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समान आधारों के गुणन में घातांक जोड़े जाते हैं: \(a^m \times a^n = a^{m+n}\)। इसलिए \(a^3 \times a^4 = a^{3+4}=a^7\), अतः विकल्प A सही है। विकल्प B में घातांकों को गुणा किया गया है, जो इस नियम में गलत है। परीक्षा-युक्ति: समान आधारों के गुणन में घातांक जोड़ें, जबकि समान आधारों के भाग में घातांक घटाएँ। / When powers with the same base are multiplied, their exponents are added: \(a^m \times a^n = a^{m+n}\). Thus, \(a^3 \times a^4 = a^{3+4}=a^7\), so option A is correct. Option B incorrectly multiplies the exponents, which is not the rule for multiplication of like bases. Exam tip: add exponents for multiplication of like bases and subtract them for division.
क्योंकि \(32 = 2^5\), इसलिए \(2^x = 2^5\) होगा। समान आधार वाली घातों में घातांक समान होते हैं, अतः \(x=5\)। विकल्प 4 गलत है क्योंकि \(2^4=16\) होता है। परीक्षा में पहले दी गई संख्या को उसी आधार की घात के रूप में लिखें। / Since \(32 = 2^5\), the equation becomes \(2^x = 2^5\). For powers with the same base, the exponents are equal, so \(x=5\). Option 4 is incorrect because \(2^4=16\). In exams, first express the given number as a power of the same base.
घातांकों के नियम से (x+y=12) और (x-y=2) हल करने पर (x=7, y=5) मिलता है। परीक्षा में दो समीकरण बनाकर हल करना आसान तरीका है। / Using exponent rules we get (x+y=12) and (x-y=2), solving gives (x=7, y=5). Form equations and solve for quick exam accuracy.
B. प्रमुख निर्णय निर्वाचित नेताओं द्वारा होना/Major decisions by elected leaders
Explanation
Simple Explanation
आर्थिक नीति प्रमुख सार्वजनिक निर्णय है और उसका नियंत्रण निर्वाचित नेतृत्व के पास होना चाहिए। परीक्षा में अंतिम आदेश देने वाले को पहचानें। / Economic policy is a major public decision and its control should rest with elected leadership. Exam tip: identify who gives the final order.
समान आधार वाली घातों के गुणन में घातांक जोड़े जाते हैं: x-5 × x-2 = x^{5+2} = x-7। इसलिए विकल्प A सही है। विकल्प B में घातांकों को गुणा किया गया है, जो इस नियम में सही नहीं है। परीक्षा-युक्ति: समान आधारों के गुणन में आधार वही रहता है और घातांक जुड़ते हैं। / When powers with the same base are multiplied, their exponents are added: x-5 × x-2 = x^{5+2} = x-7. Therefore, option A is correct. Option B incorrectly multiplies the exponents, whereas this rule requires their addition. Exam tip: for multiplication of like bases, keep the base unchanged and add the exponents.
क्योंकि 81 को 3 की घात के रूप में लिखने पर \(81 = 3^4\) मिलता है। अतः \(3^x = 3^4\) होने पर समान आधारों की घातें बराबर होती हैं, इसलिए \(x=4\)। विकल्प 3 और 5 क्रमशः \(27\) और \(243\) देते हैं, इसलिए वे सही नहीं हैं। परीक्षा-युक्ति: पहले दाईं ओर की संख्या को बाईं ओर के आधार की घात के रूप में बदलें। / Since 81 can be expressed as \(3^4\), the equation becomes \(3^x = 3^4\). For equal positive bases other than 1, their exponents must be equal; therefore, \(x=4\). Options 3 and 5 would give \(27\) and \(243\), respectively, so they are incorrect. Exam tip: rewrite the given number as a power of the same base before comparing exponents.
A. विशेषज्ञ तथ्य और विकल्प दे सकते हैं पर अंतिम राजनीतिक निर्णय निर्वाचित नेतृत्व का होना चाहिए/Experts may give facts and options but final political decision should belong to elected leadership
Explanation
Simple Explanation
विशेषज्ञता उपयोगी है पर लोकतांत्रिक वैधता जनता से चुने नेताओं को मिलती है। परीक्षा में सलाह और अंतिम निर्णय अलग रखें। / Expertise is useful but democratic legitimacy belongs to leaders elected by people. Exam tip: keep advice and final decision separate.
