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\(12=4\times3\) और \(27=9\times3\) होने से \(\sqrt{12}=2\sqrt{3}\) तथा \(\sqrt{27}=3\sqrt{3}\) होगा। अतः \(x=2\sqrt{3}+3\sqrt{3}=5\sqrt{3}\)। \(3\sqrt{3}\) केवल \(\sqrt{27}\) का मान है, दोनों पदों का योग नहीं। परीक्षा टिप: वर्गमूल के भीतर पूर्ण वर्ग गुणनखंड निकालकर समान मूल वाले पदों को जोड़ें। / Since \(12=4\times3\) and \(27=9\times3\), \(\sqrt{12}=2\sqrt{3}\) and \(\sqrt{27}=3\sqrt{3}\). Therefore, \(x=2\sqrt{3}+3\sqrt{3}=5\sqrt{3}\). The expression \(3\sqrt{3}\) is only the value of \(\sqrt{27}\), not the sum of both terms. Exam tip: extract perfect-square factors from surds before combining like surds.
\(\sqrt{18}=\sqrt{9\times2}=3\sqrt{2}\) और \(\sqrt{8}=\sqrt{4\times2}=2\sqrt{2}\)। इसलिए \(a=3\sqrt{2}-2\sqrt{2}=\sqrt{2}\), अतः विकल्प A सही है। \(2\sqrt{2}\) केवल \(\sqrt{8}\) का सरल रूप है, अंतर का नहीं। परीक्षा टिप: वर्गमूलों को घटाने से पहले उन्हें समान मूलांक वाले सरल रूप में लिखें। / \(\sqrt{18}=\sqrt{9\times2}=3\sqrt{2}\) and \(\sqrt{8}=\sqrt{4\times2}=2\sqrt{2}\). Hence, \(a=3\sqrt{2}-2\sqrt{2}=\sqrt{2}\), so option A is correct. \(2\sqrt{2}\) is only the simplified form of \(\sqrt{8}\), not of the difference. Exam tip: simplify surds to forms with the same radicand before subtracting them.
धनात्मक संख्याओं के लिए \(\sqrt{a}\times\sqrt{b}=\sqrt{ab}\) होता है। इसलिए \(x=\sqrt{2}\times\sqrt{50}=\sqrt{100}=10\)। अतः सही विकल्प B है। परीक्षा में वर्गमूलों को पहले एक ही वर्गमूल के भीतर गुणा करके पूर्ण वर्ग पहचानें। / For positive numbers, \(\sqrt{a}\times\sqrt{b}=\sqrt{ab}\). Therefore, \(x=\sqrt{2}\times\sqrt{50}=\sqrt{100}=10\). Hence, option B is correct. Exam tip: multiply the numbers inside the square roots first and then look for a perfect square.
\(\sqrt{20}=\sqrt{4\times5}=2\sqrt{5}\) है। इसलिए \(a+b=\sqrt{5}+2\sqrt{5}=3\sqrt{5}\), अतः विकल्प A सही है। \(4\sqrt{5}\) तब मिलता यदि \(\sqrt{20}\) को गलती से \(3\sqrt{5}\) माना जाए। परीक्षा टिप: पहले वर्गमूल के भीतर पूर्ण वर्ग गुणनखंड निकालकर करणी को सरल करें। / \(\sqrt{20}=\sqrt{4\times5}=2\sqrt{5}\). Therefore, \(a+b=\sqrt{5}+2\sqrt{5}=3\sqrt{5}\), so option A is correct. \(4\sqrt{5}\) would result from incorrectly simplifying \(\sqrt{20}\) as \(3\sqrt{5}\). Exam tip: simplify each surd by taking out perfect-square factors before adding like surds.
धनात्मक संख्याओं के लिए \(\sqrt{a}\times\sqrt{b}=\sqrt{ab}\) होता है। इसलिए \(\sqrt{7}\times\sqrt{63}=\sqrt{7\times63}=\sqrt{441}=21\)। अतः सही विकल्प 21 है। 22 निकट का विकल्प है, लेकिन \(22^2=484\) होता है, 441 नहीं। परीक्षा टिप: वर्गमूलों का गुणन करने से पहले मूलांकों को एक ही वर्गमूल के भीतर गुणा करें। / For positive numbers, \(\sqrt{a}\times\sqrt{b}=\sqrt{ab}\). Hence, \(\sqrt{7}\times\sqrt{63}=\sqrt{7\times63}=\sqrt{441}=21\). Therefore, 21 is the correct option. Although 22 is close, \(22^2=484\), not 441. Exam tip: When multiplying square roots, first combine the radicands under one square root.
