Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है
पिछला कर्ण \(\sqrt{11}\) और नई लंब (1) इकाई होती है। इसलिए नया कर्ण \(\sqrt{12}\) बनेगा। / The previous hypotenuse is \(\sqrt{11}\) and the new perpendicular is (1) unit. So the new hypotenuse will be \(\sqrt{12}\).
\(\sqrt{16}\) के साथ (1) इकाई लंब जोड़ने पर नया कर्ण \(\sqrt{17}\) बनता है। पिछले कर्ण की संख्या एक कम होती है। / Adding a (1) unit perpendicular to \(\sqrt{16}\) forms the new hypotenuse \(\sqrt{17}\). The previous hypotenuse has one less number.
A. कथन सही है, क्योंकि \(3^2<10<4^2\)।/The statement is correct, because \(3^2<10<4^2\).
Explanation
Simple Explanation
सही विकल्प A है। \(3^2=9\) और \(4^2=16\) होने से \(9<10<16\), इसलिए \(3<\sqrt{10}<4\)। अतः सर्पिल का \(\sqrt{10}\) बिंदु 3 और 4 के बीच होगा। परीक्षा में निकटतम पूर्ण वर्ग जाँचें। / Option A is correct. Since \(3^2=9\) and \(4^2=16\), we get \(9<10<16\), so \(3<\sqrt{10}<4\). Thus, the \(\sqrt{10}\) point lies between 3 and 4. Exam tip: compare with nearby perfect squares first.
वर्गमूल सर्पिल में नए समकोण त्रिभुज की एक भुजा पिछले त्रिभुज का कर्ण होती है और दूसरी भुजा 1 इकाई ली जाती है। पाइथागोरस प्रमेय से नया कर्ण अगला वर्गमूल दर्शाता है। परीक्षा टिप: साझा भुजा को हमेशा पिछले कर्ण के रूप में पहचानें। / In a square root spiral, one leg of the new right triangle is the hypotenuse of the previous triangle, while the other leg is 1 unit. By Pythagoras’ theorem, the new hypotenuse represents the next square root. Exam tip: identify the previous hypotenuse as the shared side.
B. पिछले कर्ण पर लंबवत 1 इकाई की नई भुजा खींची जाती है/A new unit-length side is drawn perpendicular to the previous hypotenuse
Explanation
Simple Explanation
वर्गमूल सर्पिल में पिछले त्रिभुज का कर्ण अगली भुजा बनता है और उस पर 1 इकाई का लंब खींचते हैं। पाइथागोरस से \\(\sqrt{n}^2+1^2=n+1\\), इसलिए नया कर्ण \\(\sqrt{n+1}\\) होता है। परीक्षा टिप: ‘लंबवत इकाई भुजा’ याद रखें। / In a square root spiral, the previous hypotenuse becomes one side and a unit segment is drawn perpendicular to it. By Pythagoras, \\(\sqrt{n}^2+1^2=n+1\\), so the new hypotenuse is \\(\sqrt{n+1}\\). Exam tip: remember “perpendicular unit side.”
A. \(\sqrt{3}+1=\sqrt{4}\) मानना/Assuming \(\sqrt{3}+1=\sqrt{4}\)
Explanation
Simple Explanation
नया कर्ण सीधे जोड़ से नहीं बनता। पाइथागोरस में भुजाओं के वर्गों का योग लिया जाता है। / The new hypotenuse is not formed by direct addition. In Pythagoras theorem the squares of sides are added.
नया कर्ण \(\sqrt{n+1}\) हो तो पिछला कर्ण \(\sqrt{n}\) होता है। इसलिए \(\sqrt{31}\) से पहले \(\sqrt{30}\) था। / If the new hypotenuse is \(\sqrt{n+1}\), the previous one is \(\sqrt{n}\). Therefore before \(\sqrt{31}\), it was \(\sqrt{30}\).
B. \(\sqrt{49}\) पूर्ण संख्या और \(\sqrt{50}\) अपरिमेय है/\(\sqrt{49}\) is a whole number and \(\sqrt{50}\) is irrational
Explanation
Simple Explanation
\(49=7^2\), इसलिए \(\sqrt{49}=7\), जो एक पूर्ण संख्या है। लेकिन \(50\) पूर्ण वर्ग नहीं है; यह \(49\) और \(64\) के बीच है, इसलिए \(\sqrt{50}\) पूर्ण संख्या नहीं बल्कि अपरिमेय संख्या है। विकल्प C गलत है क्योंकि केवल \(\sqrt{49}\) पूर्ण संख्या है। परीक्षा टिप: किसी संख्या का वर्गमूल तभी पूर्ण संख्या होता है, जब वह संख्या पूर्ण वर्ग हो। / Since \(49=7^2\), \(\sqrt{49}=7\), which is a whole number. However, \(50\) is not a perfect square; it lies between \(49\) and \(64\), so \(\sqrt{50}\) is not a whole number and is irrational. Option C is incorrect because only \(\sqrt{49}\) is a whole number. Exam tip: A square root is a whole number only when the number is a perfect square.