घात के घात पर नियम
\((a^m)^n=a^{mn}\) लागू होता है। इसलिए
\((a^2)^3=a^{2\times3}=a^6\), अतः विकल्प A सही है। विकल्प C में घातों को जोड़कर 9 किया गया है, जो इस नियम के अनुसार गलत है। परीक्षा-टिप: जब किसी घात पर फिर घात हो, तो दोनों घातों का गुणन करें। / For a power raised to another power, use the rule \((a^m)^n=a^{mn}\). Therefore, \((a^2)^3=a^{2\times3}=a^6\), so option A is correct. Option C is incorrect because it adds the exponents to get 9; exponents are multiplied in this situation. Exam tip: When a power is raised to another power, multiply the exponents.
\(\sqrt{a^6}=\sqrt{(a^3)^2}=|a^3|\) होता है, क्योंकि किसी संख्या के वर्ग का वर्गमूल उसका परिमाण देता है। केवल \(a^3\) तभी लिखा जा सकता है जब \(a\geq 0\) माना गया हो। परीक्षा में सम घात के वर्गमूल को सरल करते समय परिमाण चिह्न लगाना याद रखें। / \(\sqrt{a^6}=\sqrt{(a^3)^2}=|a^3|\), because the square root of a number squared is its absolute value. The expression \(a^3\) is valid directly only when \(a\geq 0\) is assumed. Exam tip: retain the absolute-value sign when simplifying the square root of an even power unless the variable's sign is specified.
B. क्योंकि वास्तविक निर्णयकर्ता जनता द्वारा परखा नहीं जा सकता/Because the real decision maker cannot be judged by people
Explanation
Simple Explanation
जवाबदेही उसी पर बनती है जो असली निर्णय लेता है। परीक्षा में औपचारिक स्वीकृति और वास्तविक शक्ति का अंतर समझें। / Accountability falls on the real decision maker. Exam tip: understand the difference between formal approval and real power.
समान आधारों के गुणन में घातों को जोड़ा जाता है: 23 × 24 = 2^(3+4) = 27। इसलिए सही उत्तर A है। विकल्प B में घातों को गुणा किया गया है, जो इस नियम में गलत है। परीक्षा टिप: समान आधारों के गुणन के लिए a^m × a^n = a^(m+n) याद रखें। / When powers with the same base are multiplied, their exponents are added: 23 × 24 = 2^(3+4) = 27. Therefore, option A is correct. Option B incorrectly multiplies the exponents, which is not the rule for multiplying like bases. Exam tip: remember a^m × a^n = a^(m+n) for multiplication of powers with the same base.
घात के घात पर नियम (\(a^m\)^n=a^{mn}) लागू होता है। इसलिए (\(x^{1/2}\)4=x^{(1/2)\times4}=x-2) । अतः सही उत्तर विकल्प A है। विकल्प B में मूल घात को नहीं बदला गया है, जबकि विकल्प C और D में गुणन गलत किया गया है। परीक्षा-युक्ति: जब किसी घात पर फिर घात हो, तो दोनों घातों का गुणन करें। / Use the power-of-a-power rule (\(a^m\)^n=a^{mn}) . Thus, (\(x^{1/2}\)4=x^{(1/2)\times4}=x-2) , so option A is correct. Option B leaves the original exponent unchanged, while options C and D result from multiplying the exponents incorrectly. Exam tip: when a power is raised to another power, multiply the two exponents.
A. निर्वाचित सरकार खुली बहस के बाद नीति बनाए और चुनाव में उसका मूल्यांकन हो सके/Elected government makes policy after open debate and can be evaluated in elections
Explanation
Simple Explanation
जनादेश तब प्रभावी है जब नीति निर्वाचित नेतृत्व से आए और जनता उसे परख सके। परीक्षा में बहस जनादेश और चुनाव को साथ देखें। / Mandate is effective when policy comes from elected leadership and people can judge it. Exam tip: see debate mandate and elections together.