A. \(n\) एक प्राकृतिक संख्या है, जो पूर्ण वर्ग नहीं है/\(n\) is a natural number that is not a perfect square
Explanation
Simple Explanation
यदि \(n\) प्राकृतिक संख्या है और पूर्ण वर्ग नहीं है, तो \(\sqrt{n}\) को दो पूर्णांकों के अनुपात के रूप में नहीं लिखा जा सकता; इसलिए वह अपरिमेय होता है। केवल \(n\) का पूर्णांक होना पर्याप्त नहीं है, क्योंकि \(n=4\) के लिए \(\sqrt{4}=2\), जो परिमेय है। परीक्षा टिप: किसी प्राकृतिक संख्या का वर्गमूल परिमेय तभी होता है जब वह संख्या पूर्ण वर्ग हो। / When \(n\) is a natural number that is not a perfect square, \(\sqrt{n}\) cannot be expressed as a ratio of two integers, so it is irrational. Merely being an integer is not enough: for example, if \(n=4\), then \(\sqrt{4}=2\), which is rational. Exam tip: The square root of a natural number is rational only when the number is a perfect square.
\(\sqrt{98}=\sqrt{49\times2}=7\sqrt{2}\) और \(\sqrt{32}=\sqrt{16\times2}=4\sqrt{2}\)। इसलिए \(\sqrt{98}-\sqrt{32}=7\sqrt{2}-4\sqrt{2}=3\sqrt{2}\)। \(2\sqrt{2}\) जैसा विकल्प गुणांकों को गलत घटाने पर मिल सकता है। परीक्षा टिप: वर्गमूलों को घटाने से पहले उनके भीतर से पूर्ण वर्ग गुणनखंड अलग करें। / \(\sqrt{98}=\sqrt{49\times2}=7\sqrt{2}\) and \(\sqrt{32}=\sqrt{16\times2}=4\sqrt{2}\). Hence, \(\sqrt{98}-\sqrt{32}=7\sqrt{2}-4\sqrt{2}=3\sqrt{2}\). A choice such as \(2\sqrt{2}\) can result from subtracting the coefficients incorrectly. Exam tip: before subtracting surds, first extract perfect-square factors from each radicand.
\(54=9\times6\) लिखें, जहाँ \(9\) एक पूर्ण वर्ग है। इसलिए \(\sqrt{54}=\sqrt{9\times6}=\sqrt9\times\sqrt6=3\sqrt6\)। \(2\sqrt6\) लेने पर उसका वर्ग \(24\) होगा, 54 नहीं। परीक्षा टिप: वर्गमूल को सरल करने के लिए संख्या में सबसे बड़ा पूर्ण-वर्ग गुणनखंड पहचानें। / Write \(54=9\times6\), where \(9\) is a perfect square. Hence, \(\sqrt{54}=\sqrt{9\times6}=\sqrt9\times\sqrt6=3\sqrt6\). For example, \(2\sqrt6\) is incorrect because its square is \(24\), not 54. Exam tip: To simplify a square root, identify the greatest perfect-square factor of the number.
\(\sqrt{12}=2\sqrt{3}\) होता है। इसलिए \(ab=\sqrt{3}\times2\sqrt{3}=2\times3=6\)। विकल्प \(2\sqrt{3}\) केवल \(b\) का सरल रूप है, \(ab\) का मान नहीं। परीक्षा टिप: वर्गमूलों का गुणन करते समय \(\sqrt{x}\cdot\sqrt{y}=\sqrt{xy}\) का उपयोग करें, या पहले प्रत्येक वर्गमूल को सरल करें। / Since \(\sqrt{12}=2\sqrt{3}\), we get \(ab=\sqrt{3}\times2\sqrt{3}=2\times3=6\). The option \(2\sqrt{3}\) is only the simplified value of \(b\), not of \(ab\). Exam tip: While multiplying surds, use \(\sqrt{x}\cdot\sqrt{y}=\sqrt{xy}\), or simplify each surd first.
\(\sqrt{169}=13\) और \(\sqrt{25}=5\) हैं। इसलिए \(x=13+5=18\)। विकल्प 17 तब मिल सकता है जब किसी वर्गमूल का मान गलत निकाला जाए। परीक्षा टिप: पूर्ण वर्गों, जैसे 169 और 25, के वर्गमूल पहले अलग-अलग निकालें, फिर जोड़ करें। / \(\sqrt{169}=13\) and \(\sqrt{25}=5\). Therefore, \(x=13+5=18\). The value 17 may result from evaluating one of the square roots incorrectly. Exam tip: first find each square root of a perfect square, then add the results.
\(320=64\times 5\) और \(64\) सबसे बड़ा पूर्ण वर्ग गुणनखंड है। इसलिए \(\sqrt{320}=\sqrt{64\times5}=\sqrt{64}\sqrt{5}=8\sqrt{5}\)। विकल्प A में \(\sqrt{20}\) को आगे सरल किया जा सकता है, इसलिए वह सरलतम रूप नहीं है। परीक्षा टिप: वर्गमूल को सरल करने के लिए संख्या में सबसे बड़ा पूर्ण वर्ग गुणनखंड खोजें। / \(320=64\times 5\), and \(64\) is the greatest perfect-square factor. Therefore, \(\sqrt{320}=\sqrt{64\times5}=\sqrt{64}\sqrt{5}=8\sqrt{5}\). In option A, \(\sqrt{20}\) can be simplified further, so it is not in simplest form. Exam tip: To simplify a square root, identify the greatest perfect-square factor of the number.
