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p(3)=4×3+7=19 तथा p(1)=4×1+7=11। अतः p(3)-p(1)=19-11=8। विकल्प 4 केवल गुणांक है, अंतर नहीं। परीक्षा टिप: बहुपद के मान निकालते समय x के स्थान पर दी गई संख्या को सावधानी से रखकर फिर घटाव करें। / p(3)=4×3+7=19 and p(1)=4×1+7=11. Therefore, p(3)-p(1)=19-11=8. Option 4 is only the coefficient, not the required difference. Exam tip: substitute each given value of x carefully before subtracting the polynomial values.
रेखीय बहुपद में \(x\) का गुणांक शून्य नहीं होना चाहिए। यहाँ \(x\) का गुणांक \(m+4\) है। \(m=-4\) रखने पर \(m+4=0\) हो जाता है और व्यंजक \(-9\) बनता है, जो एक अचर बहुपद है, रेखीय बहुपद नहीं। उदाहरण के लिए, \(m=0\) पर गुणांक \(4\) रहता है, इसलिए बहुपद रेखीय है। परीक्षा टिप: पैरामीटर वाले रेखीय बहुपद में चर के गुणांक को शून्य के बराबर रखकर आवश्यक मान ज्ञात करें। / For a polynomial to be linear, the coefficient of \(x\) must be non-zero. Here, the coefficient of \(x\) is \(m+4\). When \(m=-4\), \(m+4=0\), so the expression becomes \(-9\), a constant polynomial rather than a linear polynomial. For example, when \(m=0\), the coefficient is \(4\), so the polynomial is still linear. Exam tip: In parameter-based linear polynomials, set the coefficient of the variable equal to zero to find when it stops being linear.
किसी बहुपद का शून्यक वह मान होता है जिसके लिए बहुपद का मान 0 हो जाए। यहाँ \(6x-18=0\) रखने पर \(6x=18\), इसलिए \(x=3\) मिलता है। अतः सही उत्तर 3 है। \(-3\) रखने पर \(6(-3)-18=-36\) आता है, इसलिए वह शून्यक नहीं है। परीक्षा टिप: रेखीय बहुपद \(ax+b\) का शून्यक \(-\frac{b}{a}\) होता है। / A zero of a polynomial is a value that makes the polynomial equal to 0. Here, \(6x-18=0\) gives \(6x=18\), so \(x=3\). Therefore, the correct answer is 3. Substituting \(-3\) gives \(6(-3)-18=-36\), so it is not a zero. Exam tip: the zero of a linear polynomial \(ax+b\) is \(-\frac{b}{a}\).
कोष्ठक खोलने पर \(5(x-2)=5x-10\) मिलता है। अतः \(5x-10-3x+4=2x-6\)। इसलिए सही बहुपद \(2x-6\) है। \(2x+6\) निकटतम गलत विकल्प है, जो स्थिर पदों \(-10\) और \(+4\) को गलत तरीके से जोड़ने पर मिल सकता है। परीक्षा टिप: पहले वितरण गुण से कोष्ठक खोलें, फिर समान पदों को मिलाएँ। / On opening the bracket, \(5(x-2)=5x-10\). Therefore, \(5x-10-3x+4=2x-6\). Hence, the correct polynomial is \(2x-6\). The close distractor \(2x+6\) can result from incorrectly adding the constant terms \(-10\) and \(+4\). Exam tip: first use the distributive property to open brackets, then combine like terms.
शून्यक 3 होने का अर्थ है कि x=3 रखने पर बहुपद का मान 0 होगा। अतः p(3)=3a+12=0। इसलिए 3a=-12 और a=-4। विकल्प 4 लेने पर 3(4)+12=24 होगा, जो शून्य नहीं है। परीक्षा टिप: किसी बहुपद का शून्यक दिया हो, तो उस मान को x के स्थान पर रखकर p(x)=0 लिखें। / A zero of 3 means that the polynomial becomes 0 when x=3. Thus, p(3)=3a+12=0. Hence, 3a=-12 and a=-4. If a=4, then 3(4)+12=24, not 0. Exam tip: When a zero is given, substitute that value for x and set p(x)=0.
\(5x-3x+5\) में समान पद \(5x\) और \(-3x\) हैं। इन्हें जोड़ने पर \(2x\) मिलता है, इसलिए व्यंजक \(2x+5\) बनता है। विकल्प B में स्थिर पद \(-5\) है, जबकि विकल्प C में \(x^2\) होने से वह रेखीय बहुपद नहीं है। परीक्षा टिप: समान घात वाले पदों को ही मिलाएँ। / In \(5x-3x+5\), \(5x\) and \(-3x\) are like terms. Combining them gives \(2x\), so the expression becomes \(2x+5\). Option B has the constant term \(-5\), while option C contains \(x^2\), so it is not linear. Exam tip: Combine only terms with the same variable and exponent.
