Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है
कार्तीय गुणनफल \(A\times B\) में \(A\) के प्रत्येक अवयव को \(B\) के प्रत्येक अवयव के साथ जोड़ा जाता है। इसलिए \(n(A\times B)=n(A)\times n(B)=2\times3=6\)। विकल्प 3 केवल \(B\) के अवयवों की संख्या है और विकल्प 2 केवल \(A\) के अवयवों की संख्या, इसलिए वे क्रमित युग्मों की कुल संख्या नहीं बताते। परीक्षा-युक्ति: कार्तीय गुणनफल में क्रमित युग्मों की संख्या के लिए दोनों समुच्चयों की संख्याएँ गुणा करें। / In the Cartesian product \(A\times B\), each element of \(A\) is paired with every element of \(B\). Hence, \(n(A\times B)=n(A)\times n(B)=2\times3=6\). Option 3 is only the number of elements in \(B\), and option 2 is only the number of elements in \(A\); neither gives the total number of ordered pairs. Exam tip: multiply the cardinalities of the two sets to find the size of their Cartesian product.
\(A\times B\) में पहला अवयव (A) से और दूसरा (B) से आता है। क्रमित युग्म में क्रम बहुत महत्वपूर्ण है। / In \(A\times B\), the first element comes from (A) and the second from (B). Order is very important in ordered pairs.
योग सम तब होगा जब दोनों घटक सम हों या दोनों विषम हों। यहां सही युग्म ((2,2),(2,4),(4,2),(4,4)) हैं। / The sum is even when both components are even or both are odd. Here the valid pairs are ((2,2),(2,4),(4,2),(4,4)).
\(B\times A\) में पहला अवयव (B) से और दूसरा (A) से होना चाहिए। इसलिए ((1,4)) सही है। / In \(B\times A\), the first element must be from (B) and the second from (A). Hence ((1,4)) is correct.
सही युग्म ((1,2)) और ((2,1)) हैं। ध्यान रखें कि दोनों क्रमित युग्म अलग माने जाते हैं। / The valid pairs are ((1,2)) and ((2,1)). Remember that these two ordered pairs are considered different.
A. क्योंकि \(1\in A\) और \(y\in B\)/because \(1\in A\) and \(y\in B\)
Explanation
Simple Explanation
\((1,y)\in A\times B\) तभी होगा जब \(1\in A\) और \(y\in B\) हो। सदस्यता जांच में क्रम न बदलें। / \((1,y)\in A\times B\) only when \(1\in A\) and \(y\in B\). Do not reverse order while checking membership.
सही युग्म ((1,3),(2,4),(3,5)) हैं। ऐसी शर्तों में पहले (x) चुनकर (y) निकालना आसान है। / The valid pairs are ((1,3),(2,4),(3,5)). In such conditions, choose (x) first and then find (y).
किसी भी समुच्चय का रिक्त समुच्चय के साथ कार्तीय गुणन \(\varnothing\) होता है। यदि एक भी समुच्चय रिक्त हो तो कोई क्रमित युग्म नहीं बनता। / The Cartesian product of any set with an empty set is \(\varnothing\). If one set is empty, no ordered pair is formed.
सही युग्म ((2,1),(3,1),(3,2),(5,1),(5,2),(5,3)) हैं। असमानता में क्रम बदलने से उत्तर बदल सकता है। / The valid pairs are ((2,1),(3,1),(3,2),(5,1),(5,2),(5,3)). In inequalities, reversing order can change the answer.
(n\(A\times B\)=n(A)n(B)), इसलिए (20=4n(B)) और (n(B)=5)। ऐसे प्रश्नों में गुणन सूत्र सीधे लगाएं। / (n\(A\times B\)=n(A)n(B)), so (20=4n(B)) and (n(B)=5). Use the multiplication formula directly in such questions.
\(B\cup C={3,4,5,6}\), इसलिए (n(A\times\(B\cup C\))=2\times4=8)। पहले समुच्चय संक्रिया पूरी करें। / \(B\cup C={3,4,5,6}\), so (n(A\times\(B\cup C\))=2\times4=8). Complete the set operation first.
(n\(A\times A\)=n(A)2=32=9) होता है। \(A\times A\) में समान अवयव वाले युग्म भी शामिल होते हैं। / (n\(A\times A\)=n(A)2=32=9). In \(A\times A\), pairs with equal elements are also included.
\(B\cap C={3,4}\), इसलिए (n(A\times\(B\cap C\))=3\times2=6)। प्रतिच्छेद निकालकर ही कार्तीय गुणन गिनें। / \(B\cap C={3,4}\), so (n(A\times\(B\cap C\))=3\times2=6). Find the intersection before counting the Cartesian product.
दोनों स्थानों पर अवयव अपने संबंधित समुच्चय से हैं, इसलिए ((2,2)) शामिल है। समान अवयव वाला क्रमित युग्म भी मान्य होता है। / Both entries are from their respective sets, so ((2,2)) is included. An ordered pair with equal entries is also valid.
\(A\cup B={1,2,3}\), इसलिए (n(\(A\cup B\)\times C)=3\times2=6)। समान अवयव को दो बार न गिनें। / \(A\cup B={1,2,3}\), so (n(\(A\cup B\)\times C)=3\times2=6). Do not count a common element twice.
A. यह नहीं होगा क्योंकि \(A\ne B\)/it will not happen because \(A\ne B\)
Explanation
Simple Explanation
केवल समान संख्या के अवयव होना पर्याप्त नहीं है। सामान्यतः \(A\times B=B\times A\) तभी जब (A=B) या कोई समुच्चय रिक्त हो। / Having the same number of elements is not enough. Usually \(A\times B=B\times A\) only when (A=B) or one set is empty.
सही युग्म ((1,2),(1,4),(1,6),(2,2),(2,4),(2,6),(3,6),(4,4)) हैं। विभाज्यता में कौन किसे विभाजित कर रहा है यह ध्यान रखें। / The valid pairs are ((1,2),(1,4),(1,6),(2,2),(2,4),(2,6),(3,6),(4,4)). In divisibility, note carefully which number divides the other.
पहला अवयव (A) से और दूसरा (B) से लिया जाता है। (B) में केवल (5) है, इसलिए दोनों युग्मों में दूसरा अवयव (5) होगा। / The first element is taken from (A) and the second from (B). Since (B) has only (5), the second entry in both pairs is (5).
सही युग्म ((3,6),(5,4),(5,6)) हैं। सीमा वाली असमानता में बराबरी शामिल है या नहीं यह जरूर देखें। / The valid pairs are ((3,6),(5,4),(5,6)). In boundary inequalities, check whether equality is included or not.
\(-1\in A\) और \(4\in B\), इसलिए \((-1,4)\in A\times B\) सत्य है। पहले और दूसरे स्थान की अलग-अलग जांच करें। / Since \(-1\in A\) and \(4\in B\), \((-1,4)\in A\times B\) is true. Check first and second positions separately.
सही युग्म ((2,1)) और ((3,2)) हैं। दिए हुए (B) के अवयवों से (x) निकालना तेज तरीका है। / The valid pairs are ((2,1)) and ((3,2)). A quick method is to choose elements of (B) and then find (x).
A. क्योंकि \(4\notin A\) और \(1\notin B\)/because \(4\notin A\) and \(1\notin B\)
Explanation
Simple Explanation
\(A\times B\) में पहले स्थान पर (A) का अवयव होना चाहिए और दूसरे स्थान पर (B) का। यहां दोनों स्थान गलत हैं। / In \(A\times B\), the first entry must be from (A) and the second from (B). Here both positions are wrong.
सही युग्म ((1,1),(2,4),(3,9)) हैं। कार्तीय गुणन में दिए संबंध की शर्त लगाकर उपसमुच्चय बनाया जाता है। / The valid pairs are ((1,1),(2,4),(3,9)). In a Cartesian product, applying a condition forms a subset relation.
