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पाइथागोरस से नया कर्ण (\sqrt{\(\sqrt{13}\)2+12}=\sqrt{14}) होगा। वर्गमूल सर्पिल में संख्या एक बढ़ती है। / By Pythagoras the new hypotenuse is (\sqrt{\(\sqrt{13}\)2+12}=\sqrt{14}). In a square root spiral the number increases by one.
A. नई 1 इकाई की भुजा को ठीक पिछले कर्ण पर लंब होना चाहिए/The new side of length 1 must be perpendicular to the immediately preceding hypotenuse.
Explanation
Simple Explanation
यदि पिछला कर्ण \(\sqrt{n}\) है और उस पर 1 इकाई लंब खींचें, तो नए कर्ण का वर्ग \(n+1\) होता है: \((\sqrt{n})^2+1^2=n+1\)। प्रारम्भिक रेखा पर बार-बार लंब बनाने से यह क्रम टूटता है। परीक्षा में ‘पिछला कर्ण’ जाँचें। / If the previous hypotenuse is \(\sqrt{n}\) and a unit side is drawn perpendicular to it, the new hypotenuse has square \(n+1\): \((\sqrt{n})^2+1^2=n+1\). Repeatedly using the initial line breaks this sequence. Exam tip: check “previous hypotenuse.”
अगला कर्ण \(\sqrt{36}\) है और \(\sqrt{36}=6\) होता है। यह (6) पर स्थित है, इसलिए (5) और (6) के बीच नहीं बल्कि ठीक (6) पर है। / The next hypotenuse is \(\sqrt{36}\) and \(\sqrt{36}=6\). It lies exactly at (6), not between (5) and (6).
रीमा ने वर्गमूल सर्पिल में प्रारंभिक बिंदु से \(\sqrt{16}\) वाले बिंदु तक दूरी लेकर, वहाँ 1 इकाई की लंबवत रेखा खींची। फिर उसने उस नए सिरे को प्रारंभिक बिंदु से मिलाया। उसके निर्माण के बारे में कौन-सा कथन सही है?
A. नई कर्ण की लंबाई \(\sqrt{17}\) होगी।/The new hypotenuse will have length \(\sqrt{17}\).
Explanation
Simple Explanation
\(\sqrt{16}\) वाली भुजा का वर्ग 16 और नई लंबवत भुजा का वर्ग 1 है। पाइथागोरस से नई कर्ण का वर्ग \(16+1=17\) होगा, इसलिए लंबाई \(\sqrt{17}\) है। परीक्षा में हर नया चरण 1 इकाई की लंबवत भुजा से बनता है। / The square of the \(\sqrt{16}\) side is 16, and the square of the new perpendicular side is 1. By Pythagoras, the new hypotenuse has square \(16+1=17\), so it is \(\sqrt{17}\). Exam tip: each new spiral step uses a 1-unit perpendicular side.
वर्गमूल सर्पिल में सीधे लंबाइयाँ नहीं जोड़ी जातीं। कर्ण पाइथागोरस प्रमेय से बनता है। / In a square root spiral lengths are not added directly. The hypotenuse is formed by Pythagoras theorem.
B. \(\sqrt{48}\) अपरिमेय है और \(\sqrt{49}=7\) है/\(\sqrt{48}\) is irrational and \(\sqrt{49}=7\)
Explanation
Simple Explanation
(48) पूर्ण वर्ग नहीं है पर (49) पूर्ण वर्ग है। इसलिए \(\sqrt{48}\) अपरिमेय और \(\sqrt{49}=7\) है। / (48) is not a perfect square but (49) is a perfect square. Therefore \(\sqrt{48}\) is irrational and \(\sqrt{49}=7\).
B. \(\sqrt{43}\) पर (1) इकाई लंब बनाना/Draw a (1) unit perpendicular on \(\sqrt{43}\)
Explanation
Simple Explanation
\(\sqrt{43}\) के साथ (1) इकाई लंब से नया कर्ण \(\sqrt{44}\) बनता है। पिछले कर्ण की संख्या एक कम होती है। / With \(\sqrt{43}\) and a (1) unit perpendicular, the new hypotenuse becomes \(\sqrt{44}\). The previous hypotenuse has one less number.
