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हर x∈A पर
2
x
लगाने से 2,3,4 मिलते हैं। नियम आधारित प्रश्नों में इनपुट और आउटपुट का क्रम न बदलें। / Applying
2
x
to each x∈A gives 2,3,4. In rule based questions do not reverse input and output.
A. क्योंकि (A) के प्रत्येक तत्व की (B) में ठीक एक छवि है/Because every element of (A) has exactly one image in (B)
Explanation
Simple Explanation
प्रत्येक (A) के तत्व (1) और (2) की (B) में ठीक एक-एक छवि है। परीक्षा में फलन जांचते समय पहले डोमेन के हर तत्व की छवि गिनें। / Each element (1) and (2) of (A) has exactly one image in (B). In exams, first count the image of every domain element to test a function.
हर प्रथम अवयव 2,4,6 ठीक एक बार आया है। दो इनपुट का समान आउटपुट 5 होना फलन में सही है। / Each first component 2,4,6 appears exactly once. Two inputs having the same output 5 is allowed in a function.
पहले विकल्प में 7 के दो अलग प्रतिबिंब 2 और 3 हैं। एक इनपुट के दो अलग आउटपुट फलन नहीं बनाते। / In the first option, 7 has two different images 2 and 3. One input with two different outputs does not form a function.
युग्म (−1,1) से −1 का प्रतिबिंब 1 है। ऋणात्मक इनपुट को भी उसी तरह पढ़ें जैसे धनात्मक इनपुट को पढ़ते हैं। / From the pair (−1,1), the image of −1 is 1. Read negative inputs the same way as positive inputs.
फलन में �(x=2� रखने पर �(f(2)=22+2=4+2=6� मिलता है। इसलिए सही उत्तर 6 है। विकल्प B में केवल �\(2^2\\)� लिया गया है और उसमें 2 जोड़ना छूट गया है। परीक्षा-युक्ति: फलन का मान निकालते समय दिए गए चर का मान पूरे सूत्र में रखें और घात पहले हल करें। / Substituting �(x=2� into the function gives �(f(2)=22+2=4+2=6�. Therefore, the correct answer is 6. Option B includes only �\(2^2\\)� and omits the additional 2. Exam tip: Substitute the given value throughout the function and evaluate powers before addition.
किसी संबंध या फलन का प्रांत क्रमित युग्मों के प्रथम अवयवों का समुच्चय होता है। यहाँ प्रथम अवयव 3, 5 और 7 हैं, इसलिए प्रांत {3, 5, 7} है। विकल्प B परास (range) है, प्रांत नहीं। परीक्षा में domain ज्ञात करने के लिए प्रत्येक क्रमित युग्म का पहला अवयव लें। / The domain of a relation or function is the set of first components of its ordered pairs. Here, the first components are 3, 5, and 7, so the domain is {3, 5, 7}. Option B is the range, not the domain. In an exam, identify the domain by collecting the first element from every ordered pair.
किसी फलन का परास उसके क्रमित युग्मों के सभी द्वितीय अवयवों का समुच्चय होता है। यहाँ द्वितीय अवयव 4, 6, 8 और 10 हैं, इसलिए परास \(\{4,6,8,10\}\) है। विकल्प B प्रांत है, क्योंकि उसमें सभी प्रथम अवयव दिए गए हैं। परीक्षा-युक्ति: क्रमित युग्म \((x,y)\) में सभी \(y\)-मानों का समुच्चय परास होता है। / The range of a function is the set of all second components of its ordered pairs. Here, the second components are 4, 6, 8, and 10, so the range is \(\{4,6,8,10\}\). Option B is the domain because it contains all the first components. Exam tip: in an ordered pair \((x,y)\), collect the y-values to find the range.
कुल फलनों की संख्या ∣B∣
∣A∣
=2
4
होती है। याद रखें आधार सहप्रांत और घात प्रांत से आता है। / The number of functions is ∣B∣
∣A∣
=2
4
. Remember that the base comes from the codomain and the exponent from the domain.
