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\(12=4\times3\) और \(27=9\times3\) होने से \(\sqrt{12}=2\sqrt{3}\) तथा \(\sqrt{27}=3\sqrt{3}\) होगा। अतः \(x=2\sqrt{3}+3\sqrt{3}=5\sqrt{3}\)। \(3\sqrt{3}\) केवल \(\sqrt{27}\) का मान है, दोनों पदों का योग नहीं। परीक्षा टिप: वर्गमूल के भीतर पूर्ण वर्ग गुणनखंड निकालकर समान मूल वाले पदों को जोड़ें। / Since \(12=4\times3\) and \(27=9\times3\), \(\sqrt{12}=2\sqrt{3}\) and \(\sqrt{27}=3\sqrt{3}\). Therefore, \(x=2\sqrt{3}+3\sqrt{3}=5\sqrt{3}\). The expression \(3\sqrt{3}\) is only the value of \(\sqrt{27}\), not the sum of both terms. Exam tip: extract perfect-square factors from surds before combining like surds.
\(\sqrt{18}=\sqrt{9\times2}=3\sqrt{2}\) और \(\sqrt{8}=\sqrt{4\times2}=2\sqrt{2}\)। इसलिए \(a=3\sqrt{2}-2\sqrt{2}=\sqrt{2}\), अतः विकल्प A सही है। \(2\sqrt{2}\) केवल \(\sqrt{8}\) का सरल रूप है, अंतर का नहीं। परीक्षा टिप: वर्गमूलों को घटाने से पहले उन्हें समान मूलांक वाले सरल रूप में लिखें। / \(\sqrt{18}=\sqrt{9\times2}=3\sqrt{2}\) and \(\sqrt{8}=\sqrt{4\times2}=2\sqrt{2}\). Hence, \(a=3\sqrt{2}-2\sqrt{2}=\sqrt{2}\), so option A is correct. \(2\sqrt{2}\) is only the simplified form of \(\sqrt{8}\), not of the difference. Exam tip: simplify surds to forms with the same radicand before subtracting them.
\(\frac{7}{12}\) के हर का अभाज्य गुणनखंडन \(12=2^2\times3\) है। सरल रूप में किसी भिन्न के हर में 2 और 5 के अतिरिक्त कोई अन्य अभाज्य गुणनखंड हो, तो उसका दशमलव प्रसार असमाप्य आवर्ती होता है। अतः \(\frac{7}{12}=0.58\overline{3}\) है। इसके विपरीत, \(16\), \(40\) और \(125\) में केवल 2 और/या 5 गुणनखंड हैं, इसलिए उनके दशमलव प्रसार सांत हैं। परीक्षा टिप: पहले भिन्न को सरलतम रूप में लिखकर हर के अभाज्य गुणनखंड जाँचें। / For \(\frac{7}{12}\), the denominator has prime factorisation \(12=2^2\times3\). In lowest form, a fraction has a non-terminating recurring decimal when its denominator contains a prime factor other than 2 or 5. Hence, \(\frac{7}{12}=0.58\overline{3}\). In contrast, 16, 40, and 125 have only 2 and/or 5 as prime factors, so their decimal expansions terminate. Exam tip: first reduce the fraction, then check the prime factors of its denominator.
\(48=16\times3\) और \(75=25\times3\) हैं। इसलिए \(\sqrt{48}=4\sqrt{3}\) तथा \(\sqrt{75}=5\sqrt{3}\)। अतः \(\sqrt{48}+\sqrt{75}=4\sqrt{3}+5\sqrt{3}=9\sqrt{3}\)। \(8\sqrt{3}\) जैसा निकट विकल्प तब आ सकता है जब किसी एक वर्गमूल का सरलीकरण गलत किया जाए। परीक्षा में पहले प्रत्येक करणी को सरल करें, फिर समान करणी वाले पदों को जोड़ें। / Since \(48=16\times3\) and \(75=25\times3\), \(\sqrt{48}=4\sqrt{3}\) and \(\sqrt{75}=5\sqrt{3}\). Therefore, \(\sqrt{48}+\sqrt{75}=4\sqrt{3}+5\sqrt{3}=9\sqrt{3}\). A close option such as \(8\sqrt{3}\) may result from simplifying one radical incorrectly. Exam tip: simplify each surd first, then add like surds.
धनात्मक संख्याओं के लिए \(\sqrt{a}\times\sqrt{b}=\sqrt{ab}\) होता है। इसलिए \(x=\sqrt{2}\times\sqrt{50}=\sqrt{100}=10\)। अतः सही विकल्प B है। परीक्षा में वर्गमूलों को पहले एक ही वर्गमूल के भीतर गुणा करके पूर्ण वर्ग पहचानें। / For positive numbers, \(\sqrt{a}\times\sqrt{b}=\sqrt{ab}\). Therefore, \(x=\sqrt{2}\times\sqrt{50}=\sqrt{100}=10\). Hence, option B is correct. Exam tip: multiply the numbers inside the square roots first and then look for a perfect square.
\(\sqrt{20}=\sqrt{4\times5}=2\sqrt{5}\) है। इसलिए \(a+b=\sqrt{5}+2\sqrt{5}=3\sqrt{5}\), अतः विकल्प A सही है। \(4\sqrt{5}\) तब मिलता यदि \(\sqrt{20}\) को गलती से \(3\sqrt{5}\) माना जाए। परीक्षा टिप: पहले वर्गमूल के भीतर पूर्ण वर्ग गुणनखंड निकालकर करणी को सरल करें। / \(\sqrt{20}=\sqrt{4\times5}=2\sqrt{5}\). Therefore, \(a+b=\sqrt{5}+2\sqrt{5}=3\sqrt{5}\), so option A is correct. \(4\sqrt{5}\) would result from incorrectly simplifying \(\sqrt{20}\) as \(3\sqrt{5}\). Exam tip: simplify each surd by taking out perfect-square factors before adding like surds.
