वर्गमूल के अंदर \(3x-12\ge 0\) होना चाहिए, इसलिए \(x\ge 4\)। परीक्षा में वर्गमूल के लिए अंदर का भाग हमेशा अशून्य या धनात्मक रखें। / The expression inside the square root must satisfy \(3x-12\ge 0\), so \(x\ge 4\). In exams, always keep the radicand non-negative.
यहां \(25-x^2\ge 0\), इसलिए \(x^2\le 25\) और \(x\in[-5,5]\)। ऐसे प्रश्नों में असमानता को सावधानी से हल करें। / Here \(25-x^2\ge 0\), so \(x^2\le 25\) and \(x\in[-5,5]\). In such questions, solve the inequality carefully.
वास्तविक मानों के लिए \(x-2\ge 0\) होना चाहिए, क्योंकि यह वर्गमूल के अंदर है। साथ ही, वर्गमूल हर में है, इसलिए उसका मान शून्य नहीं हो सकता; अतः \(x-2>0\), अर्थात् \(x>2\)। इसलिए प्रांत \((2,\infty)\) है। विकल्प B गलत है क्योंकि \(x=2\) पर हर शून्य हो जाता है। परीक्षा-टिप: हर में उपस्थित वर्गमूल के लिए अंदर की राशि सदैव धनात्मक रखें। / For real-valued outputs, \(x-2\ge 0\) is required because it is under a square root. Since the square root is in the denominator, it cannot be zero; therefore \(x-2>0\), giving \(x>2\). Hence the domain is \((2,\infty)\). Option B is incorrect because at \(x=2\), the denominator becomes zero. Exam tip: when a square root occurs in the denominator, its radicand must be strictly positive.
हर \(x^2-9\ne 0\) होना चाहिए, इसलिए \(x\ne -3,3\)। परीक्षा में हर को शून्य बनाने वाले मान हटाएं। / The denominator must satisfy \(x^2-9\ne 0\), so \(x\ne -3,3\). In exams, remove values that make the denominator zero.
वर्गमूल के लिए \(x+1\ge 0\) और हर के लिए \(x\ne 4\) चाहिए। इसलिए दोनों शर्तों का प्रतिच्छेद \([-1,\infty\)-{4}) है। / For the square root \(x+1\ge 0\) and for the denominator \(x\ne 4\) are required. Thus the intersection is \([-1,\infty\)-{4}).
क्योंकि \((x-2)^2\ge 0\) सभी वास्तविक \(x\) के लिए, इसलिए \(f(x)=(x-2)^2+5\ge 5\)। जब \(x=2\), तब \(f(2)=5\), इसलिए 5 परास में शामिल है और परास \([5,\infty)\) है। परीक्षा-युक्ति: ऊपर की ओर खुलने वाले \((x-a)^2+b\) का न्यूनतम मान \(b\) होता है। / Since \((x-2)^2\ge 0\) for every real \(x\), we have \(f(x)=(x-2)^2+5\ge 5\). At \(x=2\), \(f(2)=5\), so 5 is included in the range. Therefore, the range is \([5,\infty)\). Exam tip: an upward-opening expression of the form \((x-a)^2+b\) has minimum value \(b\).
प्रत्येक वास्तविक \(x\) के लिए \((x+3)^2\geq 0\) होता है। इसलिए \(f(x)=7-(x+3)^2\leq 7\)। जब \(x=-3\) होता है, तब वर्ग पद शून्य है और \(f(-3)=7\), अतः 7 अधिकतम मान है तथा यह परास में शामिल होगा। जैसे-जैसे \(|x+3|\) बढ़ता है, \(f(x)\) बिना सीमा के घटता जाता है। इसलिए परास \(( -\infty, 7]\) है। \([7,\infty)\) गलत है क्योंकि फलन 7 से बड़ा कोई मान नहीं ले सकता। परीक्षा-युक्ति: \(a-(x-h)^2\) के रूप के परवलय का अधिकतम मान \(a\) होता है। / For every real \(x\), \((x+3)^2\geq 0\). Hence \(f(x)=7-(x+3)^2\leq 7\). At \(x=-3\), the squared term is zero, so \(f(-3)=7\); thus 7 is the maximum value and is included in the range. As \(|x+3|\) increases, \(f(x)\) decreases without bound. Therefore, the range is \(( -\infty, 7]\). The interval \([7,\infty)\) is incorrect because the function cannot take a value greater than 7. Exam tip: a parabola of the form \(a-(x-h)^2\) has maximum value \(a\).