A के प्रत्येक 3 तत्व की छवि B के 4 तत्वों में से किसी एक के रूप में चुनी जा सकती है। प्रत्येक चयन स्वतंत्र है, इसलिए कुल फलनों की संख्या \(|B|^{|A|}=4^3=64\) होगी। \(3^4\) गलत है क्योंकि फलनों की संख्या में आधार सह-समुच्चय के तत्वों की संख्या और घात प्रांत के तत्वों की संख्या होती है। परीक्षा-युक्ति: A से B में फलनों की संख्या हमेशा \(|B|^{|A|}\) होती है। / Each of the 3 elements of A can be mapped independently to any of the 4 elements of B. Hence, the total number of functions is \(|B|^{|A|}=4^3=64\). The expression \(3^4\) reverses the roles of the domain and codomain. Exam tip: The number of functions from A to B is always \(|B|^{|A|}\).
सहप्रांत में केवल 9 है, इसलिए हर प्रांत तत्व का प्रतिबिंब 9 होगा। कोई प्रांत तत्व छूटना नहीं चाहिए। / The codomain has only 9, so every domain element maps to 9. No domain element should be left out.
समुच्चय f(A) में A के प्रत्येक अवयव का फलन-मान शामिल होता है। इसलिए f(4)=4−4=0, f(5)=5−4=1 और f(9)=9−4=5। अतः f(A)={0,1,5} है। विकल्प B मूल परिभाषा-क्षेत्र A है, उसके फलन-मान नहीं। परीक्षा-युक्ति: image set निकालने के लिए परिभाषा-क्षेत्र के प्रत्येक अवयव को फलन में क्रमशः रखें। / The set f(A) contains the function values corresponding to every element of A. Thus, f(4)=4−4=0, f(5)=5−4=1, and f(9)=9−4=5. Therefore, f(A)={0,1,5}. Option B is the original domain A, not its image under f. Exam tip: To find an image set, substitute each element of the domain into the function one by one.
फलन के ग्राफ में प्रत्येक क्रमित युग्म (x,f(x)) के रूप में लिखा जाता है। यहाँ f(0)=0, f(1)=3 और f(2)=6 हैं, इसलिए ग्राफ {(0,0),(1,3),(2,6)} होगा। विकल्प C में क्रमित युग्मों के अवयव उलट दिए गए हैं। परीक्षा-युक्ति: पहले प्रांत के प्रत्येक मान के लिए f(x) निकालकर (x,f(x)) लिखें। / The graph of a function consists of ordered pairs of the form (x,f(x)). Here, f(0)=0, f(1)=3, and f(2)=6, so the graph is {(0,0),(1,3),(2,6)}. In option C, the components of the ordered pairs are reversed. Exam tip: evaluate the function at every domain element and write each result as (x,f(x)).
तत्समक फलन में समुच्चय का प्रत्येक तत्व स्वयं से ही संबद्ध होता है, अर्थात प्रत्येक क्रमित युग्म (x, x) के रूप में होता है। इसलिए {(2,2), (3,3), (4,4)} सही है। विकल्प B में तत्व चक्रीय रूप से बदलते हैं, C स्थिर फलन है और D में 2 तथा 4 एक-दूसरे से संबद्ध हैं। परीक्षा-युक्ति: पहचान फलन के लिए हर इनपुट और उसका आउटपुट समान होना चाहिए। / In an identity function, every element of the set maps to itself, so each ordered pair has the form (x, x). Hence, {(2,2), (3,3), (4,4)} is correct. Option B gives a cyclic mapping, option C is a constant function, and option D interchanges 2 and 4. Exam tip: In an identity function, the input and output are equal for every element.
तत्समक फलन प्रत्येक अवयव को उसी अवयव पर प्रतिचित्रित करता है, अर्थात् \(I_A(x)=x\)। इसलिए \(I_A(8)=8\)। विकल्प 9 समुच्चय \(A\) का दूसरा अवयव है, परंतु 8 का तत्समक फलन के अंतर्गत प्रतिबिंब 9 नहीं हो सकता। परीक्षा-युक्ति: तत्समक फलन में इनपुट और आउटपुट सदैव समान होते हैं। / An identity function maps every element to itself, so \(I_A(x)=x\). Therefore, \(I_A(8)=8\). Although 9 is also an element of set \(A\), it is not the image of 8 under the identity function. Exam tip: for an identity function, the input and output are always the same.
