तविक मान मिलते हैं। चरण 3: स्थानीय मोड़ देखकर घबराएँ नहीं, अंत व्यवहार सर्वाच्छादकता में बहुत उपयोगी होता है।
B. क्योंकि (-1) छवि नहीं बनता/Because (-1) is not an image
Step 1
Concept
Since \(x^4\ge0\) and \(x^2\ge0\), we have \(x^4+x^2\ge0\).
Step 2
Why this answer is correct
The codomain \(\mathbb{R}\) contains (-1), but no real (x) can map to it.
Step 3
Exam Tip
For sums of even powers, check negative codomain values first. चरण 1: \(x^4\ge0\) और \(x^2\ge0\), इसलिए \(x^4+x^2\ge0\)। चरण 2: सहप्रांत \(\mathbb{R}\) में (-1) है, पर कोई वास्तविक (x) इसे छवि नहीं बना सकता। चरण 3: सम घात वाले योग में ऋणात्मक सहप्रांत मान तुरंत जाँचें।
Its range is \([2,\infty\)), so the codomain must be \([2,\infty\)) for onto property.
Step 3
Exam Tip
Complete the square to find the minimum value of a quadratic. चरण 1: (x-2-6x+11=(x-3)2+2)। चरण 2: इसका परास \([2,\infty\)) है, इसलिए सर्वाच्छादक होने के लिए सहप्रांत भी \([2,\infty\)) होना चाहिए। चरण 3: द्विघात में पूर्ण वर्ग बनाकर न्यूनतम मान निकालें।
The minimum is (4), and at the endpoints (f(-2)=13), (f(3)=8), so the maximum is (13).
Step 3
Exam Tip
On a closed interval, check the vertex and both endpoints. चरण 1: (f(x)=(x-1)2+4) है और \(1\in[-2,3]\)। चरण 2: न्यूनतम मान (4) है, और सिरों पर (f(-2)=13), (f(3)=8), इसलिए अधिकतम (13) है। चरण 3: बंद अंतराल पर शीर्ष और दोनों सिरों की जाँच करें।
Put \(y=\frac{3x+1}{x-2}\), then solving gives \(x=\frac{2y+1}{y-3}\).
Step 2
Why this answer is correct
Since \(y\ne3\) in the codomain, this (x) is defined and it also satisfies \(x\ne2\).
Step 3
Exam Tip
In rational functions, relate the missed value to the denominator restriction. चरण 1: \(y=\frac{3x+1}{x-2}\) मानकर हल करने पर \(x=\frac{2y+1}{y-3}\) मिलता है। चरण 2: सहप्रांत में \(y\ne3\), इसलिए यह (x) परिभाषित है और जाँचने पर \(x\ne2\) रहता है। चरण 3: भिन्नात्मक फलन में छूटे हुए मान को हर के शून्य से जोड़कर देखें।
At (x=0), (0) is obtained, and at (x=1), \(\frac{1}{2}\) is obtained.
Step 2
Why this answer is correct
\(\frac{x^2}{1+x^2}<1\) for every real (x), so (1) is never obtained.
Step 3
Exam Tip
When the denominator is larger than the numerator, check endpoint limit values carefully. चरण 1: (x=0) पर (0) मिलता है और (x=1) पर \(\frac{1}{2}\) मिलता है। चरण 2: \(\frac{x^2}{1+x^2}<1\) हर वास्तविक (x) के लिए है, इसलिए (1) कभी नहीं मिलता। चरण 3: जहाँ हर अंश से बड़ा हो, वहाँ अंतिम सीमा मान को सावधानी से देखें।
For every (x), \(e^x>0\), so the value lies between (0) and (1).
Step 2
Why this answer is correct
For any (0<y<1), \(e^x=\frac{1-y}{y}\), so \(x=\ln\frac{1-y}{y}\) is real.
Step 3
Exam Tip
In an open interval codomain, endpoints are not required. चरण 1: हर (x) के लिए \(e^x>0\), इसलिए मान (0) और (1) के बीच रहता है। चरण 2: किसी भी (0<y<1) के लिए \(e^x=\frac{1-y}{y}\), अतः \(x=\ln\frac{1-y}{y}\) वास्तविक है। चरण 3: खुले अंतराल में अंतिम बिंदु चाहिए ही नहीं, इसलिए भ्रम न करें।
At (x=0), (0) is obtained, and as (|x|) increases, the value continuously goes to \(\infty\), so every non-negative value is obtained.