परिमेय फलन में हर शून्य नहीं हो सकता। यहाँ \(x-3\ne 0\), इसलिए \(x\ne 3\)। अतः 3 को छोड़कर सभी वास्तविक संख्याएँ फलन के प्रांत में आती हैं, अर्थात् \(\mathbb{R}\setminus\{3\}\)। विकल्प B में \(-3\) को हटाया गया है, जबकि निषिद्ध मान 3 है। परीक्षा-युक्ति: प्रांत ज्ञात करते समय सबसे पहले हर को शून्य के बराबर रखकर निषिद्ध मान निकालें। / For a rational function, the denominator cannot be zero. Here, \(x-3\ne 0\), so \(x\ne 3\). Therefore, every real number except 3 belongs to the domain, giving \(\mathbb{R}\setminus\{3\}\). Option B incorrectly excludes \(-3\), and option D includes the undefined value 3. Exam tip: To find the domain of a rational function, first set its denominator equal to zero and exclude the resulting values.
यदि \(y=\frac{2x+1}{x-3}\), तो \(x=\frac{3y+1}{y-2}\), अतः \(y\ne 2\)। इसलिए परिसर \(\mathbb{R}-{2}\) है। / If \(y=\frac{2x+1}{x-3}\), then \(x=\frac{3y+1}{y-2}\), so \(y\ne 2\). Hence the range is \(\mathbb{R}-{2}\).
किसी भी वास्तविक x के लिए \(x^2\ge 0\), इसलिए \(x^2+4\ge 4\)। अतः \(0<\frac{1}{x^2+4}\le\frac14\)। अधिकतम मान \(\frac14\) तब मिलता है जब \(x=0\), जबकि 0 कभी प्राप्त नहीं होता; इसलिए परास \((0,\frac14]\) है। परीक्षा-युक्ति: धनात्मक हर के व्युत्क्रम का मान हर के न्यूनतम मान पर अधिकतम होता है। / For every real x, \(x^2\ge 0\), so \(x^2+4\ge 4\). Hence \(0<\frac{1}{x^2+4}\le\frac14\). The maximum value \(\frac14\) occurs at \(x=0\), while 0 is never attained; therefore, the range is \((0,\frac14]\). Exam tip: for a positive denominator, the reciprocal is largest when the denominator is smallest.
वास्तविक मान वाले वर्गमूल के लिए मूलचिह्न के अंदर का व्यंजक अशून्य या धनात्मक होना चाहिए। अतः \(9-(x-1)^2\ge 0\), इसलिए \((x-1)^2\le 9\)। इससे \(-3\le x-1\le 3\), अर्थात \(-2\le x\le 4\) प्राप्त होता है। इसलिए प्रांत \([-2,4]\) है। विकल्प C उन मानों को दर्शाता है जिनके लिए मूलचिह्न के अंदर का व्यंजक ऋणात्मक होगा। परीक्षा-युक्ति: वर्गमूल वाले फलन का प्रांत ज्ञात करने के लिए हमेशा मूलचिह्न के अंदर के व्यंजक को \(\ge 0\) रखें। / For a real-valued square root, the expression inside the radical must be non-negative. Hence \(9-(x-1)^2\ge 0\), so \((x-1)^2\le 9\). This gives \(-3\le x-1\le 3\), or \(-2\le x\le 4\). Therefore, the domain is \([-2,4]\). Option C contains values for which the expression inside the square root is negative. Exam tip: To find the domain of a square-root function, set its radicand greater than or equal to zero.
वर्गमूल का मान ऋणात्मक नहीं होता और अंदर का अधिकतम मान (9) है। इसलिए परिसर ([0,3]) है। / A square root is never negative and the maximum inside value is (9). Hence the range is ([0,3]).
