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A linear function with a non-zero coefficient of (x) is one-one. चरण 1: (f(a)=f(b)) मानने पर (4a+7=4b+7) मिलता है। चरण 2: सरल करने पर (4a=4b) इसलिए (a=b)। चरण 3: रैखिक फलन में (x) का गुणांक शून्य न हो तो फलन एकैकी होता है।
A negative slope does not stop a function from being one-one. चरण 1: (f(a)=f(b)) से (-3a+8=-3b+8) मिलता है। चरण 2: इससे (-3a=-3b) और फिर (a=b) मिलता है। चरण 3: ऋणात्मक ढाल भी एकैकीपन को नहीं रोकती।
This is a constant function because its value is (9) for every (x).
Step 2
Why this answer is correct
(f(2)=9) and (f(6)=9), while \(2\neq6\).
Step 3
Exam Tip
A constant function on a larger domain is not one-one. चरण 1: यह स्थिर फलन है क्योंकि हर (x) पर मान (9) है। चरण 2: (f(2)=9) और (f(6)=9) जबकि \(2\neq6\)। चरण 3: बड़े प्रांत पर स्थिर फलन एकैकी नहीं होता।
A quadratic function is generally not one-one on the whole real domain. चरण 1: (x-2-6x+9=(x-3)2) है। चरण 2: (f(2)=1) और (f(4)=1) जबकि \(2\neq4\)। चरण 3: द्विघात फलन पूरे वास्तविक प्रांत पर सामान्यतः एकैकी नहीं होता।
On \([3,\infty\)), ((x-3)2) increases, so different (x) values give different outputs.
Step 3
Exam Tip
A quadratic function can be one-one on one side of its axis. चरण 1: दिए गए प्रांत में \(x-3\geq0\) है। चरण 2: \([3,\infty\)) पर ((x-3)2) बढ़ता है इसलिए अलग (x) अलग मान देते हैं। चरण 3: द्विघात फलन धुरी के एक ओर एकैकी हो सकता है।
In a modulus function, inputs equally distant from the center can give the same output. चरण 1: (f(0)=|1|=1) है। चरण 2: (f(-2)=|-1|=1) है जबकि \(0\neq-2\)। चरण 3: मापांक फलन में केंद्र से बराबर दूरी वाले आगत समान मान दे सकते हैं।
Hence (|x+1|=x+1), which is linear and increasing.
Step 3
Exam Tip
Restricting the domain properly can make a modulus function one-one. चरण 1: \(x\geq-1\) होने पर \(x+1\geq0\) है। चरण 2: इसलिए (|x+1|=x+1) बन जाता है जो रैखिक और बढ़ता हुआ है। चरण 3: प्रांत को सही तरह सीमित करने से मापांक फलन एकैकी बन सकता है।
From (f\(n_1\)=f\(n_2\)), we get \(3n_1+2=3n_2+2\).
Step 2
Why this answer is correct
This gives \(n_1=n_2\).
Step 3
Exam Tip
Such a linear rule on natural numbers gives different outputs for different inputs. चरण 1: (f\(n_1\)=f\(n_2\)) से \(3n_1+2=3n_2+2\) मिलता है। चरण 2: इससे \(n_1=n_2\) निष्कर्ष निकलता है। चरण 3: प्राकृतिक संख्याओं पर ऐसा रैखिक नियम अलग आगतों को अलग मान देता है।
Square-based rules are often not one-one on integers. चरण 1: (1) और (-1) अलग पूर्णांक हैं। चरण 2: (f(1)=2) और (f(-1)=2) इसलिए समान प्रतिबिंब मिलते हैं। चरण 3: वर्ग वाले नियम पूर्णांकों पर अक्सर एकैकी नहीं होते।
A basic cubic function and its translation keep the one-one property. चरण 1: अलग पूर्णांकों के घन अलग होते हैं। चरण 2: उनमें (5) जोड़ने से अलगपन बना रहता है। चरण 3: सरल घन फलन और उसका स्थानांतरण एकैकीपन बनाए रखते हैं।
In a finite set, if images are not repeated, the function is one-one. चरण 1: प्रांत के हर तत्व का ठीक एक प्रतिबिंब है। चरण 2: प्रतिबिंब (a,c,d) अलग-अलग हैं। चरण 3: सीमित समुच्चय में प्रतिबिंब दोहराए न जाएँ तो फलन एकैकी होता है।
Repetition of an image is not allowed in a one-one function. चरण 1: यहाँ (1) और (4) अलग प्रांत तत्व हैं। चरण 2: दोनों का प्रतिबिंब (p) है इसलिए दोहराव हो गया। चरण 3: एकैकी फलन में प्रतिबिंब का दोहराव स्वीकार नहीं होता।
The second element has (4) choices because repetition is not allowed.