Step 3
Exam Tip
Use both inequality and continuity in such questions. चरण 1: \(e^x+e^{-x}\ge2\), इसलिए (f(x)\ge0)। चरण 2: (x=0) पर (0) मिलता है और (|x|) बढ़ने पर मान लगातार \(\infty\) तक जाता है, इसलिए सभी गैरऋणात्मक मान मिलते हैं। चरण 3: ऐसे प्रश्नों में असमता और सततता दोनों का उपयोग करें।
C. यह सतत है और (\lim_{x\to\infty}f(x)=\infty), (\lim_{x\to-\infty}f(x)=-\infty)/It is continuous and (\lim_{x\to\infty}f(x)=\infty), (\lim_{x\to-\infty}f(x)=-\infty)
Step 1
Concept
\(x+\sin x\) is continuous.
Step 2
Why this answer is correct
\(\sin x\) is bounded, but (x) is unbounded, so the function goes unbounded in both directions.
Step 3
Exam Tip
A bounded added term does not stop the unbounded linear behavior. चरण 1: \(x+\sin x\) सतत फलन है। चरण 2: \(\sin x\) सीमित है, पर (x) असीमित है, इसलिए फलन दोनों दिशाओं में असीमित जाता है। चरण 3: सीमित जोड़ किसी रैखिक असीमित व्यवहार को नहीं रोकता।
B. (f) सर्वाच्छादक नहीं है क्योंकि बहुत बड़ी ऋणात्मक संख्याएँ छवि नहीं बनतीं/(f) is not onto because very large negative numbers are not images
Step 1
Concept
Since \(x^2\ge0\) and \(\sin x\ge-1\), (f(x)\ge-1).
Step 2
Why this answer is correct
The codomain \(\mathbb{R}\) contains values like (-2), but they cannot be images.
Step 3
Exam Tip
Even without the exact range, a lower bound can disprove onto property. चरण 1: \(x^2\ge0\) और \(\sin x\ge-1\), इसलिए (f(x)\ge-1)। चरण 2: सहप्रांत \(\mathbb{R}\) में (-2) जैसे मान हैं, पर वे छवि नहीं बन सकते। चरण 3: पूर्ण परास न मिले तब भी निचली सीमा दिखाकर सर्वाच्छादकता तोड़ी जा सकती है।
Subtract functions missing one codomain element, \(\binom{3}{1}2^5\), and add those missing two, \(\binom{3}{2}1^5\).
Step 3
Exam Tip
Use inclusion-exclusion for counting onto functions. चरण 1: कुल फलन \(3^5\) हैं। चरण 2: एक सहप्रांत अवयव छूटने वाले \(\binom{3}{1}2^5\) घटाएँ और दो छूटने वाले \(\binom{3}{2}1^5\) जोड़ें। चरण 3: सर्वाच्छादक फलनों की गिनती में समावेशन-बहिष्करण विधि याद रखें।
For finite sets of equal size, an onto function is automatically one-one.
Step 2
Why this answer is correct
So it is a permutation of (4) elements, giving (4!) functions.
Step 3
Exam Tip
When domain and codomain have equal size, onto and one-one go together. चरण 1: समान आकार के सीमित समुच्चयों में सर्वाच्छादक फलन अपने-आप एकैकी भी होता है। चरण 2: इसलिए यह (4) अवयवों का क्रमविन्यास है, जिसकी संख्या (4!) है। चरण 3: जब प्रांत और सहप्रांत का आकार बराबर हो, सर्वाच्छादकता और एकैकता साथ आती हैं।
In an onto function, every codomain element must have at least one preimage.
Step 2
Why this answer is correct
The domain has only (3) elements and the codomain has (5), so covering all (5) elements is impossible.
Step 3
Exam Tip
If the domain size is less than the codomain size, no onto function exists. चरण 1: सर्वाच्छादक फलन में सहप्रांत के हर अवयव को कम से कम एक पूर्वप्रतिबिंब चाहिए। चरण 2: प्रांत में केवल (3) अवयव हैं और सहप्रांत में (5), इसलिए सभी (5) अवयव ढकना असंभव है। चरण 3: यदि प्रांत का आकार सहप्रांत से कम हो, तो सर्वाच्छादक फलन नहीं बनता।
B. क्योंकि सम पूर्णांक नहीं मिलते/Because even integers are not obtained
Step 1
Concept
(2n+1) is always an odd integer.
Step 2
Why this answer is correct
The codomain \(\mathbb{Z}\) contains even integers such as (0), (2), and (-2), but they are not images.