\(\sqrt{144}=12\) और \(\sqrt{196}=14\) हैं। इसलिए \(x=12+14=26\) होगा। विकल्प 24 केवल \(\sqrt{144}\) और \(\sqrt{196}\) के मानों में गलती करने पर मिल सकता है। परीक्षा टिप: पूर्ण वर्गों के वर्गमूल, जैसे \(144=12^2\) और \(196=14^2\), पहचानकर सीधे जोड़ें। / \(\sqrt{144}=12\) and \(\sqrt{196}=14\). Therefore, \(x=12+14=26\). Option 24 may result from incorrectly evaluating one of the square roots. Exam tip: recognise perfect squares such as \(144=12^2\) and \(196=14^2\) before adding their square roots.
क्योंकि \(20<25<30\) और \(25=5^2\), इसलिए \(\sqrt{20}<\sqrt{25}=5<\sqrt{30}\)। अतः 5 दोनों संख्याओं के बीच है। 4 के लिए \(4^2=16\), जो 20 से कम है, जबकि 6 का वर्ग 36 है, जो 30 से अधिक है। परीक्षा टिप: वर्गमूलों के बीच पूर्ण संख्या जाँचने के लिए उस संख्या का वर्ग लें। / Since \(20<25<30\) and \(25=5^2\), we get \(\sqrt{20}<\sqrt{25}=5<\sqrt{30}\). Therefore, 5 lies between the two numbers. For comparison, \(4^2=16\), which is less than 20, while \(6^2=36\), which is greater than 30. Exam tip: To test an integer between square roots, compare its square with the numbers inside the roots.
\(147=49\times3\) और \(75=25\times3\) हैं। इसलिए \(\sqrt{147}=7\sqrt{3}\) तथा \(\sqrt{75}=5\sqrt{3}\)। अतः \(7\sqrt{3}+5\sqrt{3}=12\sqrt{3}\), इसलिए सही उत्तर \(12\sqrt{3}\) है। \(11\sqrt{3}\) जैसा विकल्प समान मूलकों के गुणांकों को सही ढंग से न जोड़ने पर मिल सकता है। परीक्षा टिप: पहले संख्या के भीतर पूर्ण वर्ग गुणनखंड पहचानें, फिर समान मूलक पदों के गुणांक जोड़ें। / Since \(147=49\times3\) and \(75=25\times3\), \(\sqrt{147}=7\sqrt{3}\) and \(\sqrt{75}=5\sqrt{3}\). Therefore, \(7\sqrt{3}+5\sqrt{3}=12\sqrt{3}\), so the correct answer is \(12\sqrt{3}\). A choice such as \(11\sqrt{3}\) may result from adding the coefficients incorrectly. Exam tip: first extract perfect-square factors, then add the coefficients of like surds.
\(\sqrt{256}=16\) और \(\sqrt{16}=4\)। इसलिए \(x=16\div4=4\), अतः सही विकल्प B है। \(8\) तब मिलता यदि भाजक \(2\) होता, लेकिन यहाँ \(\sqrt{16}=4\) है। परीक्षा टिप: वर्गमूल निकालने के बाद ही भाग कीजिए। / \(\sqrt{256}=16\) and \(\sqrt{16}=4\). Therefore, \(x=16\div4=4\), so option B is correct. \(8\) would result if the divisor were \(2\), but here \(\sqrt{16}=4\). Exam tip: evaluate each square root before dividing.
\(432=144\times 3=12^2\times 3\) है। इसलिए \(\sqrt{432}=\sqrt{12^2\times 3}=12\sqrt{3}\)। अतः सही विकल्प A है। \(13\sqrt{3}\) लेने पर उसका वर्ग \(507\) होगा, जो \(432\) नहीं है। परीक्षा टिप: वर्गमूल को सरल करने के लिए संख्या में सबसे बड़ा पूर्ण वर्ग गुणनखंड पहचानें। / Since \(432=144\times 3=12^2\times 3\), \(\sqrt{432}=\sqrt{12^2\times 3}=12\sqrt{3}\). Therefore, option A is correct. For example, \(13\sqrt{3}\) is incorrect because its square is \(507\), not \(432\). Exam tip: To simplify a square root, first identify the greatest perfect-square factor of the number.