सभी इनपुट का मान समान 6 है, इसलिए यह स्थिर फलन है। स्थिर फलन भी वैध फलन होता है। / All inputs have the same value 6, so it is a constant function. A constant function is also a valid function.
सभी युग्मों का द्वितीय अवयव 0 है। परिसर में दोहराव नहीं लिखा जाता, इसलिए {0} सही है। / The second component of all pairs is 0. Repetition is not written in the range, so {0} is correct.
किसी क्रमित युग्म \((x,y)\) में \(x\) इनपुट और \(y\) उसका प्रतिबिंब होता है। यहाँ \((3,3)\) में द्वितीय अवयव 3 है, इसलिए इनपुट 3 का प्रतिबिंब 3 है। अन्य विकल्पों में 1 और 2 का प्रतिबिंब 2 तथा 4 का प्रतिबिंब 4 है। परीक्षा-युक्ति: दिए गए प्रतिबिंब को क्रमित युग्म के दूसरे अवयव से मिलाएँ। / In an ordered pair \((x,y)\), \(x\) is the input and \(y\) is its image. Here, the pair \((3,3)\) has 3 as its second component, so the input with image 3 is 3. The other inputs 1 and 2 have image 2, while 4 has image 4. Exam tip: Match the given image with the second component of each ordered pair.
फलन में \(f(x)\) का मान उस क्रमित युग्म \((x,y)\) का दूसरा घटक होता है जिसमें पहला घटक \(x\) हो। यहाँ \((20,2)\) दिया है, इसलिए \(f(20)=2\)। विकल्प B इनपुट 20 है, फलन का मान नहीं। परीक्षा-युक्ति: किसी भी \(f(a)\) को खोजने के लिए पहले घटक \(a\) वाला क्रमित युग्म चुनें। / In a function, \(f(x)\) is the second component of the ordered pair \((x,y)\) whose first component is \(x\). Here, the pair \((20,2)\) is given, so \(f(20)=2\). Option B is the input 20, not its image. Exam tip: To find \(f(a)\), locate the ordered pair whose first component is \(a\).
दिए गए फलन में \(x=5\) रखने पर \(f(5)=\frac{2}{5+1}=\frac{2}{6}=\frac{1}{3}\) प्राप्त होता है। विकल्प B \(\frac{2}{5}\) तब मिलता है जब हर में \(+1\) को छोड़ दिया जाए। परीक्षा में पूरे हर को कोष्ठक सहित लिखकर मान रखने से ऐसी गलती से बचें। / Substituting \(x=5\) in the given function gives \(f(5)=\frac{2}{5+1}=\frac{2}{6}=\frac{1}{3}\). Option B, \(\frac{2}{5}\), results from omitting the \(+1\) in the denominator. In an exam, write the complete denominator in parentheses before substituting the value.
पहले विकल्प में 2 प्रथम अवयव के रूप में नहीं है। फलन में प्रांत का हर तत्व शामिल होना चाहिए। / In the first option, 2 is not present as a first component. In a function every domain element must be included.
A से B में कोई भी संबंध A×B का उपसमुच्चय होता है, क्योंकि उसके प्रत्येक क्रमित युग्म का पहला अवयव A में और दूसरा अवयव B में होता है। फलन ऐसा विशेष संबंध है जिसमें A के प्रत्येक अवयव का B में ठीक एक प्रतिबिंब होता है। इसलिए f⊆A×B। परीक्षा-युक्ति: A से B के फलन में क्रम हमेशा domain से codomain की ओर होता है, इसलिए A×B चुनें, B×A नहीं। / Any relation from A to B is a subset of A×B because the first element of each ordered pair belongs to A and the second belongs to B. A function is a special relation in which every element of A has exactly one image in B. Hence, f⊆A×B. Exam tip: For a function from A to B, the order is domain first and codomain second, so choose A×B rather than B×A.
पहले विकल्प में 1 और 2 दोनों का ठीक एक प्रतिबिंब है। अन्य विकल्पों में कोई इनपुट छूटा है या दो बार जुड़ा है। / In the first option, both 1 and 2 have exactly one image. In the other options, an input is missing or mapped twice.