पहले बहुपदों को जोड़ें: \(p(x)+q(x)=(3x-5)+(x+7)=4x+2\)। इसमें \(x\) की सबसे बड़ी घात 1 है, इसलिए योग बहुपद की डिग्री 1 है। डिग्री 0 तभी होती जब योग एक अशून्य अचर बहुपद होता। परीक्षा टिप: जोड़ने के बाद समान पदों को मिलाकर प्राप्त बहुपद की सबसे बड़ी घात देखें। / First add the polynomials: \(p(x)+q(x)=(3x-5)+(x+7)=4x+2\). The highest power of \(x\) is 1, so the degree of the sum is 1. Degree 0 would apply only if the sum were a non-zero constant polynomial. Exam tip: after adding polynomials, combine like terms and identify the highest exponent in the result.
p(x)-q(x)=(5x+4)-(5x-6)=5x+4-5x+6=10। इसमें x का कोई पद नहीं बचता, इसलिए यह अशून्य नियतांक बहुपद है। शून्य बहुपद केवल तब होता जब सभी पद कटकर 0 प्राप्त होता। परीक्षा टिप: घटाते समय दूसरे बहुपद के प्रत्येक पद का चिह्न बदलना न भूलें। / p(x)-q(x)=(5x+4)-(5x-6)=5x+4-5x+6=10. No term containing x remains, so the result is a non-zero constant polynomial. It is not a zero polynomial, which would require the result to be 0. Exam tip: while subtracting polynomials, change the sign of every term in the second polynomial.
यदि \((-2)\), \(((k-7)x+14)\) का शून्यक है, तो \(x=-2\) रखने पर बहुपद का मान 0 होगा: \((k-7)(-2)+14=0\)। अतः \(-2k+14+14=0\), यानी \(-2k+28=0\), जिससे \(k=14\) प्राप्त होता है। \(k=7\) रखने पर \(x\) का गुणांक 0 हो जाता है और व्यंजक 14 रहता है, इसलिए उसका कोई शून्यक नहीं होता। परीक्षा टिप: शून्यक दिया हो तो उसे \(x\) के स्थान पर रखकर बहुपद को 0 के बराबर करें। / If \((-2)\) is a zero of \(((k-7)x+14)\), substituting \(x=-2\) must make the polynomial equal to 0: \((k-7)(-2)+14=0\). Thus, \(-2k+14+14=0\), or \(-2k+28=0\), which gives \(k=14\). For \(k=7\), the coefficient of \(x\) becomes 0 and the expression is 14, so it has no zero. Exam tip: When a zero is given, substitute it for \(x\) and equate the polynomial to 0.
दिया है p(x)=2x-7। x के स्थान पर -3 रखने पर p(-3)=2(-3)-7=-6-7=-13 प्राप्त होता है। इसलिए सही विकल्प -13 है। -1 तब मिलता है जब 2(-3) को गलती से 6 मान लिया जाए। परीक्षा टिप: ऋणात्मक संख्या रखने पर गुणा और घटाव के चिन्हों को अलग-अलग चरणों में लिखें। / Given p(x)=2x-7, substitute -3 for x: p(-3)=2(-3)-7=-6-7=-13. Therefore, -13 is correct. The distractor -1 may result from incorrectly treating 2(-3) as 6. Exam tip: when substituting a negative value, write each sign step separately.
किसी बहुपद का शून्यक वह मान है जिस पर उसका मान 0 हो जाता है। \(x=\frac{5}{4}\) को \(4x-5\) में रखने पर \(4\times\frac{5}{4}-5=5-5=0\) मिलता है। इसलिए \(4x-5\) का शून्यक \(\frac{5}{4}\) है। निकटतम विकल्प \(4x+5\) का शून्यक \(-\frac{5}{4}\) होता है। परीक्षा टिप: \(ax+b\) का शून्यक \(-\frac{b}{a}\) होता है। / A zero of a polynomial is a value of x that makes the polynomial equal to 0. Substituting \(x=\frac{5}{4}\) in \(4x-5\) gives \(4\times\frac{5}{4}-5=5-5=0\). Hence, \(4x-5\) has zero \(\frac{5}{4}\). The closest distractor, \(4x+5\), has zero \(-\frac{5}{4}\). Exam tip: the zero of \(ax+b\) is \(-\frac{b}{a}\).
दिया है कि \(p(x)=6x+c\)। अतः \(x=2\) रखने पर \(p(2)=6(2)+c=12+c\) होगा। क्योंकि \(p(2)=17\), इसलिए \(12+c=17\), अतः \(c=5\)। विकल्प 7 लेने पर \(p(2)=19\) मिलता, जो दिए गए मान 17 के बराबर नहीं है। परीक्षा टिप: बहुपद का मान ज्ञात करने के लिए दिए गए \(x\) का मान हर जगह सावधानी से प्रतिस्थापित करें। / Given \(p(x)=6x+c\). Substituting \(x=2\), we get \(p(2)=6(2)+c=12+c\). Since \(p(2)=17\), \(12+c=17\), so \(c=5\). If 7 were chosen, then \(p(2)=19\), not the given value 17. Exam tip: while evaluating a polynomial, substitute the given value of \(x\) carefully in every term.