\(\sqrt{8}=\sqrt{4\times2}=2\sqrt{2}\) और \(\sqrt{18}=\sqrt{9\times2}=3\sqrt{2}\)। अतः \(a+b=2\sqrt{2}+3\sqrt{2}=5\sqrt{2}\)। \(4\sqrt{2}\) केवल तब मिलता यदि दूसरे पद को गलत तरीके से सरल किया जाए। परीक्षा टिप: वर्गमूल के अंदर पूर्ण वर्ग गुणनखंड निकालकर समान मूल वाले पदों को जोड़ें। / \(\sqrt{8}=\sqrt{4\times2}=2\sqrt{2}\) and \(\sqrt{18}=\sqrt{9\times2}=3\sqrt{2}\). Therefore, \(a+b=2\sqrt{2}+3\sqrt{2}=5\sqrt{2}\). \(4\sqrt{2}\) can result from simplifying the second surd incorrectly. Exam tip: First take out perfect-square factors from surds, then add terms with the same radical part.
\(\sqrt{225}=15\) और \(\sqrt{144}=12\) हैं। इसलिए \(x=15-12=3\)। विकल्प 27 तब प्राप्त होता है जब कोई गलती से 225 में से 144 घटा दे, जबकि यहाँ वर्गमूलों का अंतर निकालना है। परीक्षा टिप: पहले प्रत्येक पूर्ण वर्ग का वर्गमूल अलग-अलग निकालें, फिर घटाव करें। / \(\sqrt{225}=15\) and \(\sqrt{144}=12\). Therefore, \(x=15-12=3\). Option 27 results from incorrectly subtracting 144 from 225; the question requires subtracting the square roots. Exam tip: evaluate each perfect square root separately before performing the subtraction.
\(\sqrt{500}=\sqrt{100\times5}=10\sqrt{5}\) और \(\sqrt{125}=\sqrt{25\times5}=5\sqrt{5}\)। अतः \(\sqrt{500}-\sqrt{125}=10\sqrt{5}-5\sqrt{5}=5\sqrt{5}\)। \(10\sqrt{5}\) केवल \(\sqrt{500}\) का मान है, घटाने के बाद का नहीं। परीक्षा टिप: वर्गमूल वाले पदों को घटाने से पहले उनके अंदर के पूर्ण वर्ग गुणनखंड को अलग करें। / \(\sqrt{500}=\sqrt{100\times5}=10\sqrt{5}\) and \(\sqrt{125}=\sqrt{25\times5}=5\sqrt{5}\). Therefore, \(\sqrt{500}-\sqrt{125}=10\sqrt{5}-5\sqrt{5}=5\sqrt{5}\). \(10\sqrt{5}\) is only the value of \(\sqrt{500}\), not the result after subtraction. Exam tip: before subtracting surds, extract perfect-square factors from each radicand.
\(\sqrt{324}=18\) क्योंकि \(18^2=324\), तथा \(\sqrt{36}=6\) क्योंकि \(6^2=36\)। अतः \(x=18+6=24\), इसलिए सही विकल्प C है। 23 जैसा उत्तर वर्गमूलों का सही मान न लेने पर आ सकता है। परीक्षा टिप: पूर्ण वर्ग संख्याओं के वर्गमूल पहले अलग-अलग निकालें, फिर उनका योग करें. / \(\sqrt{324}=18\) because \(18^2=324\), and \(\sqrt{36}=6\) because \(6^2=36\). Therefore, \(x=18+6=24\), so option C is correct. An answer such as 23 may result from evaluating a square root incorrectly. Exam tip: find each square root of a perfect square separately before adding.
\(675=225\times3=15^2\times3\), इसलिए \(\sqrt{675}=\sqrt{15^2\times3}=15\sqrt{3}\)। \(15\sqrt{5}\) लेने पर वर्गमूल के भीतर संख्या \(225\times5=1125\) होगी, जो 675 नहीं है। परीक्षा टिप: वर्गमूल को सरल करने के लिए संख्या का सबसे बड़ा पूर्ण-वर्ग गुणनखंड पहचानें। / \(675=225\times3=15^2\times3\), so \(\sqrt{675}=\sqrt{15^2\times3}=15\sqrt{3}\). Choosing \(15\sqrt{5}\) would give a radicand of \(225\times5=1125\), not 675. Exam tip: identify the greatest perfect-square factor before simplifying a surd.
\(\sqrt{27}=\sqrt{9\times3}=3\sqrt{3}\) तथा \(\sqrt{12}=\sqrt{4\times3}=2\sqrt{3}\)। अतः \(a-b=3\sqrt{3}-2\sqrt{3}=\sqrt{3}\), इसलिए विकल्प A सही है। \(2\sqrt{3}\) केवल \(b\) का मान है, अंतर का नहीं। परीक्षा टिप: वर्गमूलों को घटाने से पहले उन्हें समान सरल करणी रूप में लिखें। / \(\sqrt{27}=\sqrt{9\times3}=3\sqrt{3}\) and \(\sqrt{12}=\sqrt{4\times3}=2\sqrt{3}\). Therefore, \(a-b=3\sqrt{3}-2\sqrt{3}=\sqrt{3}\), so option A is correct. \(2\sqrt{3}\) is only the value of \(b\), not the difference. Exam tip: simplify surds to the same radical form before subtracting them.
