Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है
पूरी असमानता को (3) से गुणा करके (1) घटाने पर \( -13<3x-1\leq 5 \) मिलता है। धनात्मक गुणन में चिन्ह नहीं बदलता। / Multiplying the whole inequality by (3) and subtracting (1) gives \( -13<3x-1\leq 5 \). Positive multiplication does not change the sign.
( -3x>9 ) से (x<-3) मिलेगा क्योंकि ( -3 ) से भाग देने पर चिन्ह उलटता है। अंतिम चरण में चिन्ह जरूर जांचें। / From ( -3x>9 ), we get (x<-3) because division by ( -3 ) reverses the sign. Always check the sign in the last step.
पहली शर्त से (x>1) और दूसरी से (x<9) है इसलिए (x=2,3,4,5,6,7,8) कुल (7) नहीं बल्कि विकल्प जांचने पर (7) होना चाहिए। / The first condition gives (x>1) and the second gives (x<9), so (x=2,3,4,5,6,7,8), which are (7) integers. Always list integer endpoints carefully.
(2) शामिल नहीं है और (7) शामिल है इसलिए अंतराल ( (2,7] ) है। खुले और बंद ब्रैकेट पर ध्यान दें। / (2) is not included and (7) is included, so the interval is ( (2,7] ). Watch open and closed brackets carefully.
(-2) से भाग देने पर दिशा उलटती है और \(3\geq \frac{x}{-2}>0\) मिलता है। इसे बढ़ते क्रम में \(0<\frac{x}{-2}\leq 3\) लिखते हैं। / Dividing by (-2) reverses the direction and gives \(3\geq \frac{x}{-2}>0\). In increasing order, it is \(0<\frac{x}{-2}\leq 3\).
किसी भी वास्तविक (x) के लिए \(x^2\geq 0\) होता है इसलिए \(x^2<0\) असंभव है। ऐसे प्रश्नों में पहले मूल गुण देखें। / For every real (x), \(x^2\geq 0\), so \(x^2<0\) is impossible. In such questions, check the basic property first.
\(2x-5\geq 3\) से \(x\geq 4\) मिलता है इसलिए (4) शामिल है और (3) नहीं। सीमा वाले विकल्प में बराबरी जरूर जांचें। / \(2x-5\geq 3\) gives \(x\geq 4\), so (4) is included and (3) is not. Always check equality at boundary options.
(3) धनात्मक है इसलिए चिन्ह नहीं बदलता और \(x-2\geq 12\) से \(x\geq 14\) मिलता है। धनात्मक गुणन में चिन्ह वैसा ही रहता है। / Since (3) is positive, the sign does not change and \(x-2\geq 12\) gives \(x\geq 14\). With positive multiplication, the sign remains the same.
ऋणात्मक और धनात्मक संख्या का गुणनफल हमेशा ऋणात्मक होता है इसलिए (ab<0)। चिन्ह आधारित प्रश्नों में शून्य की संभावना भी देखें। / The product of a negative and a positive number is always negative, so (ab<0). In sign-based questions, also check the possibility of zero.
( -4 ) से गुणा करने पर चिन्ह उलटकर (x+1>-8) बनता है। ऋणात्मक हर वाले प्रश्नों में विशेष सावधानी रखें। / Multiplying by ( -4 ) reverses the sign to (x+1>-8). Be extra careful when the denominator is negative.
C. कोई वास्तविक हल नहीं है/There is no real solution
Explanation
Simple Explanation
किसी वास्तविक संख्या का वर्ग (0) से कम नहीं हो सकता। इसलिए ( (x+1)2<0 ) का कोई वास्तविक हल नहीं है। / The square of any real number cannot be less than (0). Therefore ( (x+1)2<0 ) has no real solution.
\(3x-7\leq 2\) से \(x\leq 3\) है और (x=0) इसमें आता है पर (x<0) में नहीं आता। विकल्पों को सीधे जांचना तेज तरीका है। / \(3x-7\leq 2\) gives \(x\leq 3\), and (x=0) satisfies it but not (x<0). Direct option checking is a fast method.
अधिक और कम दोनों सख्त शब्द हैं इसलिए (12<t+5<20) सही है। शब्द आधारित प्रश्नों में बराबरी शामिल है या नहीं यह पहले तय करें। / Both greater than and less than are strict phrases, so (12<t+5<20) is correct. In word problems, first decide whether equality is included.
दो सही दिशा वाली असमानताओं को जोड़ने पर (p+r>q+s) हमेशा सत्य है। घटाव और गुणा में अतिरिक्त शर्तें चाहिए। / Adding inequalities in the same direction gives (p+r>q+s), which is always true. Subtraction and multiplication need extra conditions.