किसी बहुपद का शून्यक वह मान होता है, जिसे रखने पर बहुपद का मान 0 हो जाए। \(x=-4\) रखने पर \(x+4=-4+4=0\) मिलता है, इसलिए \(x+4\) सही रेखीय बहुपद है। \(x-4\) में \(-4\) रखने पर \(-8\) मिलता है, इसलिए वह सही नहीं है। परीक्षा टिप: \(x+a\) का शून्यक \(-a\) होता है। / A zero of a polynomial is a value that makes the polynomial equal to 0. On substituting \(x=-4\), \(x+4=-4+4=0\); hence, \(x+4\) is the correct linear polynomial. In contrast, \(x-4\) gives \(-8\) at \(x=-4\), so it is not correct. Exam tip: the zero of \(x+a\) is \(-a\).
कोष्ठक खोलने पर \(3(x+1)+2(x-4)=3x+3+2x-8\) मिलता है। समान पदों को जोड़ने पर \(3x+2x=5x\) और \(3-8=-5\) होता है, इसलिए बहुपद \(5x-5\) है। \(5x+5\) में स्थिर पद का चिह्न गलत है। परीक्षा टिप: कोष्ठक के बाहर की संख्या को कोष्ठक के प्रत्येक पद से गुणा करें। / Opening the brackets gives \(3(x+1)+2(x-4)=3x+3+2x-8\). Combining like terms, \(3x+2x=5x\) and \(3-8=-5\), so the polynomial is \(5x-5\). In \(5x+5\), the sign of the constant term is incorrect. Exam tip: multiply the number outside each bracket by every term inside it.
शून्यक ज्ञात करने के लिए बहुपद को शून्य के बराबर रखते हैं: \(9-3x=0\)। अतः \(3x=9\), इसलिए \(x=3\)। इसलिए सही उत्तर 3 है। \(-3\) रखने पर \(9-3(-3)=18\) मिलता है, जो शून्य नहीं है। परीक्षा में शून्यक जाँचने के लिए प्राप्त मान को बहुपद में रखकर देखें कि उसका मान 0 आता है या नहीं। / To find the zero, set the polynomial equal to zero: \(9-3x=0\). Thus, \(3x=9\), so \(x=3\). Therefore, 3 is the correct answer. Substituting \(-3\) gives \(9-3(-3)=18\), not zero. In an exam, verify a zero by substituting the value back into the polynomial and checking whether the result is 0.
रेखीय बहुपद का घात 1 होता है और उसका रूप \(ax+b\), जहाँ \(a\ne0\), होता है। \(p(x)=x-6\) के लिए \(p(0)=0-6=-6\) है, इसलिए विकल्प B सही है। \(p(x)=-6\) में \(p(0)=-6\) तो है, लेकिन वह अचर बहुपद है, रेखीय नहीं। परीक्षा टिप: \(p(0)\) ज्ञात करने के लिए \(x\) के स्थान पर 0 रखें। / A linear polynomial has degree 1 and is of the form \(ax+b\), where \(a\ne0\). For \(p(x)=x-6\), \(p(0)=0-6=-6\), so option B is correct. Although \(p(x)=-6\) gives \(p(0)=-6\), it is a constant polynomial, not a linear one. Exam tip: To find \(p(0)\), substitute 0 for \(x\).
दिया है कि
p(t)=21
और
p(x)=4x+1
। अतः
p(t)=4t+1
होगा। इसलिए
4t+1=21
, जिससे
4t=20
और
t=5
मिलता है। विकल्प 4 लेने पर
p(4)=17
होगा, 21 नहीं। परीक्षा टिप: किसी बहुपद में
x
के स्थान पर
t
रखने के बाद दिए गए मान के बराबर करके समीकरण हल करें। / Given
p(t)=21
and
p(x)=4x+1
, we get
p(t)=4t+1
. Hence,
4t+1=21
, so
4t=20
and
t=5
. If
t=4
, then
p(4)=17
, not 21. Exam tip: substitute the given input into the polynomial and equate it to the stated value before solving.
विकल्प C में बहुपद \(x+5\) है, जो घात 1 का होने के कारण रेखीय बहुपद है। इसका शून्यक पाने के लिए \(x+5=0\) रखते हैं, जिससे \(x=-5\) मिलता है। अतः इसका शून्यक ऋणात्मक है। इसके विपरीत, \(x-6\) का शून्यक \(6\) है, जो धनात्मक है। परीक्षा टिप: \(ax+b\) का शून्यक \(-\frac{b}{a}\) होता है। / In option C, \(x+5\) is a linear polynomial because its degree is 1. Setting \(x+5=0\) gives \(x=-5\), so its zero is negative. In contrast, the zero of \(x-6\) is \(6\), which is positive. Exam tip: the zero of \(ax+b\) is \(-\frac{b}{a}\).