A. उसकी एक भुजा 1 इकाई और दूसरी लम्ब भुजा \(\sqrt{n-1}\) होती है।/One leg is 1 unit and the other perpendicular leg is \(\sqrt{n-1}\).
Explanation
Simple Explanation
सर्पिल में पिछले कर्ण \(\sqrt{n-1}\) पर 1 इकाई की लम्ब भुजा बनती है। पाइथागोरस से कर्ण² = \((n-1)+1=n\), इसलिए नया कर्ण \(\sqrt n\) है। परीक्षा में लम्ब भुजा 1 याद रखें। / In the spiral, a 1-unit perpendicular leg is drawn on the previous hypotenuse \(\sqrt{n-1}\). By Pythagoras, hypotenuse² = \((n-1)+1=n\), so it becomes \(\sqrt n\). Exam tip: remember the added leg is always 1 unit.
नया कर्ण \(\sqrt{n+1}\) होता है तो पिछला कर्ण \(\sqrt{n}\) होता है। इसलिए \(\sqrt{82}\) से पहले \(\sqrt{81}\) था। / If the new hypotenuse is \(\sqrt{n+1}\), the previous one is \(\sqrt{n}\). Therefore before \(\sqrt{82}\), it was \(\sqrt{81}\).
A. \(\sqrt{81}=9\) और नया कर्ण \(\sqrt{82}\) है/\(\sqrt{81}=9\) and the new hypotenuse is \(\sqrt{82}\)
Explanation
Simple Explanation
\(\sqrt{81}=9\) है और (1) इकाई लंब जोड़ने पर अगला कर्ण \(\sqrt{82}\) बनता है। क्रम में संख्या एक बढ़ती है। / \(\sqrt{81}=9\), and after adding a (1) unit perpendicular the next hypotenuse is \(\sqrt{82}\). The number increases by one.
A. क्योंकि \(1^2\) की जगह \(3^2\) जुड़ेगा/Because \(3^2\) will be added instead of \(1^2\)
Explanation
Simple Explanation
सामान्य क्रम में हर बार \(1^2\) जुड़ता है। (3) इकाई लेने पर (9) जुड़ेगा और क्रम बदल जाएगा। / In the usual sequence \(1^2\) is added each time. Taking (3) units adds (9), so the sequence changes.
A. बिंदु मूल से \(\sqrt{10}\) इकाई दूर होगा/The point will be \(\sqrt{10}\) units away from the origin.
Explanation
Simple Explanation
वर्गमूल सर्पिल में प्रत्येक नए कर्ण की लंबाई संबंधित वर्गमूल होती है। इसलिए \(\sqrt{10}\) का बिंदु मूल से \(\sqrt{10}\) इकाई दूर है, 10 इकाई नहीं। जाँच के लिए \(3^2<10<4^2\), अतः दूरी 3 और 4 के बीच होगी। / In a square root spiral, each new hypotenuse represents the required square root. Hence the point for \(\sqrt{10}\) is \(\sqrt{10}\) units from the origin, not 10 units. Since \(3^2<10<4^2\), its length lies between 3 and 4. Exam tip: never confuse a number with its square root.
A. \(\sqrt{2}\) के सिरे पर (1) इकाई लंब खींचना/Draw a (1) unit perpendicular at the end of \(\sqrt{2}\)
Explanation
Simple Explanation
\(\sqrt{2}\) पिछले कर्ण की भुजा बनती है। उसके सिरे पर (1) इकाई लंब से नया कर्ण \(\sqrt{3}\) मिलता है। / \(\sqrt{2}\) becomes the previous hypotenuse side. A (1) unit perpendicular at its end gives the new hypotenuse \(\sqrt{3}\).
\(10^2=100\) और \(11^2=121\) हैं। क्योंकि \(100<120<121\), इसलिए वर्गमूल लेने पर \(10<\sqrt{120}<11\) प्राप्त होता है। \(11<\sqrt{120}<12\) गलत है, क्योंकि उसके लिए संख्या \(121\) से अधिक होनी चाहिए। परीक्षा टिप: किसी वर्गमूल का अंतराल ज्ञात करने के लिए उसके निकटतम पूर्ण वर्गों की तुलना करें। / \(10^2=100\) and \(11^2=121\). Since \(100<120<121\), taking square roots gives \(10<\sqrt{120}<11\). The interval \(11<\sqrt{120}<12\) is incorrect because it would require the number inside the root to be greater than \(121\). Exam tip: Compare a number with the nearest perfect squares to locate its square root.