A. परिमेय और अपरिमेय संख्याओं का संघ/Union of rational and irrational numbers
Explanation
Simple Explanation
वास्तविक संख्याओं के समुच्चय में सभी परिमेय और सभी अपरिमेय संख्याएँ शामिल होती हैं। अतः \(\mathbb{R}=\mathbb{Q}\cup(\mathbb{R}\setminus\mathbb{Q})\), इसलिए विकल्प A सही है। पूर्णांक और प्राकृतिक संख्याएँ परिमेय संख्याओं के केवल उपसमुच्चय हैं, इसलिए वे सभी वास्तविक संख्याओं को नहीं दर्शाते। परीक्षा टिप: वास्तविक संख्या दिखे तो जाँचें कि उसमें परिमेय तथा अपरिमेय दोनों शामिल हैं या नहीं। / The set of real numbers contains every rational number and every irrational number. Thus, \(\mathbb{R}=\mathbb{Q}\cup(\mathbb{R}\setminus\mathbb{Q})\), so option A is correct. Integers and natural numbers are only subsets of rational numbers, so they do not represent all real numbers. Exam tip: for the real-number set, check that both rational and irrational numbers are included.
\(882=441\times2=21^2\times2\)। इसलिए \(\sqrt{882}=\sqrt{21^2\times2}=21\sqrt{2}\)। अतः सही विकल्प C है। उदाहरण के लिए, \(20\sqrt{2}\) का वर्ग \(800\) होता है, इसलिए वह \(\sqrt{882}\) के बराबर नहीं है। परीक्षा टिप: वर्गमूल को सरल करने के लिए संख्या में सबसे बड़ा पूर्ण वर्ग गुणनखंड पहचानें। / \(882=441\times2=21^2\times2\). Therefore, \(\sqrt{882}=\sqrt{21^2\times2}=21\sqrt{2}\). Hence, option C is correct. For example, \(20\sqrt{2}\) squares to \(800\), so it cannot equal \(\sqrt{882}\). Exam tip: To simplify a square root, identify the greatest perfect-square factor of the number.
\(\sqrt{400}=20\) और \(\sqrt{225}=15\) है। इसलिए \(x=20-15=5\)। अतः सही विकल्प 5 है। 4 प्राप्त करने के लिए वर्गमूलों या घटाव में त्रुटि होगी। परीक्षा टिप: पूर्ण वर्गों जैसे 400 और 225 के वर्गमूल पहले अलग-अलग निकालें, फिर घटाव करें। / \(\sqrt{400}=20\) and \(\sqrt{225}=15\). Therefore, \(x=20-15=5\). Hence, 5 is the correct option. Getting 4 would indicate an error in evaluating the square roots or subtracting them. Exam tip: evaluate the square roots of perfect squares separately before subtracting.
क्योंकि \(8^2=64\) और \(9^2=81\) है, इसलिए \(\sqrt{80}\), 8 और 9 के बीच होगा तथा 9 के बहुत निकट होगा। वास्तव में \(\sqrt{80}\approx 8.94\), इसलिए सबसे निकट संख्या 9 है। 8 निकटतम विकल्प नहीं है क्योंकि 80, 64 की अपेक्षा 81 के अधिक निकट है। परीक्षा टिप: वर्गमूल का अनुमान लगाने के लिए उसके निकट के पूर्ण वर्गों की तुलना करें। / Since \(8^2=64\) and \(9^2=81\), \(\sqrt{80}\) lies between 8 and 9 and is very close to 9. In fact, \(\sqrt{80}\approx 8.94\), so 9 is the closest number. Option 8 is not the closest because 80 is much nearer to 81 than to 64. Exam tip: Compare nearby perfect squares to estimate a square root quickly.
\(588=196\times 3=14^2\times 3\) है। इसलिए \(\sqrt{588}=\sqrt{14^2\times 3}=14\sqrt{3}\)। \(13\sqrt{3}\) सही नहीं है, क्योंकि \(13^2\times3=507\), न कि 588। परीक्षा टिप: वर्गमूल को सरल करने के लिए संख्या में सबसे बड़ा पूर्ण वर्ग गुणनखंड खोजें। / Since \(588=196\times 3=14^2\times 3\), \(\sqrt{588}=\sqrt{14^2\times 3}=14\sqrt{3}\). \(13\sqrt{3}\) is not correct because \(13^2\times3=507\), not 588. Exam tip: To simplify a square root, first identify the greatest perfect-square factor of the number.