क्योंकि \(|x-4|\ge 0\), इसलिए \(f(x)=|x-4|+2\ge 2\)। \(x=4\) पर \(|x-4|=0\) और \(f(4)=2\), इसलिए 2 वास्तव में प्राप्त होता है। जैसे-जैसे \(|x-4|\) बढ़ता है, \(f(x)\) के सभी मान 2 या उससे अधिक प्राप्त होते हैं; अतः परास \([2,\infty)\) है। विकल्प B गलत है क्योंकि उसमें न्यूनतम मान 2 शामिल नहीं है। परीक्षा-युक्ति: \(|x-a|+b\) का न्यूनतम मान \(b\) होता है और परास \([b,\infty)\) होती है। / Since \(|x-4|\ge 0\), we have \(f(x)=|x-4|+2\ge 2\). At \(x=4\), \(|x-4|=0\), so \(f(4)=2\); therefore, the value 2 is attained. As \(|x-4|\) increases, all values greater than 2 are also obtained, giving the range \([2,\infty)\). Option B is incorrect because it excludes the attained minimum value 2. Exam tip: For a function of the form \(|x-a|+b\), the range is \([b,\infty)\).
किसी भी वास्तविक \(x\) के लिए \(|x|\ge 0\), इसलिए \(|x|+1\ge 1\) और \(0<f(x)\le 1\)। जब \(x=0\), तब \(f(x)=1\), जबकि \(|x|\) बढ़ने पर फलन का मान 0 के निकट पहुँचता है, परन्तु 0 कभी प्राप्त नहीं होता। इसलिए परास \((0,1]\) है। विकल्प B गलत है क्योंकि उसमें 0 शामिल है। परीक्षा-युक्ति: भिन्नात्मक फलन में हर के न्यूनतम और अधिकतम सम्भव मान से परास निर्धारित करें। / For every real \(x\), \(|x|\ge 0\), so \(|x|+1\ge 1\), which gives \(0<f(x)\le 1\). At \(x=0\), the function equals 1. As \(|x|\) increases, the function approaches 0 but never becomes 0. Hence, the range is \((0,1]\). Option B is incorrect because 0 is not attained. Exam tip: For a reciprocal function, identify the minimum and possible limiting values of the denominator to determine the range.
मान लें \(t=x^2\ge 0\), तब \(f=\frac{t-1}{t+1}\)। (t=0) पर (-1) मिलता है और (1) प्राप्त नहीं होता। / Let \(t=x^2\ge 0\), then \(f=\frac{t-1}{t+1}\). At (t=0), (-1) occurs and (1) is not attained.
वास्तविक वर्गमूल के लिए मूलचिह्न के भीतर का व्यंजक शून्य या धनात्मक होना चाहिए। अतः \(x^2-16\geq 0\), अर्थात \((x-4)(x+4)\geq 0\)। यह असमता \(x\leq -4\) या \(x\geq 4\) के लिए सत्य है। इसलिए परिभाषा-क्षेत्र \(( -\infty,-4]\cup[4,\infty)\) है। विकल्प B और C में बीच के वे मान शामिल हैं जिनके लिए \(x^2-16<0\) होता है। विकल्प D गलत है क्योंकि \(x=-4\) और \(x=4\) पर वर्गमूल का मान 0 होता है। परीक्षा-युक्ति: वर्गमूल वाले वास्तविक फलन में radicand को हमेशा \(\geq 0\) रखें। / For a real square root, the expression inside the radical must be non-negative. Hence, \(x^2-16\geq 0\), or \((x-4)(x+4)\geq 0\). This inequality holds when \(x\leq -4\) or \(x\geq 4\). Therefore, the domain is \(( -\infty,-4]\cup[4,\infty)\). Options B and C contain values between the roots, for which \(x^2-16<0\). Option D is incorrect because at \(x=-4\) and \(x=4\), the square root is 0. Exam tip: For a real square-root function, set the radicand greater than or equal to zero.
प्रांत में \(x^2-16\ge 0\) और वर्गमूल का न्यूनतम मान (0) है। बड़े (|x|) पर मान असीमित बढ़ता है। / On the domain, \(x^2-16\ge 0\) and the minimum square-root value is (0). For large (|x|), the value grows without bound.