Step 3
Exam Tip
Total one-one functions are \(5\cdot4=20\). चरण 1: पहले तत्व के लिए (5) चुनाव हैं। चरण 2: दूसरे तत्व के लिए दोहराव नहीं कर सकते इसलिए (4) चुनाव बचते हैं। चरण 3: कुल एकैकी फलन \(5\cdot4=20\) होंगे।
The next two elements have (3) and (2) choices respectively.
Step 3
Exam Tip
The total number is \(4\cdot3\cdot2=24\). चरण 1: पहले तत्व के लिए (4) चुनाव हैं। चरण 2: अगले दो तत्वों के लिए क्रमशः (3) और (2) चुनाव बचते हैं। चरण 3: कुल संख्या \(4\cdot3\cdot2=24\) है।
The codomain has only (4) elements, so this is impossible.
Step 3
Exam Tip
If the domain has more elements than the codomain, no one-one function can exist. चरण 1: एकैकी फलन के लिए (5) अलग प्रतिबिंब चाहिए। चरण 2: सहप्रांत में केवल (4) तत्व हैं इसलिए यह संभव नहीं है। चरण 3: प्रांत के तत्व अधिक हों तो एकैकी फलन बन ही नहीं सकता।
The basic identity of a one-one function is distinct images for distinct inputs.
Step 2
Why this answer is correct
If the images become equal, one-one property fails.
Step 3
Exam Tip
Remember the definition: equal images only come from equal inputs. चरण 1: एकैकी फलन की मूल पहचान अलग आगतों पर अलग प्रतिबिंब है। चरण 2: यदि प्रतिबिंब समान हो जाएँ तो एकैकीपन टूट जाएगा। चरण 3: परिभाषा याद रखें: समान प्रतिबिंब तभी जब आगत समान हों।
This is the standard algebraic condition for a one-one function.
Step 2
Why this answer is correct
Equal images must imply equal inputs.
Step 3
Exam Tip
This form is most commonly used in proofs. चरण 1: यह एकैकी फलन की मानक बीजगणितीय शर्त है। चरण 2: समान प्रतिबिंब मिलने पर आगत समान होना चाहिए। चरण 3: प्रमाण में इसी रूप का सबसे अधिक प्रयोग होता है।
This condition says different inputs give different images.
Step 2
Why this answer is correct
That is the direct definition of a one-one function.
Step 3
Exam Tip
Remember that this statement and (f(a)=f(b)\Rightarrow a=b) have the same meaning. चरण 1: यह शर्त बताती है कि अलग आगत अलग प्रतिबिंब देते हैं। चरण 2: यही एकैकी फलन की सीधी परिभाषा है। चरण 3: इस कथन और (f(a)=f(b)\Rightarrow a=b) दोनों को समान अर्थ में याद रखें।
Their images are equal, so the one-one condition fails.
Step 3
Exam Tip
A single counterexample is enough to disprove one-one. चरण 1: (5) और (9) दो अलग आगत हैं। चरण 2: दोनों के प्रतिबिंब समान हैं इसलिए एकैकीपन की शर्त टूटती है। चरण 3: एक ही विरोधी उदाहरण एकैकीपन नकारने के लिए पर्याप्त है।
In \(x^2+2\), (x) and (-x) can give the same value.
Step 2
Why this answer is correct
(f(1)=3) and (f(-1)=3), while \(1\neq-1\).
Step 3
Exam Tip
In options, check square-based functions carefully. चरण 1: \(x^2+2\) में (x) और (-x) समान मान दे सकते हैं। चरण 2: (f(1)=3) और (f(-1)=3) जबकि \(1\neq-1\)। चरण 3: विकल्पों में वर्ग वाले फलन को खास ध्यान से जाँचें।
Cubic and cube-root functions are simple examples of one-one behavior. चरण 1: घनमूल फलन वास्तविक संख्याओं पर बढ़ता है। चरण 2: अलग वास्तविक आगतों के घनमूल अलग होते हैं। चरण 3: घन और घनमूल दोनों एकैकीपन की दृष्टि से सरल उदाहरण हैं।
\(\sqrt{x}\) increases on its domain \([0,\infty\)).