\(\sqrt{142}\) और (1) इकाई लंब से \(\sqrt{143}\) बनता है। अगले कर्ण में संख्या एक बढ़ती है। / \(\sqrt{143}\) is formed from \(\sqrt{142}\) and a (1) unit perpendicular. The number increases by one in the next hypotenuse.
A. 1 इकाई लंबवत भुजा/A perpendicular side of length 1 unit
Explanation
Simple Explanation
वर्गमूल सर्पिल में पिछले कर्ण पर 1 इकाई की लंबवत भुजा बनाई जाती है। पाइथागोरस के अनुसार नया कर्ण
\(\sqrt{n+1}\) बनता है। परीक्षा में ‘1 इकाई लंबवत’ को सर्पिल की मुख्य रचना-शर्त याद रखें। / In a square root spiral, a perpendicular side of 1 unit is drawn on the previous hypotenuse. By Pythagoras, the new hypotenuse becomes \(\sqrt{n+1}\). Exam tip: remember “1-unit perpendicular” as the key construction rule.
\(5^2=25\) और \(6^2=36\) है। क्योंकि 26, 25 और 36 के बीच है, इसलिए \(\sqrt{26}\), 5 और 6 के बीच होगा। \(4^2<26<5^2\) गलत है क्योंकि \(26>25\)। परीक्षा में पास के पूर्ण वर्ग पहले लिखें। / Since \(5^2=25\) and \(6^2=36\), the number 26 lies between these squares; hence \(\sqrt{26}\) lies between 5 and 6. Option B fails because 26 is greater than 25. Exam tip: compare with consecutive perfect squares.
\(\sqrt{7}\) पिछले कर्ण की लंबाई है और नई लंब (1) इकाई है। इसलिए नया कर्ण \(\sqrt{8}\) है। / \(\sqrt{7}\) is the previous hypotenuse and the new perpendicular is (1) unit. Therefore the new hypotenuse is \(\sqrt{8}\).
A. \(\sqrt{169}=13\) और \(\sqrt{170}\) अपरिमेय है/\(\sqrt{169}=13\) and \(\sqrt{170}\) is irrational
Explanation
Simple Explanation
(169) पूर्ण वर्ग है और (170) पूर्ण वर्ग नहीं है। इसलिए \(\sqrt{169}=13\) और \(\sqrt{170}\) अपरिमेय है। / (169) is a perfect square and (170) is not. Therefore \(\sqrt{169}=13\) and \(\sqrt{170}\) is irrational.
A. कंपास में \(\sqrt{n}\) कर्ण की लंबाई लेकर मूल बिंदु से चाप खींचना/Take the \(\sqrt{n}\) hypotenuse length in compass and draw an arc from the origin
Explanation
Simple Explanation
जिस लंबाई को अंकित करना है, वही कंपास में ली जाती है। मूल बिंदु से चाप खींचने पर सही स्थान मिलता है। / The same length to be marked is taken in the compass. Drawing an arc from the origin gives the correct position.
वर्गमूल सर्पिल में प्रत्येक नया कर्ण पिछले कर्ण के वर्ग के भीतर 1 जोड़ने पर बनता है। इसलिए \(\sqrt{55}\) के बाद अगला कर्ण \(\sqrt{56}\) होगा। क्योंकि \(7^2=49\) और \(8^2=64\), तथा \(49<56<64\), इसलिए \(\sqrt{56}\), \(7\) और \(8\) के बीच है। \(\sqrt{54}\) पिछला मान है, जबकि \(\sqrt{57}\) उसके बाद का मान होगा। परीक्षा टिप: वर्गमूल का अंतराल जानने के लिए संख्या के आसपास के पूर्ण वर्गों की तुलना करें। / In a square root spiral, each new hypotenuse represents the next square root. Hence, after \(\sqrt{55}\), the next hypotenuse is \(\sqrt{56}\). Since \(7^2=49\) and \(8^2=64\), and \(49<56<64\), \(\sqrt{56}\) lies between \(7\) and \(8\). \(\sqrt{54}\) is the preceding value, while \(\sqrt{57}\) comes after it. Exam tip: compare a number with its nearest perfect squares to locate its square root.