सही युग्म ((1,4),(2,3),(3,2),(4,1)) हैं। क्रमित युग्मों में ((2,3)) और ((3,2)) अलग होते हैं। / The valid pairs are ((1,4),(2,3),(3,2),(4,1)). In ordered pairs, ((2,3)) and ((3,2)) are different.
\(A\) में \(-1,0,1\) अर्थात 3 अवयव हैं, जबकि \(B\) में 2 अवयव हैं। कार्तीय गुणनफल में प्रत्येक अवयव को दूसरे समुच्चय के प्रत्येक अवयव के साथ जोड़ा जाता है, इसलिए \(|A\times B|=|A|\times|B|=3\times2=6\)। अतः सही उत्तर 6 है। परीक्षा-युक्ति: \(m\) और \(n\) अवयव वाले दो समुच्चयों के लिए \(|A\times B|=mn\) होता है। / The integers from \(-1\) to \(1\) are \(-1,0,1\), so \(A\) has 3 elements, while \(B\) has 2 elements. Each element of \(A\) forms an ordered pair with every element of \(B\), giving \(|A\times B|=|A|\times|B|=3\times2=6\). Hence, the correct answer is 6. Exam tip: If two sets have \(m\) and \(n\) elements, respectively, their Cartesian product has \(mn\) ordered pairs.
(A-B={1,3,5}), इसलिए (n\((A-B)\times C\)=3\times3=9)। पहले समुच्चय का अंतर निकालें फिर कार्तीय गुणन गिनें। / (A-B={1,3,5}), so (n\((A-B)\times C\)=3\times3=9). First find the set difference and then count the Cartesian product.
(n\(A\times B\)=4) और (n(C)=1), इसलिए (n(\(A\times B\)\times C)=4)। ध्यान रखें कि (\(A\times B\)) खुद एक समुच्चय है। / (n\(A\times B\)=4) and (n(C)=1), so (n(\(A\times B\)\times C)=4). Remember that (\(A\times B\)) itself is a set.
\(1\in A\) के साथ (B) के सभी (3) अवयव जुड़ेंगे। इसलिए पहला घटक (1) कुल (3) बार आएगा। / The element \(1\in A\) pairs with all (3) elements of (B). So the first component (1) appears (3) times.
\(8\in B\) के साथ (A) के सभी (3) अवयव जुड़ेंगे। इसलिए दूसरा घटक (8) कुल (3) बार आएगा। / The element \(8\in B\) pairs with all (3) elements of (A). Therefore the second component (8) appears (3) times.
\((3,4)\in A\times B\) और (3+4=7)। ((4,3)) सही नहीं क्योंकि पहला अवयव (A) से नहीं है। / \((3,4)\in A\times B\) and (3+4=7). ((4,3)) is not correct because the first element is not from (A).
शर्त \(x<y\) को संतुष्ट करने वाले क्रमित युग्म \((1,2), (1,3), (2,3)\) हैं। इसलिए कुल 3 युग्म हैं। विकल्प 9 पूरे कार्तीय गुणनफल \(A\times B\) के युग्मों की संख्या बताता है, जबकि उसमें शर्त लागू नहीं की गई है। परीक्षा-युक्ति: समान तीन अवयवों वाले समुच्चय में \(x<y\) वाले युग्मों की संख्या \(\binom{3}{2}=3\) होती है। / The ordered pairs satisfying \(x<y\) are \((1,2), (1,3), (2,3)\), so there are 3 pairs. The answer 9 is the total number of pairs in the Cartesian product, without applying the inequality. Exam tip: for three distinct elements, the number of pairs satisfying \(x<y\) is \(\binom{3}{2}=3\).
सही युग्म ((1,1)) और ((2,0)) हैं। ध्यान रखें कि पहला अवयव (A) से और दूसरा (B) से होना चाहिए। / The correct pairs are ((1,1)) and ((2,0)). Remember the first element must come from (A) and the second from (B).
सही युग्म ((2,2),(4,2),(4,4)) हैं। विभाज्यता में स्थान बदलने से अर्थ बदल जाता है। / The correct pairs are ((2,2),(4,2),(4,4)). In divisibility, changing positions changes the meaning.
(A) से (B) में संबंध \(A\times B\) का कोई भी उपसमुच्चय होता है। केवल ({(1,3),(2,5)}) के दोनों युग्म \(A\times B\) में हैं। / A relation from (A) to (B) is any subset of \(A\times B\). Only ({(1,3),(2,5)}) has both pairs in \(A\times B\).
(n\(A\times B\)=3\times2=6), और हर संबंध \(A\times B\) का उपसमुच्चय है। इसलिए संबंधों की संख्या \(2^6\) होगी। / (n\(A\times B\)=3\times2=6), and every relation is a subset of \(A\times B\). Therefore the number of relations is \(2^6\).
(n\(A\times B\)=3\times1=3), इसलिए उपसमुच्चयों की संख्या \(2^3=8\) है। संबंध गिनने में \(2^{n(A\times B)}\) याद रखें। / (n\(A\times B\)=3\times1=3), so the number of subsets is \(2^3=8\). For counting relations, remember \(2^{n(A\times B)}\).
A. दोनों में अवयवों की संख्या समान है पर युग्म अलग हैं/both have same number of elements but different pairs
Explanation
Simple Explanation
दोनों में \(2\times2=4\) युग्म होंगे, पर क्रम बदलने से युग्म बदल जाते हैं। कार्तीय गुणन क्रमविनिमेय नहीं होता। / Both have \(2\times2=4\) pairs, but changing order changes the pairs. Cartesian product is not commutative.
((2,2)) दोनों \(A\times B\) और \(B\times A\) में है। प्रतिच्छेद के लिए युग्म दोनों समुच्चयों में होना चाहिए। / ((2,2)) is in both \(A\times B\) and \(B\times A\). For intersection, the pair must belong to both sets.
((4,1)) में पहला अवयव (A) से नहीं और दूसरा (B) से नहीं है। क्रमित युग्म में स्थान की जांच जरूरी है। / In ((4,1)), the first element is not from (A) and the second is not from (B). Position checking is necessary in ordered pairs.
सबसे बड़ा पहला घटक (2) और सबसे बड़ा दूसरा घटक (5) है, इसलिए योग (7) अधिकतम है। ((5,2)) \(A\times B\) में नहीं है। / The greatest first component is (2) and the greatest second component is (5), so the maximum sum is (7). ((5,2)) is not in \(A\times B\).
समान घटकों वाले युग्म ((1,1)) और ((2,2)) हैं। केवल \(A\cap B\) के अवयव ऐसे युग्म बनाते हैं। / The equal-component pairs are ((1,1)) and ((2,2)). Only elements of \(A\cap B\) form such pairs.
शर्त \(x=2y\) के अनुसार \(B\) के प्रत्येक मान की जाँच करें: \(y=1\) के लिए \(x=2\), \(y=2\) के लिए \(x=4\), और \(y=3\) के लिए \(x=6\)। इसलिए सही क्रमित युग्म \((2,1),(4,2),(6,3)\) हैं और उनकी संख्या 3 है। विकल्प 2 में एक युग्म छूट जाता है। परीक्षा में याद रखें कि \(A\times B\) में पहला अवयव \(A\) से और दूसरा अवयव \(B\) से लिया जाता है। / Using \(x=2y\), check each value of \(y\) in \(B\): \(y=1\) gives \(x=2\), \(y=2\) gives \(x=4\), and \(y=3\) gives \(x=6\). Thus, the valid ordered pairs are \((2,1),(4,2),(6,3)\), so there are 3 pairs. Option 2 misses one valid pair. Exam tip: in \(A\times B\), the first element comes from \(A\) and the second from \(B\).