लघुगणक का परिभाषित होना सुनिश्चित करने के लिए उसका तर्क strictly धनात्मक होना चाहिए: \(x^2-5x+6>0\)। गुणनखंड करने पर \((x-2)(x-3)>0\) मिलता है, जो \(x<2\) या \(x>3\) के लिए सत्य है। अतः प्रांत \((-\infty,2)\cup(3,\infty)\) है। विकल्प B गलत है क्योंकि \((2,3)\) में लघुगणक का तर्क ऋणात्मक होता है; 2 और 3 भी शामिल नहीं हो सकते क्योंकि वहाँ तर्क शून्य है। परीक्षा-युक्ति: \(\log_a(g(x))\) के लिए हमेशा \(g(x)>0\) लगाएँ, केवल \(g(x)\ne0\) नहीं। / The argument of a logarithm must be strictly positive, so \(x^2-5x+6>0\). Factoring gives \((x-2)(x-3)>0\), which holds when \(x<2\) or \(x>3\). Therefore, the domain is \((-\infty,2)\cup(3,\infty)\). Option B is incorrect because the logarithm's argument is negative between 2 and 3; the endpoints are also excluded because the argument becomes zero there. Exam tip: For \(\log_a(g(x))\), always impose \(g(x)>0\), not merely \(g(x)\ne0\).
लघुगणकीय फलन के लिए उसका आर्गुमेंट धनात्मक होना आवश्यक है। अतः \(4-x>0\), जिससे \(x<4\) मिलता है। इसलिए प्रांत \(( -\infty,4)\) है। विकल्प C में \(4\) शामिल है, पर \(x=4\) पर आर्गुमेंट \(0\) होता है और \(\log 0\) अपरिभाषित है। परीक्षा-युक्ति: लॉग वाले प्रश्नों में पहले उसके अंदर के व्यंजक को \(>0\) रखें। / For a logarithmic function, its argument must be positive. Thus, \(4-x>0\), which gives \(x<4\). Therefore, the domain is \(( -\infty,4)\). Option C wrongly includes \(4\); at \(x=4\), the argument is \(0\), and \(\log 0\) is undefined. Exam tip: In logarithmic domain questions, first set the expression inside the log greater than zero.
लघुगणक के लिए (x>0) और हर के लिए \(\log_3 x\ne 0\), यानी \(x\ne 1\)। दोनों शर्तें साथ रखें। / For the logarithm (x>0), and for the denominator \(\log_3 x\ne 0\), so \(x\ne 1\). Keep both conditions together.
शर्त \(\frac{x-1}{x+2}\ge 0\) और \(x\ne -2\) है। साइन चार्ट से (\(-\infty,-2\)\cup[1,\infty)) मिलता है। / The condition is \(\frac{x-1}{x+2}\ge 0\) and \(x\ne -2\). A sign chart gives (\(-\infty,-2\)\cup[1,\infty)).
वर्गमूल के अंदर की मात्रा गैर-ऋणात्मक होनी चाहिए और हर शून्य नहीं हो सकता। इसलिए \(\frac{5-x}{x+1}\ge 0\) तथा \(x\ne -1\)। महत्त्वपूर्ण बिंदु \(-1\) और \(5\) हैं। अंतरालों में चिह्न जाँचने पर \((-1,5]\) प्राप्त होता है; \(5\) शामिल है क्योंकि वहाँ भिन्न का मान 0 है, जबकि \(-1\) शामिल नहीं है क्योंकि हर शून्य हो जाता है। परीक्षा-युक्ति: वर्गमूल वाले परिमेय व्यंजक में पहले हर के शून्य होने वाले बिंदु को अलग करें, फिर चिह्न-आरेख बनाकर जाँच करें। / The expression under the square root must be non-negative, and the denominator cannot be zero. Thus, \(\frac{5-x}{x+1}\ge 0\) with \(x\ne -1\). The critical points are \(-1\) and \(5\). Sign testing across the intervals gives \((-1,5]\). The endpoint \(5\) is included because the fraction becomes 0, whereas \(-1\) is excluded because it makes the denominator zero. Exam tip: for a rational expression under a square root, first mark the denominator’s zero and the numerator’s zero, then perform an interval sign test.