ग्राफ में प्रत्येक प्रांत तत्व के लिए एक युग्म होता है। इसलिए युग्मों की संख्या ∣A∣=3 है। / The graph has one pair for each element of the domain. Therefore the number of pairs is ∣A∣=3.
A रिक्त समुच्चय है, इसलिए उसमें किसी भी अवयव को B के किसी अवयव से जोड़ने की आवश्यकता नहीं है। अतः केवल एक रिक्त फलन बनता है। सूत्र \(|B|^{|A|}=3^0=1\) से भी यही परिणाम मिलता है। विकल्प 0 इसलिए गलत है क्योंकि फलनों की संख्या शून्य नहीं, बल्कि एक होती है। परीक्षा-युक्ति: रिक्त प्रांत से किसी भी अरिक्त या रिक्त समुच्चय में ठीक एक फलन होता है। / Since A is empty, there is no element whose image must be assigned in B. Therefore, exactly one empty function exists. This also follows from the formula \(|B|^{|A|}=3^0=1\). Option 0 is incorrect because the number of functions is one, not zero. Exam tip: There is exactly one function from an empty domain to any codomain.
प्रांत में 0 है लेकिन सहप्रांत खाली है, इसलिए 0 का कोई प्रतिबिंब नहीं मिल सकता। अतः कोई फलन नहीं बनेगा। / The domain contains 0 but the codomain is empty, so 0 cannot get an image. Hence no function is possible.
विकल्प A में प्रांत के प्रत्येक अवयव 1, 2 और 3 का ठीक एक प्रतिबिंब है, इसलिए यह फलन है। लेकिन 1 और 2 दोनों का प्रतिबिंब a है, इसलिए अलग-अलग प्रांत अवयवों के समान प्रतिबिंब हो सकते हैं और फलन एक-एक नहीं है। विकल्प C एक-एक फलन है, जबकि B और D में किसी एक प्रांत अवयव के दो प्रतिबिंब हैं। परीक्षा-युक्ति: फलन के लिए प्रत्येक input का केवल एक output होना चाहिए; एक-एक होने के लिए अलग-अलग inputs के outputs भी अलग होने चाहिए। / In option A, each domain element 1, 2, and 3 has exactly one image, so it is a function. However, 1 and 2 both have the image a; hence different inputs have the same output, so the function is not one-one. Option C is one-one, whereas B and D assign two images to the same input and therefore are not functions. Exam tip: for a function, every input must have exactly one output; for a one-one function, distinct inputs must also have distinct outputs.
किसी फलन में एक ही इनपुट के लिए केवल एक ही आउटपुट हो सकता है। यहाँ इनपुट k के साथ 4 और m दोनों जुड़े हैं, इसलिए दोनों आउटपुट समान होने चाहिए; अतः m=4। विकल्प C आवश्यक नहीं है, क्योंकि फलन में आउटपुट का इनपुट के बराबर होना जरूरी नहीं होता। परीक्षा-युक्ति: समान प्रथम घटक वाले दो क्रमित युग्म दिखें, तो उनके द्वितीय घटक समान होने चाहिए। / A function can assign only one output to a given input. Here, the same input k is paired with both 4 and m, so the outputs must be equal; hence m=4. Option C is not necessary because a function’s output need not equal its input. Exam tip: When two ordered pairs in a function have the same first component, their second components must be equal.
नियम \\(f(x)=2x\\) में \(x=1,2,3\) रखने पर क्रमशः \(2,4,6\) प्राप्त होते हैं, इसलिए यह दिए गए सभी क्रमित युग्मों से मेल खाता है। \(x+2\) केवल \(x=2\) पर सही मान देता है, जबकि \(3x\) और \(x/2\) अन्य मान देते हैं। परीक्षा-युक्ति: फलन का नियम पहचानने के लिए प्रत्येक दिए गए क्रमित युग्म में \(y=f(x)\) जाँचें। / Using the rule \\(f(x)=2x\\), the inputs \(x=1,2,3\) give the outputs \(2,4,6\), respectively, so it matches every ordered pair. The rule \(x+2\) matches only when \(x=2\), while \(3x\) and \(x/2\) produce different outputs. Exam tip: verify a proposed rule with every given ordered pair, not just one pair.