समान आधार वाली घातों को भाग देने पर घातांक घटाए जाते हैं: \(\frac{a^m}{a^n}=a^{m-n}\), जहाँ \(a\ne0\)। इसलिए \(\frac{a^6}{a^2}=a^{6-2}=a^4\)। परीक्षा में भाग के समय घातांकों को जोड़ने के बजाय घटाना याद रखें। / When powers with the same non-zero base are divided, their exponents are subtracted: \(\frac{a^m}{a^n}=a^{m-n}\), where \(a\ne0\). Thus, \(\frac{a^6}{a^2}=a^{6-2}=a^4\). Exam tip: subtract exponents for division of like bases; do not add them.
A. चुनाव वास्तविक शासन को प्रभावित नहीं कर पाते/Elections cannot affect real governance
Explanation
Simple Explanation
चुनाव तभी अर्थपूर्ण हैं जब चुने नेताओं के पास वास्तविक प्रमुख निर्णय हों। परीक्षा में चुनाव के परिणाम और शासन निर्णय का संबंध देखें। / Elections are meaningful when elected leaders hold real major decisions. Exam tip: check the link between election results and governing decisions.
समान आधार वाली घातों के भाग में घात घटाई जाती हैं: \(\frac{x^m}{x^n}=x^{m-n}\), जहाँ \(x\neq0\)। इसलिए \(\frac{x^8}{x^5}=x^{8-5}=x^3\)। विकल्प B में घातों को जोड़ दिया गया है, जो भाग के लिए सही नियम नहीं है। परीक्षा टिप: गुणा में घातें जुड़ती हैं, जबकि भाग में घटती हैं। / For division of powers with the same non-zero base, subtract the exponents: \(\frac{x^m}{x^n}=x^{m-n}\), where \(x\neq0\). Thus, \(\frac{x^8}{x^5}=x^{8-5}=x^3\). Option B incorrectly adds the exponents, which is the rule for multiplication, not division. Exam tip: add exponents in multiplication and subtract them in division when the bases are the same.
यदि a और b ऐसे मान हों कि a-2b-3 ≠ 0, तो शून्य घात का नियम लागू होता है: किसी भी अशून्य संख्या या अभिव्यक्ति के लिए x-0 = 1। इसलिए (\(a^2 b^3\)0) = 1 है। विकल्प 0 घात का मान नहीं, बल्कि आधार के शून्य होने से जुड़ी अलग स्थिति हो सकती है। परीक्षा-युक्ति: पहले जाँचें कि आधार अशून्य है, फिर शून्य घात पर सीधे 1 लिखें। / If a and b have values such that a-2b-3 ≠ 0, the zero-exponent rule applies: for every non-zero number or expression, x-0 = 1. Therefore, (\(a^2 b^3\)0) = 1. Option 0 is not the value of a non-zero expression raised to the zero power; it relates to a different case in which the base is zero. Exam tip: check that the base is non-zero, then use the zero-exponent rule directly.
A. जनता की संप्रभुता और राजनीतिक जवाबदेही/Popular sovereignty and political accountability
Explanation
Simple Explanation
लोकतंत्र में सत्ता जनता से आती है और निर्णयकर्ता जनता के प्रति उत्तरदायी रहते हैं। परीक्षा में संप्रभुता और जवाबदेही को साथ याद रखें। / In democracy power comes from people and decision makers remain answerable to them. Exam tip: remember sovereignty and accountability together.
किसी भी अशून्य संख्या या चर के लिए घातांक का नियम है: \(a^m \div a^m = a^{m-m}=a^0\)। बाएँ पक्ष का मान 1 होता है, इसलिए \(a^0=1\), जहाँ \(a\neq 0\)। अतः सही विकल्प A है। विकल्प C केवल तब सही होता जब घात 1 होता, शून्य नहीं। परीक्षा-युक्ति: किसी भी अशून्य आधार की शून्य घात का मान हमेशा 1 याद रखें। / For any non-zero number or variable, the exponent rule gives \(a^m \div a^m=a^{m-m}=a^0\). The left-hand side equals 1, so \(a^0=1\) for \(a\neq 0\). Therefore, option A is correct. Option C would apply when the exponent is 1, not 0. Exam tip: the zeroth power of every non-zero base is 1.