\(5-2x\leq x+11\) से \(-3x\leq 6\) और \(x\geq -2\) मिलता है। ऋणात्मक गुणांक से भाग देने पर चिन्ह उलटता है। / \(5-2x\leq x+11\) gives \(-3x\leq 6\), so \(x\geq -2\). Division by a negative coefficient reverses the sign.
A. \(x\leq 1\) या \(x\geq 5\)/\(x\leq 1\) or \(x\geq 5\)
Explanation
Simple Explanation
\( |x-3|\geq 2 \) का अर्थ \(x-3\leq -2\) या \(x-3\geq 2\) है। अधिक दूरी वाले प्रश्नों में दो बाहरी भाग मिलते हैं। / \( |x-3|\geq 2 \) means \(x-3\leq -2\) or \(x-3\geq 2\). Greater-distance questions give two outer intervals.
धनात्मक (10) से गुणा करने पर (4x-2<5x+20) और (x>-22) मिलता है। धनात्मक लघुत्तम हर लेने पर चिन्ह नहीं बदलता। / Multiplying by positive (10) gives (4x-2<5x+20), so (x>-22). With a positive common denominator, the sign does not change.
B. (a) या तो (b) से छोटा है या (b) के बराबर है/(a) is either less than (b) or equal to (b)
Explanation
Simple Explanation
\(a\leq b\) में बराबरी की संभावना शामिल होती है। चिन्ह में रेखा हो तो सीमा बिंदु शामिल मानें। / \(a\leq b\) includes the possibility of equality. When the sign has a bar, include the boundary point.
B. (4) पर खुला बिंदु और बाईं ओर छाया/Open dot at (4) and shading left
Explanation
Simple Explanation
( \(-\infty,4\) ) में (4) शामिल नहीं है और सभी छोटे मान शामिल हैं। खुले बिंदु का अर्थ सीमा शामिल नहीं है। / In ( \(-\infty,4\) ), (4) is not included and all smaller values are included. An open dot means the boundary is excluded.
C. दोनों पक्षों को (-5) से गुणा करने पर/Multiplying both sides by (-5)
Explanation
Simple Explanation
ऋणात्मक संख्या से गुणा या भाग करने पर असमानता का चिन्ह उलटता है। जोड़ और घटाव में चिन्ह नहीं बदलता। / Multiplication or division by a negative number reverses the inequality sign. Addition and subtraction do not change the sign.
पूरे संयुक्त असमानता से (1) घटाकर \(6\leq 2x<14\) और फिर (2) से भाग देकर \(3\leq x<7\) मिलता है। दोनों सीमाओं पर साथ काम करें। / Subtracting (1) throughout gives \(6\leq 2x<14\), then dividing by (2) gives \(3\leq x<7\). Work on both bounds together.
दोनों शर्तों का प्रतिच्छेद ( [-1,4) ) है। और वाले प्रश्नों में सामान्य भाग लिया जाता है। / The intersection of the two conditions is ( [-1,4) ). For and type conditions, take the common part.
(m) ऋणात्मक है इसलिए (m) से भाग देने पर चिन्ह उलटकर (x<1) होगा। पैरामीटर वाले प्रश्नों में गुणांक का चिन्ह पहले देखें। / Since (m) is negative, division by (m) reverses the sign and gives (x<1). In parameter questions, check the sign of the coefficient first.
B. किसी भी \(x\in \mathbb{R}\) के लिए सत्य नहीं/Not true for any \(x\in \mathbb{R}\)
Explanation
Simple Explanation
दोनों पक्ष समान (x+3) हैं इसलिए कथन (x+3>x+3) बनता है जो असत्य है। समान पक्षों की तुलना जल्दी पहचानें। / Both sides are the same (x+3), so the statement becomes (x+3>x+3), which is false. Recognize equal sides quickly.
A. सभी \(x\in \mathbb{R}\) हल हैं/All \(x\in \mathbb{R}\) are solutions
Explanation
Simple Explanation
(2x) हटाने पर \(5\leq 9\) मिलता है जो हमेशा सत्य है। चर हट जाए तो बची संख्या असमानता देखें। / Removing (2x) gives \(5\leq 9\), which is always true. If the variable cancels, check the remaining numerical inequality.
C. सभी \(x\in \mathbb{R}\)/All \(x\in \mathbb{R}\)
Explanation
Simple Explanation
क्योंकि \(x^2\geq 0\), इसलिए \(x^2+1\geq 1>0\) सभी वास्तविक (x) के लिए सत्य है। धनात्मक निश्चित रूप पहचानना उपयोगी है। / Since \(x^2\geq 0\), \(x^2+1\geq 1>0\) for all real (x). Recognizing always positive forms is useful.