A. समकोण त्रिभुज बनाने और पाइथागोरस प्रमेय लागू करने के लिए/To form a right-angled triangle and apply Pythagoras’ theorem
Explanation
Simple Explanation
वर्गमूल सर्पिल में प्रत्येक नया त्रिभुज समकोण त्रिभुज बनाया जाता है। 1 इकाई की लंब को पिछले कर्ण पर 90° पर खींचने से पाइथागोरस प्रमेय लगाया जा सकता है और नया कर्ण क्रमशः \(\sqrt{2}, \sqrt{3}, \sqrt{4}\) आदि देता है। केवल 1 इकाई की भुजा लेने से त्रिभुज समबाहु नहीं बनता; समकोण आवश्यक है। परीक्षा टिप: जहाँ क्रमिक वर्गमूल निकालने के लिए कर्ण चाहिए, वहाँ समकोण त्रिभुज और पाइथागोरस प्रमेय याद रखें। / In a square root spiral, each new triangle must be right-angled. Drawing the 1-unit segment at 90° to the previous hypotenuse allows Pythagoras’ theorem to be used, giving successive hypotenuse lengths such as \(\sqrt{2}, \sqrt{3}, \sqrt{4}\), and so on. A 1-unit side alone does not make the triangle equilateral; the right angle is essential. Exam tip: For successive square-root lengths obtained as hypotenuses, look for a right triangle and use Pythagoras’ theorem.
B. हर नए समकोण त्रिभुज में एक भुजा 1 इकाई होती है और दूसरी भुजा पिछले त्रिभुज की कर्ण होती है।/In each new right triangle, one side is 1 unit and the other side is the hypotenuse of the previous triangle.
Explanation
Simple Explanation
पिछली कर्ण \(\sqrt{n-1}\) और नई लंब 1 लेने पर पाइथागोरस से नई कर्ण \(\sqrt{(n-1)+1}=\sqrt n\) होती है। भुजाएँ समानांतर नहीं होतीं। टिप: समकोण पर ध्यान दें। / The previous hypotenuse \(\sqrt{n-1}\) with a unit perpendicular side gives \(\sqrt{(n-1)+1}=\sqrt n\) by Pythagoras. The sides are not parallel. Tip: mark the right angle.
C. पिछले कर्ण के वर्ग में \(1^2\) जुड़ता है/\(1^2\) is added to the square of the previous hypotenuse
Explanation
Simple Explanation
पाइथागोरस प्रमेय से (\(\sqrt{n}\)2+12=n+1) होता है। इसलिए नया कर्ण \(\sqrt{n+1}\) बनता है। / By Pythagoras theorem (\(\sqrt{n}\)2+12=n+1). Therefore the new hypotenuse becomes \(\sqrt{n+1}\).
कर्ण की लंबाई कंपास में लेकर मूल बिंदु से चाप खींचते हैं। इससे संख्या रेखा पर सही स्थान मिलता है। / Taking the hypotenuse length in the compass, an arc is drawn from the origin. This gives the correct point on the number line.
A. हर नए चरण में पिछले कर्ण के सिरे पर 1 इकाई की लंब रेखा खींची जाती है।/At each new step, a perpendicular of length 1 unit is drawn at the end of the previous hypotenuse.
Explanation
Simple Explanation
वर्गमूल सर्पिल में प्रत्येक नया समकोण त्रिभुज पिछले कर्ण और 1 इकाई की नई लंब भुजा से बनता है। पाइथागोरस से नया कर्ण संतुष्ट करता है: \(h^2=a^2+1^2\)। परीक्षा में 1 इकाई वाली लंब भुजा पहचानें। / In a square root spiral, each new right triangle uses the previous hypotenuse and a new perpendicular side of 1 unit. By Pythagoras, the new hypotenuse satisfies \(h^2=a^2+1^2\). Exam tip: identify the added 1-unit perpendicular.