\(\sqrt{50}=\sqrt{25\times2}=5\sqrt{2}\) और \(\sqrt{8}=\sqrt{4\times2}=2\sqrt{2}\)। अतः \(a-b=5\sqrt{2}-2\sqrt{2}=3\sqrt{2}\)। \(5\sqrt{2}\) केवल \(a\) का मान है, अंतर नहीं। परीक्षा टिप: वर्गमूलों को घटाने से पहले उन्हें एक ही सरल करणी रूप में लिखें। / \(\sqrt{50}=\sqrt{25\times2}=5\sqrt{2}\) and \(\sqrt{8}=\sqrt{4\times2}=2\sqrt{2}\). Therefore, \(a-b=5\sqrt{2}-2\sqrt{2}=3\sqrt{2}\). \(5\sqrt{2}\) is only the value of \(a\), not the difference. Exam tip: Simplify surds to the same radical form before subtracting them.
\(968=484\times2=22^2\times2\)। इसलिए \(\sqrt{968}=\sqrt{22^2\times2}=22\sqrt{2}\)। \(21\sqrt{2}\) निकट लग सकता है, पर \(21^2\times2=882\) होता है, 968 नहीं। परीक्षा टिप: वर्गमूल को सरल करने के लिए संख्या में सबसे बड़ा पूर्ण वर्ग गुणनखंड खोजें। / \(968=484\times2=22^2\times2\). Therefore, \(\sqrt{968}=\sqrt{22^2\times2}=22\sqrt{2}\). Although \(21\sqrt{2}\) may seem close, \(21^2\times2=882\), not 968. Exam tip: to simplify a square root, identify the greatest perfect-square factor of the number.
क्योंकि \(529=23^2\), इसलिए \(\sqrt{529}=23\)। अतः \(x=\frac{23}{\sqrt{23}}=\frac{\sqrt{23}\times\sqrt{23}}{\sqrt{23}}=\sqrt{23}\)। विकल्प 23 इसलिए गलत है क्योंकि हर में \(\sqrt{23}\) से भाग देना शेष रहता है। परीक्षा टिप: \(a=\sqrt{a}\times\sqrt{a}\) का उपयोग करके ऐसे वर्गमूल वाले भिन्न को सरल करें। / Since \(529=23^2\), we get \(\sqrt{529}=23\). Therefore, \(x=\frac{23}{\sqrt{23}}=\frac{\sqrt{23}\times\sqrt{23}}{\sqrt{23}}=\sqrt{23}\). Option 23 is incorrect because division by \(\sqrt{23}\) still remains. Exam tip: Use \(a=\sqrt{a}\times\sqrt{a}\) to simplify fractions involving square roots.
\(726=121\times6=11^2\times6\) है। इसलिए \(\sqrt{726}=\sqrt{11^2\times6}=11\sqrt{6}\)। विकल्प \(11\sqrt{7}\) गलत है, क्योंकि उसके वर्ग के भीतर संख्या \(121\times7=847\) होगी। परीक्षा टिप: वर्गमूल को सरल करने के लिए संख्या का सबसे बड़ा पूर्ण-वर्ग गुणनखंड पहचानें। / Since \(726=121\times6=11^2\times6\), \(\sqrt{726}=\sqrt{11^2\times6}=11\sqrt{6}\). The option \(11\sqrt{7}\) is incorrect because its radicand would be \(121\times7=847\). Exam tip: to simplify a square root, first identify the greatest perfect-square factor of the number.
\(288=144\times 2=12^2\times 2\) है। इसलिए \(\sqrt{288}=\sqrt{12^2\times 2}=12\sqrt{2}\)। विकल्प A, \(6\sqrt{8}\), का मान भी \(12\sqrt{2}\) के बराबर है, लेकिन यह पूर्णतः सरल रूप नहीं है क्योंकि \(\sqrt{8}\) को आगे सरल किया जा सकता है। परीक्षा टिप: वर्गमूल को सरल करते समय संख्या में सबसे बड़ा पूर्ण वर्ग गुणनखंड पहचानें। / Since \(288=144\times 2=12^2\times 2\), \(\sqrt{288}=\sqrt{12^2\times 2}=12\sqrt{2}\). Option A, \(6\sqrt{8}\), has the same value but is not in simplest form because \(\sqrt{8}\) can be simplified further. Exam tip: to simplify a surd, identify the greatest perfect-square factor of the number.
क्योंकि \(6^2=36\) और \(7^2=49\), इसलिए \(\sqrt{41}\), 6 और 7 के बीच है। साथ ही \(6.5^2=42.25\) है और \(41<42.25\), अतः \(\sqrt{41}<6.5\)। इसलिए \(\sqrt{41}\) 7 की अपेक्षा 6 के अधिक निकट है; इसका मान लगभग 6.40 है। परीक्षा टिप: दो क्रमागत पूर्णांकों के वर्गों की तुलना करके वर्गमूल का निकटतम पूर्णांक जल्दी ज्ञात करें। / Since \(6^2=36\) and \(7^2=49\), \(\sqrt{41}\) lies between 6 and 7. Also, \(6.5^2=42.25\) and \(41<42.25\), so \(\sqrt{41}<6.5\). Therefore, \(\sqrt{41}\) is closer to 6 than to 7; its value is about 6.40. Exam tip: Compare the squares of consecutive integers to quickly identify the nearest integer to a square root.