शून्येतर किसी भी संख्या की घात 0 का मान 1 होता है। इसलिए \(5^0=1\), \(2^0=1\) और \(3^0=1\)। अतः \(\frac{5^0+2^0}{3^0}=\frac{1+1}{1}=2\), इसलिए विकल्प A सही है। परीक्षा-युक्ति: \(a^0=1\) का नियम केवल \(a\neq0\) के लिए लागू होता है। / The zeroth power of every non-zero number is 1. Thus, \(5^0=1\), \(2^0=1\), and \(3^0=1\). Therefore, \(\frac{5^0+2^0}{3^0}=\frac{1+1}{1}=2\), so option A is correct. Exam tip: remember that \(a^0=1\) for \(a\neq0\); do not confuse it with the undefined expression \(0^0\).
B. कारण आधारित जवाबदेही कमजोर है/Reason based accountability is weak
Explanation
Simple Explanation
निर्णय लेने के साथ कारण बताना जनता को मूल्यांकन का आधार देता है। परीक्षा में सार्वजनिक स्पष्टीकरण को जवाबदेही से जोड़ें। / Giving reasons along with decisions gives people a basis for evaluation. Exam tip: connect public explanation with accountability.
पहले घात के घात नियम से
\((x^2)^3=x^{2\times3}=x^6\)। फिर समान आधार वाली घातों के गुणन के नियम \(x^m\times x^n=x^{m+n}\) के अनुसार \(x^6\times x^{-1}=x^{6+(-1)}=x^5\)। इसलिए सही उत्तर x-5 है। ध्यान रखें कि ऋणात्मक घात को जोड़ते समय उसका चिह्न भी शामिल किया जाता है; केवल 6 लिखना गलत होगा। / Using the power-of-a-power rule, \((x^2)^3=x^{2\times3}=x^6\). Then, for the product of powers with the same base, \(x^m\times x^n=x^{m+n}\), so \(x^6\times x^{-1}=x^{6+(-1)}=x^5\). Therefore, the correct answer is x-5. Exam tip: when adding exponents, include the negative sign; treating
\(x^{-1}\) as \(x^1\) would incorrectly give x-7.
C. चुने नेता पद पर हैं पर अंतिम नीति गुप्त परिषद तय करती है/Elected leaders hold office but final policy is decided by a secret council
Explanation
Simple Explanation
पद पर चुने नेता होना काफी नहीं है वास्तविक प्रमुख फैसले भी उनके हाथ में होने चाहिए। परीक्षा में रूप और सार अलग करें। / Having elected leaders in office is not enough real major decisions must also be in their hands. Exam tip: separate form and substance.
घात के ऊपर घात होने पर घातांक आपस में गुणा किए जाते हैं:
\((x^3)^2 = x^{3\times2}=x^6\)। इसलिए सही विकल्प A है। ध्यान रखें कि \((x^3)^2\) में घातांकों का जोड़ नहीं, बल्कि गुणा होता है; अतः \(x^5\) गलत है। / When a power is raised to another power, the exponents are multiplied: \((x^3)^2=x^{3\times2}=x^6\). Therefore, option A is correct. Remember that the exponents are multiplied, not added, so \(x^5\) is incorrect.
भाग देने पर समान आधारों की घातें घटती हैं: \(a^{3-(-1)}=a^4\) और \(b^{-2-1}=b^{-3}\)। इसलिए पूरा मान \(a^4b^{-3}\) है, अतः विकल्प A सही है। विकल्प B में घातों का सही घटाव नहीं किया गया है। याद रखें: \(x^m/x^n=x^{m-n}\), और यहाँ हर शून्य नहीं होना चाहिए। / When dividing powers with the same base, subtract the exponents: \(a^{3-(-1)}=a^4\) and \(b^{-2-1}=b^{-3}\). Therefore, the value is \(a^4b^{-3}\), so option A is correct. Option B results from an incorrect subtraction of the exponents. Remember: \(x^m/x^n=x^{m-n}\), with the denominator required to be non-zero.