B. \(\sqrt{36}\) पूर्ण संख्या है और \(\sqrt{37}\) अपरिमेय है/\(\sqrt{36}\) is a whole number and \(\sqrt{37}\) is irrational
Explanation
Simple Explanation
\(36=6^2\) है, इसलिए \(\sqrt{36}=6\), जो एक पूर्ण संख्या है। लेकिन \(37\) पूर्ण वर्ग नहीं है; अतः \(\sqrt{37}\) अपरिमेय है। विकल्प D गलत है क्योंकि केवल \(36\) पूर्ण वर्ग है, \(37\) नहीं। परीक्षा टिप: किसी संख्या का वर्गमूल पूर्ण संख्या तभी होता है, जब वह संख्या पूर्ण वर्ग हो। / Since \(36=6^2\), \(\sqrt{36}=6\), which is a whole number. However, \(37\) is not a perfect square, so \(\sqrt{37}\) is irrational. Option D is incorrect because only \(36\), not \(37\), is a perfect square. Exam tip: The square root of a number is a whole number only when the number is a perfect square.
A. पिछले कर्ण पर 1 इकाई की लंबवत भुजा जोड़कर/By adding a unit-length side perpendicular to the previous hypotenuse
Explanation
Simple Explanation
वर्गमूल सर्पिल में पिछले त्रिभुज के कर्ण पर 1 इकाई की लंबवत भुजा बनाई जाती है। पाइथागोरस प्रमेय से नया कर्ण क्रमशः \(\sqrt{2},\sqrt{3},\sqrt{4}\) आदि देता है। परीक्षा में ‘लंबवत 1 इकाई’ नियम याद रखें। / In a square root spiral, a unit-length side is drawn perpendicular to the previous hypotenuse. By Pythagoras’ theorem, the new hypotenuse becomes \(\sqrt{2},\sqrt{3},\sqrt{4}\), and so on. Exam tip: remember “perpendicular unit side.”
A. क्योंकि \(1^2\) की जगह \(2^2\) जुड़ जाएगा/Because \(2^2\) will be added instead of \(1^2\)
Explanation
Simple Explanation
सामान्य सर्पिल में हर बार \(1^2\) जुड़कर अगला वर्गमूल देता है। (2) इकाई लेने पर वृद्धि (4) की होगी। / In the usual spiral \(1^2\) is added each time to give the next square root. Taking (2) units will add (4).
वर्गमूल सर्पिल में प्रत्येक नया कर्ण क्रमशः \(\sqrt{2}, \sqrt{3}, \sqrt{4}\) आदि के रूप में आगे बढ़ता है, अर्थात वर्गमूल के अंदर की संख्या हर चरण में 1 बढ़ती है। इसलिए \(\sqrt{99}\) के बाद अगला कर्ण \(\sqrt{100}\) होगा। \(\sqrt{98}\) पिछला कर्ण है, जबकि \(\sqrt{198}\) इस क्रम का अगला पद नहीं है। परीक्षा टिप: सर्पिल में कर्णों के वर्गों का क्रम लगातार प्राकृतिक संख्याएँ होता है। / In a square root spiral, the successive hypotenuses are \(\sqrt{2}, \sqrt{3}, \sqrt{4}\), and so on; the number under the square root increases by 1 at each step. Therefore, the hypotenuse after \(\sqrt{99}\) is \(\sqrt{100}\). \(\sqrt{98}\) is the previous hypotenuse, while \(\sqrt{198}\) is not the next term in this sequence. Exam tip: the squares of successive spiral hypotenuses are consecutive natural numbers.
A. हर नया त्रिभुज पिछले कर्ण और (1) इकाई लंब से बनता है/Each new triangle is made from the previous hypotenuse and a (1) unit perpendicular
Explanation
Simple Explanation
वर्गमूल सर्पिल समकोण त्रिभुजों की श्रृंखला है। पिछला कर्ण और (1) इकाई लंब नया त्रिभुज बनाते हैं। / A square root spiral is a chain of right triangles. The previous hypotenuse and a (1) unit perpendicular form the new triangle.
A. यह उस नए समकोण त्रिभुज का कर्ण होता है जिसकी अन्य भुजाएँ \(\sqrt{n-1}\) और 1 हैं।/It is the hypotenuse of the new right triangle whose other sides are \(\sqrt{n-1}\) and 1.