किसी बहुपद का शून्यक वह मान होता है जिसके लिए बहुपद का मान 0 हो। अतः \(p(-2)=0\) रखने पर \(3(-2)+a=0\) मिलता है। इसलिए \(-6+a=0\), जिससे \(a=6\) है। \(-6\) लेने पर \(p(-2)=-12\) होगा, जो शून्य नहीं है। परीक्षा टिप: शून्यक दिया हो तो उसे सीधे \(x\) के स्थान पर रखकर बहुपद को 0 के बराबर करें। / A zero of a polynomial is a value for which the polynomial equals 0. Thus, putting \(p(-2)=0\), we get \(3(-2)+a=0\). Hence, \(-6+a=0\), so \(a=6\). If \(a=-6\), then \(p(-2)=-12\), not 0. Exam tip: Substitute the given zero for \(x\) and equate the polynomial to 0.
q(x)-p(x)=(x+5)-(x+2)=x+5-x-2=3। चूँकि परिणाम में x वाला कोई पद नहीं है और 3 एक अशून्य नियतांक है, इसलिए यह नियतांक बहुपद है। रेखीय बहुपद में x की घात 1 का पद होना चाहिए, जो यहाँ कट जाता है। परीक्षा टिप: बहुपदों को घटाते समय दूसरे कोष्ठक के प्रत्येक पद का चिन्ह बदलें। / q(x)-p(x)=(x+5)-(x+2)=x+5-x-2=3. Since the result has no x-term and 3 is a non-zero constant, it is a constant polynomial. A linear polynomial must contain a term with x to the power 1, but those terms cancel here. Exam tip: While subtracting polynomials, change the sign of every term in the second bracket.
शून्यक \(4\) होने का अर्थ है कि \(x=4\) रखने पर बहुपद का मान \(0\) होगा। अतः \(2(4)+b=0\), यानी \(8+b=0\)। इसलिए \(b=-8\) है। \(-4\) लेने पर \(2(4)-4=4\) मिलता है, जो शून्य नहीं है। परीक्षा टिप: शून्यक दिए होने पर उसे बहुपद में रखकर उसका मान \(0\) के बराबर करें। / Since \(4\) is a zero, the polynomial must have value \(0\) when \(x=4\). Thus, \(2(4)+b=0\), or \(8+b=0\). Therefore, \(b=-8\). If \(b=-4\), then \(2(4)-4=4\), not zero. Exam tip: Substitute the given zero into the polynomial and equate its value to \(0\).
\(x=6\) रखने पर \(p(6)=\frac{2}{3}\times 6+5=4+5=9\) प्राप्त होता है। इसलिए सही विकल्प 9 है। 8 प्राप्त करना \(\frac{2}{3}\times6\) का मान गलत निकालने से हो सकता है; इसका मान 4 है, 3 नहीं। परीक्षा टिप: बहुपद का मान ज्ञात करते समय दिए गए \(x\) का मान हर \(x\) के स्थान पर रखकर पहले गुणा करें, फिर जोड़ या घटाव करें। / Substituting \(x=6\), we get \(p(6)=\frac{2}{3}\times 6+5=4+5=9\). Hence, 9 is the correct option. Option 8 may result from incorrectly evaluating \(\frac{2}{3}\times6\) as 3; its value is 4. Exam tip: while evaluating a polynomial, substitute the given value for every \(x\), then perform multiplication before addition or subtraction.
दिया गया व्यंजक \((3a-6)x+1\) तभी रेखीय बहुपद है जब \(x\) का गुणांक शून्य न हो। रेखीय न रहने के लिए \(3a-6=0\) होना चाहिए। अतः \(3a=6\), इसलिए \(a=2\)। इस मान पर व्यंजक केवल \(1\) रह जाता है, जो एक स्थिर बहुपद है, रेखीय नहीं। परीक्षा टिप: पैरामीटर वाले बहुपद में घात वाले पद के गुणांक को शून्य करके विशेष मान ज्ञात करें। / The expression \((3a-6)x+1\) is linear only when the coefficient of \(x\) is non-zero. For it to stop being linear, \(3a-6=0\). Thus, \(3a=6\), so \(a=2\). At this value, the expression becomes \(1\), a constant polynomial rather than a linear polynomial. Exam tip: In parameter-based polynomials, set the coefficient of the highest-degree term equal to zero to find when the degree changes.
दिया है \(p(x)=8x-12\) और \(p(x)=4\)। इसलिए \(8x-12=4\)। दोनों पक्षों में 12 जोड़ने पर \(8x=16\) मिलता है, अतः \(x=2\)। \(x=1\) रखने पर \(p(1)=-4\) आता है, इसलिए वह सही नहीं है। परीक्षा टिप: किसी बहुपद का दिया गया मान मिलने पर पहले \(p(x)\) के स्थान पर वह मान रखकर समीकरण हल करें। / Given \(p(x)=8x-12\) and \(p(x)=4\), we get \(8x-12=4\). Adding 12 to both sides gives \(8x=16\), so \(x=2\). For example, \(x=1\) gives \(p(1)=-4\), so it is not correct. Exam tip: when a value of a polynomial is given, substitute that value for \(p(x)\) and solve the resulting equation.