धनात्मक संख्याओं के लिए \(\sqrt{a}\times\sqrt{b}=\sqrt{ab}\) होता है। इसलिए \(\sqrt{7}\times\sqrt{63}=\sqrt{7\times63}=\sqrt{441}=21\)। अतः सही विकल्प 21 है। 22 निकट का विकल्प है, लेकिन \(22^2=484\) होता है, 441 नहीं। परीक्षा टिप: वर्गमूलों का गुणन करने से पहले मूलांकों को एक ही वर्गमूल के भीतर गुणा करें। / For positive numbers, \(\sqrt{a}\times\sqrt{b}=\sqrt{ab}\). Hence, \(\sqrt{7}\times\sqrt{63}=\sqrt{7\times63}=\sqrt{441}=21\). Therefore, 21 is the correct option. Although 22 is close, \(22^2=484\), not 441. Exam tip: When multiplying square roots, first combine the radicands under one square root.
A. \(n\) एक प्राकृतिक संख्या है, जो पूर्ण वर्ग नहीं है/\(n\) is a natural number that is not a perfect square
Explanation
Simple Explanation
यदि \(n\) प्राकृतिक संख्या है और पूर्ण वर्ग नहीं है, तो \(\sqrt{n}\) को दो पूर्णांकों के अनुपात के रूप में नहीं लिखा जा सकता; इसलिए वह अपरिमेय होता है। केवल \(n\) का पूर्णांक होना पर्याप्त नहीं है, क्योंकि \(n=4\) के लिए \(\sqrt{4}=2\), जो परिमेय है। परीक्षा टिप: किसी प्राकृतिक संख्या का वर्गमूल परिमेय तभी होता है जब वह संख्या पूर्ण वर्ग हो। / When \(n\) is a natural number that is not a perfect square, \(\sqrt{n}\) cannot be expressed as a ratio of two integers, so it is irrational. Merely being an integer is not enough: for example, if \(n=4\), then \(\sqrt{4}=2\), which is rational. Exam tip: The square root of a natural number is rational only when the number is a perfect square.
\(\sqrt{98}=\sqrt{49\times2}=7\sqrt{2}\) और \(\sqrt{32}=\sqrt{16\times2}=4\sqrt{2}\)। इसलिए \(\sqrt{98}-\sqrt{32}=7\sqrt{2}-4\sqrt{2}=3\sqrt{2}\)। \(2\sqrt{2}\) जैसा विकल्प गुणांकों को गलत घटाने पर मिल सकता है। परीक्षा टिप: वर्गमूलों को घटाने से पहले उनके भीतर से पूर्ण वर्ग गुणनखंड अलग करें। / \(\sqrt{98}=\sqrt{49\times2}=7\sqrt{2}\) and \(\sqrt{32}=\sqrt{16\times2}=4\sqrt{2}\). Hence, \(\sqrt{98}-\sqrt{32}=7\sqrt{2}-4\sqrt{2}=3\sqrt{2}\). A choice such as \(2\sqrt{2}\) can result from subtracting the coefficients incorrectly. Exam tip: before subtracting surds, first extract perfect-square factors from each radicand.
चूँकि \(49<50<64\), इसलिए \(\sqrt{49}<\sqrt{50}<\sqrt{64}\), अर्थात \(7<\sqrt{50}<8\)। \(\sqrt{50}\approx 7.07\) है, जो 8 की अपेक्षा 7 के अधिक निकट है। इसलिए सही उत्तर 7 है। परीक्षा टिप: किसी वर्गमूल का अनुमान लगाने के लिए उसके निकटतम पूर्ण वर्गों की तुलना करें। / Since \(49<50<64\), we get \(\sqrt{49}<\sqrt{50}<\sqrt{64}\), so \(7<\sqrt{50}<8\). Also, \(\sqrt{50}\approx 7.07\), which is much closer to 7 than to 8. Therefore, 7 is correct. Exam tip: Compare with nearby perfect squares to estimate a square root quickly.
\(54=9\times6\) लिखें, जहाँ \(9\) एक पूर्ण वर्ग है। इसलिए \(\sqrt{54}=\sqrt{9\times6}=\sqrt9\times\sqrt6=3\sqrt6\)। \(2\sqrt6\) लेने पर उसका वर्ग \(24\) होगा, 54 नहीं। परीक्षा टिप: वर्गमूल को सरल करने के लिए संख्या में सबसे बड़ा पूर्ण-वर्ग गुणनखंड पहचानें। / Write \(54=9\times6\), where \(9\) is a perfect square. Hence, \(\sqrt{54}=\sqrt{9\times6}=\sqrt9\times\sqrt6=3\sqrt6\). For example, \(2\sqrt6\) is incorrect because its square is \(24\), not 54. Exam tip: To simplify a square root, identify the greatest perfect-square factor of the number.
\(\sqrt{12}=2\sqrt{3}\) होता है। इसलिए \(ab=\sqrt{3}\times2\sqrt{3}=2\times3=6\)। विकल्प \(2\sqrt{3}\) केवल \(b\) का सरल रूप है, \(ab\) का मान नहीं। परीक्षा टिप: वर्गमूलों का गुणन करते समय \(\sqrt{x}\cdot\sqrt{y}=\sqrt{xy}\) का उपयोग करें, या पहले प्रत्येक वर्गमूल को सरल करें। / Since \(\sqrt{12}=2\sqrt{3}\), we get \(ab=\sqrt{3}\times2\sqrt{3}=2\times3=6\). The option \(2\sqrt{3}\) is only the simplified value of \(b\), not of \(ab\). Exam tip: While multiplying surds, use \(\sqrt{x}\cdot\sqrt{y}=\sqrt{xy}\), or simplify each surd first.