A. सेट स्क्वायर, \(90^\circ\) कोण बनाने के लिए/Set square, to make a \(90^\circ\) angle
Explanation
Simple Explanation
सेट स्क्वायर से समकोण बनाया जा सकता है। समकोण सही होगा तो पाइथागोरस से कर्ण सही मिलेगा। / A set square can be used to make a right angle. If the right angle is correct, Pythagoras gives the correct hypotenuse.
वर्गमूल सर्पिल में हर चरण पर पिछली कर्ण के एक सिरे पर \(1\) इकाई की लम्बवत भुजा खींची जाती है। इससे अगली कर्ण क्रमशः \(\sqrt{2}, \sqrt{3}, \sqrt{4}\) आदि बनती है। \(\sqrt{2}\) भुजा नहीं, प्रारम्भिक कर्ण है। परीक्षा टिप: नई जोड़ी गई भुजा हमेशा \(1\) होती है। / In a square root spiral, a perpendicular side of length \(1\) is drawn at an endpoint of the previous hypotenuse. The new hypotenuse then becomes \(\sqrt{2}, \sqrt{3}, \sqrt{4}\), and so on. \(\sqrt{2}\) is an early hypotenuse, not the added side. Exam tip: the newly added side is always \(1\).
वर्गमूल सर्पिल बनाते समय अरुण कहता है कि \(\sqrt{n+1}\) पाने के लिए पिछली कर्ण \(\sqrt n\) में सीधे 1 जोड़ देना चाहिए। उसकी त्रुटि को सही ढंग से कौन समझाता है?
A. नए समकोण त्रिभुज की भुजाएँ \(\sqrt n\) और 1 होती हैं, इसलिए उसका कर्ण \(\sqrt{n+1}\) होता है।/The new right triangle has legs \(\sqrt n\) and 1, so its hypotenuse is \(\sqrt{n+1}\).
Explanation
Simple Explanation
सर्पिल के अगले समकोण त्रिभुज में पिछला कर्ण \(\sqrt n\) एक भुजा और नई भुजा 1 होती है। पाइथागोरस से \((\sqrt n)^2+1^2=n+1\), अतः कर्ण \(\sqrt{n+1}\) है। विकल्प B में वर्गमूल के बाहर जोड़ने की गलत धारणा है। परीक्षा में पहले दोनों भुजाओं के वर्ग जोड़ें। / In the next right triangle, the previous hypotenuse \(\sqrt n\) is one leg and the new leg is 1. By Pythagoras, \((\sqrt n)^2+1^2=n+1\), so the hypotenuse is \(\sqrt{n+1}\). Option B wrongly adds outside the square root. Exam tip: add squares of the legs first.
क्योंकि \(9^2=81\) और \(10^2=100\) हैं तथा \(81<96<100\) है। इसलिए \(9<\sqrt{96}<10\) होगा। \(8\) और \(9\) वाला विकल्प गलत है, क्योंकि उसका वर्ग-अंतराल \(64\) से \(81\) तक होता है। परीक्षा टिप: किसी वर्गमूल का अंतराल ज्ञात करने के लिए दिए गए संख्या के ठीक पहले और ठीक बाद के पूर्ण वर्ग देखें। / Since \(9^2=81\) and \(10^2=100\), and \(81<96<100\), we get \(9<\sqrt{96}<10\). The interval from 8 to 9 is incorrect because its corresponding squares lie from \(64\) to \(81\). Exam tip: To locate a square root, compare the number with the nearest smaller and larger perfect squares.
A. पिछला कर्ण एक भुजा होता है और दूसरी लंबवत भुजा 1 इकाई की होती है।/The previous hypotenuse is one leg, and the other perpendicular leg is 1 unit long.