Explanation
Simple Explanation
हर नया त्रिभुज पिछले कर्ण \(\sqrt{n-1}\) पर 1 इकाई की लम्बवत भुजा बनाकर बनाया जाता है। पाइथागोरस से \((\sqrt{n-1})^2+1^2=n\), इसलिए कर्ण \(\sqrt{n}\) है। 1 इकाई वाला खंड कर्ण नहीं, एक भुजा है। परीक्षा टिप: सर्पिल में हर नया कर्ण अगला वर्गमूल दर्शाता है। / Each new triangle is formed by drawing a perpendicular side of length 1 on the previous hypotenuse \(\sqrt{n-1}\). By Pythagoras, \((\sqrt{n-1})^2+1^2=n\), so its hypotenuse is \(\sqrt{n}\). The 1-unit segment is a leg, not the hypotenuse. Exam tip: every new hypotenuse represents the next square root.
पिछला कर्ण \(\sqrt{2}\) नई भुजा बनता है और (1) इकाई लंब जोड़ी जाती है। नया कर्ण \(\sqrt{3}\) होता है। / The previous hypotenuse \(\sqrt{2}\) becomes one side and a (1) unit perpendicular is added. The new hypotenuse is \(\sqrt{3}\).
क्योंकि \(5^2=25\) और \(6^2=36\) है तथा \(25<32<36\)। इसलिए \(5<\sqrt{32}<6\), अतः \(\sqrt{32}\) संख्या रेखा पर 5 और 6 के बीच स्थित होगा। 4 और 5 के बीच होने के लिए संख्या 16 और 25 के बीच होनी चाहिए। परीक्षा टिप: किसी वर्गमूल का अंतराल ज्ञात करने के लिए उसके निकटतम पूर्ण वर्गों की तुलना करें। / Since \(5^2=25\) and \(6^2=36\), and \(25<32<36\), we get \(5<\sqrt{32}<6\). Therefore, \(\sqrt{32}\) lies between 5 and 6 on the number line. It cannot lie between 4 and 5, because that interval corresponds to numbers between 16 and 25. Exam tip: compare the number with the nearest perfect squares to locate its square root.
\(\sqrt{47}\) में (1) इकाई लंब जोड़ने पर \(\sqrt{48}\) बनता है। पिछले चरण में संख्या (1) कम होती है। / Adding a (1) unit perpendicular to \(\sqrt{47}\) forms \(\sqrt{48}\). In the previous step the number is (1) less.
A. यह \(\sqrt{7}\) और (1) इकाई लंब से बनता है/It is formed from \(\sqrt{7}\) and a (1) unit perpendicular
Explanation
Simple Explanation
वर्गमूल सर्पिल के सामान्य क्रम में \(\sqrt{7}\) के बाद \(\sqrt{8}\) आता है। नई लंब हमेशा (1) इकाई होती है। / In the usual sequence of the square root spiral, \(\sqrt{8}\) comes after \(\sqrt{7}\). The new perpendicular is always (1) unit.
B. अपरिमेय संख्या, क्योंकि \(20\) पूर्ण वर्ग नहीं है/Irrational number because \(20\) is not a perfect square
Explanation
Simple Explanation
\(20\) पूर्ण वर्ग नहीं है; इसे \(4\times5\) के रूप में लिखने पर \(\sqrt{20}=2\sqrt{5}\) मिलता है। चूँकि \(\sqrt{5}\) अपरिमेय है, इसलिए \(\sqrt{20}\) भी अपरिमेय संख्या है। \(20\) का सम होना इसे शून्य नहीं बनाता। परीक्षा टिप: किसी पूर्णांक का वर्गमूल तभी परिमेय होता है जब वह पूर्ण वर्ग हो। / \(20\) is not a perfect square. Since \(20=4\times5\), \(\sqrt{20}=2\sqrt{5}\). As \(\sqrt{5}\) is irrational, \(\sqrt{20}\) is also irrational. Being even does not make \(20\) or its square root zero. Exam tip: The square root of an integer is rational only when the integer is a perfect square.
A. पिछले त्रिभुज का कर्ण और 1 इकाई की नई भुजा/The previous triangle’s hypotenuse and a new side of length 1 unit
Explanation
Simple Explanation
हर नए त्रिभुज में पिछले त्रिभुज का कर्ण एक भुजा बनता है और उस पर 1 इकाई की लम्ब भुजा जोड़ी जाती है। यदि पुराना कर्ण \(\sqrt{n}\) है, तो नया कर्ण \(\sqrt{n+1}\) होगा। दो 1-इकाई भुजाएँ केवल \(\sqrt{2}\) देती हैं। परीक्षा टिप: स्थिर भुजा हमेशा 1 इकाई पहचानें। / In each new triangle, the previous hypotenuse becomes one leg and a perpendicular unit-length leg is added. If the old hypotenuse is \(\sqrt{n}\), Pythagoras gives the new one as \(\sqrt{n+1}\). Two unit legs produce only \(\sqrt{2}\). Exam tip: identify the fixed unit leg first.