प्रत्येक क्रमित युग्म में दूसरा घटक पहले घटक का वर्ग है: \(2^2=4\), \(3^2=9\) और \(5^2=25\)। इसलिए सही नियम \(f(x)=x^2\) है। विकल्प B में \(f(2)=4\) तो मिलता है, लेकिन \(f(3)=6\), इसलिए वह सभी युग्मों के लिए सही नहीं है। परीक्षा में नियम की जाँच करने के लिए दिए गए प्रत्येक इनपुट पर उसे लागू करें। / In every ordered pair, the second component is the square of the first: \(2^2=4\), \(3^2=9\), and \(5^2=25\). Therefore, the correct rule is \(f(x)=x^2\). Option B gives \(f(2)=4\), but \(f(3)=6\), so it does not fit all the pairs. In an exam, test the proposed rule with each given input.
\(f(x)=x+7\) में \(x=a\) रखने पर \(f(a)=a+7\) प्राप्त होता है। इसलिए \(a+7=12\), अर्थात \(a=5\)। विकल्प 12, \(f(a)\) का मान है, \(a\) का नहीं। परीक्षा में पहले दिए गए फलन में \(x\) के स्थान पर \(a\) रखकर समीकरण बनाएँ। / Substituting \(x=a\) in \(f(x)=x+7\) gives \(f(a)=a+7\). Thus, \(a+7=12\), so \(a=5\). The value 12 is \(f(a)\), not \(a\). Exam tip: replace \(x\) with the given input variable before solving the equation.
h(2) ज्ञात करने के लिए x के स्थान पर 2 रखें: h(2)=4×2−1=8−1=7। इसलिए सही उत्तर 7 है। विकल्प 8 में 1 घटाना भूल गया है। परीक्षा में फलन का मान निकालते समय दिए गए x का मान सीधे प्रतिस्थापित करके गणना करें। / To find h(2), substitute 2 for x: h(2)=4×2−1=8−1=7. Therefore, 7 is correct. Option 8 results from forgetting to subtract 1. Exam tip: substitute the given input first, then perform the multiplication and subtraction carefully.
फलन में x=2 रखने पर p(2)=23-1=8-1=7 प्राप्त होता है। इसलिए सही उत्तर 7 है। विकल्प 8 केवल \(2^3\) का मान है, जिसमें 1 घटाना भूल गए हैं। परीक्षा-युक्ति: पहले घात निकालें और उसके बाद जोड़ या घटाव करें। / Substituting x=2 in the function gives p(2)=23-1=8-1=7. Therefore, the correct answer is 7. Option 8 is only the value of \(2^3\) and results from forgetting to subtract 1. Exam tip: evaluate the power first, then perform addition or subtraction.
A. क्योंकि x=4 के दो अलग मान हैं/Because x=4 has two different values
Explanation
Simple Explanation
एक ही x के लिए दो अलग y मान फलन की शर्त तोड़ते हैं। तालिका में दोहराए गए इनपुट को हमेशा जांचें। / Two different y values for the same x break the function condition. Always check repeated inputs in a table.
फलन में प्रांत के प्रत्येक तत्व का सहप्रांत में ठीक एक प्रतिबिंब होना चाहिए। यहाँ 1 का प्रतिबिंब 4, 2 का 5 और 3 का 6 है; इसलिए प्रत्येक प्रांत तत्व से केवल एक तीर निकलता है और यह फलन है। विकल्प B गलत है क्योंकि किसी भी प्रांत तत्व के एक से अधिक या शून्य प्रतिबिंब नहीं हैं। परीक्षा-युक्ति: तीरों की जाँच हमेशा प्रांत के तत्वों से शुरू करें। / For a function, every element of the domain must have exactly one image in the codomain. Here, 1 maps to 4, 2 maps to 5, and 3 maps to 6, so exactly one arrow leaves each domain element; hence the relation is a function. Option B is incorrect because no domain element has either zero or more than one image. Exam tip: When checking a mapping, start by examining every element of the domain.
p से दो तीर निकल रहे हैं, इसलिए p के दो प्रतिबिंब हैं। एक इनपुट के दो प्रतिबिंब फलन में नहीं हो सकते। / Two arrows leave p, so p has two images. One input cannot have two images in a function.