Explanation
Simple Explanation
सर्पिल में पिछले त्रिभुज का कर्ण अगली भुजा बनता है और 1 इकाई की लंब भुजा जोड़ी जाती है। यदि कर्ण \(\sqrt{n}\) है, तो नया कर्ण \(\sqrt{n+1}\) होता है। परीक्षा में पायथागोरस नियम लगाएँ। / In the spiral, the previous hypotenuse becomes one leg and a perpendicular unit leg is added. If it is \(\sqrt{n}\), then the new hypotenuse is \(\sqrt{n+1}\). Exam tip: apply Pythagoras’ theorem at each step.
A. नए कर्णों की लंबाइयाँ गलत हो सकती हैं/The lengths of new hypotenuses may become incorrect
Explanation
Simple Explanation
निर्माण में (1) इकाई लंब सही होना जरूरी है। गलत माप से अगला वर्गमूल सही नहीं बनेगा। / The (1) unit perpendicular must be correct in construction. Wrong measurement will not make the next square root correctly.
B. अपरिमेय संख्या और (5) तथा (6) के बीच/Irrational number and between (5) and (6)
Explanation
Simple Explanation
(28) पूर्ण वर्ग नहीं है और \(5^2<28<6^2\) है। इसलिए \(\sqrt{28}\) अपरिमेय है और (5) तथा (6) के बीच है। / (28) is not a perfect square and \(5^2<28<6^2\). Therefore \(\sqrt{28}\) is irrational and lies between (5) and (6).
समकोण त्रिभुज में कर्ण का वर्ग भुजाओं के वर्गों के योग के बराबर होता है। इसलिए कर्ण \(\sqrt{2}\) है। / In a right triangle the square of the hypotenuse equals the sum of squares of the sides. Therefore the hypotenuse is \(\sqrt{2}\).
\(10^2=100\) और \(11^2=121\) हैं। क्योंकि \(100<108<121\), इसलिए \(10<\sqrt{108}<11\)। अतः \(\sqrt{108}\) संख्या रेखा पर 10 और 11 के बीच स्थित होगा। 9 और 10 के बीच होने पर संख्या का वर्ग 100 से कम होता। परीक्षा टिप: किसी वर्गमूल का अंतराल ज्ञात करने के लिए उसके निकटतम पूर्ण वर्गों की तुलना करें। / \(10^2=100\) and \(11^2=121\). Since \(100<108<121\), we get \(10<\sqrt{108}<11\). Therefore, \(\sqrt{108}\) lies between 10 and 11 on the number line. It cannot lie between 9 and 10, because numbers in that interval have squares less than 100. Exam tip: Compare the number with consecutive perfect squares to find the interval of its square root.
A. \(\sqrt{100}=10\) और \(\sqrt{101}\), \(10\) तथा \(11\) के बीच है/\(\sqrt{100}=10\) and \(\sqrt{101}\) lies between \(10\) and \(11\)
Explanation
Simple Explanation
\(100=10^2\), इसलिए \(\sqrt{100}=10\) है। साथ ही, \(10^2=100<101<121=11^2\), अतः \(\sqrt{101}\), \(10\) और \(11\) के बीच होगा तथा यह पूर्ण संख्या नहीं है। विकल्प C निकट लगता है, पर \(\sqrt{101}=11\) होने के लिए \(101=121\) होना चाहिए। परीक्षा टिप: किसी संख्या के वर्गमूल का अंतराल जानने के लिए उसके निकटतम पूर्ण वर्गों की तुलना करें। / Since \(100=10^2\), \(\sqrt{100}=10\). Also, \(10^2=100<101<121=11^2\), so \(\sqrt{101}\) lies between \(10\) and \(11\) and is not a whole number. Option C may seem close, but \(\sqrt{101}=11\) would require \(101=121\). Exam tip: To locate a square root, compare the number with nearby perfect squares.
A. \(\sqrt{58}\), (7) और (8) के बीच/\(\sqrt{58}\), between (7) and (8)
Explanation
Simple Explanation
\(\sqrt{58}\) से \(\sqrt{59}\) बनता है और \(7^2<59<8^2\) है। इसलिए यह (7) और (8) के बीच है। / \(\sqrt{59}\) is formed from \(\sqrt{58}\), and \(7^2<59<8^2\). Therefore it lies between (7) and (8).