वर्गमूल सर्पिल बनाते समय एक विद्यार्थी नई 1 इकाई की भुजा को पिछले कर्ण के बजाय पिछले 1 इकाई वाले रेखाखंड पर लंबवत खींचता है। उसकी विधि में मुख्य त्रुटि क्या है?
A. नई भुजा पिछले कर्ण पर लंबवत होनी चाहिए, तभी अगला कर्ण क्रमिक वर्गमूल दर्शाता है।/The new side must be perpendicular to the previous hypotenuse so that the next hypotenuse represents the successive square root.
Explanation
Simple Explanation
सर्पिल में पिछले कर्ण की लंबाई \(\sqrt{n}\) होती है और उसके साथ 1 इकाई की लंबवत भुजा लेने पर नया कर्ण \(\sqrt{n+1}\) बनता है, क्योंकि \((\sqrt{n})^2+1^2=n+1\)। परीक्षा में लंबवतता को पिछले कर्ण से जाँचें। / In the spiral, the previous hypotenuse is \(\sqrt{n}\). A perpendicular unit side gives the next hypotenuse \(\sqrt{n+1}\), since \((\sqrt{n})^2+1^2=n+1\). Exam tip: check that each new unit segment is perpendicular to the previous hypotenuse.
वर्गमूल सर्पिल में \(\sqrt{5}\) वाली भुजा के सिरे पर 1 इकाई की लंबवत भुजा जोड़ने के बाद एक विद्यार्थी नई कर्ण को \(\sqrt{10}\) कहता है। उसका सही सुधार क्या है?
नई कर्ण \(\sqrt{6}\) होगी, क्योंकि समकोण त्रिभुज में \(h^2=(\sqrt{5})^2+1^2=5+1=6\)। \(\sqrt{10}\) लंबाइयों को सीधे जोड़ने से नहीं मिलता। परीक्षा में पायथागोरस प्रमेय लगाएँ। / The new hypotenuse is \(\sqrt{6}\), since \(h^2=(\sqrt{5})^2+1^2=5+1=6\). It is not \(\sqrt{10}\), as the lengths are not added directly. Exam tip: apply Pythagoras’ theorem at every new step.
पाइथागोरस प्रमेय से भुजाओं के वर्ग जुड़ते हैं। इसलिए नया कर्ण \(\sqrt{3}\) बनता है। / By Pythagoras theorem, the squares of the sides are added. Therefore the new hypotenuse becomes \(\sqrt{3}\).
A. 1 इकाई लंबी लम्ब भुजा/A perpendicular side of length 1 unit
Explanation
Simple Explanation
वर्गमूल सर्पिल में पिछले कर्ण के एक सिरे पर 1 इकाई की लम्ब भुजा खींची जाती है। पाइथागोरस से नया कर्ण क्रमशः \(\sqrt{n+1}\) बनता है। परीक्षा टिप: जोड़ी गई भुजा हमेशा 1 इकाई पहचानें। / In a square root spiral, a perpendicular side of length 1 unit is drawn from an end of the previous hypotenuse. By Pythagoras, the new hypotenuse becomes \(\sqrt{n+1}\). Exam tip: the added side is always 1 unit.
\(25<27<36\), अर्थात \(5^2<27<6^2\)। वर्गमूल लेने पर \(5<\sqrt{27}<6\) मिलता है, इसलिए इसे संख्या रेखा पर \(5\) और \(6\) के बीच रखा जाएगा। \(4\) और \(5\) वाला अंतराल गलत है क्योंकि \(\sqrt{25}=5\) और \(27\), \(25\) से बड़ा है। परीक्षा टिप: किसी \(\sqrt{n}\) का अंतराल जानने के लिए \(n\) के निकटतम पूर्ण वर्गों की तुलना करें। / Since \(25<27<36\), we have \(5^2<27<6^2\). Taking square roots gives \(5<\sqrt{27}<6\), so it must be placed between \(5\) and \(6\) on the number line. The interval \(4\) and \(5\) is incorrect because \(\sqrt{25}=5\) and \(27\) is greater than \(25\). Exam tip: To locate \(\sqrt{n}\), compare \(n\) with the nearest perfect squares.