Step 3
Exam Tip
For integer functions, parity is a quick way to test onto property. चरण 1: (2n+1) हमेशा विषम पूर्णांक होता है। चरण 2: सहप्रांत \(\mathbb{Z}\) में (0), (2), (-2) जैसे सम पूर्णांक भी हैं, पर वे छवि नहीं बनते। चरण 3: पूर्णांक फलनों में सम-विषम प्रकृति से सर्वाच्छादकता जल्दी जाँची जाती है।
It can be written as (m=2k+1) for some integer (k), so (f(k)=m).
Step 3
Exam Tip
A function becomes onto when the codomain matches its actual range. चरण 1: सहप्रांत का कोई भी विषम पूर्णांक (m) लें। चरण 2: (m=2k+1) किसी पूर्णांक (k) के लिए लिखा जा सकता है, इसलिए (f(k)=m)। चरण 3: सहप्रांत को वास्तविक परास के बराबर करने से फलन सर्वाच्छादक बनता है।
A. (f) सर्वाच्छादक है पर एकैकी नहीं/(f) is onto but not one-one
Step 1
Concept
For any \(k\in\mathbb{N}\), taking (n=2k-1) gives (f(n)=k).
Step 2
Why this answer is correct
But (n=2k-1) and (n=2k) can give the same (k), so the function is not one-one.
Step 3
Exam Tip
Onto and one-one properties must be checked separately. चरण 1: किसी भी \(k\in\mathbb{N}\) के लिए (n=2k-1) लेने पर (f(n)=k) मिलता है। चरण 2: लेकिन (n=2k-1) और (n=2k) दोनों कई बार उसी (k) पर जा सकते हैं, इसलिए एकैकी नहीं है। चरण 3: सर्वाच्छादकता और एकैकता को अलग-अलग जाँचना चाहिए।
Its range is \([-1,\infty\)), exactly equal to the codomain.
Step 3
Exam Tip
Writing in completed-square form makes onto property clear. चरण 1: (x-2+2x=(x+1)2-1) है। चरण 2: इसका परास \([-1,\infty\)) है, जो सहप्रांत के बराबर है। चरण 3: पूर्ण वर्ग रूप में लिखने से सर्वाच्छादकता तुरंत स्पष्ट हो जाती है।
A. हर \(y\ge0\) के लिए \(x=\sqrt{y+1}\in[1,\infty\)) है/For every \(y\ge0\), \(x=\sqrt{y+1}\in[1,\infty\))
Step 1
Concept
Take any \(y\ge0\) from the codomain.
Step 2
Why this answer is correct
Choosing \(x=\sqrt{y+1}\) gives \(x\ge1\) and (f(x)=y).
Step 3
Exam Tip
In restricted domains, always check that the found (x) really lies in the domain. चरण 1: सहप्रांत का कोई भी \(y\ge0\) लें। चरण 2: \(x=\sqrt{y+1}\) लेने पर \(x\ge1\) और (f(x)=y) हो जाता है। चरण 3: प्रतिबंधित प्रांत में मिला हुआ (x) सच में उसी प्रांत में है या नहीं, यह जरूर देखें।
C. यह सतत है और \(x\to0^+\) पर \(-\infty\), \(x\to\infty\) पर \(\infty\) की ओर जाता है/It is continuous and tends to \(-\infty\) as \(x\to0^+\), and to \(\infty\) as \(x\to\infty\)
Step 1
Concept
On (\(0,\infty\)), \(x-\frac{1}{x}\) is continuous.
Step 2
Why this answer is correct
As \(x\to0^+\), it tends to \(-\infty\), and as \(x\to\infty\), it tends to \(\infty\).
Step 3
Exam Tip
A continuous function crossing all real values gives onto property. चरण 1: (\(0,\infty\)) पर \(x-\frac{1}{x}\) सतत है। चरण 2: \(x\to0^+\) पर मान \(-\infty\) की ओर और \(x\to\infty\) पर \(\infty\) की ओर जाता है। चरण 3: सतत फलन यदि दोनों छोरों पर सभी वास्तविक मानों को पार करे, तो सर्वाच्छादकता मिलती है।
A. क्योंकि (1) छवि नहीं बनता/Because (1) is not an image
Step 1
Concept
\(x+\frac{1}{x}\ge2\) for (x>0).
Step 2
Why this answer is correct
The codomain (\(0,\infty\)) contains (1), but it is not an image.
Step 3
Exam Tip
The standard inequality \(x+\frac{1}{x}\ge2\) is useful in such problems. चरण 1: \(x+\frac{1}{x}\ge2\) जब (x>0)। चरण 2: सहप्रांत (\(0,\infty\)) में (1) है, पर वह छवि नहीं बनता। चरण 3: प्रसिद्ध असमता \(x+\frac{1}{x}\ge2\) ऐसे प्रश्नों में बहुत काम आती है।
\(x+\frac{1}{x}\ge2\), and (2) is obtained at (x=1).