हर को पूर्ण वर्ग के रूप में लिखें: \\(x^2-4x+5=(x-2)^2+1\\ge 1\\)। इसलिए \\(0< f(x)\\le 1\\)। अधिकतम मान 1, \\(x=2\\) पर प्राप्त होता है, जबकि 0 कभी प्राप्त नहीं होता; अतः परास \\((0,1]\\) है। परीक्षा-युक्ति: धनात्मक हर का न्यूनतम मान ज्ञात करके उसके व्युत्क्रम का परास निर्धारित करें। / Complete the square in the denominator: \\(x^2-4x+5=(x-2)^2+1\\ge 1\\)। Therefore, \\(0<f(x)\\le 1\\)। The maximum value 1 is attained at \\(x=2\\), whereas 0 is never attained; hence the range is \\((0,1]\\)। Exam tip: For a positive denominator, find its minimum value first and then determine the range of its reciprocal.
यदि \(y=\frac{x}{x^2+1}\), तो \(yx^2-x+y=0\) में विविक्तकर \(1-4y^2\ge 0\) चाहिए। अतः \(-\frac{1}{2}\le y\le \frac{1}{2}\)। / If \(y=\frac{x}{x^2+1}\), then the discriminant of \(yx^2-x+y=0\) must satisfy \(1-4y^2\ge 0\). Thus \(-\frac{1}{2}\le y\le \frac{1}{2}\).
क्योंकि \(x>0\), \(f(x)-2=x+\frac{1}{x}-2=\frac{(x-1)^2}{x}\ge 0\)। अतः \(f(x)\ge 2\), और बराबरी \(x=1\) पर होती है; इसलिए 2 मान-परास में शामिल है। साथ ही \(x\to0^+\) या \(x\to\infty\) पर \(f(x)\to\infty\), इसलिए प्रत्येक \(y\ge2\) प्राप्त होता है। अतः मान-परास \([2,\infty)\) है। परीक्षा-युक्ति: \(x+\frac1x\) में \(x>0\) हो तो न्यूनतम मान 2 तुरंत AM-GM से भी निकाला जा सकता है। विकल्प B गलत है क्योंकि \(x=1\) पर मान ठीक 2 मिलता है। / Since \(x>0\), \(f(x)-2=x+\frac{1}{x}-2=\frac{(x-1)^2}{x}\ge 0\). Thus \(f(x)\ge 2\), with equality at \(x=1\), so 2 is included in the range. Also, \(f(x)\to\infty\) as \(x\to0^+\) or \(x\to\infty\), and every value \(y\ge2\) is attained. Therefore, the range is \([2,\infty)\). Exam tip: for \(x+\frac1x\) with \(x>0\), the minimum 2 can also be found directly using AM-GM. Option B is incorrect because the value 2 is attained at \(x=1\).
ऋणात्मक (x) के लिए (x=-t), (t>0), तब (f=-\(t+\frac{4}{t}\)\le -4)। इसलिए परिसर (\(-\infty,-4]\) है। / For negative (x), put (x=-t), (t>0), then (f=-\(t+\frac{4}{t}\)\le -4). Hence the range is (\(-\infty,-4]\).
यदि \(y=\frac{x-2}{x+5}\), तो \(x=\frac{-5y-2}{y-1}\), इसलिए \(y\ne 1\)। अतः परिसर \(\mathbb{R}-{1}\) है। / If \(y=\frac{x-2}{x+5}\), then \(x=\frac{-5y-2}{y-1}\), so \(y\ne 1\). Hence the range is \(\mathbb{R}-{1}\).
वास्तविक मानों के लिए प्रत्येक वर्गमूल के भीतर का व्यंजक अशून्य या धनात्मक होना चाहिए। \(x+2\ge 0\) से \(x\ge -2\) तथा \(6-x\ge 0\) से \(x\le 6\) मिलता है। अतः दोनों शर्तों का प्रतिच्छेद \([-2,6]\) है, इसलिए विकल्प A सही है। विकल्प C में \(-2\) और \(6\) को अनावश्यक रूप से हटाया गया है, जबकि इन पर एक वर्गमूल शून्य होता है, जो मान्य है। परीक्षा-युक्ति: वर्गमूल वाले फलन में हर मूल के अंदर के व्यंजक को \(\ge 0\) रखकर सभी शर्तों का प्रतिच्छेद लें। / For real values, the expression inside each square root must be non-negative. From \(x+2\ge 0\), we get \(x\ge -2\), and from \(6-x\ge 0\), we get \(x\le 6\). Hence, the intersection of the two conditions is \([-2,6]\), so option A is correct. Option C wrongly excludes \(-2\) and \(6\); at these endpoints, one square root is zero, which is valid. Exam tip: for a function involving square roots, require every radicand to be \(\ge 0\) and intersect the resulting conditions.