Step 2
Why this answer is correct
If \(\sqrt{a}=\sqrt{b}\), then (a=b).
Step 3
Exam Tip
The square-root function is one-one on its proper domain. चरण 1: \(\sqrt{x}\) अपने प्रांत \([0,\infty\)) पर बढ़ता है। चरण 2: यदि \(\sqrt{a}=\sqrt{b}\) हो तो (a=b) होता है। चरण 3: वर्गमूल फलन अपने सही प्रांत पर एकैकी होता है।
For a quadratic function, find two inputs with the same value to disprove one-one. चरण 1: (f(0)=0) है। चरण 2: (f(-1)=1-1=0) है जबकि \(0\neq-1\)। चरण 3: द्विघात फलन में समान मान देने वाले दो आगत ढूँढकर एकैकीपन नकारें।
In the given domain, \(x+\frac{1}{2}\geq0\), so the squared part increases.
Step 3
Exam Tip
A quadratic function becomes one-one on one side of its axis. चरण 1: (x-2+x=\left\(x+\frac{1}{2}\right\)2-\frac{1}{4}) है। चरण 2: दिए गए प्रांत में \(x+\frac{1}{2}\geq0\) है इसलिए वर्ग भाग बढ़ता है। चरण 3: द्विघात फलन अपनी धुरी के एक ओर एकैकी हो जाता है।
Because of modulus, (x) and (-x) can give the same value.
Step 2
Why this answer is correct
(f(3)=6) and (f(-3)=6), while \(3\neq-3\).
Step 3
Exam Tip
Multiplying a modulus function by a positive constant does not make it one-one. चरण 1: मापांक के कारण (x) और (-x) समान मान दे सकते हैं। चरण 2: (f(3)=6) और (f(-3)=6) जबकि \(3\neq-3\)। चरण 3: मापांक के साथ धनात्मक गुणन एकैकीपन नहीं बचाता।
Thus (f(x)=2x), which gives different values for different inputs.
Step 3
Exam Tip
Changing the domain can change the one-one nature of a modulus function. चरण 1: \(x\geq0\) होने पर (|x|=x) हो जाता है। चरण 2: इसलिए (f(x)=2x) है जो अलग आगतों पर अलग मान देता है। चरण 3: प्रांत बदलने से मापांक फलन का एकैकीपन बदल सकता है।
Not every cubic-looking function is one-one; check the rule. चरण 1: (f(0)=0) है। चरण 2: (f(1)=1-1=0) है जबकि \(0\neq1\)। चरण 3: हर घन फलन एकैकी हो यह जरूरी नहीं है, नियम को जाँचें।
This function increases continuously as (x) increases.
Step 2
Why this answer is correct
If (a>b), then \(a^3+4a\) is greater than \(b^3+4b\).
Step 3
Exam Tip
A strictly increasing function is one-one. चरण 1: यह फलन (x) बढ़ने पर लगातार बढ़ता है। चरण 2: यदि (a>b) हो तो \(a^3+4a\) भी \(b^3+4b\) से बड़ा होता है। चरण 3: लगातार बढ़ता फलन एकैकी होता है।
\(5-x^3\) is decreasing and gives different outputs for different inputs.
Step 3
Exam Tip
A strictly decreasing function is also one-one. चरण 1: \(x^3\) बढ़ता है इसलिए \(-x^3\) घटता है। चरण 2: \(5-x^3\) भी घटता हुआ फलन है और अलग आगतों पर अलग मान देता है। चरण 3: लगातार घटता फलन भी एकैकी होता है।
From (f(a)=f(b)), we get \(\frac{2}{a}=\frac{2}{b}\).
Step 2
Why this answer is correct
Since (a,b>0), this gives (a=b).
Step 3
Exam Tip
A reciprocal-type rule is one-one on its proper domain. चरण 1: (f(a)=f(b)) से \(\frac{2}{a}=\frac{2}{b}\) मिलता है। चरण 2: (a,b>0) होने से (a=b) निष्कर्ष निकलता है। चरण 3: व्युत्क्रम जैसा नियम अपने उचित प्रांत पर एकैकी होता है।
From (f(a)=f(b)), we get \(\frac{1}{a-2}=\frac{1}{b-2}\).
Step 2
Why this answer is correct
Since \(a\neq2\) and \(b\neq2\), we get (a-2=b-2), hence (a=b).