D. जब कर्ण \(\sqrt{38}\) हो/When the hypotenuse is \(\sqrt{38}\)
Explanation
Simple Explanation
\(16=4^2\), \(25=5^2\) और \(36=6^2\) पूर्ण वर्ग हैं, इसलिए इनके वर्गमूल पूर्ण संख्याएँ हैं। लेकिन \(38\) पूर्ण वर्ग नहीं है; यह \(36\) और \(49\) के बीच है। अतः \(\sqrt{38}\) पूर्ण संख्या नहीं होगा। परीक्षा टिप: किसी संख्या का वर्गमूल पूर्ण संख्या तभी होता है, जब वह संख्या पूर्ण वर्ग हो। / \(16=4^2\), \(25=5^2\), and \(36=6^2\) are perfect squares, so their square roots are whole numbers. However, \(38\) is not a perfect square; it lies between \(36\) and \(49\). Therefore, \(\sqrt{38}\) is not a whole number. Exam tip: A square root is a whole number only when the number is a perfect square.
वर्गमूल सर्पिल बनाते समय एक विद्यार्थी ने \(\sqrt{7}\) वाले कर्ण पर 1 इकाई का लंब खींचा। उसका कहना है कि नया कर्ण \(\sqrt{8}\) नहीं, बल्कि \(\sqrt{6}\) होगा। विद्यार्थी के कथन का सही मूल्यांकन क्या है?
B. कथन गलत है, क्योंकि नए कर्ण का वर्ग \(7+1=8\) होगा; अतः नया कर्ण \(\sqrt{8}\) है।/The claim is incorrect because the square of the new hypotenuse is \(7+1=8\); therefore, the new hypotenuse is \(\sqrt{8}\).
Explanation
Simple Explanation
कथन गलत है। नए समकोण त्रिभुज में एक भुजा \(\sqrt{7}\) और दूसरी 1 है, इसलिए पाइथागोरस से कर्ण² = \(7+1=8\), अर्थात कर्ण \(\sqrt{8}\) है। परीक्षा टिप: कर्णों को सीधे जोड़ने के बजाय उनके वर्ग जोड़ें। / The claim is incorrect. The new right triangle has legs \(\sqrt{7}\) and 1, so by Pythagoras, hypotenuse² = \(7+1=8\); hence it is \(\sqrt{8}\). Exam tip: add the squares of perpendicular sides, not the hypotenuse lengths.
\(\sqrt{120}\) में (1) इकाई लंब जोड़ने पर \(\sqrt{121}\) बनता है। यह क्रमिक निर्माण का नियम है। / Adding a (1) unit perpendicular to \(\sqrt{120}\) forms \(\sqrt{121}\). This is the rule of stepwise construction.
A. क्योंकि \(1^2<2,3<2^2\)/Because \(1^2<2,3<2^2\)
Explanation
Simple Explanation
(2) और (3) दोनों (1) और (4) के बीच हैं। इसलिए उनके वर्गमूल (1) और (2) के बीच आते हैं। / Both (2) and (3) are between (1) and (4). Therefore their square roots lie between (1) and (2).
A. कथन गलत है; हर चरण में कर्ण के वर्ग में 1 की वृद्धि होती है, कर्ण की लंबाई में नहीं।/The statement is false; at each step, the square of the hypotenuse increases by 1, not the hypotenuse length.
Explanation
Simple Explanation
वर्गमूल सर्पिल में क्रमिक कर्णों की लंबाइयाँ √n और √(n+1) होती हैं। इनके वर्गों का अंतर 1 है, लंबाइयों का नहीं; जैसे √5 − 2 लगभग 0.24 है। परीक्षा में कर्णों की तुलना के लिए उनके वर्गों की तुलना करें। / In a square root spiral, consecutive hypotenuses have lengths √n and √(n+1). Their squares differ by 1, not their lengths; for example, √5 − 2 is about 0.24. Exam tip: compare squares when checking successive hypotenuses.
पहले चरण में (1) और (1) इकाई भुजाएँ होती हैं। कर्ण \(\sqrt{2}\) पाइथागोरस से मिलता है। / In the first step the sides are (1) and (1) units. The hypotenuse \(\sqrt{2}\) is obtained by Pythagoras theorem.
A. \(\sqrt{74}\) पर (1) इकाई लंब बनानी होगी/Draw a (1) unit perpendicular on \(\sqrt{74}\)
Explanation
Simple Explanation
\(\sqrt{74}\) और (1) इकाई लंब से \(\sqrt{75}\) बनता है। पिछला कर्ण हमेशा एक कम संख्या वाला होता है। / \(\sqrt{75}\) is formed from \(\sqrt{74}\) and a (1) unit perpendicular. The previous hypotenuse always has one less number.