A. \(\sqrt{1}\rightarrow\sqrt{2}\rightarrow\sqrt{3}\rightarrow\sqrt{4}\)
Explanation
Simple Explanation
वर्गमूल सर्पिल में कर्ण क्रम से बनते हैं। कोई चरण छोड़ना सामान्य निर्माण में सही नहीं है। / In a square root spiral the hypotenuses are formed in order. Skipping a step is not correct in the usual construction.
\(12^2=144\) और \(13^2=169\) है। चूँकि \(145\), \(144\) से बड़ा तथा \(169\) से छोटा है, इसलिए \(12<\sqrt{145}<13\)। अतः सही अंतराल 12 और 13 के बीच है। 11 और 12 के बीच वाला विकल्प गलत है, क्योंकि उसका वर्ग 144 से कम होगा। परीक्षा टिप: किसी वर्गमूल का अंतराल ज्ञात करने के लिए उसके आसपास के दो पूर्ण वर्गों की तुलना करें। / We have \(12^2=144\) and \(13^2=169\). Since \(145\) is greater than \(144\) but less than \(169\), \(12<\sqrt{145}<13\). Hence, \(\sqrt{145}\) lies between 12 and 13. The interval between 11 and 12 is incorrect because numbers in that interval have squares less than 144. Exam tip: Compare the number with the nearest perfect squares to locate its square root.
A. हर नई इकाई-भुजा को पिछले कर्ण के बाहरी सिरे पर उसके लम्ब खींचना चाहिए/Each new unit segment should be drawn perpendicular to the previous hypotenuse at its outer endpoint.
Explanation
Simple Explanation
हर नया 1-इकाई खंड पिछले कर्ण के बाहरी सिरे पर लम्ब खींचा जाता है। यदि पिछला कर्ण \(\sqrt n\) है, तो नया कर्ण \(\sqrt{(\sqrt n)^2+1^2}=\sqrt{n+1}\) होगा। प्रारम्भिक बिंदु से बार-बार खींचना गलत है। परीक्षा में लम्ब का चिह्न अवश्य देखें। / Each new unit segment is drawn perpendicular to the previous hypotenuse at its outer endpoint. If the earlier hypotenuse is \(\sqrt n\), the new one is \(\sqrt{(\sqrt n)^2+1^2}=\sqrt{n+1}\). Drawing repeatedly from the initial point breaks the spiral. Exam tip: check the right-angle mark.
B. अपरिमेय संख्या, (3) और (4) के बीच/Irrational number, between (3) and (4)
Explanation
Simple Explanation
(12) पूर्ण वर्ग नहीं है और \(3^2<12<4^2\) है। इसलिए यह अपरिमेय है और (3) तथा (4) के बीच है। / (12) is not a perfect square and \(3^2<12<4^2\). Therefore it is irrational and lies between (3) and (4).
वर्गमूल सर्पिल बनाते समय रिया ने \(\sqrt{8}\) लंबाई वाले पिछले कर्ण के सिरे पर 1 इकाई की लंब रेखा खींची। वह नए कर्ण को \(\sqrt{10}\) मानती है। सही नया कर्ण क्या होगा?
नए समकोण त्रिभुज में कर्ण² = \((\sqrt{8})^2+1^2=8+1=9\), इसलिए कर्ण \(\sqrt{9}\) है। \(\sqrt{10}\) के लिए पिछली लंबाई \(\sqrt{9}\) होनी चाहिए। परीक्षा में हर चरण में 1 जोड़ें। / For the new right triangle, hypotenuse² = \((\sqrt{8})^2+1^2=8+1=9\), so the hypotenuse is \(\sqrt{9}\). \(\sqrt{10}\) would follow \(\sqrt{9}\), not \(\sqrt{8}\). Exam tip: add 1 at each spiral step.
A. पिछले कर्ण पर (1) इकाई लंब जोड़ना/Adding a (1) unit perpendicular to the previous hypotenuse
Explanation
Simple Explanation
हर चरण में पिछला कर्ण एक भुजा बनता है और (1) इकाई लंब दूसरी भुजा। इससे अगला कर्ण बनता है। / At each step the previous hypotenuse becomes one side and (1) unit perpendicular becomes the other side. This gives the next hypotenuse.