प्रांत ([-2,6]) पर योग सममित है और अधिकतम (x=2) पर मिलता है। तब मान \(\sqrt{4}+\sqrt{4}=4\) है। / On ([-2,6]), the sum is symmetric and maximum occurs at (x=2). Then the value is \(\sqrt{4}+\sqrt{4}=4\).
क्योंकि वर्गमूल हर में है, इसलिए उसके अंदर की राशि धनात्मक होनी चाहिए: \(4-x^2>0\)। अतः \(x^2<4\), जिससे \(-2<x<2\) प्राप्त होता है। इसलिए प्रांत \((-2,2)\) है। विकल्प B गलत है, क्योंकि \(x=\pm2\) पर हर शून्य हो जाता है। परीक्षा-युक्ति: जब वर्गमूल हर में हो, तो radicand के लिए सख्त असमानता \(>0\) लगाएँ। / Because the square root is in the denominator, its radicand must be strictly positive: \(4-x^2>0\). Thus \(x^2<4\), which gives \(-2<x<2\). Therefore, the domain is \((-2,2)\). Option B is incorrect because at \(x=\pm2\), the denominator becomes zero. Exam tip: when a square root appears in the denominator, impose the strict condition radicand \(>0\).
\(\sqrt{4-x^2}\) का अधिकतम मान (2) है, इसलिए (f) का न्यूनतम मान \(\frac{1}{2}\) है। किनारों के पास मान असीमित बढ़ता है। / The maximum value of \(\sqrt{4-x^2}\) is (2), so the minimum value of (f) is \(\frac{1}{2}\). Near the endpoints, the value grows without bound.
वर्गमूल के लिए \(x\ge 1\) और हर के लिए \(x\ne 5\) चाहिए। इसलिए प्रांत \([1,\infty\)-{5}) है। / For the square root \(x\ge 1\), and for the denominator \(x\ne 5\) are needed. Hence the domain is \([1,\infty\)-{5}).
ऊपर के वर्गमूल के लिए \(x-3\ge 0\) और हर के वर्गमूल के लिए (7-x>0) चाहिए। अतः \(x\in[3,7\))। / For the numerator square root \(x-3\ge 0\), and for the denominator square root (7-x>0). Thus \(x\in[3,7\)).
(x-2-6x+11=(x-3)2+2), इसलिए न्यूनतम मान (2) है। पूर्ण वर्ग बनाना ऐसे प्रश्नों में सबसे तेज विधि है। / Since (x-2-6x+11=(x-3)2+2), the minimum value is (2). Completing the square is the fastest method here.
(f(x)=-2(x-2)2+9), इसलिए अधिकतम मान (9) है। नीचे की ओर खुलने वाले परवलय का परिसर (\(-\infty,9]\) होता है। / (f(x)=-2(x-2)2+9), so the maximum value is (9). A downward-opening parabola has range (\(-\infty,9]\).
\(हर (x^2-2x+2=(x-1)^2+1\ge 1), इसलिए (\frac{3}{\)हर}\in(0,3])। इसलिए परिसर ((1,4]) है। \(/ The denominator (x^2-2x+2=(x-1)^2+1\ge 1), so (\frac{3}{\)denominator\(}\in(0,3]). Hence the range is ((1,4]).\)
मान लें \(t=x^2\ge 0\), तब \(f=\frac{t+2}{t+5}\)। यह (t=0) पर \(\frac{2}{5}\) है और (1) तक पहुंचता है पर (1) नहीं होता। / Let \(t=x^2\ge 0\), then \(f=\frac{t+2}{t+5}\). It is \(\frac{2}{5}\) at (t=0) and approaches (1) but never equals (1).