Step 3
Exam Tip
The value making the denominator zero must be removed from the domain. चरण 1: (f(a)=f(b)) से \(\frac{1}{a-2}=\frac{1}{b-2}\) मिलता है। चरण 2: \(a\neq2\) और \(b\neq2\) होने से (a-2=b-2) इसलिए (a=b)। चरण 3: हर को शून्य करने वाले मान को प्रांत से हटाना जरूरी है।
In periodic functions, different angles can give the same value. चरण 1: \(\sin 0=0\) है। चरण 2: \(\sin \pi=0\) है जबकि \(0\neq\pi\)। चरण 3: आवर्ती फलनों में अलग कोण समान मान दे सकते हैं।
\(\cos 0=1\) and \(\cos 2\pi=1\), while \(0\neq2\pi\).
Step 3
Exam Tip
Equal values at different inputs destroy one-one property. चरण 1: \(\cos x\) आवर्ती फलन है। चरण 2: \(\cos 0=1\) और \(\cos 2\pi=1\) जबकि \(0\neq2\pi\)। चरण 3: दो अलग आगतों पर समान मान मिलने से एकैकीपन समाप्त हो जाता है।
Different real (x) values give different values of \(2^x\).
Step 3
Exam Tip
An exponential function with base greater than (1) is one-one. चरण 1: \(2^x\) बढ़ने वाला घातीय फलन है। चरण 2: अलग वास्तविक (x) पर \(2^x\) के अलग मान मिलते हैं। चरण 3: आधार (1) से बड़ा होने पर घातीय फलन एकैकी होता है।
(\left\(\frac{1}{3}\right\)^x) is a decreasing exponential function.
Step 2
Why this answer is correct
A decreasing function gives different values for different inputs.
Step 3
Exam Tip
An exponential function with base between (0) and (1) is also one-one. चरण 1: (\left\(\frac{1}{3}\right\)^x) घटने वाला घातीय फलन है। चरण 2: घटते हुए फलन में अलग आगतों पर अलग मान मिलते हैं। चरण 3: (0) और (1) के बीच आधार वाला घातीय फलन भी एकैकी होता है।
A logarithmic function is one-one on its proper domain. चरण 1: \(\log_2 x\) धनात्मक प्रांत पर बढ़ता है। चरण 2: यदि \(\log_2 a=\log_2 b\) हो तो (a=b) होता है। चरण 3: लघुगणक फलन अपने उचित प्रांत पर एकैकी होता है।
A constant function sends all inputs to the same image.
Step 2
Why this answer is correct
Since (A) has more than one element, different inputs will have the same image.
Step 3
Exam Tip
Do not mistake a constant function for a one-one function. चरण 1: स्थिर फलन सभी आगतों को एक ही प्रतिबिंब देता है। चरण 2: (A) में एक से अधिक तत्व हैं इसलिए अलग आगत समान प्रतिबिंब देंगे। चरण 3: स्थिर फलन को एकैकी समझने की गलती न करें।
A. तीनों को अलग-अलग तत्वों पर/All three to distinct elements
Step 1
Concept
In a one-one function, images are not repeated.
Step 2
Why this answer is correct
For the three elements of (A), three distinct elements of (B) must be chosen.
Step 3
Exam Tip
In finite sets, distinct images are the key to one-one property. चरण 1: एकैकी फलन में प्रतिबिंब दोहराए नहीं जाते। चरण 2: (A) के तीन तत्वों के लिए (B) के तीन अलग तत्व चुनने होंगे। चरण 3: सीमित समुच्चय में अलग प्रतिबिंब ही एकैकीपन की कुंजी है।
Two intersections mean two different (x)-values have the same (y)-value.
Step 3
Exam Tip
The horizontal line test is useful for checking one-one property from a graph. चरण 1: क्षैतिज रेखा का समान (y)-मान होता है। चरण 2: दो कटान का अर्थ है दो अलग (x) पर समान (y)-मान। चरण 3: आलेख से एकैकीपन जाँचने में क्षैतिज रेखा परीक्षण उपयोगी है।
At most one intersection means that output comes from only one input.