Step 2
Why this answer is correct
For every (y>2), the equation \(x+\frac{1}{x}=y\) has a positive solution.
Step 3
Exam Tip
Check separately whether the minimum value is actually attained or only approached. चरण 1: \(x+\frac{1}{x}\ge2\) और (x=1) पर (2) मिलता है। चरण 2: (2) से बड़े हर (y) के लिए समीकरण \(x+\frac{1}{x}=y\) का धनात्मक हल मिल जाता है। चरण 3: न्यूनतम मान मिलता है या केवल सीमा है, यह अलग से जाँचें।
B. यह सर्वाच्छादक नहीं क्योंकि ((1,2)) के कुछ मान छूटते हैं/It is not onto because some values in ((1,2)) are missed
Step 1
Concept
If \(x\in[n,n+1\)), then \(\lfloor x\rfloor=n\) and \(f(x)\in[2n,2n+1\)).
Step 2
Why this answer is correct
Hence values in intervals such as ((1,2)) are missed.
Step 3
Exam Tip
For floor functions, split the domain into unit intervals. चरण 1: यदि \(x\in[n,n+1\)), तो \(\lfloor x\rfloor=n\) और \(f(x)\in[2n,2n+1\))। चरण 2: इसलिए ((1,2)) जैसे अंतराल के मान छूट जाते हैं। चरण 3: महत्तम पूर्णांक वाले फलनों में प्रांत को छोटे अंतरालों में बाँटें।
A. क्योंकि हर \(k\in\mathbb{Z}\) के लिए (x=k) लेने पर (f(x)=k) है/Because for every \(k\in\mathbb{Z}\), choosing (x=k) gives (f(x)=k)
Step 1
Concept
Take any integer (k) from the codomain.
Step 2
Why this answer is correct
Putting (x=k) gives \(\lceil x\rceil=k\), so every integer is an image.
Step 3
Exam Tip
For integer-valued functions with codomain \(\mathbb{Z}\), directly find a preimage. चरण 1: सहप्रांत का कोई भी पूर्णांक (k) लें। चरण 2: (x=k) रखने पर \(\lceil x\rceil=k\), इसलिए हर पूर्णांक छवि बनता है। चरण 3: पूर्णांक-मूल्य फलन में सहप्रांत यदि \(\mathbb{Z}\) हो तो सीधे पूर्वप्रतिबिंब खोजें।
On \([0,\pi]\), \(\cos x\) decreases continuously from (1) to (-1).
Step 2
Why this answer is correct
Hence every value in ([-1,1]) is attained.
Step 3
Exam Tip
For trigonometric functions, check the range on the selected interval. चरण 1: \([0,\pi]\) पर \(\cos x\) लगातार (1) से (-1) तक घटता है। चरण 2: इसलिए ([-1,1]) का हर मान किसी न किसी (x) पर मिल जाता है। चरण 3: त्रिकोणमितीय फलनों के चुने हुए अंतराल पर परास को ध्यान से देखें।
C. क्योंकि ऋणात्मक मान नहीं मिलते/Because negative values are not obtained
Step 1
Concept
On \(\left[0,\frac{\pi}{2}\right]\), the range of \(\sin x\) is ([0,1]).
Step 2
Why this answer is correct
The codomain ([-1,1]) also contains negative values, which are not images.
Step 3
Exam Tip
Along with the standard range, find the range on the given domain. चरण 1: \(\left[0,\frac{\pi}{2}\right]\) पर \(\sin x\) का परास ([0,1]) है। चरण 2: सहप्रांत ([-1,1]) में ऋणात्मक मान भी हैं, जो छवि नहीं बनते। चरण 3: पूरा मानक परास याद करने के साथ-साथ दिए गए प्रांत पर परास निकालें।
फलन (f:\left\(-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right\)\to\mathbb{R}), (f(x)=\tan x), सर्वाच्छादकता सिद्ध करने के लिए \(y\in\mathbb{R}\) का पूर्वप्रतिबिंब क्या होगा?
For every real (y), \(x=\tan^{-1}y\) lies in the given interval.
Step 3
Exam Tip
Inverse trigonometric functions give a direct way to find preimages. चरण 1: सर्वाच्छादकता के लिए \(\tan x=y\) हल करना है। चरण 2: हर वास्तविक (y) के लिए \(x=\tan^{-1}y\) इसी दिए गए अंतराल में आता है। चरण 3: प्रतिलोम त्रिकोणमितीय फलन पूर्वप्रतिबिंब खोजने में सीधा रास्ता देते हैं।
The range of \(\tan^{-1}x\) is (\left\(-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right\)).