A. (x)-अक्ष पर \(1\le x\le3\) वाला रेखाखंड/line segment on (x)-axis with \(1\le x\le3\)
Explanation
Simple Explanation
\(A\times B={(x,0):1\le x\le3}\), इसलिए यह (x)-अक्ष पर रेखाखंड है। अंतराल वाले प्रश्नों में निर्देशांक रूप लिखें। / \(A\times B={(x,0):1\le x\le3}\), so it is a line segment on the (x)-axis. In interval questions, write the coordinate form.
पहला घटक हमेशा (0) होगा और दूसरा ([-2,2]) से बदलता रहेगा। इसलिए यह (y)-अक्ष का रेखाखंड है। / The first component is always (0), and the second varies in ([-2,2]). So it is a segment on the (y)-axis.
मान लें कि \(\mathbb{N}=\{1,2,3,\ldots\}\)। यदि \(A=\{x:x\in\mathbb{N},x\le2\}\) और \(B=\{y:y\in\mathbb{N},y\le3\}\) हैं, तो \(A\times B\) में कितने क्रमित युग्म होंगे?
यहाँ \(A=\{1,2\}\) और \(B=\{1,2,3\}\) हैं, इसलिए \(n(A)=2\) तथा \(n(B)=3\)। कार्तीय गुणनफल में प्रत्येक समुच्चय के प्रत्येक अवयव को दूसरे समुच्चय के प्रत्येक अवयव के साथ जोड़ा जाता है, अतः \(n(A\times B)=n(A)\times n(B)=2\times3=6\)। विकल्प 3 केवल \(B\) के अवयवों की संख्या बताता है, इसलिए गलत है। परीक्षा टिप: \(n(A\times B)=n(A)n(B)\) का सूत्र याद रखें। / Here, \(A=\{1,2\}\) and \(B=\{1,2,3\}\), so \(n(A)=2\) and \(n(B)=3\). In a Cartesian product, every element of the first set is paired with every element of the second set; therefore, \(n(A\times B)=n(A)\times n(B)=2\times3=6\). Option 3 gives only the number of elements in \(B\), so it is incorrect. Exam tip: remember the formula \(n(A\times B)=n(A)n(B)\).
\(A\times B\) क्रमित युग्मों का समुच्चय है, इसलिए रूप \({(x,y):x\in A,,y\in B}\) है। योग या गुणन कार्तीय गुणन नहीं है। / \(A\times B\) is a set of ordered pairs, so its form is \({(x,y):x\in A,,y\in B}\). Sum or product of entries is not Cartesian product.
\(A\times B\) में सभी पहले घटक (A) से आते हैं और (B) रिक्त नहीं है। इसलिए पहले घटकों का समुच्चय (A) ही है। / In \(A\times B\), all first components come from (A), and (B) is non-empty. Therefore the set of first components is (A).
दूसरे घटक हमेशा (B) से आते हैं। यदि (A) रिक्त नहीं है तो (B) का हर अवयव दूसरे घटक के रूप में आएगा। / Second components always come from (B). If (A) is non-empty, every element of (B) appears as a second component.
A. हर \(a\in A\) के लिए (B) के सभी अवयवों से युग्म बनते हैं/for every \(a\in A\), pairs are formed with all elements of (B)
Explanation
Simple Explanation
कार्तीय गुणन में (A) का हर अवयव (B) के प्रत्येक अवयव के साथ जुड़ता है। यही कारण है कि कुल युग्म (n(A)n(B)) होते हैं। / In Cartesian product, every element of (A) pairs with each element of (B). That is why total pairs are (n(A)n(B)).
सही युग्म ((1,2),(1,4),(2,4),(3,4),(2,4)) नहीं दोहराएं; वास्तविक अलग युग्म ((1,2),(1,4),(2,4),(3,4)) और ((2,4)) की पुनरावृत्ति हटाने पर (4) होता है। / The listed valid distinct pairs are ((1,2),(1,4),(2,4),(3,4)), so the count is (4). Avoid counting the same pair twice.
कार्तीय गुणनफल \(A\times B\) में समुच्चय \(A\) के प्रत्येक अवयव के साथ समुच्चय \(B\) का प्रत्येक अवयव जोड़ा जाता है। इसलिए \(n(A\times B)=n(A)\times n(B)=3\times2=6\)। अतः सही उत्तर 6 है। 5, 3 और 2 क्रमशः अवयवों की गलत गणना दर्शाते हैं। परीक्षा-युक्ति: दो सीमित समुच्चयों के लिए \(n(A\times B)=n(A)n(B)\) याद रखें। / In the Cartesian product \(A\times B\), each element of \(A\) is paired with every element of \(B\). Therefore, \(n(A\times B)=n(A)\times n(B)=3\times2=6\), so the correct answer is 6. The values 5, 3 and 2 result from incorrect counting. Exam tip: For finite sets, use the formula \(n(A\times B)=n(A)n(B)\).
\(A\times B\) में पहला घटक (A) से और दूसरा घटक (B) से आता है। सभी संभव युग्म लिखना जरूरी है। / In \(A\times B\), the first component comes from (A) and the second from (B). All possible pairs must be written.
\(B\times A\) में पहला अवयव (B) से और दूसरा (A) से होना चाहिए। इसलिए ((4,3)) सही है। / In \(B\times A\), the first element must be from (B) and the second from (A). Hence ((4,3)) is correct.
क्योंकि \(2\in A\) और \(3\in B\), इसलिए \((2,3)\in A\times B\) सत्य है। क्रमित युग्म में दोनों स्थान अलग-अलग जांचें। / Since \(2\in A\) and \(3\in B\), \((2,3)\in A\times B\) is true. Check both positions separately in an ordered pair.
\(B\cap C={4,6}\), इसलिए (n(A\times\(B\cap C\))=4\times2=8)। पहले प्रतिच्छेद निकालें फिर गुणन करें। / \(B\cap C={4,6}\), so (n(A\times\(B\cap C\))=4\times2=8). First find the intersection and then multiply.
\(B\cup C={3,4,5,6}\), इसलिए कुल युग्म \(2\times4=8\) हैं। संघ में समान अवयव को दो बार न गिनें। / \(B\cup C={3,4,5,6}\), so total pairs are \(2\times4=8\). Do not count a common element twice in union.
(A-B={2,4}), इसलिए (n\((A-B)\times C\)=2\times2=4)। पहले समुच्चय अंतर निकालना जरूरी है। / (A-B={2,4}), so (n\((A-B)\times C\)=2\times2=4). It is necessary to find the set difference first.
(n\(A\times B\)=n(A)n(B)), इसलिए (35=5n(B)) और (n(B)=7)। ऐसे प्रश्नों में सूत्र को उल्टा भी लगाएं। / (n\(A\times B\)=n(A)n(B)), so (35=5n(B)) and (n(B)=7). In such questions, use the formula in reverse too.
A. दोनों में (12) अवयव होंगे/both have (12) elements
Explanation
Simple Explanation
दोनों में अवयवों की संख्या \(3\times4=12\) होती है। संख्या समान हो सकती है पर युग्मों का क्रम सामान्यतः अलग होता है। / Both have \(3\times4=12\) elements. The number can be the same, but the order of pairs is generally different.
\(A=\{1,2,3,4\}\) और \(B=\{1,2\}\), इसलिए (n\(A\times B\)=4\times2=8)। सेट-बिल्डर रूप को पहले सूची रूप में बदलें। / \(A=\{1,2,3,4\}\) and \(B=\{1,2\}\), so (n\(A\times B\)=4\times2=8). Convert set-builder form into roster form first.
\(A=\{-2,-1,0,1\}\) में (4) अवयव हैं और (B) में (2) अवयव हैं। इसलिए कुल युग्म \(4\times2=8\) होंगे। / \(A=\{-2,-1,0,1\}\) has (4) elements and (B) has (2) elements. Therefore total pairs are \(4\times2=8\).