\(\sqrt{169}=13\) और \(\sqrt{25}=5\) हैं। इसलिए \(x=13+5=18\)। विकल्प 17 तब मिल सकता है जब किसी वर्गमूल का मान गलत निकाला जाए। परीक्षा टिप: पूर्ण वर्गों, जैसे 169 और 25, के वर्गमूल पहले अलग-अलग निकालें, फिर जोड़ करें। / \(\sqrt{169}=13\) and \(\sqrt{25}=5\). Therefore, \(x=13+5=18\). The value 17 may result from evaluating one of the square roots incorrectly. Exam tip: first find each square root of a perfect square, then add the results.
\(\frac{11}{50}=0.22\), इसलिए इसका दशमलव प्रसार समाप्य है। किसी परिमेय संख्या \(\frac{p}{q}\) का दशमलव प्रसार तभी समाप्य होता है जब सरलतम रूप में \(q\) के अभाज्य गुणनखंड केवल 2 और/या 5 हों। यहाँ \(50=2\times5^2\) है। इसके विपरीत, \(24\), \(18\) और \(27\) में क्रमशः 3 या 3 के गुणनखंड हैं, इसलिए उनके दशमलव प्रसार असमाप्य आवर्ती होंगे। परीक्षा टिप: भिन्न को सरलतम रूप में करके हर के अभाज्य गुणनखंड जाँचें। / \(\frac{11}{50}=0.22\), so its decimal expansion terminates. A rational number \(\frac{p}{q}\) has a terminating decimal expansion only when, in lowest terms, the prime factors of \(q\) are only 2 and/or 5. Here, \(50=2\times5^2\). In contrast, \(24\), \(18\), and \(27\) contain 3 as a prime factor, so their decimal expansions are non-terminating recurring. Exam tip: First reduce the fraction, then check the prime factors of its denominator.
यदि p=0 हो, तो pq=0 होगा, जो परिमेय है। लेकिन यदि p कोई शून्येतर परिमेय संख्या हो, जैसे p=2 और q=\(\sqrt{2}\), तो pq=\(2\sqrt{2}\) अपरिमेय होगा। इसलिए गुणनफल परिमेय या अपरिमेय दोनों हो सकता है। विकल्प ‘हमेशा अपरिमेय’ केवल p के शून्येतर होने पर सही होता है। परीक्षा टिप: ऐसे प्रश्नों में p=0 का विशेष मामला अवश्य जाँचें। / If p=0, then pq=0, which is rational. However, if p is a non-zero rational number, for example p=2 and q=\(\sqrt{2}\), then pq=\(2\sqrt{2}\), which is irrational. Hence, the product can be either rational or irrational. “Always irrational” is true only when p is non-zero. Exam tip: Always check the special case p=0 in such questions.
\(320=64\times 5\) और \(64\) सबसे बड़ा पूर्ण वर्ग गुणनखंड है। इसलिए \(\sqrt{320}=\sqrt{64\times5}=\sqrt{64}\sqrt{5}=8\sqrt{5}\)। विकल्प A में \(\sqrt{20}\) को आगे सरल किया जा सकता है, इसलिए वह सरलतम रूप नहीं है। परीक्षा टिप: वर्गमूल को सरल करने के लिए संख्या में सबसे बड़ा पूर्ण वर्ग गुणनखंड खोजें। / \(320=64\times 5\), and \(64\) is the greatest perfect-square factor. Therefore, \(\sqrt{320}=\sqrt{64\times5}=\sqrt{64}\sqrt{5}=8\sqrt{5}\). In option A, \(\sqrt{20}\) can be simplified further, so it is not in simplest form. Exam tip: To simplify a square root, identify the greatest perfect-square factor of the number.
\(\sqrt{144}=12\) और \(\sqrt{196}=14\) हैं। इसलिए \(x=12+14=26\) होगा। विकल्प 24 केवल \(\sqrt{144}\) और \(\sqrt{196}\) के मानों में गलती करने पर मिल सकता है। परीक्षा टिप: पूर्ण वर्गों के वर्गमूल, जैसे \(144=12^2\) और \(196=14^2\), पहचानकर सीधे जोड़ें। / \(\sqrt{144}=12\) and \(\sqrt{196}=14\). Therefore, \(x=12+14=26\). Option 24 may result from incorrectly evaluating one of the square roots. Exam tip: recognise perfect squares such as \(144=12^2\) and \(196=14^2\) before adding their square roots.
क्योंकि \(20<25<30\) और \(25=5^2\), इसलिए \(\sqrt{20}<\sqrt{25}=5<\sqrt{30}\)। अतः 5 दोनों संख्याओं के बीच है। 4 के लिए \(4^2=16\), जो 20 से कम है, जबकि 6 का वर्ग 36 है, जो 30 से अधिक है। परीक्षा टिप: वर्गमूलों के बीच पूर्ण संख्या जाँचने के लिए उस संख्या का वर्ग लें। / Since \(20<25<30\) and \(25=5^2\), we get \(\sqrt{20}<\sqrt{25}=5<\sqrt{30}\). Therefore, 5 lies between the two numbers. For comparison, \(4^2=16\), which is less than 20, while \(6^2=36\), which is greater than 30. Exam tip: To test an integer between square roots, compare its square with the numbers inside the roots.