किसी रेखीय बहुपद \(ax+b\) में \(x=0\) रखने पर मान \(b\), अर्थात नियतांक पद, मिलता है। \(x+9\) के लिए \(0+9=9\), इसलिए यह सही विकल्प है। \(x-9\) का मान \(-9\) होगा, जबकि \(9x\) का मान \(0\) होगा। परीक्षा टिप: \(x=0\) पर बहुपद का मान तुरंत उसके नियतांक पद से पहचाना जा सकता है। / For a linear polynomial \(ax+b\), substituting \(x=0\) gives \(b\), the constant term. For \(x+9\), we get \(0+9=9\), so it is correct. In contrast, \(x-9\) gives \(-9\), while \(9x\) gives \(0\). Exam tip: At \(x=0\), the value of a polynomial is its constant term.
दिया है कि p(x)=7x+c। x=1 रखने पर p(1)=7(1)+c=7+c होता है। क्योंकि p(1)=2 है, इसलिए 7+c=2, अतः c=-5। विकल्प 5 लेने पर p(1)=12 हो जाएगा, इसलिए वह सही नहीं है। परीक्षा टिप: बहुपद का मान ज्ञात करने वाले प्रश्नों में दिए गए x का मान सीधे बहुपद में रखकर समीकरण हल करें। / Given p(x)=7x+c, substituting x=1 gives p(1)=7(1)+c=7+c. Since p(1)=2, we have 7+c=2, so c=-5. If c were 5, then p(1) would be 12, not 2. Exam tip: In polynomial-value questions, substitute the given value of x first and then solve the resulting equation.
दिया है कि p(6)=0। बहुपद p(x)=x+a में x=6 रखने पर p(6)=6+a होता है। अतः 6+a=0, इसलिए a=-6। विकल्प 6 लेने पर p(6)=12 होगा, जो शून्य नहीं है। परीक्षा टिप: किसी शून्यक का मान बहुपद में रखने पर प्राप्त मान 0 होना चाहिए। / Given p(6)=0, substitute x=6 in p(x)=x+a. This gives p(6)=6+a, so 6+a=0 and hence a=-6. If a were 6, then p(6) would be 12, not 0. Exam tip: on substituting a zero of a polynomial, the polynomial value must be 0.
दिया है p(x)=3x-2। अतः p(2)=3(2)-2=4 और p(-2)=3(-2)-2=-8। इसलिए p(2)+p(-2)=4+(-8)=-4। विकल्प 4 केवल p(2) का मान है, योग नहीं। परीक्षा टिप: ऋणात्मक मान रखने पर 3x का चिह्न बदलना न भूलें। / Given p(x)=3x-2, p(2)=3(2)-2=4 and p(-2)=3(-2)-2=-8. Hence, p(2)+p(-2)=4+(-8)=-4. The option 4 is only the value of p(2), not the required sum. Exam tip: when substituting a negative value, take care of the sign of the term 3x.
बहुपद \(5x+5\) में \(x\) का गुणांक \(5\) है। इसका शून्यक ज्ञात करने के लिए \(5x+5=0\) रखें। इससे \(5x=-5\), अतः \(x=-1\) मिलता है। \(5x-5\) में गुणांक तो \(5\) है, लेकिन उसका शून्यक \(1\) है। परीक्षा टिप: रैखिक बहुपद \(ax+b\) का शून्यक \(-\frac{b}{a}\) होता है। / In the polynomial \(5x+5\), the coefficient of \(x\) is \(5\). To find its zero, set \(5x+5=0\). This gives \(5x=-5\), so \(x=-1\). Although \(5x-5\) also has coefficient \(5\), its zero is \(1\), not \(-1\). Exam tip: the zero of a linear polynomial \(ax+b\) is \(-\frac{b}{a}\).
A. कथन गलत है; \(7-2x\) रैखिक बहुपद है क्योंकि \(x\) की घात 1 है और उसका गुणांक शून्य नहीं है।/The statement is incorrect; \(7-2x\) is a linear polynomial because the degree of \(x\) is 1 and its coefficient is non-zero.
Explanation
Simple Explanation
रैखिक बहुपद का रूप \(ax+b\) होता है, जहाँ \(a\ne0\)। यहाँ \(a=-2\) और \(b=7\) है, इसलिए घात 1 है। ऋणात्मक गुणांक मान्य है; केवल \(a=0\) होने पर व्यंजक स्थिर होगा। परीक्षा टिप: घात देखें, गुणांक का चिन्ह नहीं। / A linear polynomial has the form \(ax+b\), where \(a\ne0\). Here \(a=-2\) and \(b=7\), so the degree is 1. A negative coefficient is valid; only \(a=0\) makes it constant. Exam tip: check the highest power, not the sign of the coefficient.
दिया है कि \(p(x)=5x+8\)। अतः \(p(x)-8=(5x+8)-8=5x\)। बहुपद \(5x\) में \(x\) की सबसे बड़ी घात \(1\) है, इसलिए इसकी डिग्री \(1\) है। विकल्प \(0\) तब होता जब केवल कोई अशून्य स्थिरांक बचता। परीक्षा टिप: सरल करने के बाद बहुपद में चर की सबसे बड़ी घात देखकर डिग्री ज्ञात करें। / Given \(p(x)=5x+8\), we get \(p(x)-8=(5x+8)-8=5x\). The highest power of \(x\) in \(5x\) is \(1\), so its degree is \(1\). Option \(0\) would apply only if a non-zero constant term alone remained. Exam tip: simplify the expression first, then identify the highest exponent of the variable.