A. कार्यान्वयन ने जनादेश को बदल दिया/Implementation altered the mandate
Explanation
Simple Explanation
कार्यान्वयन चुनी नीति को लागू करने के लिए है उसे बदलने के लिए नहीं। परीक्षा में नीति निर्णय और क्रियान्वयन का अंतर समझें। / Implementation is meant to carry out elected policy not to alter it. Exam tip: understand the difference between policy decision and implementation.
घात के घात का नियम है:
\((a^m)^n=a^{mn}\)। इसलिए \((2^2)^3=2^{2\times3}=2^6=64\)। अतः विकल्प A सही है। विकल्प C में घातों को गलत तरीके से जोड़ने या बढ़ाने का संकेत मिलता है; यहाँ घातों का गुणन किया जाता है। परीक्षा-युक्ति: किसी घात पर फिर घात हो, तो दोनों घातों को गुणा करें। / Use the power-of-a-power rule: \((a^m)^n=a^{mn}\). Therefore, \((2^2)^3=2^{2\times3}=2^6=64\), so option A is correct. Option C is incorrect because the exponents are not combined by adding or arbitrarily increasing them; they must be multiplied. Exam tip: when a power is raised to another power, multiply the exponents.
क्योंकि 4 = 22, इसलिए \(4^{-1} = (2^2)^{-1} = 2^{-2}\)। अतः \(2^3 \cdot 4^{-1} = 2^3 \cdot 2^{-2} = 2^{3-2} = 2\)। इसलिए सही उत्तर विकल्प A है। परीक्षा-युक्ति: समान आधार वाली घातों को गुणा करते समय घातांक घटाएँ, और ऋणात्मक घात को व्युत्क्रम के रूप में भी जाँच सकते हैं। / Since 4 = 22, we have \(4^{-1} = (2^2)^{-1} = 2^{-2}\). Therefore, \(2^3 \cdot 4^{-1} = 2^3 \cdot 2^{-2} = 2^{3-2} = 2\). Hence, option A is correct. Exam tip: When multiplying powers with the same base, subtract the exponents; you can also verify a negative exponent by taking the reciprocal.
A. निर्वाचित सरकार नीति तय करे लेकिन कानून और अधिकारों के भीतर रहे/Elected government decides policy but remains within law and rights
Explanation
Simple Explanation
लोकतंत्र में निर्णय शक्ति जनता से आती है पर असीमित नहीं होती। परीक्षा में अधिकार और सीमा दोनों लिखें। / In democracy decision power comes from people but is not unlimited. Exam tip: write both authority and limits.
समान आधार वाली घातों के गुणन में घातांक जोड़े जाते हैं: 34 × 31 = 3^(4+1) = 35। इसलिए सही उत्तर विकल्प A है। ध्यान रखें कि समान आधारों के गुणन में घातांक जोड़े जाते हैं, जबकि भाग में घटाए जाते हैं। / When powers with the same base are multiplied, their exponents are added: 34 × 31 = 3^(4+1) = 35. Therefore, option A is correct. Remember: add exponents for multiplication with the same base, but subtract them for division.
पहले, \(y^{-3}=\frac{1}{y^3}\), इसलिए \(x^3y^{-3}=\frac{x^3}{y^3}\)। अब पूरे व्यंजक का घात \(-1\) है, जो भिन्न का व्युत्क्रम कर देता है: \(\left(\frac{x^3}{y^3}\right)^{-1}=\frac{y^3}{x^3}\)। अतः सही उत्तर A है। यहाँ \(x\) और \(y\) शून्येतर माने जाते हैं। परीक्षा-युक्ति: \(a^{-n}=\frac{1}{a^n}\) और \(\left(\frac{a}{b}\right)^{-1}=\frac{b}{a}\) याद रखें। / First, \(y^{-3}=\frac{1}{y^3}\), so \(x^3y^{-3}=\frac{x^3}{y^3}\). The exponent \(-1\) on the entire expression takes the reciprocal: \(\left(\frac{x^3}{y^3}\right)^{-1}=\frac{y^3}{x^3}\). Therefore, option A is correct. Here, \(x\) and \(y\) are assumed to be nonzero. Exam tip: remember \(a^{-n}=\frac{1}{a^n}\) and \(\left(\frac{a}{b}\right)^{-1}=\frac{b}{a}\).