\(8^2=64\) और \(9^2=81\) हैं। चूँकि \(64<76<81\), इसलिए \(8<\sqrt{76}<9\)। अतः वर्गमूल सर्पिल में नया कर्ण 8 और 9 के बीच होगा। निकटतम भ्रम यह हो सकता है कि 76, 81 के पास है, पर यह फिर भी 9 से छोटा है। परीक्षा टिप: किसी वर्गमूल का अंतराल ज्ञात करने के लिए उसके आसपास के पूर्ण वर्गों की तुलना करें। / \(8^2=64\) and \(9^2=81\). Since \(64<76<81\), we get \(8<\sqrt{76}<9\). Hence, the new hypotenuse in the square root spiral lies between 8 and 9. A close distractor may seem tempting because 76 is near 81, but it is still less than 9 when square-rooted. Exam tip: Compare the number with nearby perfect squares to locate its square root.
D. कर्ण को सीधे पिछले कर्ण में (1) जोड़कर बनाना/Making the hypotenuse by directly adding (1) to the previous hypotenuse
Explanation
Simple Explanation
कर्ण सीधे जोड़ से नहीं बनता। उसे समकोण त्रिभुज और पाइथागोरस प्रमेय से निकाला जाता है। / The hypotenuse is not made by direct addition. It is found using a right triangle and Pythagoras theorem.
वर्गमूल सर्पिल से संख्या रेखा पर \(\sqrt{10}\) दर्शाते समय एक विद्यार्थी कहता है कि यह 4 के दाईं ओर होगा, क्योंकि 10, 4 से बड़ा है। उसकी त्रुटि का सही सुधार क्या है?
A. \(\sqrt{10}\), 3 और 4 के बीच होगा/\(\sqrt{10}\) lies between 3 and 4.
Explanation
Simple Explanation
\(3^2=9\) और \(4^2=16\) हैं। क्योंकि \(9<10<16\), इसलिए \(3<\sqrt{10}<4\) होगा। सर्पिल में \(\sqrt{10}\) की लंबाई 3 से अधिक, पर 4 से कम होती है। परीक्षा टिप: वर्गमूल का स्थान जानने के लिए निकटतम पूर्ण वर्गों की तुलना करें। / Since \(3^2=9\) and \(4^2=16\), we have \(9<10<16\), so \(3<\sqrt{10}<4\). The value inside the root is not compared directly with 4. Exam tip: bracket a square root using the nearest perfect squares.
वर्गमूल सर्पिल बनाते समय एक विद्यार्थी कहता है कि
\(\sqrt{7}\) के बाद \(\sqrt{8}\) प्राप्त करने के लिए पिछले कर्ण \(\sqrt{7}\) के साथ 1 इकाई का लम्ब खींचना चाहिए। विद्यार्थी का कथन क्या है?
B. कथन सही है, क्योंकि नया कर्ण \(\sqrt{7+1}=\sqrt{8}\) होगा।/The statement is correct because the new hypotenuse will be \(\sqrt{7+1}=\sqrt{8}\).
Explanation
Simple Explanation
कथन सही है। पिछले त्रिभुज का कर्ण \(\sqrt{7}\) और नया लम्ब 1 लेने पर पायथागोरस से कर्ण² = 7 + 1 = 8, अतः नया कर्ण \(\sqrt{8}\) होता है। परीक्षा में कर्णों को जोड़ने के बजाय उनके वर्ग जोड़ें। / The statement is correct. With previous hypotenuse \(\sqrt{7}\) and a new perpendicular of 1, Pythagoras gives hypotenuse² = 7 + 1 = 8, so the new hypotenuse is \(\sqrt{8}\). Exam tip: add squares, not the lengths themselves.
A. ताकि हर चरण में (\(\sqrt{n}\)2+12=n+1) लागू हो सके/So that (\(\sqrt{n}\)2+12=n+1) can apply at each step
Explanation
Simple Explanation
(1) इकाई लंब और \(90^\circ\) कोण से पाइथागोरस प्रमेय सही लागू होता है। इससे क्रमिक वर्गमूल बनते हैं। / With a (1) unit perpendicular and a \(90^\circ\) angle, Pythagoras theorem applies correctly. This forms successive square roots.
वर्गमूल सर्पिल बनाते समय एक विद्यार्थी हर नए समकोण त्रिभुज की लंबवत भुजा 1 सेमी के स्थान पर 2 सेमी लेता है। उसके चित्र के बारे में कौन-सा निष्कर्ष सही है?