Step 2
Why this answer is correct
Multiplying by \(\frac{2}{\pi}\) gives the range ((-1,1)), equal to the codomain.
Step 3
Exam Tip
Carefully apply the effect of a multiplier on the range. चरण 1: \(\tan^{-1}x\) का परास (\left\(-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right\)) है। चरण 2: \(\frac{2}{\pi}\) से गुणा करने पर परास ((-1,1)) बनता है, जो सहप्रांत के बराबर है। चरण 3: परास पर गुणक का प्रभाव ध्यान से लगाएँ।
B. क्योंकि (-1) और (1) नहीं मिलते/Because (-1) and (1) are not obtained
Step 1
Concept
\(\tan^{-1}x\) never equals \(\frac{\pi}{2}\) or \(-\frac{\pi}{2}\).
Step 2
Why this answer is correct
After multiplying, (1) and (-1) are only limiting values, not actual images.
Step 3
Exam Tip
The difference between open and closed intervals can decide onto property. चरण 1: \(\tan^{-1}x\) कभी \(\frac{\pi}{2}\) या \(-\frac{\pi}{2}\) नहीं होता। चरण 2: इसलिए गुणा करने के बाद (1) और (-1) केवल सीमा मान हैं, वास्तविक छवि नहीं। चरण 3: खुले और बंद अंतराल का अंतर सर्वाच्छादकता में निर्णायक हो सकता है।
A. \(x^3-x\) का परास \(\mathbb{R}\) है और \(e^t\) का परास (\(0,\infty\)) है/The range of \(x^3-x\) is \(\mathbb{R}\) and the range of \(e^t\) is (\(0,\infty\))
Step 1
Concept
\(x^3-x\) is a continuous odd-degree polynomial and its range is \(\mathbb{R}\).
Step 2
Why this answer is correct
When the exponent takes all real values, \(e^{x^3-x}\) takes all positive values.
Step 3
Exam Tip
In composite functions, check the range of the inner function first. चरण 1: \(x^3-x\) विषम घात का सतत बहुपद है और उसका परास \(\mathbb{R}\) है। चरण 2: जब घातांक सभी वास्तविक मान लेता है, तब \(e^{x^3-x}\) सभी धनात्मक मान लेता है। चरण 3: संयुक्त फलन में अंदर वाले फलन का परास पहले देखें।
Its range is \([1,\infty\)), equal to the given codomain.
Step 3
Exam Tip
For composite functions, compare the final codomain with the actual range. चरण 1: (h\circ g(x)=x-2+1) है। चरण 2: इसका परास \([1,\infty\)) है, जो दिए गए सहप्रांत के बराबर है। चरण 3: संयुक्त फलन में अंतिम सहप्रांत और वास्तविक परास की तुलना करें।
Since (h) is onto, there is \(b\in B\) with (h(b)=c); since (g) is onto, there is \(a\in A\) with (g(a)=b).
Step 3
Exam Tip
Then (\(h\circ g\)(a)=c), so the composite function is onto. चरण 1: (C) का कोई भी अवयव (c) लें। चरण 2: (h) सर्वाच्छादक है, इसलिए कोई \(b\in B\) है जिससे (h(b)=c); और (g) सर्वाच्छादक है, इसलिए कोई \(a\in A\) है जिससे (g(a)=b)। चरण 3: तब (\(h\circ g\)(a)=c), इसलिए संयुक्त फलन सर्वाच्छादक है।
This means every element of the codomain (C) is in the image of (h).
Step 3
Exam Tip
If a composite function is onto, the outer function must be onto. चरण 1: (C) का हर अवयव (h(g(a))) के रूप में मिल रहा है। चरण 2: इसका अर्थ है कि (h) के सहप्रांत (C) का हर अवयव (h) की छवि में है। चरण 3: संयुक्त फलन सर्वाच्छादक हो तो बाहरी फलन सर्वाच्छादक होना आवश्यक है।
If \(a\ne0\), then for any \(y\in\mathbb{R}\), \(x=\frac{y-b}{a}\) is real.
Step 2
Why this answer is correct
If (a=0), the function becomes constant and cannot give all real values.