A. समीक्षा और नीति निर्माण अलग संस्थागत कार्य हैं/Review and policy making are different institutional functions
Explanation
Simple Explanation
न्यायिक समीक्षा कानून की सीमा जांचती है जबकि नीति की प्राथमिक जिम्मेदारी चुने नेतृत्व की रहती है। परीक्षा में नियंत्रण और निर्णय में अंतर रखें। / Judicial review checks legal limits while primary policy responsibility remains with elected leadership. Exam tip: keep control and decision separate.
समान आधार वाली घातों के भाग के नियम के अनुसार \(\frac{a^m}{a^n}=a^{m-n}\)। इसलिए \(\frac{2^7}{2^3}=2^{7-3}=2^4\), अतः विकल्प A सही है। विकल्प B में घातों को जोड़ दिया गया है, जो गुणा के मामले में होता है। परीक्षा-युक्ति: समान आधारों के भाग में घात घटाएँ। / For division of powers with the same base, use \(\frac{a^m}{a^n}=a^{m-n}\). Thus, \(\frac{2^7}{2^3}=2^{7-3}=2^4\), so option A is correct. Option B results from adding the exponents, which is the rule for multiplication, not division. Exam tip: subtract the exponents when dividing powers with the same non-zero base.
दिए गए व्यंजक में \(a^{-2}\) हर में है। ऋणात्मक घात का नियम \(a^{-n}=\frac{1}{a^n}\) लगाने पर \(\frac{1}{a^{-2}b^3}=\frac{a^2}{b^3}\) प्राप्त होता है। इसलिए सही विकल्प A है। ध्यान रखें कि ऋणात्मक घात को भिन्न की दूसरी ओर ले जाने पर उसका चिह्न बदल जाता है; \(b^3\) हर में ही रहता है। / In the given expression, \(a^{-2}\) is in the denominator. Using the rule \(a^{-n}=\frac{1}{a^n}\), we get \(\frac{1}{a^{-2}b^3}=\frac{a^2}{b^3}\). Therefore, option A is correct. Exam tip: when a factor with a negative exponent moves across a fraction bar, the sign of its exponent changes, while \(b^3\) remains in the denominator.
A. जनता सरकार चुनती है पर सभी प्रमुख नीति आदेश गैर चुना समूह देता है/People elect government but all major policy orders come from an unelected group
Explanation
Simple Explanation
जनादेश चुनाव से मिलता है पर वास्तविक शक्ति गैर चुने समूह में हो तो लोकतंत्र कमजोर होता है। परीक्षा में जनादेश और शक्ति का मिलान करें। / Mandate comes from elections but democracy weakens if real power rests with an unelected group. Exam tip: match mandate with power.
ऋणात्मक घात का नियम है \(a^{-n}=\frac{1}{a^n}\), जहाँ \(a\neq0\)। इसलिए \(a^{-2}=\frac{1}{a^2}\)। विकल्प B धनात्मक घात है, जबकि विकल्प D केवल \(a^{-1}\) के बराबर है। परीक्षा-युक्ति: ऋणात्मक घात दिखे तो आधार का व्युत्क्रम लेकर घात को धनात्मक कर दें। / The rule for a negative exponent is \(a^{-n}=\frac{1}{a^n}\), where \(a\neq0\). Therefore, \(a^{-2}=\frac{1}{a^2}\). Option B is the positive exponent form, while option D represents only \(a^{-1}\). Exam tip: for a negative exponent, take the reciprocal of the base and change the exponent to positive.