फलन के ग्राफ में प्रत्येक युग्म \((x,f(x))\) के रूप में होता है। यहाँ \(f(4)=4+1=5\), इसलिए \((4,5)\) सही युग्म है। विकल्प B में फलन का मान गलत है, विकल्प C में क्रम उलट गया है, और विकल्प D में \(f(6)=7\) होना चाहिए, 8 नहीं। परीक्षा में पहले दिए गए इनपुट \(x\) को फलन में रखकर \(f(x)\) ज्ञात करें। / Every pair in the graph of a function has the form \((x,f(x))\). Here, \(f(4)=4+1=5\), so \((4,5)\) is correct. In option B, the function value is incorrect; in option C, the input and output are reversed; and for option D, \(f(6)=7\), not 8. Exam tip: substitute the first coordinate into the function and check whether it gives the second coordinate.
A. परास, \(B\) का उपसमुच्चय होता है/The range is a subset of \(B\)
Explanation
Simple Explanation
फलन \(f:A\to B\) में प्रत्येक \(a\in A\) का प्रतिबिंब \(B\) में होता है। इन सभी प्रतिबिंबों का समुच्चय परास कहलाता है, इसलिए परास \(B\) का उपसमुच्चय होता है। परास \(B\) के बराबर केवल तब होता है जब फलन आच्छादी (onto) हो। परीक्षा-युक्ति: परास हमेशा सहप्रांत के अंदर होता है, लेकिन दोनों हमेशा समान नहीं होते। / For a function \(f:A\to B\), the image of every \(a\in A\) lies in \(B\). The set of all such images is the range, so the range is a subset of the codomain \(B\). It equals \(B\) only when the function is onto. Exam tip: the range is always contained in the codomain, but it need not fill the entire codomain.
युग्म (3,9) में 3 का प्रतिबिंब 9 है। ऐसे प्रश्नों में द्वितीय अवयव देखकर प्रथम अवयव पहचानें। / In the pair (3,9), the image of 3 is 9. In such questions identify the first component by looking at the second component.
A. क्योंकि 3 का कोई प्रतिबिंब नहीं है/Because 3 has no image
Explanation
Simple Explanation
प्रांत A का 3 किसी भी युग्म में प्रथम अवयव नहीं है। फलन में हर प्रांत तत्व का प्रतिबिंब होना चाहिए। / The element 3 of domain A is not the first component in any pair. Every domain element must have an image in a function.
फलन \(f:A\to B\) में \(x\in A\) के अनुरूप प्राप्त मान \(f(x)\), \(x\) का प्रतिबिंब कहलाता है और यह सहप्रांत \(B\) में स्थित होता है। प्रांत \(A\) फलन के सभी इनपुटों का समुच्चय है, जबकि सहप्रांत \(B\) संभावित आउटपुटों का समुच्चय है। परीक्षा में याद रखें: input का image और image का preimage अलग-अलग होते हैं। / For the function \(f:A\to B\), the value obtained for \(x\in A\), namely \(f(x)\), is called the image of \(x\), and it belongs to the codomain \(B\). The domain \(A\) is the set of inputs, whereas the codomain \(B\) is the set of possible outputs. Exam tip: distinguish the image of an input from its preimage.
जो इनपुट किसी आउटपुट तक जाता है, वह उसका पूर्व प्रतिबिंब कहलाता है। पूर्व प्रतिबिंब प्रांत से आता है। / The input that maps to an output is called its preimage. A preimage comes from the domain.
प्रत्येक प्रांत तत्व के लिए 2 विकल्प हैं, इसलिए कुल 2
2
=4 फलन हैं। गिनती में विकल्पों को गुणा करें। / Each domain element has 2 choices, so the total number of functions is 2
2
=4. Multiply the choices in counting.