वर्गमूल सर्पिल में प्रत्येक नया समकोण त्रिभुज 1 इकाई भुजा जोड़कर बनाया जाता है। पाइथागोरस प्रमेय से क्रमिक कर्ण \(\sqrt{2}, \sqrt{3}, \ldots, \sqrt{n}\) होते हैं; इसलिए संबंधित बिंदु की मूलबिंदु से दूरी \(\sqrt{n}\) होती है। परीक्षा में कर्ण को ही दूरी मानें। / A square root spiral is formed by adding a unit perpendicular side to each right triangle. By Pythagoras’ theorem, successive hypotenuses are \(\sqrt{2}, \sqrt{3}, \ldots, \sqrt{n}\); hence the point is \(\sqrt{n}\) units from the origin. Exam tip: identify the hypotenuse as the radius.
A. \(\sqrt{64}=8\) और नया कर्ण \(\sqrt{65}\) है/\(\sqrt{64}=8\) and the new hypotenuse is \(\sqrt{65}\)
Explanation
Simple Explanation
\(\sqrt{64}=8\) पूर्ण संख्या है। (1) इकाई लंब जोड़ने पर अगला कर्ण \(\sqrt{65}\) बनता है। / \(\sqrt{64}=8\) is a whole number. Adding a (1) unit perpendicular forms the next hypotenuse \(\sqrt{65}\).
A. \(\sqrt{n}\) वाले कर्ण की लंबाई/The length of the hypotenuse \(\sqrt{n}\)
Explanation
Simple Explanation
जिस वर्गमूल को अंकित करना है, उसी कर्ण की लंबाई कंपास में ली जाती है। फिर मूल बिंदु से चाप खींचते हैं। / The hypotenuse length of the required square root is taken in the compass. Then an arc is drawn from the origin.
A. \(\sqrt{46}\), \(6\) और \(7\) के बीच/\(\sqrt{46}\), between \(6\) and \(7\)
Explanation
Simple Explanation
वर्गमूल सर्पिल में प्रत्येक अगला कर्ण क्रमशः \(\sqrt{1}, \sqrt{2}, \sqrt{3}\) आदि होता है। इसलिए \(\sqrt{45}\) के बाद \(\sqrt{46}\) आता है। चूँकि \(6^2=36\) और \(7^2=49\) तथा \(36<46<49\), इसलिए \(\sqrt{46}\), \(6\) और \(7\) के बीच है। \(\sqrt{47}\) भी इसी अंतराल में है, पर वह अगला कर्ण नहीं है। परीक्षा टिप: किसी वर्गमूल का अंतराल ज्ञात करने के लिए उसके निकटवर्ती पूर्ण वर्गों की तुलना करें। / In a square root spiral, successive hypotenuses are \(\sqrt{1}, \sqrt{2}, \sqrt{3}\), and so on. Therefore, the hypotenuse after \(\sqrt{45}\) is \(\sqrt{46}\). Since \(6^2=36\), \(7^2=49\), and \(36<46<49\), \(\sqrt{46}\) lies between \(6\) and \(7\). Although \(\sqrt{47}\) also lies in this interval, it is not the immediate next hypotenuse. Exam tip: compare the number under the root with consecutive perfect squares to find its interval.
A. कंपास, कर्ण की लंबाई संख्या रेखा पर स्थानांतरित करने के लिए/Compass, to transfer hypotenuse length to the number line
Explanation
Simple Explanation
कंपास से कर्ण की लंबाई लेकर संख्या रेखा पर चाप लगाया जाता है। यही लंबाई स्थानांतरित करने का सही तरीका है। / A compass is used to take the hypotenuse length and draw an arc on the number line. This is the correct way to transfer the length.
A. पिछले कर्ण के अंतिम बिंदु पर 1 इकाई का लंबवत रेखाखंड खींचना
Explanation
Simple Explanation
हर चरण में पिछले कर्ण के अंतिम बिंदु पर 1 इकाई का लंबवत रेखाखंड खींचा जाता है, इसलिए नया त्रिभुज समकोण होता है। यदि पुराना कर्ण \(\sqrt{n}\) है, तो नया कर्ण \(\sqrt{n+1}\) होगा। परीक्षा में ‘लंबवत’ शब्द पहचानें। / At each step, a unit segment is drawn perpendicular to the previous hypotenuse, making a new right triangle. If the old hypotenuse is \(\sqrt{n}\), Pythagoras gives the next one as \(\sqrt{n+1}\). Exam tip: look for “perpendicular.”
A. दोनों में समकोण त्रिभुज बनाया जाता है और कर्ण ज्ञात करने के लिए पाइथागोरस प्रमेय लगाया जाता है/In both, a right-angled triangle is constructed and Pythagoras’ theorem is used to find the hypotenuse.