\(147=49\times3\) और \(75=25\times3\) हैं। इसलिए \(\sqrt{147}=7\sqrt{3}\) तथा \(\sqrt{75}=5\sqrt{3}\)। अतः \(7\sqrt{3}+5\sqrt{3}=12\sqrt{3}\), इसलिए सही उत्तर \(12\sqrt{3}\) है। \(11\sqrt{3}\) जैसा विकल्प समान मूलकों के गुणांकों को सही ढंग से न जोड़ने पर मिल सकता है। परीक्षा टिप: पहले संख्या के भीतर पूर्ण वर्ग गुणनखंड पहचानें, फिर समान मूलक पदों के गुणांक जोड़ें। / Since \(147=49\times3\) and \(75=25\times3\), \(\sqrt{147}=7\sqrt{3}\) and \(\sqrt{75}=5\sqrt{3}\). Therefore, \(7\sqrt{3}+5\sqrt{3}=12\sqrt{3}\), so the correct answer is \(12\sqrt{3}\). A choice such as \(11\sqrt{3}\) may result from adding the coefficients incorrectly. Exam tip: first extract perfect-square factors, then add the coefficients of like surds.
\(\sqrt{256}=16\) और \(\sqrt{16}=4\)। इसलिए \(x=16\div4=4\), अतः सही विकल्प B है। \(8\) तब मिलता यदि भाजक \(2\) होता, लेकिन यहाँ \(\sqrt{16}=4\) है। परीक्षा टिप: वर्गमूल निकालने के बाद ही भाग कीजिए। / \(\sqrt{256}=16\) and \(\sqrt{16}=4\). Therefore, \(x=16\div4=4\), so option B is correct. \(8\) would result if the divisor were \(2\), but here \(\sqrt{16}=4\). Exam tip: evaluate each square root before dividing.
\(432=144\times 3=12^2\times 3\) है। इसलिए \(\sqrt{432}=\sqrt{12^2\times 3}=12\sqrt{3}\)। अतः सही विकल्प A है। \(13\sqrt{3}\) लेने पर उसका वर्ग \(507\) होगा, जो \(432\) नहीं है। परीक्षा टिप: वर्गमूल को सरल करने के लिए संख्या में सबसे बड़ा पूर्ण वर्ग गुणनखंड पहचानें। / Since \(432=144\times 3=12^2\times 3\), \(\sqrt{432}=\sqrt{12^2\times 3}=12\sqrt{3}\). Therefore, option A is correct. For example, \(13\sqrt{3}\) is incorrect because its square is \(507\), not \(432\). Exam tip: To simplify a square root, first identify the greatest perfect-square factor of the number.
\(\sqrt{8}=\sqrt{4\times2}=2\sqrt{2}\) और \(\sqrt{18}=\sqrt{9\times2}=3\sqrt{2}\)। अतः \(a+b=2\sqrt{2}+3\sqrt{2}=5\sqrt{2}\)। \(4\sqrt{2}\) केवल तब मिलता यदि दूसरे पद को गलत तरीके से सरल किया जाए। परीक्षा टिप: वर्गमूल के अंदर पूर्ण वर्ग गुणनखंड निकालकर समान मूल वाले पदों को जोड़ें। / \(\sqrt{8}=\sqrt{4\times2}=2\sqrt{2}\) and \(\sqrt{18}=\sqrt{9\times2}=3\sqrt{2}\). Therefore, \(a+b=2\sqrt{2}+3\sqrt{2}=5\sqrt{2}\). \(4\sqrt{2}\) can result from simplifying the second surd incorrectly. Exam tip: First take out perfect-square factors from surds, then add terms with the same radical part.
\(\frac{13}{15}\) के हर का अभाज्य गुणनखंडन \(15=3\times5\) है। किसी परिमेय संख्या का दशमलव प्रसार तभी समाप्य होता है, जब सरलतम रूप में उसके हर के अभाज्य गुणनखंड केवल \(2\) और \(5\) हों। यहाँ हर में \(3\) भी है, इसलिए इसका दशमलव प्रसार असमाप्य आवर्ती होगा। अन्य विकल्पों के हर केवल \(2\) और/या \(5\) के गुणनखंडों से बने हैं। परीक्षा टिप: भिन्न को सरलतम रूप में लिखकर हर के अभाज्य गुणनखंड जाँचें। / For \(\frac{13}{15}\), the prime factorisation of the denominator is \(15=3\times5\). A rational number has a terminating decimal only when, in lowest terms, its denominator has no prime factors other than \(2\) and \(5\). Since the denominator here contains \(3\), its decimal expansion is non-terminating recurring. The denominators in the other options contain only factors of \(2\) and/or \(5\). Exam tip: First reduce the fraction to lowest terms, then check the prime factors of its denominator.
\(\sqrt{225}=15\) और \(\sqrt{144}=12\) हैं। इसलिए \(x=15-12=3\)। विकल्प 27 तब प्राप्त होता है जब कोई गलती से 225 में से 144 घटा दे, जबकि यहाँ वर्गमूलों का अंतर निकालना है। परीक्षा टिप: पहले प्रत्येक पूर्ण वर्ग का वर्गमूल अलग-अलग निकालें, फिर घटाव करें। / \(\sqrt{225}=15\) and \(\sqrt{144}=12\). Therefore, \(x=15-12=3\). Option 27 results from incorrectly subtracting 144 from 225; the question requires subtracting the square roots. Exam tip: evaluate each perfect square root separately before performing the subtraction.
\(\sqrt{500}=\sqrt{100\times5}=10\sqrt{5}\) और \(\sqrt{125}=\sqrt{25\times5}=5\sqrt{5}\)। अतः \(\sqrt{500}-\sqrt{125}=10\sqrt{5}-5\sqrt{5}=5\sqrt{5}\)। \(10\sqrt{5}\) केवल \(\sqrt{500}\) का मान है, घटाने के बाद का नहीं। परीक्षा टिप: वर्गमूल वाले पदों को घटाने से पहले उनके अंदर के पूर्ण वर्ग गुणनखंड को अलग करें। / \(\sqrt{500}=\sqrt{100\times5}=10\sqrt{5}\) and \(\sqrt{125}=\sqrt{25\times5}=5\sqrt{5}\). Therefore, \(\sqrt{500}-\sqrt{125}=10\sqrt{5}-5\sqrt{5}=5\sqrt{5}\). \(10\sqrt{5}\) is only the value of \(\sqrt{500}\), not the result after subtraction. Exam tip: before subtracting surds, extract perfect-square factors from each radicand.