रिक्त समुच्चय से पहला घटक नहीं लिया जा सकता, इसलिए कोई क्रमित युग्म नहीं बनेगा। किसी भी तरफ रिक्त समुच्चय हो तो कार्तीय गुणन \(\varnothing\) होता है। / No first component can be taken from the empty set, so no ordered pair is formed. If either side is empty, the Cartesian product is \(\varnothing\).
(n\(A\times A\)=n(A)2=22=4) होता है। ((p,p)) और ((q,q)) जैसे समान घटक वाले युग्म भी शामिल होते हैं। / (n\(A\times A\)=n(A)2=22=4). Pairs with equal components such as ((p,p)) and ((q,q)) are also included.
(y=2) के लिए (1) युग्म, (y=4) के लिए (3) युग्म और (y=6) के लिए (4) युग्म मिलते हैं। कुल (1+3+4=8) नहीं, सही गिनती ((1,2),(1,4),(2,4),(3,4),(1,6),(2,6),(3,6),(4,6)) यानी (8) है। / The valid pairs are ((1,2),(1,4),(2,4),(3,4),(1,6),(2,6),(3,6),(4,6)), so the count is (8). List carefully to avoid overcounting.
शर्त x+y=4 के लिए x के संभावित मान जाँचते हैं। x=1 पर y=3, x=2 पर y=2 और x=3 पर y=1 मिलता है; ये सभी A\times B में हैं। x=0 के लिए y=4 चाहिए, लेकिन 4, B में नहीं है। इसलिए क्रमित युग्म (1,3), (2,2) और (3,1) हैं तथा कुल 3 युग्म हैं। परीक्षा-युक्ति: पहले एक चर का मान चुनकर दूसरे को शर्त से निर्धारित करें और फिर जाँचें कि दोनों मान संबंधित समुच्चयों में हैं। / For the condition x+y=4, check the possible values of x. When x=1, y=3; when x=2, y=2; and when x=3, y=1. All these pairs belong to A\times B. For x=0, y would have to be 4, but 4 is not in B. Thus the ordered pairs are (1,3), (2,2), and (3,1), giving a total of 3 pairs. Exam tip: determine the second coordinate from the condition and then verify that both coordinates belong to their respective sets.
\(A\) के प्रत्येक अवयव के लिए \(y=2x\) निकालते हैं। \(x=1\) पर \(y=2\), \(x=2\) पर \(y=4\), और \(x=4\) पर \(y=8\) मिलता है। इसलिए युग्म \((1,2),(2,4),(4,8)\) हैं और कुल 3 युग्म हैं। केवल वे ही युग्म मान्य होंगे जिनमें \(x\in A\) और \(y\in B\) दोनों हों। परीक्षा-युक्ति: ऐसी शर्त में पहले \(A\) के प्रत्येक \(x\) के लिए \(y\) ज्ञात करके जाँचें कि वह \(B\) में है या नहीं। / For each element of \(A\), calculate \(y=2x\). This gives \(y=2\) for \(x=1\), \(y=4\) for \(x=2\), and \(y=8\) for \(x=4\). Thus, the valid pairs are \((1,2),(2,4),(4,8)\), giving a total of 3 pairs. A pair is valid only when \(x\in A\) and the corresponding \(y\in B\); merely counting the elements of either set is incorrect. Exam tip: for a condition of the form \(y=f(x)\), test every \(x\) from the first set and check whether the resulting \(y\) belongs to the second set.
सही युग्म ((2,1),(2,2),(3,1),(3,3),(6,1),(6,2),(6,3)) हैं। विभाज्यता में कौन सा घटक भाजक है यह ध्यान रखें। / The valid pairs are ((2,1),(2,2),(3,1),(3,3),(6,1),(6,2),(6,3)). In divisibility, note which component is the divisor.
पहला घटक (2) तय करने पर दूसरा घटक (B) के (3) अवयवों में से कोई भी हो सकता है। इसलिए (3) युग्म मिलेंगे। / When the first component (2) is fixed, the second component can be any of the (3) elements of (B). Hence there are (3) pairs.
दूसरा घटक (6) तय होने पर पहला घटक (A) के (4) अवयवों में से कोई भी हो सकता है। इसलिए (4) युग्म होंगे। / When the second component (6) is fixed, the first component can be any of the (4) elements of (A). So there are (4) pairs.
(n\(A\times B\)=3\times2=6), और हर संबंध \(A\times B\) का उपसमुच्चय होता है। इसलिए कुल संबंध \(2^6\) हैं। / (n\(A\times B\)=3\times2=6), and every relation is a subset of \(A\times B\). Therefore the total number of relations is \(2^6\).
संबंध \(A\times B\) का उपसमुच्चय होता है। केवल ({(1,4),(3,5)}) के सभी युग्म \(A\times B\) में हैं। / A relation is a subset of \(A\times B\). Only all pairs of ({(1,4),(3,5)}) belong to \(A\times B\).
(n\(A\times B\)=2\times3=6), इसलिए उपसमुच्चयों की संख्या \(2^6\) है। उपसमुच्चय गिनने में \(2^n\) सूत्र लगाएं। / (n\(A\times B\)=2\times3=6), so the number of subsets is \(2^6\). Use the formula \(2^n\) for counting subsets.
दोनों में केवल ((2,2)) समान युग्म है। प्रतिच्छेद के लिए पूरा क्रमित युग्म समान होना चाहिए। / Only ((2,2)) is common to both. For intersection, the whole ordered pair must be identical.
A. रेखा \(y=1\) पर \(0\le x\le2\) वाला रेखाखंड/A line segment on \(y=1\) with \(0\le x\le2\)
Explanation
Simple Explanation
कार्तीय गुणनफल \(A\times B\) में पहला निर्देशांक \(A\) से और दूसरा \(B\) से लिया जाता है। इसलिए \(A\times B=\{(x,1):0\le x\le2\}\), जिसमें \(y\) का मान हमेशा 1 रहता है। अतः यह \(y=1\) पर \(x=0\) से \(x=2\) तक का क्षैतिज रेखाखंड है। विकल्प B में निर्देशांकों की भूमिकाएँ बदल दी गई हैं। परीक्षा-युक्ति: यदि दूसरा समुच्चय एकल समुच्चय \(\{c\}\) हो, तो गुणनफल \(y=c\) पर रेखाखंड देता है। / In the Cartesian product \(A\times B\), the first coordinate comes from \(A\) and the second from \(B\). Thus, \(A\times B=\{(x,1):0\le x\le2\}\), so the value of \(y\) is always 1. Therefore, it is the horizontal line segment from \(x=0\) to \(x=2\) on \(y=1\). Option B interchanges the roles of the two coordinates. Exam tip: when the second set is a singleton \(\{c\}\), the product lies on the line \(y=c\).
पहला घटक हमेशा (-1) है और दूसरा ([2,5]) में बदलता है। यह ऊर्ध्वाधर रेखाखंड का रूप देता है। / The first component is always (-1), and the second varies in ([2,5]). This gives a vertical line segment.
(n\(B\times C\)=1\times2=2), इसलिए (n(A\times\(B\times C\))=2\times2=4)। अंदर का कार्तीय गुणन पहले गिनें। / (n\(B\times C\)=1\times2=2), so (n(A\times\(B\times C\))=2\times2=4). Count the inner Cartesian product first.
दूसरे घटक हमेशा (B) से आते हैं। क्योंकि (A) अरिक्त है, (B) का हर अवयव दूसरे घटक में आएगा। / Second components always come from (B). Since (A) is non-empty, every element of (B) appears as a second component.