परिमेय फलन में हर शून्य नहीं हो सकता। यहाँ \(x^2-1=(x-1)(x+1)\), इसलिए \(x=1\) और \(x=-1\) पर फलन अपरिभाषित है। अतः प्रांत \(\mathbb{R}\setminus\{-1,1\}\) है। परीक्षा में पहले हर को शून्य के बराबर रखकर वे मान निकालें जिन्हें हटाना है; केवल एक मान हटाना पर्याप्त नहीं है। / The denominator of a rational function cannot be zero. Since \(x^2-1=(x-1)(x+1)\), the function is undefined at \(x=1\) and \(x=-1\). Hence its domain is \(\mathbb{R}\setminus\{-1,1\}\). In an exam, set the denominator equal to zero first and exclude every resulting value.
यदि \(t=x^2\ge 0\) और \(t\ne 1\), तो \(y=\frac{t+1}{t-1}\)। इससे \(t=\frac{y+1}{y-1}\ge 0\) देकर परिसर ((-\infty,-1]\cup\(1,\infty\)) मिलता है। / If \(t=x^2\ge 0\) and \(t\ne 1\), then \(y=\frac{t+1}{t-1}\). Using \(t=\frac{y+1}{y-1}\ge 0\) gives the range ((-\infty,-1]\cup\(1,\infty\)).
वर्गमूल के अंदर का व्यंजक वास्तविक और परिभाषित होने के लिए \(2x-x^2\ge 0\) होना चाहिए। इसे \(x(2-x)\ge 0\) लिखने पर \(0\le x\le 2\) प्राप्त होता है, इसलिए प्रांत \([0,2]\) है। विकल्प C गलत है क्योंकि \(x=0\) और \(x=2\) पर भी वर्गमूल का मान 0 होता है, अतः दोनों छोर शामिल होंगे। परीक्षा-युक्ति: वर्गमूल वाले फलन का प्रांत निकालते समय radicand को हमेशा \(\ge 0\) रखें। / For the square root to be real, its radicand must satisfy \(2x-x^2\ge 0\). Factoring gives \(x(2-x)\ge 0\), which holds for \(0\le x\le 2\). Therefore, the domain is \([0,2]\). Option C is incorrect because both endpoints, \(x=0\) and \(x=2\), make the radicand zero and must be included. Exam tip: For a square-root function, set the expression inside the root greater than or equal to zero.
\(2x-x^2=1-(x-1)^2\)। वर्गमूल के लिए \(2x-x^2\ge 0\), इसलिए फलन का परिभाषा-क्षेत्र \([0,2]\) है। इस व्यंजक का अधिकतम मान \(1\) है, जो \(x=1\) पर प्राप्त होता है, और न्यूनतम मान \(0\) है, जो \(x=0,2\) पर प्राप्त होता है। अतः परास \([0,1]\) है। विकल्प B गलत है क्योंकि वर्गमूल का मान ऋणात्मक नहीं हो सकता, जबकि विकल्प D में \(0\) शामिल नहीं है। परीक्षा-युक्ति: वर्गमूल वाले फलन की परास ज्ञात करते समय मूलांक का न्यूनतम और अधिकतम मान निर्धारित करें। / Rewrite the radicand as \(2x-x^2=1-(x-1)^2\). For the square root to be defined, \(2x-x^2\ge 0\), giving the domain \([0,2]\). The radicand has maximum value \(1\) at \(x=1\), and minimum value \(0\) at \(x=0,2\). Therefore, the function values range from \(0\) to \(1\), so the range is \([0,1]\). Option B is incorrect because a square root cannot be negative, while option D wrongly excludes \(0\). Exam tip: For a square-root function, first find the minimum and maximum values of the radicand.
दोनों हर शून्य नहीं होने चाहिए, इसलिए \(x\ne 1\) और \(x\ne -1\)। योग वाले रैशनल फलन में सभी हर जांचें। / Both denominators must be non-zero, so \(x\ne 1\) and \(x\ne -1\). In sums of rational functions, check every denominator.