\(\sqrt{324}=18\) क्योंकि \(18^2=324\), तथा \(\sqrt{36}=6\) क्योंकि \(6^2=36\)। अतः \(x=18+6=24\), इसलिए सही विकल्प C है। 23 जैसा उत्तर वर्गमूलों का सही मान न लेने पर आ सकता है। परीक्षा टिप: पूर्ण वर्ग संख्याओं के वर्गमूल पहले अलग-अलग निकालें, फिर उनका योग करें. / \(\sqrt{324}=18\) because \(18^2=324\), and \(\sqrt{36}=6\) because \(6^2=36\). Therefore, \(x=18+6=24\), so option C is correct. An answer such as 23 may result from evaluating a square root incorrectly. Exam tip: find each square root of a perfect square separately before adding.
\(675=225\times3=15^2\times3\), इसलिए \(\sqrt{675}=\sqrt{15^2\times3}=15\sqrt{3}\)। \(15\sqrt{5}\) लेने पर वर्गमूल के भीतर संख्या \(225\times5=1125\) होगी, जो 675 नहीं है। परीक्षा टिप: वर्गमूल को सरल करने के लिए संख्या का सबसे बड़ा पूर्ण-वर्ग गुणनखंड पहचानें। / \(675=225\times3=15^2\times3\), so \(\sqrt{675}=\sqrt{15^2\times3}=15\sqrt{3}\). Choosing \(15\sqrt{5}\) would give a radicand of \(225\times5=1125\), not 675. Exam tip: identify the greatest perfect-square factor before simplifying a surd.
\(\sqrt{27}=\sqrt{9\times3}=3\sqrt{3}\) तथा \(\sqrt{12}=\sqrt{4\times3}=2\sqrt{3}\)। अतः \(a-b=3\sqrt{3}-2\sqrt{3}=\sqrt{3}\), इसलिए विकल्प A सही है। \(2\sqrt{3}\) केवल \(b\) का मान है, अंतर का नहीं। परीक्षा टिप: वर्गमूलों को घटाने से पहले उन्हें समान सरल करणी रूप में लिखें। / \(\sqrt{27}=\sqrt{9\times3}=3\sqrt{3}\) and \(\sqrt{12}=\sqrt{4\times3}=2\sqrt{3}\). Therefore, \(a-b=3\sqrt{3}-2\sqrt{3}=\sqrt{3}\), so option A is correct. \(2\sqrt{3}\) is only the value of \(b\), not the difference. Exam tip: simplify surds to the same radical form before subtracting them.
A. परिमेय और अपरिमेय संख्याओं का संघ/Union of rational and irrational numbers
Explanation
Simple Explanation
वास्तविक संख्याओं के समुच्चय में सभी परिमेय और सभी अपरिमेय संख्याएँ शामिल होती हैं। अतः \(\mathbb{R}=\mathbb{Q}\cup(\mathbb{R}\setminus\mathbb{Q})\), इसलिए विकल्प A सही है। पूर्णांक और प्राकृतिक संख्याएँ परिमेय संख्याओं के केवल उपसमुच्चय हैं, इसलिए वे सभी वास्तविक संख्याओं को नहीं दर्शाते। परीक्षा टिप: वास्तविक संख्या दिखे तो जाँचें कि उसमें परिमेय तथा अपरिमेय दोनों शामिल हैं या नहीं। / The set of real numbers contains every rational number and every irrational number. Thus, \(\mathbb{R}=\mathbb{Q}\cup(\mathbb{R}\setminus\mathbb{Q})\), so option A is correct. Integers and natural numbers are only subsets of rational numbers, so they do not represent all real numbers. Exam tip: for the real-number set, check that both rational and irrational numbers are included.
\(882=441\times2=21^2\times2\)। इसलिए \(\sqrt{882}=\sqrt{21^2\times2}=21\sqrt{2}\)। अतः सही विकल्प C है। उदाहरण के लिए, \(20\sqrt{2}\) का वर्ग \(800\) होता है, इसलिए वह \(\sqrt{882}\) के बराबर नहीं है। परीक्षा टिप: वर्गमूल को सरल करने के लिए संख्या में सबसे बड़ा पूर्ण वर्ग गुणनखंड पहचानें। / \(882=441\times2=21^2\times2\). Therefore, \(\sqrt{882}=\sqrt{21^2\times2}=21\sqrt{2}\). Hence, option C is correct. For example, \(20\sqrt{2}\) squares to \(800\), so it cannot equal \(\sqrt{882}\). Exam tip: To simplify a square root, identify the greatest perfect-square factor of the number.
\(\sqrt{400}=20\) और \(\sqrt{225}=15\) है। इसलिए \(x=20-15=5\)। अतः सही विकल्प 5 है। 4 प्राप्त करने के लिए वर्गमूलों या घटाव में त्रुटि होगी। परीक्षा टिप: पूर्ण वर्गों जैसे 400 और 225 के वर्गमूल पहले अलग-अलग निकालें, फिर घटाव करें। / \(\sqrt{400}=20\) and \(\sqrt{225}=15\). Therefore, \(x=20-15=5\). Hence, 5 is the correct option. Getting 4 would indicate an error in evaluating the square roots or subtracting them. Exam tip: evaluate the square roots of perfect squares separately before subtracting.