योग विषम होने के लिए एक संख्या विषम और दूसरी सम होनी चाहिए। समुच्चय A में 2 विषम और 1 सम संख्या है, जबकि B में 1 विषम और 2 सम संख्याएँ हैं। इसलिए अनुकूल युग्मों की संख्या = (2 × 2) + (1 × 1) = 5। अतः सही उत्तर 5 है। परीक्षा-युक्ति: विषम योग के लिए हमेशा विषम-सम और सम-विषम युग्मों की संख्या जोड़ें। / A sum is odd only when one number is odd and the other is even. Set A has 2 odd and 1 even element, while set B has 1 odd and 2 even elements. Therefore, the number of favourable ordered pairs is (2 × 2) + (1 × 1) = 5. Hence, the correct answer is 5. Exam tip: For an odd sum, count odd-even and even-odd pairs separately and add them.
\(x+y=2\) के लिए संभावित युग्म हैं \((0,2)\), \((1,1)\) और \((2,0)\)। इनमें \((0,2)\) तथा \((2,0)\) ही \(A\times B\) में हैं, क्योंकि पहले घटक को \(A\) और दूसरे घटक को \(B\) का सदस्य होना चाहिए। \((1,1)\) मान्य नहीं है क्योंकि \(1\notin B\)। इसलिए कुल 2 युग्म हैं। परीक्षा-युक्ति: कार्तीय गुणनफल में क्रमित युग्म के दोनों घटकों की संबंधित समुच्चयों में सदस्यता अवश्य जाँचें। / The possible pairs satisfying \(x+y=2\) are \((0,2)\), \((1,1)\), and \((2,0)\). Only \((0,2)\) and \((2,0)\) belong to \(A\times B\), because the first component must be from \(A\) and the second from \(B\). The pair \((1,1)\) is invalid since \(1\notin B\). Hence, there are 2 valid pairs. Exam tip: In a Cartesian product, check membership of each component in its corresponding set, while preserving the order.
सबसे बड़ा पहला घटक (4) और सबसे बड़ा दूसरा घटक (5) है। इसलिए ((4,5)) का योग सबसे बड़ा है। / The greatest first component is (4) and the greatest second component is (5). So ((4,5)) has the greatest sum.
शर्त x−y=2 से x=y+2 प्राप्त होता है। y=1 के लिए x=3, इसलिए (3,1) एक मान्य युग्म है; y=2 के लिए x=4, इसलिए (4,2) दूसरा मान्य युग्म है। दोनों x के मान A में और दोनों y के मान B में हैं, अतः कुल 2 युग्म हैं। विकल्प B केवल (3,1) को गिनता है और (4,2) को छोड़ देता है। परीक्षा-युक्ति: ऐसे प्रश्नों में पहले B के प्रत्येक y के लिए x=y+2 निकालकर जाँच करें कि x∈A है या नहीं। / From x−y=2, we get x=y+2. For y=1, x=3, giving the valid pair (3,1); for y=2, x=4, giving (4,2). Both x-values belong to A and both y-values belong to B, so there are 2 ordered pairs. Option B counts only (3,1) and misses (4,2). Exam tip: For each y∈B, calculate x=y+2 and check whether x belongs to A.
सही युग्म ((1,8),(2,4),(4,2)) हैं। उत्पाद शर्त में दोनों घटकों की सदस्यता जरूर जांचें। / The valid pairs are ((1,8),(2,4),(4,2)). In a product condition, always check membership of both components.
क्योंकि (B-C={3,4}), इसलिए (A) के हर अवयव के साथ (3) और (4) जुड़ेंगे। पहले अंतर निकालें फिर युग्म लिखें। / Since (B-C={3,4}), each element of (A) pairs with (3) and (4). Find the difference first and then write the pairs.
कार्तीय गुणन क्रमित युग्मों का समुच्चय है। इसलिए सही रूप \({(x,y):x\in A,,y\in B}\) है। / Cartesian product is a set of ordered pairs. Therefore the correct form is \({(x,y):x\in A,,y\in B}\).
सही युग्म ((1,1),(1,2),(1,3),(2,2),(2,3),(3,3)) हैं। \(\le\) में बराबरी वाले युग्म भी शामिल करें। / The valid pairs are ((1,1),(1,2),(1,3),(2,2),(2,3),(3,3)). Include equal pairs when the condition is \(\le\).
\(A\times B\) में \(x\) का मान \(A\) से और \(y\) का मान \(B\) से लिया जाता है। शर्त \(x+y>5\) को संतुष्ट करने वाले क्रमित युग्म \((2,4),(3,3),(3,4)\) हैं, इसलिए कुल 3 युग्म हैं। \(x+y=5\) वाले युग्म, जैसे \((1,4)\) और \((2,3)\), शामिल नहीं होंगे क्योंकि असमानता सख्त है। परीक्षा-युक्ति: \(>\) और \(\geq\) के बीच का अंतर अवश्य जाँचें। / In \(A\times B\), \(x\) is chosen from \(A\) and \(y\) from \(B\). The ordered pairs satisfying \(x+y>5\) are \((2,4),(3,3),(3,4)\), so there are 3 pairs. Pairs such as \((1,4)\) and \((2,3)\), for which \(x+y=5\), are excluded because the inequality is strict. Exam tip: carefully distinguish between \(>\) and \(\geq\).
यदि दोनों समुच्चय अरिक्त हैं तो कम से कम एक क्रमित युग्म बनता है। इसलिए \(A\times B=\varnothing\) नहीं हो सकता। / If both sets are non-empty, at least one ordered pair is formed. Therefore \(A\times B=\varnothing\) cannot happen.
कार्तीय गुणन में क्रम महत्वपूर्ण है, इसलिए यह सामान्यतः क्रमविनिमेय नहीं होता। यह विशेष स्थिति में (A=B) या रिक्त समुच्चय के कारण समान हो सकता है। / Order matters in Cartesian product, so it is generally not commutative. It may be equal in special cases such as (A=B) or because of an empty set.
\(3\in A\) विषम है और \(b\in B\), इसलिए \((3,b)\in R\)। संबंध में दी गई शर्त को कार्तीय गुणन पर लागू करें। / \(3\in A\) is odd and \(b\in B\), so \((3,b)\in R\). Apply the given condition to the Cartesian product.
(R) के हर युग्म में पहला घटक (A) से और दूसरा (B) से है। इसलिए \(R\subseteq A\times B\)। / In every pair of (R), the first component is from (A) and the second is from (B). Therefore \(R\subseteq A\times B\).
युग्मों से योग (0+2=2), (0+3=3), (1+2=3) और (1+3=4) मिलते हैं। समुच्चय में (3) को दो बार नहीं लिखते। / The sums are (0+2=2), (0+3=3), (1+2=3) and (1+3=4). In a set, (3) is not written twice.
(B) के सभी (3) अवयव सम हैं और (A) के (3) अवयवों से जुड़ते हैं। इसलिए \(3\times3=9\) युग्म मिलते हैं। / All (3) elements of (B) are even and pair with (3) elements of (A). Hence \(3\times3=9\) pairs are obtained.
(A) में विषम अवयव (1) और (3) हैं, और हर एक (B) के (2) अवयवों से जुड़ेगा। इसलिए \(2\times2=4\) युग्म होंगे। / The odd elements in (A) are (1) and (3), and each pairs with (2) elements of (B). Therefore \(2\times2=4\) pairs are formed.
\(A\cap B={2}\), इसलिए पहला घटक केवल (2) हो सकता है और दूसरा (C) से होगा। इसलिए ((2,4)) सही है। / \(A\cap B={2}\), so the first component can only be (2) and the second must be from (C). Hence ((2,4)) is correct.
\(B\cap C={5}\), इसलिए (n(A\times\(B\cap C\))=3\times1=3)। पहले प्रतिच्छेद निकालें फिर कार्तीय गुणन गिनें। / \(B\cap C={5}\), so (n(A\times\(B\cap C\))=3\times1=3). First find the intersection and then count the Cartesian product.