हर के अंदर का व्यंजक \(x^2+6x+10=(x+3)^2+1\) है, इसलिए इसका न्यूनतम मान 1 है। अतः \(\sqrt{x^2+6x+10}\ge 1\), जिससे \(0<f(x)\le 1\)। x=-3 पर f(x)=1 प्राप्त होता है, जबकि f(x) कभी 0 नहीं हो सकता; इसलिए परास \((0,1]\) है। परीक्षा-युक्ति: ऐसे व्युत्क्रम वर्गमूल फलनों में पहले अंदर के व्यंजक का न्यूनतम मान ज्ञात करें। / The expression inside the square root is \(x^2+6x+10=(x+3)^2+1\), whose minimum value is 1. Hence \(\sqrt{x^2+6x+10}\ge 1\), so \(0<f(x)\le 1\). The value 1 is attained at x=-3, but f(x) can never be 0; therefore, the range is \((0,1]\). Exam tip: For reciprocal square-root functions, first find the minimum value of the expression under the radical.
हर हमेशा (|x|) से बड़ा होता है, इसलिए (-1<f(x)<1)। (-1) और (1) केवल सीमा मान हैं। / The denominator is always greater than (|x|), so (-1<f(x)<1). The values (-1) and (1) are only limiting values.
वास्तविक मान के लिए दोनों वर्गमूलों के अंदर के व्यंजक अशून्य या धनात्मक होने चाहिए: \(x\ge 0\) तथा \(1-x\ge 0\), अर्थात \(x\le 1\)। इसलिए दोनों शर्तों का प्रतिच्छेद \([0,1]\) है। सिरों \(x=0\) और \(x=1\) पर एक वर्गमूल का मान 0 होता है, इसलिए वे भी प्रांत में शामिल हैं। परीक्षा-युक्ति: वर्गमूल वाले फलन का प्रांत ज्ञात करते समय प्रत्येक मूलांक के लिए \(\ge 0\) की शर्त लगाकर उनका प्रतिच्छेद लें। / For the function to have real values, each radicand must be non-negative: \(x\ge 0\) and \(1-x\ge 0\), which gives \(x\le 1\). The intersection of these conditions is \([0,1]\). The endpoints \(x=0\) and \(x=1\) are included because one square-root term is 0 at each endpoint. Exam tip: For a function containing square roots, set every radicand \(\ge 0\) and take the intersection of the resulting conditions.
प्रांत ([0,1]) में न्यूनतम मान किनारों पर (1) और अधिकतम \(x=\frac{1}{2}\) पर \(\sqrt{2}\) है। इसलिए परिसर \([1,\sqrt{2}]\) है। / On ([0,1]), the minimum at endpoints is (1) and the maximum at \(x=\frac{1}{2}\) is \(\sqrt{2}\). Hence the range is \([1,\sqrt{2}]\).
हर (x-2+2x+2=(x+1)2+1) का न्यूनतम मान (1) है। इसलिए फलन का अधिकतम मान (1) है। / The denominator (x-2+2x+2=(x+1)2+1) has minimum value (1). Hence the maximum value of the function is (1).
वर्गमूल के लिए \(x\ge 2\) और हर के लिए \(x\ne -3,3\) चाहिए। लेकिन (-3) पहले ही \(x\ge 2\) में नहीं है, इसलिए केवल (3) हटेगा। / For the square root \(x\ge 2\), and for the denominator \(x\ne -3,3\) are required. But (-3) is already outside \(x\ge 2\), so only (3) is removed.
शर्त \(\frac{x^2-4}{9-x^2}\ge 0\) और \(x\ne -3,3\) है। साइन चार्ट से (\(-3,-2]\cup[2,3\)) मिलता है। / The condition is \(\frac{x^2-4}{9-x^2}\ge 0\) and \(x\ne -3,3\). A sign chart gives (\(-3,-2]\cup[2,3\)).
मान लें \(t=x^2\ge 0\), तब \(f=\frac{2t+3}{t+1}\) घटता है। (t=0) पर (3) मिलता है और (2) प्राप्त नहीं होता। / Let \(t=x^2\ge 0\), then \(f=\frac{2t+3}{t+1}\) is decreasing. At (t=0), (3) is obtained and (2) is not attained.