भिन्न घात के नियम के अनुसार, पहले 27 को 33 के रूप में लिखते हैं: 27 = 33। इसलिए (27)^{2/3} = \(3^3\)^{2/3} = 3^{(3×2/3)} = 32 = 9। अतः सही उत्तर 9 है। ध्यान रखें कि घात 2/3 में पहले घनमूल और फिर वर्ग लेना सुविधाजनक होता है: ∛27 = 3 और 32 = 9। विकल्प 3 केवल घनमूल बताता है, जबकि 27 मूल संख्या है। / Using the fractional exponent rule, write 27 as 33: 27 = 33. Therefore, (27)^{2/3} = \(3^3\)^{2/3} = 3^{(3×2/3)} = 32 = 9. Hence, option A is correct. An efficient exam method is to take the cube root first and then square: ∛27 = 3, so 32 = 9. Option 3 gives only the cube root, while 27 is the original number.
A. समान वोट से चुने नेता सार्वजनिक निर्णयों पर अधिकार पाते हैं/Leaders elected by equal vote gain authority over public decisions
Explanation
Simple Explanation
समान वोट निर्णयकर्ताओं को समान नागरिक सहमति से जोड़ता है। परीक्षा में वोट की समानता और निर्णय वैधता को साथ पढ़ें। / Equal vote links decision makers with equal citizen consent. Exam tip: study vote equality and decision legitimacy together.
ऋणात्मक घात का नियम है: \(x^{-n}=\frac{1}{x^n}\), जहाँ \(x\neq0\)। इसलिए \(x^{-3}=\frac{1}{x^3}\) होगा। विकल्प B धनात्मक घात देता है, जबकि विकल्प C ऋण चिह्न को अलग से लगा देता है, जो इस नियम के अनुसार सही नहीं है। परीक्षा-युक्ति: ऋणात्मक घात दिखे तो आधार का व्युत्क्रम लेकर घात को धनात्मक कर दें। / The negative-exponent rule is \(x^{-n}=\frac{1}{x^n}\), where \(x\neq0\). Therefore, \(x^{-3}=\frac{1}{x^3}\). Option B represents a positive exponent, while option C incorrectly adds a minus sign instead of taking the reciprocal. Exam tip: for a negative exponent, take the reciprocal of the base and make the exponent positive.
A. विचार विमर्श और सार्वजनिक जांच/Deliberation and public scrutiny
Explanation
Simple Explanation
निर्वाचित नेतृत्व जरूरी है लेकिन खुला विचार विमर्श भी लोकतंत्र की गुणवत्ता बढ़ाता है। परीक्षा में निर्णय गति और लोकतांत्रिक प्रक्रिया अलग करें। / Elected leadership is necessary but open deliberation improves democratic quality. Exam tip: separate speed of decision from democratic process.
जहाँ \(a\neq 0\), ऋणात्मक घात का नियम \(a^{-n}=\frac{1}{a^n}\) होता है। इसलिए \(a^{-4}=\frac{1}{a^4}\), और \(\frac{1}{a^{-4}}=\frac{1}{1/a^4}=a^4\)। अतः विकल्प A सही है। परीक्षा-युक्ति: किसी भिन्न के हर में उपस्थित ऋणात्मक घात को पहले धनात्मक घात में बदलकर भिन्न को सरल करें। / For \(a\neq 0\), the negative-exponent rule is \(a^{-n}=\frac{1}{a^n}\). Thus, \(a^{-4}=\frac{1}{a^4}\), so \(\frac{1}{a^{-4}}=\frac{1}{1/a^4}=a^4\). Therefore, option A is correct. Exam tip: first rewrite a negative exponent as a reciprocal, then simplify the resulting fraction.
किसी घात के ऊपर फिर घात हो, तो दोनों घातों का गुणन किया जाता है: \((a^m)^n=a^{m\times n}=a^{mn}\)। इसलिए विकल्प A सही है। विकल्प B में घातों को जोड़ना गलत है; जोड़ का नियम समान आधारों के गुणन में लागू होता है। परीक्षा में “घात का घात” देखते ही घातों को गुणा करने का नियम याद रखें। / When a power is raised to another power, the exponents are multiplied: \((a^m)^n=a^{m\times n}=a^{mn}\). Therefore, option A is correct. Option B is incorrect because adding exponents applies to multiplication of powers with the same base, not to a power raised to another power. Exam tip: for “power of a power,” multiply the exponents.