सही युग्म ((0,5),(2,3),(4,1)) हैं। योग की शर्त में दोनों घटकों की सदस्यता जरूर जांचें। / The valid pairs are ((0,5),(2,3),(4,1)). In a sum condition, always check membership of both components.
सही गिनती (y=1) के लिए (4), (y=2) के लिए (3) और (y=4) के लिए (1) है। इसलिए कुल (4+3+1=8) युग्म हैं। / The correct count is (4) for (y=1), (3) for (y=2), and (1) for (y=4). Thus total pairs are (4+3+1=8).
सही युग्म ((2,1),(4,2),(8,4)) हैं। भिन्न वाली शर्त में (y) का मान समुच्चय (B) से ही लें। / The valid pairs are ((2,1),(4,2),(8,4)). In a fraction condition, take (y) only from set (B).
((1,4)) में \(4\ne2\times1\), इसलिए यह (R) में नहीं है। संबंध में दी गई शर्त को हर विकल्प पर लगाएं। / In ((1,4)), \(4\ne2\times1\), so it is not in (R). Apply the given relation condition to each option.
गुणनफल \(1\cdot2=2\), \(1\cdot4=4\), \(1\cdot6=6\), \(3\cdot2=6\), \(3\cdot4=12\), \(3\cdot6=18\) मिलते हैं। समुच्चय में (6) को दो बार नहीं लिखते। / The products are \(1\cdot2=2\), \(1\cdot4=4\), \(1\cdot6=6\), \(3\cdot2=6\), \(3\cdot4=12\), \(3\cdot6=18\). In a set, (6) is not written twice.
(n\(A\times B\)=n(A)n(B)=3\times2=6) होता है। पहले दोनों समुच्चयों के अवयव गिनना सबसे सुरक्षित तरीका है। / (n\(A\times B\)=n(A)n(B)=3\times2=6). Counting elements of both sets first is the safest method.
\(A\times B\) में पहला घटक (A) से और दूसरा (B) से आता है। हर (A) का अवयव (B) के सभी अवयवों से जुड़ता है। / In \(A\times B\), the first component comes from (A) and the second from (B). Each element of (A) pairs with all elements of (B).
\(B\times A\) में पहला अवयव (B) से और दूसरा (A) से होना चाहिए। इसलिए ((3,2)) सही है। / In \(B\times A\), the first element must be from (B) and the second from (A). Hence ((3,2)) is correct.
क्योंकि \(6\in A\) और \(4\in B\), इसलिए \((6,4)\in A\times B\) सत्य है। सदस्यता में दोनों स्थान अलग-अलग जांचें। / Since \(6\in A\) and \(4\in B\), \((6,4)\in A\times B\) is true. Check both positions separately for membership.
((2,5)) में पहला अवयव (A) से नहीं और दूसरा (B) से नहीं है। कार्तीय गुणन में क्रम बदलना सामान्य गलती है। / In ((2,5)), the first element is not from (A) and the second is not from (B). Reversing order is a common Cartesian product mistake.
\(B\cap C={3}\), इसलिए (n(A\times\(B\cap C\))=3\times1=3)। पहले प्रतिच्छेद निकालें फिर गुणन करें। / \(B\cap C={3}\), so (n(A\times\(B\cap C\))=3\times1=3). Find the intersection first and then multiply.
\(B\cup C={2,4,6,8}\), इसलिए (n(A\times\(B\cup C\))=2\times4=8)। संघ में समान अवयव को दो बार न गिनें। / \(B\cup C={2,4,6,8}\), so (n(A\times\(B\cup C\))=2\times4=8). Do not count common elements twice in a union.
(A-B={2,6}), इसलिए (n\((A-B)\times C\)=2\times3=6)। पहले समुच्चय अंतर निकालना जरूरी है। / (A-B={2,6}), so (n\((A-B)\times C\)=2\times3=6). It is necessary to find the set difference first.
(n\(A\times B\)=n(A)n(B)), इसलिए (48=6n(B)) और (n(B)=8)। ऐसे प्रश्नों में सूत्र को उल्टा लगाएं। / (n\(A\times B\)=n(A)n(B)), so (48=6n(B)) and (n(B)=8). Use the formula in reverse in such questions.
B. दोनों में (20) अवयव होंगे/both have (20) elements
Explanation
Simple Explanation
दोनों की अवयव संख्या \(4\times5=20\) होगी। संख्या समान हो सकती है पर युग्मों का क्रम सामान्यतः अलग होता है। / Both have \(4\times5=20\) elements. The number can be the same but the order of pairs is generally different.
मान लें कि \(\mathbb{N}=\{1,2,3,\ldots\}\) है। यदि \(A=\{x:x\in\mathbb{N},\ 2\le x\le5\}\) और \(B=\{y:y\in\mathbb{N},\ y<4\}\) हैं, तो \(n(A\times B)\) का मान क्या है?
यहाँ \(A=\{2,3,4,5\}\), इसलिए \(n(A)=4\), और \(B=\{1,2,3\}\), इसलिए \(n(B)=3\)। कार्तीय गुणनफल के लिए \(n(A\times B)=n(A)\times n(B)\), अतः \(4\times3=12\)। इसलिए सही विकल्प C है। विकल्प D तब मिलता यदि \(\mathbb{N}\) में 0 को शामिल करके \(B\) में 0 भी लिया जाता; प्रश्न में प्राकृतिक संख्याओं को धनात्मक माना गया है। परीक्षा-टिप: \(A\times B\) के क्रमित युग्मों की संख्या हमेशा दोनों समुच्चयों की संख्याओं के गुणनफल के बराबर होती है। / Here, \(A=\{2,3,4,5\}\), so \(n(A)=4\), and \(B=\{1,2,3\}\), so \(n(B)=3\). For a Cartesian product, \(n(A\times B)=n(A)\times n(B)\); therefore, \(4\times3=12\). Hence, option C is correct. Option D would result only if 0 were included in \(\mathbb{N}\) and consequently in \(B\); in this question, natural numbers are explicitly taken as positive integers. Exam tip: The number of ordered pairs in \(A\times B\) is always the product of the cardinalities of the two sets.
दूसरा घटक (B) से लेना होता है पर \(B=\varnothing\) है। इसलिए कोई क्रमित युग्म नहीं बनेगा और गुणन \(\varnothing\) होगा। / The second component must come from (B), but \(B=\varnothing\). Hence no ordered pair is formed and the product is \(\varnothing\).
समुच्चय A में 3 अवयव हैं। इसलिए A × A में क्रमित युग्मों की संख्या n(A × A) = n(A) × n(A) = 3 × 3 = 9 होगी। इसमें (m, m), (n, n) और (o, o) जैसे समान घटकों वाले युग्म भी शामिल होते हैं; इसलिए 6 सही नहीं है। परीक्षा-युक्ति: किसी समुच्चय A के लिए n(A × A) = [n(A)]² होता है। / Set A has 3 elements. Therefore, the number of ordered pairs in A × A is n(A × A) = n(A) × n(A) = 3 × 3 = 9. Pairs with equal components, such as (m, m), (n, n), and (o, o), are also included, so 6 is incorrect. Exam tip: For any set A, n(A × A) = [n(A)]².
शर्त \(x=y\) के कारण दोनों समुच्चयों में समान अवयवों से ही युग्म बनेंगे। \(A\cap B=\{3,4\}\), इसलिए मान्य युग्म \((3,3)\) और \((4,4)\) हैं। अतः कुल 2 युग्म हैं। परीक्षा-युक्ति: \(x=y\) वाले कार्तीय गुणनफल के युग्मों की संख्या हमेशा \(|A\cap B|\) के बराबर होती है। / The condition \(x=y\) means that the common elements of both sets must be used. Since \(A\cap B=\{3,4\}\), the valid ordered pairs are \((3,3)\) and \((4,4)\). Therefore, there are 2 pairs. Exam tip: the number of pairs in \(A\times B\) with equal coordinates is \(|A\cap B|\).