क्योंकि \(8^2=64\) और \(9^2=81\) है, इसलिए \(\sqrt{80}\), 8 और 9 के बीच होगा तथा 9 के बहुत निकट होगा। वास्तव में \(\sqrt{80}\approx 8.94\), इसलिए सबसे निकट संख्या 9 है। 8 निकटतम विकल्प नहीं है क्योंकि 80, 64 की अपेक्षा 81 के अधिक निकट है। परीक्षा टिप: वर्गमूल का अनुमान लगाने के लिए उसके निकट के पूर्ण वर्गों की तुलना करें। / Since \(8^2=64\) and \(9^2=81\), \(\sqrt{80}\) lies between 8 and 9 and is very close to 9. In fact, \(\sqrt{80}\approx 8.94\), so 9 is the closest number. Option 8 is not the closest because 80 is much nearer to 81 than to 64. Exam tip: Compare nearby perfect squares to estimate a square root quickly.
\(588=196\times 3=14^2\times 3\) है। इसलिए \(\sqrt{588}=\sqrt{14^2\times 3}=14\sqrt{3}\)। \(13\sqrt{3}\) सही नहीं है, क्योंकि \(13^2\times3=507\), न कि 588। परीक्षा टिप: वर्गमूल को सरल करने के लिए संख्या में सबसे बड़ा पूर्ण वर्ग गुणनखंड खोजें। / Since \(588=196\times 3=14^2\times 3\), \(\sqrt{588}=\sqrt{14^2\times 3}=14\sqrt{3}\). \(13\sqrt{3}\) is not correct because \(13^2\times3=507\), not 588. Exam tip: To simplify a square root, first identify the greatest perfect-square factor of the number.
\(\sqrt{50}=\sqrt{25\times2}=5\sqrt{2}\) और \(\sqrt{8}=\sqrt{4\times2}=2\sqrt{2}\)। अतः \(a-b=5\sqrt{2}-2\sqrt{2}=3\sqrt{2}\)। \(5\sqrt{2}\) केवल \(a\) का मान है, अंतर नहीं। परीक्षा टिप: वर्गमूलों को घटाने से पहले उन्हें एक ही सरल करणी रूप में लिखें। / \(\sqrt{50}=\sqrt{25\times2}=5\sqrt{2}\) and \(\sqrt{8}=\sqrt{4\times2}=2\sqrt{2}\). Therefore, \(a-b=5\sqrt{2}-2\sqrt{2}=3\sqrt{2}\). \(5\sqrt{2}\) is only the value of \(a\), not the difference. Exam tip: Simplify surds to the same radical form before subtracting them.
\(968=484\times2=22^2\times2\)। इसलिए \(\sqrt{968}=\sqrt{22^2\times2}=22\sqrt{2}\)। \(21\sqrt{2}\) निकट लग सकता है, पर \(21^2\times2=882\) होता है, 968 नहीं। परीक्षा टिप: वर्गमूल को सरल करने के लिए संख्या में सबसे बड़ा पूर्ण वर्ग गुणनखंड खोजें। / \(968=484\times2=22^2\times2\). Therefore, \(\sqrt{968}=\sqrt{22^2\times2}=22\sqrt{2}\). Although \(21\sqrt{2}\) may seem close, \(21^2\times2=882\), not 968. Exam tip: to simplify a square root, identify the greatest perfect-square factor of the number.
क्योंकि \(529=23^2\), इसलिए \(\sqrt{529}=23\)। अतः \(x=\frac{23}{\sqrt{23}}=\frac{\sqrt{23}\times\sqrt{23}}{\sqrt{23}}=\sqrt{23}\)। विकल्प 23 इसलिए गलत है क्योंकि हर में \(\sqrt{23}\) से भाग देना शेष रहता है। परीक्षा टिप: \(a=\sqrt{a}\times\sqrt{a}\) का उपयोग करके ऐसे वर्गमूल वाले भिन्न को सरल करें। / Since \(529=23^2\), we get \(\sqrt{529}=23\). Therefore, \(x=\frac{23}{\sqrt{23}}=\frac{\sqrt{23}\times\sqrt{23}}{\sqrt{23}}=\sqrt{23}\). Option 23 is incorrect because division by \(\sqrt{23}\) still remains. Exam tip: Use \(a=\sqrt{a}\times\sqrt{a}\) to simplify fractions involving square roots.
\(726=121\times6=11^2\times6\) है। इसलिए \(\sqrt{726}=\sqrt{11^2\times6}=11\sqrt{6}\)। विकल्प \(11\sqrt{7}\) गलत है, क्योंकि उसके वर्ग के भीतर संख्या \(121\times7=847\) होगी। परीक्षा टिप: वर्गमूल को सरल करने के लिए संख्या का सबसे बड़ा पूर्ण-वर्ग गुणनखंड पहचानें। / Since \(726=121\times6=11^2\times6\), \(\sqrt{726}=\sqrt{11^2\times6}=11\sqrt{6}\). The option \(11\sqrt{7}\) is incorrect because its radicand would be \(121\times7=847\). Exam tip: to simplify a square root, first identify the greatest perfect-square factor of the number.
\(288=144\times 2=12^2\times 2\) है। इसलिए \(\sqrt{288}=\sqrt{12^2\times 2}=12\sqrt{2}\)। विकल्प A, \(6\sqrt{8}\), का मान भी \(12\sqrt{2}\) के बराबर है, लेकिन यह पूर्णतः सरल रूप नहीं है क्योंकि \(\sqrt{8}\) को आगे सरल किया जा सकता है। परीक्षा टिप: वर्गमूल को सरल करते समय संख्या में सबसे बड़ा पूर्ण वर्ग गुणनखंड पहचानें। / Since \(288=144\times 2=12^2\times 2\), \(\sqrt{288}=\sqrt{12^2\times 2}=12\sqrt{2}\). Option A, \(6\sqrt{8}\), has the same value but is not in simplest form because \(\sqrt{8}\) can be simplified further. Exam tip: to simplify a surd, identify the greatest perfect-square factor of the number.