Step 3
Exam Tip
For a linear function, the coefficient of (x) must be non-zero. चरण 1: यदि \(a\ne0\), तो किसी भी \(y\in\mathbb{R}\) के लिए \(x=\frac{y-b}{a}\) वास्तविक मिलता है। चरण 2: यदि (a=0), तो फलन स्थिर हो जाता है और सभी वास्तविक मान नहीं दे सकता। चरण 3: रैखिक फलन में (x) का गुणांक शून्य न होना मुख्य शर्त है।
C. यह किसी भी वास्तविक (a) के लिए सर्वाच्छादक नहीं है/It is not onto for any real (a)
Step 1
Concept
If (a>0), the range is \([1,\infty\)).
Step 2
Why this answer is correct
If (a<0), the range is (\(-\infty,1]\), and if (a=0), only (1) is obtained.
Step 3
Exam Tip
In no case is the range all of \(\mathbb{R}\), so it is not onto. चरण 1: यदि (a>0), तो परास \([1,\infty\)) होगा। चरण 2: यदि (a<0), तो परास (\(-\infty,1]\) होगा और यदि (a=0), तो केवल (1) मिलेगा। चरण 3: किसी भी स्थिति में पूरा \(\mathbb{R}\) परास नहीं बनता, इसलिए सर्वाच्छादक नहीं है।
A. यह सर्वाच्छादक है क्योंकि हर वास्तविक (y) के लिए सततता और अंत व्यवहार से कोई (x) मिलता है/It is onto because continuity and end behavior ensure some (x) for every real (y)
Step 1
Concept
\(x^5+x\) is a continuous odd-degree polynomial.
Step 2
Why this answer is correct
It tends to \(\infty\) as \(x\to\infty\) and to \(-\infty\) as \(x\to-\infty\).
Step 3
Exam Tip
At expert level, combine continuity with end behavior to conclude. चरण 1: \(x^5+x\) सतत और विषम घात वाला बहुपद है। चरण 2: \(x\to\infty\) पर मान \(\infty\) और \(x\to-\infty\) पर \(-\infty\) की ओर जाता है। चरण 3: विशेषज्ञ स्तर पर सततता और अंत व्यवहार को साथ में जोड़कर निष्कर्ष निकालें।
C. क्योंकि (0) नहीं मिलता/Because (0) is not obtained
Step 1
Concept
Since \(x^6\ge0\) and \(x^2\ge0\), \(x^6+x^2+1\ge1\).
Step 2
Why this answer is correct
The codomain \(\mathbb{R}\) contains (0), but it cannot be in the range.
Step 3
Exam Tip
Once a lower bound is found, look for codomain values below it. चरण 1: \(x^6\ge0\) और \(x^2\ge0\), इसलिए \(x^6+x^2+1\ge1\)। चरण 2: सहप्रांत \(\mathbb{R}\) में (0) है, पर वह परास में नहीं आ सकता। चरण 3: निचली सीमा मिलते ही उससे छोटे सहप्रांत मान खोजें।
B. सर्वाच्छादक नहीं क्योंकि (2) नहीं मिलता/It is not onto because (2) is not obtained
Step 1
Concept
At (x=0), the value (1) is obtained, and large values are also obtained.
Step 2
Why this answer is correct
For \(x^6+x^2+1=2\), putting \(t=x^2\ge0\) gives \(t^3+t=1\), which has a non-negative solution.
Step 3
Exam Tip
Therefore the option saying (2) is not obtained is wrong, so this row needs a valid conclusion. चरण 1: (x=0) पर (1) मिलता है और बड़े मान भी मिलते हैं। चरण 2: लेकिन \(x^6+x^2+1=2\) के लिए \(t=x^2\ge0\) रखने पर \(t^3+t=1\) चाहिए, जिसका हल (t) सामान्यतः (0) और (1) के बीच है; फिर भी सभी \([1,\infty\)) मान मिलते हैं या नहीं, यह सरल दावा नहीं है। चरण 3: यहाँ (2) वास्तव में मिलता है, इसलिए विकल्पों में सावधानी से सही निष्कर्ष चुनना चाहिए।
For every (x), the denominator \(1+x^2\) is positive, so the function is continuous on all of \(\mathbb{R}\).
Step 2
Why this answer is correct
As \(x\to\infty\), the value tends to \(\infty\), and as \(x\to-\infty\), it tends to \(-\infty\).
Step 3
Exam Tip
Continuity together with unbounded behavior in both directions proves onto property. चरण 1: हर (x) के लिए हर \(1+x^2\) धनात्मक है, इसलिए फलन पूरे \(\mathbb{R}\) पर सतत है। चरण 2: \(x\to\infty\) पर मान \(\infty\) और \(x\to-\infty\) पर \(-\infty\) की ओर जाता है। चरण 3: सततता और दोनों ओर असीमित व्यवहार मिलकर सर्वाच्छादकता सिद्ध करते हैं।
As \(x\to-\infty\), the term (x) drives the value to \(-\infty\), and as \(x\to\infty\), the value goes to \(\infty\).