Step 3
Exam Tip
This is the one-one conclusion of the horizontal line test. चरण 1: हर क्षैतिज रेखा एक निश्चित निर्गत को दर्शाती है। चरण 2: अधिकतम एक कटान का अर्थ है वह निर्गत केवल एक आगत से आता है। चरण 3: यही क्षैतिज रेखा परीक्षण का एकैकी परिणाम है।
Even with a coefficient, a square can give the same value for (x) and (-x). चरण 1: (f(2)=3\cdot4=12) है। चरण 2: (f(-2)=3\cdot4=12) है जबकि \(2\neq-2\)। चरण 3: वर्ग के साथ गुणांक लगने पर भी (x) और (-x) का मान समान रह सकता है।
Restricting a square function to the non-negative side makes it one-one. चरण 1: दिए गए प्रांत में (x) ऋणात्मक नहीं है। चरण 2: \(x\geq0\) पर \(3x^2\) बढ़ता है। चरण 3: वर्ग फलन को अशून्य धनात्मक दिशा तक सीमित करने पर वह एकैकी हो जाता है।
Square-based functions are not one-one on the whole real domain. चरण 1: (f(2)=0) है। चरण 2: (f(-2)=0) है जबकि \(2\neq-2\)। चरण 3: वर्ग से जुड़े फलन पूरे वास्तविक प्रांत पर एकैकी नहीं रहते।
This gives \(\frac{a}{2}=\frac{b}{2}\), hence (a=b).
Step 3
Exam Tip
A fractional coefficient still gives one-one property if it is non-zero. चरण 1: (f(a)=f(b)) रखने पर \(\frac{a}{2}+6=\frac{b}{2}+6\) मिलता है। चरण 2: इससे \(\frac{a}{2}=\frac{b}{2}\) और (a=b) मिलता है। चरण 3: भिन्न गुणांक भी शून्य न हो तो फलन एकैकी रहता है।
If the coefficient of (x) is zero, the function becomes constant. चरण 1: (0x-4=-4) हर (x) के लिए समान है। चरण 2: (f(1)=-4) और (f(2)=-4) जबकि \(1\neq2\)। चरण 3: (x) का गुणांक शून्य हो तो फलन स्थिर हो जाता है।
In finite sets, distinct images clearly show one-one property. चरण 1: प्रांत के हर तत्व का ठीक एक प्रतिबिंब है। चरण 2: प्रतिबिंब (1,3,5) सभी अलग हैं। चरण 3: सीमित समुच्चय में अलग-अलग प्रतिबिंब एकैकीपन को स्पष्ट करते हैं।
Assuming (f(a)=f(b)), we get \(\frac{a}{a+1}=\frac{b}{b+1}\).
Step 2
Why this answer is correct
Cross-multiplication gives (a(b+1)=b(a+1)), so (ab+a=ab+b), hence (a=b).
Step 3
Exam Tip
In rational functions, remove the denominator-zero value from the domain before checking one-one. चरण 1: (f(a)=f(b)) मानने पर \(\frac{a}{a+1}=\frac{b}{b+1}\) मिलता है। चरण 2: गुणा करने पर (a(b+1)=b(a+1)) यानी (ab+a=ab+b), इसलिए (a=b)। चरण 3: भिन्न वाले फलन में हर को शून्य करने वाले मान को प्रांत से हटाकर जाँच करें।
\(\lfloor x\rfloor\) gives the greatest integer less than or equal to (x).
Step 2
Why this answer is correct
(f(1.2)=1) and (f(1.8)=1), while \(1.2\neq1.8\).
Step 3
Exam Tip
Step-like functions can give the same value for many inputs. चरण 1: \(\lfloor x\rfloor\) किसी संख्या से छोटा या बराबर सबसे बड़ा पूर्णांक देता है। चरण 2: (f(1.2)=1) और (f(1.8)=1) जबकि \(1.2\neq1.8\)। चरण 3: सीढ़ी जैसे फलनों में एक ही मान कई आगतों पर आ सकता है।
On the given interval, \(\tan x\) is strictly increasing.
Step 2
Why this answer is correct
Therefore two different (x) values cannot give the same tangent value.
Step 3
Exam Tip
Restricting a trigonometric function to a suitable interval can make it one-one. चरण 1: दिए गए अंतराल पर \(\tan x\) लगातार बढ़ता है। चरण 2: इसलिए दो अलग (x) समान स्पर्शज्या मान नहीं दे सकते। चरण 3: त्रिकोणमितीय फलनों को सही अंतराल पर सीमित करने से एकैकीपन मिल सकता है।
For finite sets, if no image is repeated, the function is one-one. चरण 1: (A) के हर तत्व का ठीक एक प्रतिबिंब दिया गया है। चरण 2: प्रतिबिंब (5,8,6,9) सभी अलग-अलग हैं। चरण 3: सीमित समुच्चय में यदि कोई प्रतिबिंब दोहराया नहीं गया है तो फलन एकैकी होता है।