पहली असमानता से (x<6) और दूसरी से (x>-3) मिलता है इसलिए (-3<x<6)। संयुक्त असमानता में दोनों शर्तें साथ पूरी होती हैं। / The first inequality gives (x<6), and the second gives (x>-3), so (-3<x<6). In a chained inequality, both conditions must hold together.
\(\frac{1}{x}\) धनात्मक तभी है जब (x) धनात्मक हो। हर का चिन्ह पूरी भिन्न का चिन्ह तय करता है। / \(\frac{1}{x}\) is positive only when (x) is positive. The sign of the denominator determines the sign of the fraction.
( (4,8) ) में (x+y=12>10) है लेकिन (x=4) होने से (x>5) असत्य है। दो शर्तों को अलग-अलग जांचें। / For ( (4,8) ), (x+y=12>10), but (x=4) makes (x>5) false. Check both conditions separately.
(40) से अधिक का अर्थ (m>40) है, (40) शामिल नहीं है। शब्दों में दिए गए प्रश्नों में सीमा शामिल है या नहीं यह पहचानें। / More than (40) means (m>40), so (40) is not included. In word problems, identify whether the boundary is included.
अधिक नहीं का अर्थ अधिकतम (500) है इसलिए \(p\leq 500\)। भाषा में अधिकतम और न्यूनतम शब्द महत्वपूर्ण होते हैं। / Not more than means at most (500), so \(p\leq 500\). Words like at most and at least are important.
दोनों असमानताओं को जोड़ने पर (x+y>3) मिलता है। समान दिशा वाली असमानताओं का जोड़ सुरक्षित होता है। / Adding the two inequalities gives (x+y>3). Adding inequalities in the same direction is valid.
(-2) शामिल नहीं है क्योंकि बाईं ओर सख्त असमानता है। बंद और खुले सिरों का अंतर समझना जरूरी है। / (-2) is not included because the left inequality is strict. Understanding open and closed endpoints is necessary.
\(x^2+4\) हमेशा कम से कम (4) होता है इसलिए \(x^2+4\leq 0\) असंभव है। न्यूनतम मान से हल का अनुमान लगाएं। / \(x^2+4\) is always at least (4), so \(x^2+4\leq 0\) is impossible. Use the minimum value to judge solutions.
समान दिशा की श्रृंखला से (a>b>c) और इसलिए (a>c) मिलता है। इसे असमानताओं का संक्रमण गुण कहते हैं। / The same-direction chain gives (a>b>c), hence (a>c). This is the transitive property of inequalities.
धनात्मक (2) से गुणा करने पर \(-2\leq x+3<10\) और (3) घटाने पर \(-5\leq x<7\) मिलता है। धनात्मक गुणन में दिशा नहीं बदलती। / Multiplying by positive (2) gives \(-2\leq x+3<10\), then subtracting (3) gives \(-5\leq x<7\). Positive multiplication does not change direction.
\(x\leq -3\) को (-5) से गुणा करने पर \(-5x\geq 15\) और (2) जोड़ने पर \(2-5x\geq 17\) है। ऋणात्मक गुणन में दिशा बदलती है। / Multiplying \(x\leq -3\) by (-5) gives \(-5x\geq 15\), then adding (2) gives \(2-5x\geq 17\). Negative multiplication changes direction.
कम नहीं का अर्थ उससे बड़ा या बराबर है इसलिए \(3n\geq 18\)। वाक्य को प्रतीकों में बदलते समय नकारात्मक शब्दों पर ध्यान दें। / Not less than means greater than or equal to, so \(3n\geq 18\). Pay attention to negative phrases while translating words into symbols.
C. सभी वास्तविक (x) के लिए सत्य/True for all real (x)
Explanation
Simple Explanation
किसी भी वास्तविक संख्या का वर्ग कभी ऋणात्मक नहीं होता इसलिए ( (x-2)2\geq 0 ) हमेशा सत्य है। वर्ग वाले रूपों में न्यूनतम मान देखें। / The square of any real number is never negative, so ( (x-2)2\geq 0 ) is always true. For squared forms, check the minimum value.
\(\mathbb{R}\) में \(x\leq 1\) के बाहर केवल (x>1) आता है। पूरक में सीमा की बराबरी उलटकर हट जाती है। / In \(\mathbb{R}\), outside \(x\leq 1\) lies only (x>1). In the complement, equality at the boundary is excluded.
धनात्मक (4) से गुणा करने पर \(2x-10\leq 3x+1\) और \(x\geq -11\) मिलता है। चर को एक ओर ले जाते समय चिन्ह ध्यान से रखें। / Multiplying by positive (4) gives \(2x-10\leq 3x+1\), so \(x\geq -11\). Track the sign carefully while moving variables.