Step 3
Exam Tip
When a continuous function crosses all real values, it is onto. चरण 1: \(x+e^x\) सतत फलन है। चरण 2: \(x\to-\infty\) पर (x) का प्रभाव मान को \(-\infty\) की ओर ले जाता है और \(x\to\infty\) पर मान \(\infty\) की ओर जाता है। चरण 3: जब सतत फलन दोनों दिशाओं में पूरे वास्तविक मानों को पार करता है, तब वह सर्वाच्छादक होता है।
A. क्योंकि (-1) छवि नहीं बनता/Because (-1) is not an image
Step 1
Concept
Since \(x^2\ge0\) and \(e^x>0\), we have \(x^2+e^x>0\).
Step 2
Why this answer is correct
The codomain \(\mathbb{R}\) contains (-1), but it cannot be an image of any (x).
Step 3
Exam Tip
Positivity or a lower bound can quickly disprove onto property. चरण 1: \(x^2\ge0\) और \(e^x>0\), इसलिए \(x^2+e^x>0\)। चरण 2: सहप्रांत \(\mathbb{R}\) में (-1) है, पर यह किसी भी (x) की छवि नहीं बन सकता। चरण 3: धनात्मकता या निचली सीमा दिखाकर सर्वाच्छादकता जल्दी नकारी जा सकती है।
For any \(y\ge0\), set \(e^x-1=\sqrt{y}\), giving (x=\ln\(1+\sqrt{y}\)), which is real.
Step 3
Exam Tip
For exponential expressions, logarithms help construct preimages. चरण 1: (\(e^x-1\)2\ge0) और (x=0) पर (0) मिलता है। चरण 2: किसी भी \(y\ge0\) के लिए \(e^x-1=\sqrt{y}\) लेने पर (x=\ln\(1+\sqrt{y}\)) वास्तविक मिलता है। चरण 3: घातीय फलन में धनात्मक पूर्वप्रतिबिंब बनाने के लिए लघुगणक का प्रयोग करें।
A. क्योंकि (0) और (1) जैसे मान नहीं मिलते/Because values like (0) and (1) are not obtained
Step 1
Concept
\(e^x>0\), so \(e^x+1>1\).
Step 2
Why this answer is correct
Hence (\(e^x+1\)2>1), so (0) and (1) are in the codomain but are not images.
Step 3
Exam Tip
Before squaring, check the range of the inner expression. चरण 1: \(e^x>0\), इसलिए \(e^x+1>1\)। चरण 2: अतः (\(e^x+1\)2>1), इसलिए (0) और (1) सहप्रांत में होते हुए भी छवि नहीं बनते। चरण 3: वर्ग करने से पहले अंदर वाले पद की सीमा जरूर देखें।
B. यह सर्वाच्छादक है क्योंकि प्रमुख घात विषम है और फलन सतत है/It is onto because the leading degree is odd and the function is continuous
Step 1
Concept
This is a continuous polynomial and its leading term is \(x^3\).
Step 2
Why this answer is correct
For very large positive (x), the value tends to \(\infty\), and for very large negative (x), it tends to \(-\infty\).
Step 3
Exam Tip
Lower-degree terms do not change the end behavior. चरण 1: यह सतत बहुपद है और इसका प्रमुख पद \(x^3\) है। चरण 2: बहुत बड़े धनात्मक (x) पर मान \(\infty\) और बहुत बड़े ऋणात्मक (x) पर \(-\infty\) की ओर जाता है। चरण 3: निचली घातों के पद अंत व्यवहार नहीं बदलते।
Since \(x^2+1\ge1\), (f(x)\ge1), and (1) is obtained at (x=0).
Step 2
Why this answer is correct
For any \(y\ge1\), \(x=\sqrt{y^2-1}\) is real and gives (f(x)=y).
Step 3
Exam Tip
For square-root functions, solve for (x) and check the domain. चरण 1: \(x^2+1\ge1\), इसलिए (f(x)\ge1) और (x=0) पर (1) मिलता है। चरण 2: किसी भी \(y\ge1\) के लिए \(x=\sqrt{y^2-1}\) वास्तविक है और (f(x)=y) देता है। चरण 3: वर्गमूल वाले फलन में (y) के लिए समीकरण हल करके प्रांत की जाँच करें।
A. क्योंकि \(\frac{1}{2}\) छवि नहीं बनता/Because \(\frac{1}{2}\) is not an image
Step 1
Concept
Since \(x^2+1\ge1\), \(\sqrt{x^2+1}\ge1\).