\(\sqrt{32}=\sqrt{16\times2}=4\sqrt{2}\) और \(\sqrt{18}=\sqrt{9\times2}=3\sqrt{2}\)। अतः \(a+b=4\sqrt{2}+3\sqrt{2}=7\sqrt{2}\)। \(6\sqrt{2}\) तब मिलता यदि गुणांकों का योग 6 होता, लेकिन यहाँ गुणांक 4 और 3 हैं। परीक्षा टिप: करणी वाले पदों को जोड़ने से पहले उन्हें सरल करके समान करणी में लिखें। / \(\sqrt{32}=\sqrt{16\times2}=4\sqrt{2}\) and \(\sqrt{18}=\sqrt{9\times2}=3\sqrt{2}\). Therefore, \(a+b=4\sqrt{2}+3\sqrt{2}=7\sqrt{2}\). \(6\sqrt{2}\) would result only if the coefficients added to 6; here they are 4 and 3. Exam tip: simplify surds into like radical terms before adding them.
\(847=49\times17=7^2\times17\)। अतः \(\sqrt{847}=\sqrt{7^2\times17}=7\sqrt{17}\)। \(17\) पूर्ण वर्ग नहीं है, इसलिए इसे और सरल नहीं किया जा सकता। \(7\sqrt{121}=77\) है, इसलिए वह \(\sqrt{847}\) के बराबर नहीं है। परीक्षा टिप: वर्गमूल को सरल करने के लिए संख्या में सबसे बड़ा पूर्ण वर्ग गुणनखंड खोजें। / \(847=49\times17=7^2\times17\). Therefore, \(\sqrt{847}=\sqrt{7^2\times17}=7\sqrt{17}\). Since \(17\) is not a perfect square, the expression cannot be simplified further. Also, \(7\sqrt{121}=77\), so it is not equal to \(\sqrt{847}\). Exam tip: To simplify a square root, identify the greatest perfect-square factor of the number.
\(\sqrt{625}=25\) और \(\sqrt{361}=19\), क्योंकि \(25^2=625\) तथा \(19^2=361\)। इसलिए \(x=25-19=6\)। अतः सही विकल्प 6 है। 5 तब मिलता यदि किसी वर्गमूल का मान गलत लिया जाए। परीक्षा टिप: पूर्ण वर्ग संख्याओं के वर्गमूल निकालते समय उत्तर का वर्ग करके तुरंत जाँच करें। / \(\sqrt{625}=25\) and \(\sqrt{361}=19\), since \(25^2=625\) and \(19^2=361\). Therefore, \(x=25-19=6\). Hence, 6 is the correct option. A value such as 5 can result from evaluating one of the square roots incorrectly. Exam tip: verify a square root quickly by squaring your answer.
यहाँ \(ab=\sqrt{45}\times\sqrt{20}=\sqrt{45\times20}=\sqrt{900}=30\) है। वैकल्पिक रूप से, \(\sqrt{45}=3\sqrt{5}\) और \(\sqrt{20}=2\sqrt{5}\), इसलिए \(ab=(3\sqrt{5})(2\sqrt{5})=6\times5=30\)। \(20\) केवल \(b^2\) का मान है, \(ab\) का नहीं। परीक्षा टिप: वर्गमूलों के गुणन में पहले \(\sqrt{x}\sqrt{y}=\sqrt{xy}\) लगाकर पूर्ण वर्ग पहचानें। / Here, \(ab=\sqrt{45}\times\sqrt{20}=\sqrt{45\times20}=\sqrt{900}=30\). Alternatively, \(\sqrt{45}=3\sqrt{5}\) and \(\sqrt{20}=2\sqrt{5}\), so \(ab=(3\sqrt{5})(2\sqrt{5})=6\times5=30\). The value \(20\) is only \(b^2\), not \(ab\). Exam tip: while multiplying square roots, use \(\sqrt{x}\sqrt{y}=\sqrt{xy}\) and look for a perfect square.