A. प्राप्त कर्ण क्रमशः \(\sqrt{1},\sqrt{2},\sqrt{3},\ldots\) नहीं होंगे।/The hypotenuses will not be \(\sqrt{1},\sqrt{2},\sqrt{3},\ldots\) in order.
Explanation
Simple Explanation
मानक वर्गमूल सर्पिल में हर नई लंबवत भुजा 1 सेमी होती है, इसलिए \(h^2\) में हर चरण पर 1 जुड़ता है। 2 सेमी लेने पर \(h^2\) में 4 जुड़ेगा। परीक्षा में भुजा की लंबाई अवश्य जाँचें। / In a standard square root spiral, each new perpendicular is 1 cm, so \(h^2\) increases by 1 at every step. With a 2 cm side, \(h^2\) increases by 4 instead. Exam tip: always check the unit perpendicular.
A. पिछले त्रिभुज का कर्ण और नई इकाई-लंबाई वाली भुजा/The previous triangle’s hypotenuse and the newly added unit-length side
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Simple Explanation
प्रत्येक चरण में पिछला कर्ण नई 1 इकाई की भुजा पर लंब होता है। यदि पिछला कर्ण \(\sqrt{n}\) है, तो नया कर्ण \(\sqrt{n+1}\) बनता है। परीक्षा में समकोण वाले नए बाहरी त्रिभुज को पहचानें। / At each step, a new unit segment is drawn perpendicular to the previous hypotenuse. If that hypotenuse is \(\sqrt{n}\), the next one becomes \(\sqrt{n+1}\). In exams, identify the newly formed outer right triangle.
वर्गमूल सर्पिल में प्रत्येक नया समकोण त्रिभुज 1 इकाई भुजा जोड़कर बनता है। पाइथागोरस प्रमेय से क्रमिक कर्णों के वर्ग 2, 3, 4, … होते हैं; इसलिए A सही है। परीक्षा में कर्ण के वर्गों का क्रम जाँचें। / Each new right triangle in the spiral is formed by adding a side of length 1. By Pythagoras’ theorem, successive hypotenuse squares are 2, 3, 4, …, so A is correct. Exam tip: check the sequence of squared lengths first.
\(17\) पूर्ण वर्ग नहीं है, इसलिए \(\sqrt{17}\) को दो पूर्णांकों के अनुपात के रूप में नहीं लिखा जा सकता। अतः सर्पिल पर इसका बिंदु अपरिमेय संख्या दर्शाता है। परीक्षा टिप: केवल पूर्ण वर्गों के वर्गमूल पूर्णांक होते हैं। / Since 17 is not a perfect square, \(\sqrt{17}\) cannot be written as a ratio of two integers. Hence, its point on the spiral represents an irrational number. Exam tip: only square roots of perfect squares are integers.
\(\sqrt{254}\) में (1) इकाई लंब जोड़ने पर \(\sqrt{255}\) मिलता है। पिछले कर्ण की संख्या एक कम होती है। / Adding a (1) unit perpendicular to \(\sqrt{254}\) gives \(\sqrt{255}\). The previous hypotenuse has one less number.
A. समकोण त्रिभुजों की क्रमिक श्रृंखला जिसमें पिछला कर्ण और (1) इकाई लंब अगला वर्गमूल बनाते हैं/A successive chain of right triangles where previous hypotenuse and (1) unit perpendicular form the next square root
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वर्गमूल सर्पिल का नियम पाइथागोरस प्रमेय और (1) इकाई लंब पर आधारित है। इसी से क्रमिक वर्गमूल बनते हैं। / The rule of the square root spiral is based on Pythagoras theorem and a (1) unit perpendicular. This forms successive square roots.
A. \(\sqrt{121}\), (11) पर/\(\sqrt{121}\), at (11)
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नया कर्ण \(\sqrt{120+1}=\sqrt{121}\) होगा और \(\sqrt{121}=11\) है। पूर्ण वर्ग दिखे तो उसका सटीक मान लिखें। / The new hypotenuse is \(\sqrt{120+1}=\sqrt{121}\), and \(\sqrt{121}=11\). When a perfect square appears, write its exact value.