स्थिर फलन में समुच्चय A के प्रत्येक अवयव का प्रतिबिंब B में एक ही अवयव होना चाहिए। विकल्प A में 1, 2 और 3 सभी का प्रतिबिंब a है, इसलिए यह स्थिर फलन है। विकल्प B और C में अलग-अलग प्रतिबिंब आते हैं, इसलिए वे स्थिर नहीं हैं। विकल्प D फलन भी नहीं है, क्योंकि 1 के दो प्रतिबिंब हैं और 2 का कोई प्रतिबिंब नहीं है। परीक्षा-युक्ति: स्थिर फलन जाँचने के लिए सभी क्रमित युग्मों के दूसरे घटक समान देखें। / In a constant function, every element of A must have the same image in B. In option A, the images of 1, 2, and 3 are all a, so it is a constant function. Options B and C have different images, so they are not constant. Option D is not a function because 1 has two images and 2 has no image. Exam tip: To identify a constant function, check whether the second components of all ordered pairs are identical.
A. क्योंकि 2 के दो प्रतिबिंब हैं/Because 2 has two images
Explanation
Simple Explanation
2 दो अलग द्वितीय अवयवों 2 और 3 से जुड़ा है। यह फलन की अद्वितीयता शर्त तोड़ता है। / 2 is related to two different second components 2 and 3. This breaks the uniqueness condition of a function.
y=x+2 से x=2,3,4 पर 4,5,6 मिलते हैं। सेट बिल्डर रूप को युग्मों में बदलते समय नियम लगाएं। / From y=x+2, for x=2,3,4 we get 4,5,6. Apply the rule while converting set builder form into pairs.
समुच्चय \(A\) के प्रत्येक अवयव पर फलन लागू करते हैं: \(f(-2)=|-2|=2\), \(f(0)=0\), और \(f(3)=3\)। इसलिए \(f(A)=\{2,0,3\}=\{0,2,3\}\)। विकल्प B केवल मूल समुच्चय \(A\) को दोहराता है, जबकि \(f(A)\) में फलन से प्राप्त मान लिखे जाते हैं। परीक्षा-युक्ति: किसी समुच्चय का image set निकालने के लिए उसके हर अवयव का function value ज्ञात करें और दोहराए गए मान केवल एक बार लिखें। / Apply the function to each element of \(A\): \(f(-2)=|-2|=2\), \(f(0)=0\), and \(f(3)=3\). Hence, \(f(A)=\{2,0,3\}=\{0,2,3\}\). Option B is just the original set \(A\), not its image under \(f\). Exam tip: To find an image set, evaluate the function for every element of the given set and list each resulting value only once.
A. दो भिन्न इनपुट का एक ही आउटपुट हो सकता है/Two different inputs can have the same output
Explanation
Simple Explanation
यहाँ \(f(-1)=(-1)^2=1\) और \(f(1)=1^2=1\) है। इसलिए दो अलग-अलग इनपुट का एक ही आउटपुट हो सकता है; इसे one-one न होकर many-one फलन कहा जाता है। विकल्प B गलत है, क्योंकि किसी फलन में प्रत्येक इनपुट का केवल एक निश्चित आउटपुट होना चाहिए। परीक्षा-युक्ति: फलन की जाँच करते समय देखें कि कोई एक इनपुट दो अलग आउटपुट न दे। / Here, \(f(-1)=(-1)^2=1\) and \(f(1)=1^2=1\). Thus, two different inputs can have the same output; such a function is many-one rather than one-one. Option B is incorrect because each input in a function must have exactly one output. Exam tip: to test whether a relation is a function, check that no single input is assigned two different outputs.
A. हर प्रथम अवयव का ठीक एक द्वितीय अवयव है या नहीं/Whether each first component has exactly one second component
Explanation
Simple Explanation
फलन की जांच में प्रथम अवयवों को देखना सबसे जरूरी है। कोई प्रथम अवयव दो अलग द्वितीय अवयवों से नहीं जुड़ना चाहिए। / Checking first components is most important while testing a function. No first component should be linked with two different second components.
A. क्योंकि इसमें प्रत्येक x∈A का B में ठीक एक प्रतिबिंब होता है/Because each x∈A has exactly one image in B
Explanation
Simple Explanation
हर फलन संबंध है, पर हर संबंध फलन नहीं होता। फलन बनने के लिए ठीक एक प्रतिबिंब की शर्त जरूरी है। / Every function is a relation, but every relation is not a function. The condition of exactly one image is necessary for a function.