क्योंकि \(8^2=64<70\), इसलिए \(\sqrt{70}>8\)। तथा \(9^2=81\), जो 70 और 90 के बीच है; अतः \(\sqrt{70}<9<\sqrt{90}\)। इसलिए सही संख्या 9 है। 8, \(\sqrt{70}\) से छोटा है, जबकि 10, \(\sqrt{90}\) से बड़ा है। परीक्षा टिप: वर्गमूलों के बीच पूर्णांक ज्ञात करने के लिए उस पूर्णांक का वर्ग लेकर सीमाओं से तुलना करें। / Since \(8^2=64<70\), we have \(\sqrt{70}>8\). Also, \(9^2=81\), which lies between 70 and 90; therefore, \(\sqrt{70}<9<\sqrt{90}\). Hence, 9 is the correct number. While 8 is less than \(\sqrt{70}\), 10 is greater than \(\sqrt{90}\). Exam tip: To find an integer between square roots, compare the square of that integer with the given numbers.
क्योंकि \(507=169\times3=13^2\times3\), इसलिए \(\sqrt{507}=\sqrt{13^2\times3}=13\sqrt{3}\)। अतः सही विकल्प \(13\sqrt{3}\) है। \(12\sqrt{3}\) लेने पर उसका वर्ग \(432\) होगा, जो \(507\) नहीं है। परीक्षा टिप: वर्गमूल को सरल करने के लिए संख्या में सबसे बड़ा पूर्ण वर्ग गुणनखंड खोजें। / Since \(507=169\times3=13^2\times3\), \(\sqrt{507}=\sqrt{13^2\times3}=13\sqrt{3}\). Therefore, \(13\sqrt{3}\) is correct. For example, \(12\sqrt{3}\) squares to \(432\), not \(507\). Exam tip: To simplify a square root, first identify the greatest perfect-square factor of the number.
\(\sqrt{441}=21\) और \(\sqrt{324}=18\) हैं। अतः \(x=21+18=39\), इसलिए सही विकल्प C है। 38 का विकल्प तब आ सकता है जब किसी वर्गमूल का मान गलत निकाला जाए। परीक्षा में पूर्ण वर्गों के वर्गमूल अलग-अलग निकालकर फिर जोड़ें। / \(\sqrt{441}=21\) and \(\sqrt{324}=18\). Therefore, \(x=21+18=39\), so option C is correct. Option 38 may result from calculating one of the square roots incorrectly. In exams, evaluate each perfect square root separately before adding.
\(1200=400\times 3\) और \(400\) पूर्ण वर्ग है। इसलिए \(\sqrt{1200}=\sqrt{400\times3}=\sqrt{400}\sqrt{3}=20\sqrt{3}\)। विकल्प \(10\sqrt{3}\) में गुणांक आधा है, इसलिए वह सही नहीं है। परीक्षा टिप: वर्गमूल को सरल करने के लिए संख्या में सबसे बड़ा पूर्ण-वर्ग गुणनखंड पहचानें। / Since \(1200=400\times 3\), and \(400\) is a perfect square, \(\sqrt{1200}=\sqrt{400\times3}=\sqrt{400}\sqrt{3}=20\sqrt{3}\). The option \(10\sqrt{3}\) has only half the required coefficient, so it is incorrect. Exam tip: to simplify a square root, first identify the greatest perfect-square factor of the number.
चूँकि \(9^2=81\) और \(10^2=100\), इसलिए \(\sqrt{95}\) 9 और 10 के बीच है। \(\sqrt{95}\approx 9.75\) है, जो 9 की अपेक्षा 10 के अधिक निकट है। इसलिए सही उत्तर 10 है। 9 निकट दिखता है, पर उससे दूरी लगभग 0.75 है, जबकि 10 से दूरी लगभग 0.25 है। परीक्षा टिप: किसी वर्गमूल का निकटतम पूर्णांक ज्ञात करने के लिए उसके आसपास के पूर्ण वर्गों की तुलना करें। / Since \(9^2=81\) and \(10^2=100\), \(\sqrt{95}\) lies between 9 and 10. Its approximate value is \(9.75\), which is closer to 10 than to 9. Therefore, 10 is the correct answer. Although 9 is nearby, its distance from \(\sqrt{95}\) is about 0.75, while the distance from 10 is about 0.25. Exam tip: Compare the nearby perfect squares to estimate the nearest integer to a square root.
\(1452=484\times 3=22^2\times 3\)। अतः \(\sqrt{1452}=\sqrt{22^2\times 3}=22\sqrt{3}\)। इसलिए सही उत्तर \(22\sqrt{3}\) है। \(11\sqrt{3}\) में 11 का गुणनफल बाहर निकाला गया है, जबकि पूर्ण वर्ग \(22^2\) है। परीक्षा टिप: वर्गमूल को सरल करने के लिए संख्या में सबसे बड़ा पूर्ण वर्ग गुणनखंड पहचानें। / \(1452=484\times 3=22^2\times 3\). Therefore, \(\sqrt{1452}=\sqrt{22^2\times 3}=22\sqrt{3}\). Hence, \(22\sqrt{3}\) is correct. \(11\sqrt{3}\) is incorrect because the largest square factor is \(22^2\), not \(11^2\). Exam tip: To simplify a surd, first identify the greatest perfect-square factor of the number inside the square root.