क्योंकि \(6^2=36\) और \(7^2=49\), इसलिए \(\sqrt{41}\), 6 और 7 के बीच है। साथ ही \(6.5^2=42.25\) है और \(41<42.25\), अतः \(\sqrt{41}<6.5\)। इसलिए \(\sqrt{41}\) 7 की अपेक्षा 6 के अधिक निकट है; इसका मान लगभग 6.40 है। परीक्षा टिप: दो क्रमागत पूर्णांकों के वर्गों की तुलना करके वर्गमूल का निकटतम पूर्णांक जल्दी ज्ञात करें। / Since \(6^2=36\) and \(7^2=49\), \(\sqrt{41}\) lies between 6 and 7. Also, \(6.5^2=42.25\) and \(41<42.25\), so \(\sqrt{41}<6.5\). Therefore, \(\sqrt{41}\) is closer to 6 than to 7; its value is about 6.40. Exam tip: Compare the squares of consecutive integers to quickly identify the nearest integer to a square root.
\(\sqrt{32}=\sqrt{16\times2}=4\sqrt{2}\) और \(\sqrt{18}=\sqrt{9\times2}=3\sqrt{2}\)। अतः \(a+b=4\sqrt{2}+3\sqrt{2}=7\sqrt{2}\)। \(6\sqrt{2}\) तब मिलता यदि गुणांकों का योग 6 होता, लेकिन यहाँ गुणांक 4 और 3 हैं। परीक्षा टिप: करणी वाले पदों को जोड़ने से पहले उन्हें सरल करके समान करणी में लिखें। / \(\sqrt{32}=\sqrt{16\times2}=4\sqrt{2}\) and \(\sqrt{18}=\sqrt{9\times2}=3\sqrt{2}\). Therefore, \(a+b=4\sqrt{2}+3\sqrt{2}=7\sqrt{2}\). \(6\sqrt{2}\) would result only if the coefficients added to 6; here they are 4 and 3. Exam tip: simplify surds into like radical terms before adding them.
\(847=49\times17=7^2\times17\)। अतः \(\sqrt{847}=\sqrt{7^2\times17}=7\sqrt{17}\)। \(17\) पूर्ण वर्ग नहीं है, इसलिए इसे और सरल नहीं किया जा सकता। \(7\sqrt{121}=77\) है, इसलिए वह \(\sqrt{847}\) के बराबर नहीं है। परीक्षा टिप: वर्गमूल को सरल करने के लिए संख्या में सबसे बड़ा पूर्ण वर्ग गुणनखंड खोजें। / \(847=49\times17=7^2\times17\). Therefore, \(\sqrt{847}=\sqrt{7^2\times17}=7\sqrt{17}\). Since \(17\) is not a perfect square, the expression cannot be simplified further. Also, \(7\sqrt{121}=77\), so it is not equal to \(\sqrt{847}\). Exam tip: To simplify a square root, identify the greatest perfect-square factor of the number.
\(\sqrt{625}=25\) और \(\sqrt{361}=19\), क्योंकि \(25^2=625\) तथा \(19^2=361\)। इसलिए \(x=25-19=6\)। अतः सही विकल्प 6 है। 5 तब मिलता यदि किसी वर्गमूल का मान गलत लिया जाए। परीक्षा टिप: पूर्ण वर्ग संख्याओं के वर्गमूल निकालते समय उत्तर का वर्ग करके तुरंत जाँच करें। / \(\sqrt{625}=25\) and \(\sqrt{361}=19\), since \(25^2=625\) and \(19^2=361\). Therefore, \(x=25-19=6\). Hence, 6 is the correct option. A value such as 5 can result from evaluating one of the square roots incorrectly. Exam tip: verify a square root quickly by squaring your answer.
यहाँ \(ab=\sqrt{45}\times\sqrt{20}=\sqrt{45\times20}=\sqrt{900}=30\) है। वैकल्पिक रूप से, \(\sqrt{45}=3\sqrt{5}\) और \(\sqrt{20}=2\sqrt{5}\), इसलिए \(ab=(3\sqrt{5})(2\sqrt{5})=6\times5=30\)। \(20\) केवल \(b^2\) का मान है, \(ab\) का नहीं। परीक्षा टिप: वर्गमूलों के गुणन में पहले \(\sqrt{x}\sqrt{y}=\sqrt{xy}\) लगाकर पूर्ण वर्ग पहचानें। / Here, \(ab=\sqrt{45}\times\sqrt{20}=\sqrt{45\times20}=\sqrt{900}=30\). Alternatively, \(\sqrt{45}=3\sqrt{5}\) and \(\sqrt{20}=2\sqrt{5}\), so \(ab=(3\sqrt{5})(2\sqrt{5})=6\times5=30\). The value \(20\) is only \(b^2\), not \(ab\). Exam tip: while multiplying square roots, use \(\sqrt{x}\sqrt{y}=\sqrt{xy}\) and look for a perfect square.
क्योंकि \(8^2=64<70\), इसलिए \(\sqrt{70}>8\)। तथा \(9^2=81\), जो 70 और 90 के बीच है; अतः \(\sqrt{70}<9<\sqrt{90}\)। इसलिए सही संख्या 9 है। 8, \(\sqrt{70}\) से छोटा है, जबकि 10, \(\sqrt{90}\) से बड़ा है। परीक्षा टिप: वर्गमूलों के बीच पूर्णांक ज्ञात करने के लिए उस पूर्णांक का वर्ग लेकर सीमाओं से तुलना करें। / Since \(8^2=64<70\), we have \(\sqrt{70}>8\). Also, \(9^2=81\), which lies between 70 and 90; therefore, \(\sqrt{70}<9<\sqrt{90}\). Hence, 9 is the correct number. While 8 is less than \(\sqrt{70}\), 10 is greater than \(\sqrt{90}\). Exam tip: To find an integer between square roots, compare the square of that integer with the given numbers.