A. जब निर्णयकर्ता अज्ञात हो और सूचना छिपी हो/When decision maker is unknown and information is hidden
Explanation
Simple Explanation
प्रभावी जवाबदेही के लिए निर्णयकर्ता और सूचना दोनों स्पष्ट होने चाहिए। परीक्षा में जिम्मेदारी की पहचान को मुख्य कसौटी मानें। / Effective accountability needs both clear decision maker and information. Exam tip: treat identification of responsibility as a main test.
घातांक के नियम के अनुसार, समान आधारों के भाग में घातांक घटते हैं: \(x^m/x^n=x^{m-n}\)। फिर समान आधारों के गुणन में घातांक जुड़ते हैं, इसलिए \(x^{m-n}\cdot x^p=x^{m-n+p}\)। विकल्प C में भाग देने पर घातांक घटाने के बजाय जोड़ दिया गया है और विकल्प D में \(p\) का चिह्न गलत है। यह सरलीकरण \(x\neq0\) के लिए मान्य है। परीक्षा-युक्ति: समान आधारों में भाग के लिए घातांक घटाएँ और गुणन के लिए जोड़ें। / Using the laws of exponents, division of like bases gives \(x^m/x^n=x^{m-n}\). Multiplication of like bases then adds the exponents, so \(x^{m-n}\cdot x^p=x^{m-n+p}\). Option C incorrectly adds the exponents in the quotient, while option D uses the wrong sign for \(p\). This simplification is valid for \(x\neq0\). Exam tip: subtract exponents when dividing like bases and add them when multiplying like bases.
A. जनादेश निजी दबाव से विकृत हो सकता है/Mandate may be distorted by private pressure
Explanation
Simple Explanation
निर्वाचित नेताओं को निजी दबाव नहीं बल्कि जनादेश और जनहित से निर्देशित होना चाहिए। परीक्षा में सार्वजनिक हित और निजी दबाव अलग करें। / Elected leaders should be guided by mandate and public interest not private pressure. Exam tip: distinguish public interest from private pressure.
क्योंकि 8 = 23, इसलिए x = 3 और 27 = 33, इसलिए y = 3। अतः x + y = 3 + 3 = 6, इसलिए सही विकल्प C है। परीक्षा में ऐसी समस्याओं में पहले प्रत्येक चर का मान अलग-अलग ज्ञात करके अंत में उनका योग करें। / Since 8 = 23, x = 3, and since 27 = 33, y = 3. Therefore, x + y = 3 + 3 = 6, so option C is correct. In exponent questions, first determine each variable separately and then perform the required operation.
A. वह निर्णयों की जांच और वैकल्पिक दृष्टि देता है/It examines decisions and offers an alternative view
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विपक्ष जवाबदेही और विचार विमर्श को मजबूत करता है। परीक्षा में विपक्ष को बाधा नहीं बल्कि लोकतांत्रिक जांच समझें। / Opposition strengthens accountability and deliberation. Exam tip: see opposition as democratic scrutiny not obstruction.
घात के घात पर लागू नियम
\((a^m)^n=a^{mn}\) के अनुसार, \((2^{-2})^2=2^{(-2)\times2}=2^{-4}=\frac{1}{16}\) होता है। इसलिए विकल्प A सही है। विकल्प B में घात का चिह्न गलत रूप से धनात्मक कर दिया गया है। परीक्षा-टिप: किसी घात को दूसरी घात तक उठाने पर दोनों घातों का गुणन किया जाता है। / Using the power-of-a-power rule \((a^m)^n=a^{mn}\), \((2^{-2})^2=2^{(-2)\times2}=2^{-4}=\frac{1}{16}\). Therefore, option A is correct. Option B is incorrect because it changes the negative exponent to a positive one. Exam tip: when a power is raised to another power, multiply the exponents.