दिया है p(x)=3x-4। अतः p(x)-3x=(3x-4)-3x=-4। चूँकि -4 एक अशून्य नियतांक है और इसमें x का कोई पद नहीं है, इसलिए यह नियतांक बहुपद है। शून्य बहुपद केवल 0 होता है, जबकि यहाँ मान -4 है। परीक्षा टिप: पहले x वाले पदों को काटकर शेष पद की घात देखें। / Given p(x)=3x-4, p(x)-3x=(3x-4)-3x=-4. Since -4 is a non-zero constant and contains no term in x, it is a constant polynomial. It is not a zero polynomial, because a zero polynomial must equal 0. Exam tip: simplify first, then identify the polynomial type from the degree of the remaining expression.
किसी बहुपद का शून्यक वह मान होता है जिसे रखने पर बहुपद का मान 0 हो जाए। \(5x+4\) में \(x=-\frac{4}{5}\) रखने पर \(5\left(-\frac{4}{5}\right)+4=-4+4=0\) मिलता है। इसलिए विकल्प C सही है। विकल्प A, \(5x-4\), का शून्यक \(\frac{4}{5}\) है, क्योंकि उसमें स्थिर पद का चिन्ह अलग है। परीक्षा टिप: \(ax+b\) का शून्यक \(-\frac{b}{a}\) होता है। / A zero of a polynomial is a value that makes the polynomial equal to 0. Substituting \(x=-\frac{4}{5}\) in \(5x+4\) gives \(5\left(-\frac{4}{5}\right)+4=-4+4=0\). Hence, option C is correct. Option A, \(5x-4\), has zero \(\frac{4}{5}\) because its constant term has the opposite sign. Exam tip: the zero of \(ax+b\) is \(-\frac{b}{a}\).
दिया है, \(p(x)=12-5x\)। \(x=2\) रखने पर \(p(2)=12-5(2)=12-10=2\)। इसलिए सही उत्तर 2 है। 5 केवल गुणांक है, जबकि \(x=2\) रखने के बाद पूरा व्यंजक हल करना आवश्यक है। परीक्षा टिप: बहुपद का मान ज्ञात करते समय चर के स्थान पर दी गई संख्या को कोष्ठक में रखकर पहले गुणा करें। / Given \(p(x)=12-5x\). Substituting \(x=2\), \(p(2)=12-5(2)=12-10=2\). Hence, the correct answer is 2. The number 5 is only the coefficient; the entire expression must be evaluated after substituting \(x=2\). Exam tip: When evaluating a polynomial, substitute the given value in brackets and perform multiplication before subtraction.
दिया है \(p(x)=2x-3\) और \(q(x)=x+5\)। अतः \(2p(x)-q(x)=2(2x-3)-(x+5)=4x-6-x-5=3x-11\)। इसलिए सही उत्तर \(3x-11\) है। \(3x+11\) तब मिल सकता है जब \(-(x+5)\) के चिन्ह सही ढंग से न बदले जाएँ। परीक्षा टिप: किसी बहुपद के आगे ऋण चिह्न हो, तो कोष्ठक के प्रत्येक पद का चिन्ह बदलें। / Given \(p(x)=2x-3\) and \(q(x)=x+5\), \(2p(x)-q(x)=2(2x-3)-(x+5)=4x-6-x-5=3x-11\). Hence, \(3x-11\) is correct. \(3x+11\) can result from incorrectly handling the minus sign before \((x+5)\). Exam tip: when subtracting a polynomial in brackets, change the sign of every term inside the bracket.
किसी बहुपद का शून्यक वह मान होता है जिसके लिए बहुपद का मान 0 हो। इसलिए \(4x-8=0\) रखने पर \(4x=8\), अतः \(x=2\) मिलता है। जाँच करने पर \(p(2)=4(2)-8=0\), इसलिए विकल्प B सही है। उदाहरण के लिए \(x=4\) रखने पर मान \(8\) आता है, 0 नहीं। परीक्षा टिप: शून्यक ज्ञात करने के लिए बहुपद को 0 के बराबर रखकर \(x\) हल करें। / A zero of a polynomial is a value of \(x\) for which the polynomial equals 0. Put \(4x-8=0\): then \(4x=8\), so \(x=2\). Checking, \(p(2)=4(2)-8=0\); hence option B is correct. For example, at \(x=4\), the value is \(8\), not 0. Exam tip: To find a zero, set the polynomial equal to 0 and solve for \(x\).
दो बहुपदों का अंतर लिखते समय पहले बहुपद में से दूसरा बहुपद घटाया जाता है: \((3x+7)-(x-2)\)। कोष्ठक हटाने पर \(3x+7-x+2=2x+9\) मिलता है। विकल्प B में घटाने का क्रम उलट गया है, इसलिए उसका मान अलग होगा। परीक्षा टिप: घटाव के पहले वाले कोष्ठक के सभी चिन्ह बदलना याद रखें। / The difference is found by subtracting the second polynomial from the first: \((3x+7)-(x-2)\). On removing the brackets, \(3x+7-x+2=2x+9\). In option B, the order of subtraction is reversed, so it gives a different result. Exam tip: while subtracting a bracket, change the sign of every term inside it.