क्योंकि \(507=169\times3=13^2\times3\), इसलिए \(\sqrt{507}=\sqrt{13^2\times3}=13\sqrt{3}\)। अतः सही विकल्प \(13\sqrt{3}\) है। \(12\sqrt{3}\) लेने पर उसका वर्ग \(432\) होगा, जो \(507\) नहीं है। परीक्षा टिप: वर्गमूल को सरल करने के लिए संख्या में सबसे बड़ा पूर्ण वर्ग गुणनखंड खोजें। / Since \(507=169\times3=13^2\times3\), \(\sqrt{507}=\sqrt{13^2\times3}=13\sqrt{3}\). Therefore, \(13\sqrt{3}\) is correct. For example, \(12\sqrt{3}\) squares to \(432\), not \(507\). Exam tip: To simplify a square root, first identify the greatest perfect-square factor of the number.
\(\sqrt{441}=21\) और \(\sqrt{324}=18\) हैं। अतः \(x=21+18=39\), इसलिए सही विकल्प C है। 38 का विकल्प तब आ सकता है जब किसी वर्गमूल का मान गलत निकाला जाए। परीक्षा में पूर्ण वर्गों के वर्गमूल अलग-अलग निकालकर फिर जोड़ें। / \(\sqrt{441}=21\) and \(\sqrt{324}=18\). Therefore, \(x=21+18=39\), so option C is correct. Option 38 may result from calculating one of the square roots incorrectly. In exams, evaluate each perfect square root separately before adding.
\(1200=400\times 3\) और \(400\) पूर्ण वर्ग है। इसलिए \(\sqrt{1200}=\sqrt{400\times3}=\sqrt{400}\sqrt{3}=20\sqrt{3}\)। विकल्प \(10\sqrt{3}\) में गुणांक आधा है, इसलिए वह सही नहीं है। परीक्षा टिप: वर्गमूल को सरल करने के लिए संख्या में सबसे बड़ा पूर्ण-वर्ग गुणनखंड पहचानें। / Since \(1200=400\times 3\), and \(400\) is a perfect square, \(\sqrt{1200}=\sqrt{400\times3}=\sqrt{400}\sqrt{3}=20\sqrt{3}\). The option \(10\sqrt{3}\) has only half the required coefficient, so it is incorrect. Exam tip: to simplify a square root, first identify the greatest perfect-square factor of the number.
\(98=49\times2\) होने से \(a=\sqrt{98}=7\sqrt{2}\) तथा \(50=25\times2\) होने से \(b=\sqrt{50}=5\sqrt{2}\)। अतः \(a-b=7\sqrt{2}-5\sqrt{2}=2\sqrt{2}\) होगा। \(\sqrt{2}\) केवल \(a\) और \(b\) के गुणांकों का अंतर न लेने पर आ सकता है। परीक्षा टिप: करणी वाले पदों को घटाने से पहले उन्हें समान करणी के रूप में सरल कीजिए। / Since \(98=49\times2\), \(a=\sqrt{98}=7\sqrt{2}\); and since \(50=25\times2\), \(b=\sqrt{50}=5\sqrt{2}\). Therefore, \(a-b=7\sqrt{2}-5\sqrt{2}=2\sqrt{2}\). \(\sqrt{2}\) would result from incorrectly subtracting the coefficients. Exam tip: simplify surds to like radical terms before subtracting them.
चूँकि \(9^2=81\) और \(10^2=100\), इसलिए \(\sqrt{95}\) 9 और 10 के बीच है। \(\sqrt{95}\approx 9.75\) है, जो 9 की अपेक्षा 10 के अधिक निकट है। इसलिए सही उत्तर 10 है। 9 निकट दिखता है, पर उससे दूरी लगभग 0.75 है, जबकि 10 से दूरी लगभग 0.25 है। परीक्षा टिप: किसी वर्गमूल का निकटतम पूर्णांक ज्ञात करने के लिए उसके आसपास के पूर्ण वर्गों की तुलना करें। / Since \(9^2=81\) and \(10^2=100\), \(\sqrt{95}\) lies between 9 and 10. Its approximate value is \(9.75\), which is closer to 10 than to 9. Therefore, 10 is the correct answer. Although 9 is nearby, its distance from \(\sqrt{95}\) is about 0.75, while the distance from 10 is about 0.25. Exam tip: Compare the nearby perfect squares to estimate the nearest integer to a square root.
\(1452=484\times 3=22^2\times 3\)। अतः \(\sqrt{1452}=\sqrt{22^2\times 3}=22\sqrt{3}\)। इसलिए सही उत्तर \(22\sqrt{3}\) है। \(11\sqrt{3}\) में 11 का गुणनफल बाहर निकाला गया है, जबकि पूर्ण वर्ग \(22^2\) है। परीक्षा टिप: वर्गमूल को सरल करने के लिए संख्या में सबसे बड़ा पूर्ण वर्ग गुणनखंड पहचानें। / \(1452=484\times 3=22^2\times 3\). Therefore, \(\sqrt{1452}=\sqrt{22^2\times 3}=22\sqrt{3}\). Hence, \(22\sqrt{3}\) is correct. \(11\sqrt{3}\) is incorrect because the largest square factor is \(22^2\), not \(11^2\). Exam tip: To simplify a surd, first identify the greatest perfect-square factor of the number inside the square root.