Explanation
Simple Explanation
वर्गमूल सर्पिल में \(\sqrt{2}\) के लिए 1 इकाई और 1 इकाई भुजाओं वाला समकोण त्रिभुज बनता है, जिसका कर्ण \(\sqrt{2}\) होता है। फिर \(\sqrt{3}\) के लिए \(\sqrt{2}\) को एक भुजा तथा 1 इकाई की लंबवत भुजा लेकर समकोण त्रिभुज बनाया जाता है; उसका कर्ण \(\sqrt{3}\) होता है। इसलिए दोनों में पाइथागोरस प्रमेय से कर्ण निकाला जाता है। विकल्प B केवल \(\sqrt{2}\) के लिए सही है, \(\sqrt{3}\) के लिए नहीं। परीक्षा टिप: सर्पिल के हर नए चरण में पिछला कर्ण और 1 इकाई की लंबवत भुजा प्रयुक्त होती है। / In a square root spiral, \(\sqrt{2}\) is the hypotenuse of a right-angled triangle with two sides of 1 unit. To construct \(\sqrt{3}\), a right-angled triangle is formed using \(\sqrt{2}\) as one side and a perpendicular side of 1 unit; its hypotenuse is \(\sqrt{3}\). Thus, both constructions use Pythagoras’ theorem to obtain the hypotenuse. Option B applies only to \(\sqrt{2}\), not to \(\sqrt{3}\). Exam tip: each new step of the spiral uses the previous hypotenuse and a perpendicular side of 1 unit.
\(\sqrt{15}\) के बाद \(\sqrt{16}\) बनता है और \(\sqrt{16}=4\) है। इसलिए अगला कर्ण पूर्ण संख्या (4) है। / After \(\sqrt{15}\), \(\sqrt{16}\) is formed and \(\sqrt{16}=4\). Therefore the next hypotenuse is the whole number (4).
A. \(\sqrt{6}\) के सिरे पर (1) इकाई लंब बनाकर नया कर्ण लेना/Draw a (1) unit perpendicular at the end of \(\sqrt{6}\) and take the new hypotenuse
Explanation
Simple Explanation
\(\sqrt{6}\) और (1) इकाई लंब से नया कर्ण \(\sqrt{7}\) बनता है। यही क्रमिक नियम है। / From \(\sqrt{6}\) and a (1) unit perpendicular, the new hypotenuse \(\sqrt{7}\) is formed. This is the step rule.
A. सभी कर्ण पूर्ण संख्याएँ होते हैं, क्योंकि हर कर्ण वर्गमूल है/All hypotenuses are whole numbers because every hypotenuse is a square root
Explanation
Simple Explanation
\(\sqrt{2}\) और \(\sqrt{3}\) पूर्ण संख्याएँ नहीं हैं। इसलिए सभी कर्ण पूर्ण संख्याएँ नहीं हो सकते। / \(\sqrt{2}\) and \(\sqrt{3}\) are not whole numbers. Therefore all hypotenuses cannot be whole numbers.
A. \(\sqrt{2}\) कर्ण की लंबाई कंपास में लेकर मूल बिंदु से चाप खींचना/Take the \(\sqrt{2}\) hypotenuse length in a compass and draw an arc from the origin
Explanation
Simple Explanation
कंपास में वही कर्ण लंबाई लेनी चाहिए जिसे अंकित करना है। मूल बिंदु से चाप खींचने पर सही बिंदु मिलता है। / The same hypotenuse length must be taken in the compass. Drawing an arc from the origin gives the correct point.
A. सही रूप (\sqrt{\(\sqrt{n}\)2+12}=\sqrt{n+1}) है/The correct form is (\sqrt{\(\sqrt{n}\)2+12}=\sqrt{n+1})
Explanation
Simple Explanation
वर्गमूल सर्पिल में कर्ण पाइथागोरस से बनता है। सीधे लंबाइयों को जोड़ना गलत है। / In a square root spiral, the hypotenuse is formed by Pythagoras theorem. Directly adding lengths is wrong.
A. समकोण त्रिभुजों से वर्गमूल लंबाई बनाकर उसे कंपास से संख्या रेखा पर स्थानांतरित करना/Construct the square root length using right triangles and transfer it to the number line with a compass
Explanation
Simple Explanation
पहले सटीक वर्गमूल लंबाई बनाई जाती है। फिर कंपास से उसी लंबाई को संख्या रेखा पर अंकित किया जाता है। / First the exact square root length is constructed. Then the same length is marked on the number line using a compass.