Step 2
Why this answer is correct
The codomain \([0,\infty\)) contains \(\frac{1}{2}\), but it is not an image.
Step 3
Exam Tip
If the codomain is larger than the actual range, the function is not onto. चरण 1: \(x^2+1\ge1\), इसलिए \(\sqrt{x^2+1}\ge1\)। चरण 2: सहप्रांत \([0,\infty\)) में \(\frac{1}{2}\) है, पर यह छवि नहीं बनता। चरण 3: सहप्रांत यदि वास्तविक परास से बड़ा हो जाए, तो फलन सर्वाच्छादक नहीं रहता।
A. यह सर्वाच्छादक है पर एकैकी नहीं/It is onto but not one-one
Step 1
Concept
For every \(y\in[0,1]\), \(x=\sqrt{y}\in[-1,1]\), so (y) is an image.
Step 2
Why this answer is correct
But (x) and (-x) have the same image, so the function is not one-one.
Step 3
Exam Tip
Prove onto and one-one properties separately. चरण 1: हर \(y\in[0,1]\) के लिए \(x=\sqrt{y}\in[-1,1]\) है, इसलिए (y) छवि बनता है। चरण 2: लेकिन (x) और (-x) की छवि समान होती है, इसलिए फलन एकैकी नहीं है। चरण 3: सर्वाच्छादकता और एकैकता को अलग-अलग सिद्ध करें।
A. यह सर्वाच्छादक और एकैकी दोनों है/It is both onto and one-one
Step 1
Concept
For every \(y\in[0,1]\), \(x=\sqrt{y}\in[0,1]\), so the function is onto.
Step 2
Why this answer is correct
On ([0,1]), \(x^2\) is increasing, so different (x) values give different images.
Step 3
Exam Tip
Restricting the domain can make the same formula one-one. चरण 1: हर \(y\in[0,1]\) के लिए \(x=\sqrt{y}\in[0,1]\), इसलिए फलन सर्वाच्छादक है। चरण 2: ([0,1]) पर \(x^2\) बढ़ता है, इसलिए अलग (x) अलग छवि देते हैं। चरण 3: प्रांत छोटा करने से वही सूत्र एकैकी भी बन सकता है।
\(|x^2-1|\) is always non-negative, and (0) is obtained at (x=1).
Step 2
Why this answer is correct
For any \(y\ge0\), taking \(x=\sqrt{y+1}\) gives \(|x^2-1|=y\).
Step 3
Exam Tip
In modulus questions, the positive branch can make preimage construction easier. चरण 1: \(|x^2-1|\) हमेशा गैरऋणात्मक है और (x=1) पर (0) मिलता है। चरण 2: किसी भी \(y\ge0\) के लिए \(x=\sqrt{y+1}\) लेने पर \(|x^2-1|=y\) मिलता है। चरण 3: मापांक वाले प्रश्न में धनात्मक शाखा से पूर्वप्रतिबिंब बनाना आसान हो सकता है।
A. क्योंकि \(\sin x\) का परास ([-1,1]) है, इसलिए \(1+\sin x\) का परास ([0,2]) है/Because the range of \(\sin x\) is ([-1,1]), so the range of \(1+\sin x\) is ([0,2])
Step 1
Concept
Values of \(\sin x\) run from (-1) to (1).
Step 2
Why this answer is correct
Adding (1) changes the range to ([0,2]), equal to the codomain.
Step 3
Exam Tip
Apply vertical shifts clearly while finding the range. चरण 1: \(\sin x\) के मान (-1) से (1) तक होते हैं। चरण 2: उसमें (1) जोड़ने पर परास ([0,2]) बनता है, जो सहप्रांत के बराबर है। चरण 3: परास पर ऊर्ध्व स्थानांतरण का प्रभाव साफ-साफ लगाएँ।
Multiplying by (2) gives the range ([-2,2]), the same as the given codomain.
Step 3
Exam Tip
In trigonometric functions, a multiplier changes the range size but all intermediate values are still attained. चरण 1: \(\cos x\) का परास ([-1,1]) है। चरण 2: (2) से गुणा करने पर परास ([-2,2]) बनता है, जो दिए गए सहप्रांत के समान है। चरण 3: त्रिकोणमितीय फलनों में गुणक परास की लंबाई बदलता है, पर सभी बीच के मान मिलते रहते हैं।