\(7x-5\) में चर \(x\) की सबसे बड़ी घात 1 है, इसलिए यह रेखीय बहुपद है। \(x^2+3x-1\) द्विघात है, जबकि \(4/x\) और \(\sqrt{x}\) बहुपद नहीं हैं। परीक्षा टिप: घातों को गैर-ऋणात्मक पूर्णांक जाँचें। / In \(7x-5\), the highest power of \(x\) is 1, so it is a linear polynomial. \(x^2+3x-1\) is quadratic, while \(4/x\) and \(\sqrt{x}\) are not polynomials. Exam tip: powers must be non-negative integers.
\(x=12\) रखने पर \(p(12)=\frac{5}{6}\times 12-10=10-10=0\)। अतः सही उत्तर \(0\) है। \(-10\) केवल स्थिर पद है; यह \(x=12\) रखने के बाद प्राप्त मान नहीं है। परीक्षा टिप: भिन्न गुणांक वाले बहुपद में पहले गुणा करके फिर जोड़ या घटाव करें। / Substituting \(x=12\), \(p(12)=\frac{5}{6}\times 12-10=10-10=0\). Hence, the correct answer is \(0\). The value \(-10\) is only the constant term, not the value of the polynomial at \(x=12\). Exam tip: For a polynomial with a fractional coefficient, multiply first and then add or subtract.
यहाँ (p(x)2)=(x-2)2=x-2-4x+4 है। इस बहुपद में x की सबसे बड़ी घात 2 है, इसलिए इसकी डिग्री 2 है और यह द्विघात बहुपद है। रैखिक बहुपद की डिग्री 1 होती है, इसलिए विकल्प A सही नहीं है। परीक्षा टिप: बहुपद का प्रकार ज्ञात करने के लिए सरल करने के बाद चर की सबसे बड़ी घात देखें। / Here, (p(x)2)=(x-2)2=x-2-4x+4. The highest power of x is 2, so the polynomial has degree 2 and is a quadratic polynomial. A linear polynomial has degree 1, so option A is not correct. Exam tip: simplify the expression and check the highest power of the variable to identify the type of polynomial.
रेखीय बहुपद का रूप \(ax+b\) होता है, जहाँ \(a\ne 0\) होना आवश्यक है। \(7x\) में \(x\) का गुणांक 7 है, जो शून्य नहीं है; अतः यह रेखीय बहुपद है और इसका अग्र गुणांक 7 है। \(12\) और \(-5\) अचर बहुपद हैं, जबकि 0 शून्य बहुपद है; इनमें \(x\) का पद नहीं है। परीक्षा टिप: रेखीय बहुपद पहचानने के लिए \(x\) की सबसे बड़ी घात 1 और उसका गुणांक अशून्य जाँचें। / A linear polynomial has the form \(ax+b\), where \(a\ne 0\). In \(7x\), the coefficient of \(x\) is 7, which is non-zero; hence it is a linear polynomial with leading coefficient 7. \(12\) and \(-5\) are constant polynomials, while 0 is the zero polynomial; none has an \(x\)-term. Exam tip: To identify a linear polynomial, check that the highest power of \(x\) is 1 and its coefficient is non-zero.
यहाँ p(4)=3(4)+b=12+b तथा p(2)=3(2)+b=6+b है। अतः p(4)-p(2)=(12+b)-(6+b)=6। दोनों पदों में उपस्थित नियतांक b कट जाता है। विकल्प b गलत है, क्योंकि अंतर लेने पर b का कोई प्रभाव नहीं रहता। परीक्षा टिप: रैखिक बहुपद ax+b के लिए p(m)-p(n)=a(m-n) होता है। / Here, p(4)=3(4)+b=12+b and p(2)=3(2)+b=6+b. Therefore, p(4)-p(2)=(12+b)-(6+b)=6. The constant term b cancels from the difference. Option b is incorrect because b does not affect the difference. Exam tip: For a linear polynomial ax+b, p(m)-p(n)=a(m-n).
B. दावा गलत है, क्योंकि \(x^2\) का गुणांक 5 है; इसलिए बहुपद की घात 2 है।/The claim is incorrect because the coefficient of \(x^2\) is 5, so the degree of the polynomial is 2.
Explanation
Simple Explanation
बहुपद की घात उसके किसी भी पद में \(x\) की सबसे बड़ी घात होती है। यहाँ \(5x^2\) मौजूद है, इसलिए घात 2 है और यह द्विघात बहुपद है, रैखिक नहीं। परीक्षा में पदों को देखकर सबसे बड़ी घात जाँचें। / The degree of a polynomial is the highest power of \(x\) in any non-zero term. Since \(5x^2\) is present, its degree is 2, making it quadratic rather than linear. Exam tip: check the highest exponent after simplifying.