(y=1) के लिए (1) युग्म, (y=3) के लिए (3) युग्म और (y=5) के लिए (4) युग्म मिलते हैं। कुल (1+3+4=8) नहीं, ध्यान से सूची बनाने पर ((0,1),(0,3),(1,3),(2,3),(0,5),(1,5),(2,5),(3,5)) यानी (8) युग्म हैं। / The valid pairs are ((0,1),(0,3),(1,3),(2,3),(0,5),(1,5),(2,5),(3,5)), so the count is (8). Careful listing prevents overcounting.
सही युग्म ((1,4),(2,3),(4,1)) हैं। हर युग्म में दोनों घटकों की सदस्यता जरूर जांचें। / The valid pairs are ((1,4),(2,3),(4,1)). Always check membership of both components in each pair.
A के प्रत्येक मान के लिए y=2x जाँचते हैं: x=1 पर y=2, x=3 पर y=6 और x=5 पर y=10 मिलता है। ये सभी मान B में हैं, इसलिए युग्म (1,2), (3,6) और (5,10) हैं और कुल 3 युग्म मिलते हैं। केवल दो युग्म गिनना अधूरा होगा, क्योंकि x=5 से भी मान्य युग्म बनता है। परीक्षा में ऐसे प्रश्नों में A के प्रत्येक अवयव के लिए y=2x निकालकर यह जाँचें कि y, B में उपस्थित है या नहीं। / Check y=2x for every element of A: x=1 gives y=2, x=3 gives y=6, and x=5 gives y=10. All three resulting values belong to B, so the valid ordered pairs are (1,2), (3,6), and (5,10), giving a total of 3. Counting only two pairs overlooks the valid pair obtained from x=5. In an exam, compute y for each element of A and then verify that the result lies in B.
सही युग्म ((4,1),(4,2),(4,4),(6,1),(6,2),(8,1),(8,2),(8,4)) हैं। विभाज्यता में भाजक और भाज्य की जगह ध्यान से देखें। / The valid pairs are ((4,1),(4,2),(4,4),(6,1),(6,2),(8,1),(8,2),(8,4)). In divisibility, note the positions of divisor and dividend carefully.
सही युग्म ((1,1),(2,4),(4,16)) हैं। कार्तीय गुणन पर शर्त लगाने से संबंध बनता है। / The valid pairs are ((1,1),(2,4),(4,16)). Applying a condition to a Cartesian product forms a relation.
पहला घटक (4) तय होने पर दूसरा घटक (B) के (4) अवयवों में से कोई भी हो सकता है। इसलिए (4) युग्म बनते हैं। / When the first component (4) is fixed, the second component can be any of the (4) elements of (B). Hence (4) pairs are formed.
दूसरा घटक (20) तय होने पर पहला घटक (A) के (4) अवयवों में से कोई भी हो सकता है। इसलिए (4) युग्म होंगे। / When the second component (20) is fixed, the first component can be any of the (4) elements of (A). So there are (4) pairs.
(n\(A\times B\)=2\times3=6), और हर संबंध \(A\times B\) का उपसमुच्चय होता है। इसलिए कुल संबंध \(2^6\) हैं। / (n\(A\times B\)=2\times3=6), and every relation is a subset of \(A\times B\). Therefore the total number of relations is \(2^6\).
संबंध \(A\times B\) का उपसमुच्चय होता है। केवल ({(2,1),(6,3)}) के सभी युग्म \(A\times B\) में हैं। / A relation is a subset of \(A\times B\). Only all pairs of ({(2,1),(6,3)}) belong to \(A\times B\).
(n\(A\times B\)=3\times2=6), इसलिए उपसमुच्चयों की संख्या \(2^6\) है। उपसमुच्चय गिनने में \(2^n\) लगाएं। / (n\(A\times B\)=3\times2=6), so the number of subsets is \(2^6\). Use \(2^n\) for counting subsets.
साझा युग्म ((2,2),(2,4),(4,2),(4,4)) हैं। प्रतिच्छेद में पूरा क्रमित युग्म दोनों समुच्चयों में होना चाहिए। / The common pairs are ((2,2),(2,4),(4,2),(4,4)). In intersection, the whole ordered pair must belong to both sets.
A. दोनों में (6) अवयव हैं पर समुच्चय सामान्यतः अलग हैं/both have (6) elements but the sets are generally different
Explanation
Simple Explanation
दोनों की अवयव संख्या \(2\times3=6\) है, पर क्रम बदलने से युग्म बदल जाते हैं। कार्तीय गुणन सामान्यतः क्रमविनिमेय नहीं होता। / Both have \(2\times3=6\) elements, but changing the order changes pairs. Cartesian product is generally not commutative.
B. रेखा \(y=3\) पर \(2\le x\le5\) वाला रेखाखंड/A line segment on \(y=3\) with \(2\le x\le5\)
Explanation
Simple Explanation
कार्तीय गुणनफल \(A\times B\) में पहला निर्देशांक \(A\) से और दूसरा निर्देशांक \(B\) से लिया जाता है। इसलिए \(A\times B=\{(x,3):2\le x\le5\}\), जो \(y=3\) पर स्थित क्षैतिज रेखाखंड है। विकल्प A में निर्देशांकों की भूमिकाएँ उलट दी गई हैं, इसलिए वह गलत है। परीक्षा-युक्ति: यदि दूसरा समुच्चय एकल अवयव \(\{c\}\) हो, तो गुणनफल \(y=c\) पर रेखाखंड देता है। / In the Cartesian product \(A\times B\), the first coordinate comes from \(A\) and the second coordinate comes from \(B\). Thus, \(A\times B=\{(x,3):2\le x\le5\}\), which is a horizontal line segment on \(y=3\). Option A incorrectly interchanges the roles of the coordinates. Exam tip: when the second set is a singleton \(\{c\}\), the Cartesian product lies on the line \(y=c\).
पहला घटक हमेशा (2) है और दूसरा ([-1,4]) में बदलता है। यह (x=2) पर ऊर्ध्वाधर रेखाखंड है। / The first component is always (2), and the second varies in ([-1,4]). This is a vertical line segment on (x=2).
\(A\) में 3, \(B\) में 2 और \(C\) में 1 अवयव है। इसलिए \(A\times B\) में \(3\times2=6\) क्रमित युग्म होंगे। अब \((A\times B)\times C\) में प्रत्येक ऐसे युग्म को \(C\) के एकमात्र अवयव 6 के साथ जोड़ा जाएगा, अतः अवयवों की संख्या \(6\times1=6\) होगी। 12 चुनना \(C\) के एक से अधिक अवयव मान लेने की भूल है। परीक्षा-युक्ति: \(n(X\times Y)=n(X)\times n(Y)\) का प्रयोग करें। / Set \(A\) has 3 elements, \(B\) has 2, and \(C\) has 1. Thus, \(A\times B\) contains \(3\times2=6\) ordered pairs. Each of these pairs is combined with the only element of \(C\), so \((A\times B)\times C\) has \(6\times1=6\) elements. Choosing 12 incorrectly treats \(C\) as if it had more than one element. Exam tip: use \(n(X\times Y)=n(X)\times n(Y)\).
क्योंकि (B) अरिक्त है, (A) का हर अवयव पहले घटक के रूप में आएगा। इसलिए पहले घटकों का समुच्चय (A) है। / Since (B) is non-empty, every element of (A) appears as a first component. Therefore the set of first components is (A).