क्योंकि p(x) और q(x) समान बहुपद हैं, इसलिए p(x)-q(x)=(2x+3)-(2x+3)=0। यह शून्य बहुपद है और शून्य बहुपद की डिग्री परिभाषित नहीं होती। \(0\) को स्थिर बहुपद मानकर उसकी डिग्री 0 नहीं लिखनी चाहिए। परीक्षा टिप: घटाने के बाद पहले सभी पदों के निरस्त होने की जाँच करें। / Since p(x) and q(x) are identical polynomials, p(x)-q(x)=(2x+3)-(2x+3)=0. This is the zero polynomial, whose degree is not defined. Do not treat \(0\) as a non-zero constant polynomial of degree 0. Exam tip: after subtracting polynomials, first check whether all terms cancel.
दिया है \(p(x)=9x-1\)। अतः \(p(1)=9(1)-1=8\) तथा \(p(0)=9(0)-1=-1\)। इसलिए \(p(1)+p(0)=8+(-1)=7\)। \(8\) केवल \(p(1)\) का मान है, योग का नहीं। परीक्षा टिप: बहुपद में मान रखने के बाद सभी पदों के चिन्हों पर विशेष ध्यान दें। / Given \(p(x)=9x-1\), we get \(p(1)=9(1)-1=8\) and \(p(0)=9(0)-1=-1\). Therefore, \(p(1)+p(0)=8+(-1)=7\). Note that \(8\) is only the value of \(p(1)\), not their sum. Exam tip: After substituting a value in a polynomial, check the signs of all terms carefully.
p(3)=5×3−4=11 और p(−1)=5×(−1)−4=−9। अतः p(3)−p(−1)=11−(−9)=20। 15 केवल 5×3 है, लेकिन इसमें स्थिर पद −4 और p(−1) का मान शामिल नहीं है। परीक्षा टिप: ऋणात्मक मान घटाते समय कोष्ठक लगाकर लिखें, क्योंकि −(−9)=+9 होता है। / p(3)=5×3−4=11 and p(−1)=5×(−1)−4=−9. Therefore, p(3)−p(−1)=11−(−9)=20. The value 15 is only 5×3; it does not account for the constant term −4 or the value of p(−1). Exam tip: Use brackets when subtracting a negative number, since −(−9)=+9.
रेखीय न रहने के लिए (x) का गुणांक (0) होना चाहिए। (2r+5=0) से \(r=-\frac{5}{2}\) मिलता है। / For it not to be linear, the coefficient of (x) must be (0). From (2r+5=0), \(r=-\frac{5}{2}\).
शून्यक \(-2\) होने का अर्थ है कि \(p(-2)=0\)। अतः \(7(-2)+b=0\), यानी \(-14+b=0\)। इसलिए \(b=14\) है। \(-14\) लेने पर \(p(-2)=-28\) होगा, जो शून्य नहीं है। परीक्षा टिप: किसी रैखिक बहुपद \(ax+b\) के दिए गए शून्यक को \(x\) के स्थान पर रखकर बहुपद का मान 0 करें। / A zero of \(-2\) means that \(p(-2)=0\). Therefore, \(7(-2)+b=0\), so \(-14+b=0\). Hence, \(b=14\). If \(b=-14\), then \(p(-2)=-28\), not zero. Exam tip: For a linear polynomial \(ax+b\), substitute the given zero for \(x\) and set the polynomial equal to 0.
दिया है p(x)=2x-5 और q(x)=4x+1। अतः 3p(x)-q(x)=3(2x-5)-(4x+1)=6x-15-4x-1=2x-16। इसलिए सही विकल्प (2x-16) है। विकल्प (2x+16) में q(x) को घटाते समय उसके दोनों पदों के चिन्ह सही ढंग से नहीं बदले गए हैं। परीक्षा टिप: किसी बहुपद के आगे ऋण चिह्न हो तो कोष्ठक हटाते समय उसके प्रत्येक पद का चिन्ह बदलें। / Given p(x)=2x-5 and q(x)=4x+1, 3p(x)-q(x)=3(2x-5)-(4x+1)=6x-15-4x-1=2x-16. Hence, (2x-16) is correct. In (2x+16), the signs of the terms in q(x) have not been changed correctly while subtracting it. Exam tip: When a minus sign occurs before a bracket, change the sign of every term inside the bracket.
किसी बहुपद का शून्यक वह मान होता है जिसके लिए बहुपद का मान 0 हो जाए। \(3x-7=0\) रखने पर \(3x=7\), अतः \(x=\frac{7}{3}\) मिलता है। इसलिए सही विकल्प \(3x-7\) है। \(3x+7\) का शून्यक \(-\frac{7}{3}\) होता है, इसलिए वह निकटतम लेकिन गलत विकल्प है। परीक्षा टिप: रैखिक बहुपद \(ax+b\) का शून्यक \(-\frac{b}{a}\) होता है। / A zero of a polynomial is a value of x that makes the polynomial equal to 0. For \(3x-7=0\), we get \(3x=7\), so \(x=\frac{7}{3}\). Hence, \(3x-7\) is correct. The close distractor \(3x+7\) has zero \(-\frac{7}{3}\), not \(\frac{7}{3}\). Exam tip: the zero of a linear polynomial \(ax+b\) is \(-\frac{b}{a}\).