दूसरे घटक हमेशा (B) से आते हैं। क्योंकि (A) अरिक्त है, (B) का हर अवयव दूसरे घटक के रूप में आता है। / Second components always come from (B). Since (A) is non-empty, every element of (B) appears as a second component.
योग सम तब होगा जब दोनों घटक समान सम-विषम प्रकृति के हों। यहां ऐसे \(2\times2+2\times1=6\) युग्म हैं। / The sum is even when both components have the same parity. Here such pairs are \(2\times2+2\times1=6\).
शर्त x+y=7 के अनुसार x=2 पर y=5, x=4 पर y=3 और x=6 पर y=1 मिलता है। इसलिए मान्य क्रमित युग्म (2,5), (4,3) और (6,1) हैं, कुल 3। x=0 के लिए y=7 चाहिए, लेकिन 7, B का सदस्य नहीं है। परीक्षा-युक्ति: पहले प्रत्येक x के लिए y=7−x निकालें और फिर जाँचें कि y, B में है या नहीं। / Using x+y=7, we get y=5 for x=2, y=3 for x=4, and y=1 for x=6. Thus the valid ordered pairs are (2,5), (4,3), and (6,1), giving a total of 3. For x=0, y would be 7, but 7 is not in B. Exam tip: calculate y=7−x for each x and then check whether y belongs to B.
सबसे बड़ा पहला घटक (8) और सबसे बड़ा दूसरा घटक (7) है। इसलिए ((8,7)) का योग सबसे बड़ा होगा। / The greatest first component is (8) and the greatest second component is (7). Therefore ((8,7)) has the greatest sum.
शर्त x−y=2 से x=y+2 प्राप्त होता है। B के प्रत्येक मान के लिए युग्म मिलते हैं: y=1 पर (3,1), y=2 पर (4,2), और y=3 पर (5,3)। ये तीनों युग्म A×B में हैं, इसलिए सही उत्तर 3 है। 4 चुनना गलत है, क्योंकि A में चार अवयव होने मात्र से सभी के लिए उपयुक्त युग्म नहीं बनते। परीक्षा-युक्ति: ऐसी शर्त में पहले छोटे समुच्चय के प्रत्येक मान को रखकर दूसरा मान जाँचें। / From x−y=2, we get x=y+2. For each value of y in B, the valid pairs are (3,1), (4,2), and (5,3). All three first components belong to A, so there are 3 ordered pairs. Choosing 4 is incorrect because the number of elements in A alone does not determine the number of valid pairs. Exam tip: substitute each value from the smaller set and check whether the resulting value belongs to the other set.
सही युग्म ((1,6),(2,3),(3,2),(6,1)) हैं। क्रमित युग्मों में ((2,3)) और ((3,2)) अलग हैं। / The valid pairs are ((1,6),(2,3),(3,2),(6,1)). In ordered pairs, ((2,3)) and ((3,2)) are different.
(B-C={3,9}), इसलिए (A) के हर अवयव के साथ (3) और (9) जुड़ेंगे। पहले अंतर निकालें फिर युग्म लिखें। / (B-C={3,9}), so each element of (A) pairs with (3) and (9). Find the difference first and then write the pairs.
कार्तीय गुणन क्रमित युग्मों का समुच्चय है। सही रूप में पहला घटक (A) से और दूसरा (B) से होना चाहिए। / Cartesian product is a set of ordered pairs. In the correct form, the first component is from (A) and the second is from (B).
(y=2) के लिए (2) युग्म, (y=3) के लिए (3) युग्म और (y=4) के लिए (4) युग्म हैं। कुल (2+3+4=9) युग्म मिलते हैं। / For (y=2), there are (2) pairs; for (y=3), (3) pairs; and for (y=4), (4) pairs. Total pairs are (2+3+4=9).
सही युग्म ((3,1),(6,2),(9,3)) हैं। शर्त लगाते समय दोनों समुच्चयों की सीमा याद रखें। / The valid pairs are ((3,1),(6,2),(9,3)). While applying the condition, remember the limits of both sets.
A\(\times\)B के युग्मों में x=1 के लिए योग 3, 5 और 7 होते हैं, इसलिए कोई युग्म मान्य नहीं है। x=2 के लिए केवल (2,6) का योग 8 है, तथा x=5 के लिए (5,4) और (5,6) के योग क्रमशः 9 और 11 हैं। इसलिए कुल 3 युग्म मान्य हैं। ध्यान रखें कि शर्त x+y>7 है, अतः x+y=7 वाले युग्म शामिल नहीं किए जाते। / For x=1, the sums with elements of B are 3, 5, and 7, so none qualifies. For x=2, only (2,6) has a sum greater than 7. For x=5, the pairs (5,4) and (5,6) have sums 9 and 11. Thus, there are 3 valid ordered pairs. Exam tip: a strict inequality such as x+y>7 excludes pairs whose sum is exactly 7.
पहला घटक (A) से आना चाहिए पर \(A=\varnothing\) है। इसलिए कोई क्रमित युग्म नहीं बनेगा। / The first component must come from (A), but \(A=\varnothing\). Therefore no ordered pair is formed.
यदि (A=B), तो दोनों तरफ वास्तव में \(A\times A\) ही है। इसलिए दोनों कार्तीय गुणन समान होंगे। / If (A=B), then both sides are actually \(A\times A\). Therefore both Cartesian products are equal.
(R) के हर युग्म में पहला घटक (A) से और दूसरा (B) से है। इसलिए \(R\subseteq A\times B\)। / In every pair of (R), the first component is from (A) and the second is from (B). Therefore \(R\subseteq A\times B\).
कार्तीय गुणनफल \(A \times B\) के क्रमित युग्म हैं \((1,2),(1,5),(2,2),(2,5)\)। इनके घटकों के योग क्रमशः \(3,6,4,7\) हैं, इसलिए योगों का समुच्चय \(\{3,4,6,7\}\) है। विकल्प D केवल \(3\) और \(7\) देता है तथा \(4\) और \(6\) छोड़ देता है। परीक्षा-टिप: कार्तीय गुणनफल में पहले समुच्चय के प्रत्येक अवयव को दूसरे समुच्चय के प्रत्येक अवयव के साथ युग्मित करें। / The ordered pairs in \(A \times B\) are \((1,2),(1,5),(2,2),(2,5)\). Their component sums are \(3,6,4,7\), so the set of sums is \(\{3,4,6,7\}\). Option D includes only \(3\) and \(7\), omitting \(4\) and \(6\). Exam tip: In a Cartesian product, pair every element of the first set with every element of the second set.
(B) के सभी (3) अवयव सम हैं और (A) के (4) अवयवों से जुड़ते हैं। इसलिए \(4\times3=12\) युग्म बनेंगे। / All (3) elements of (B) are even and pair with (4) elements of (A). Hence \(4\times3=12\) pairs are formed.
(A) में अभाज्य अवयव (2,3,5) हैं और हर एक (B) के (2) अवयवों से जुड़ता है। इसलिए \(3\times2=6\) युग्म होंगे। / The prime elements in (A) are (2,3,5), and each pairs with (2) elements of (B). Therefore \(3\times2=6\) pairs are formed.
\(A\cap B={2,3}\), इसलिए पहला घटक (2) या (3) और दूसरा (C) से होना चाहिए। ((3,0)) यह शर्त पूरी करता है। / \(A\cap B={2,3}\), so the first component must be (2) or (3) and the second must be from (C). ((3,0)) satisfies this condition.
\(B\cup C={2,3,4,5}\) और (\(B\cup C\)-A={4,5}) है। इसलिए (n(A\times(\(B\cup C\)-A))=3\times2=6)। / \(B\cup C={2,3,4,5}\) and (\(B\cup C\)-A={4,5}). Therefore (n(A\times(\(B\cup C\)-A))=3\times2=6).
A में 2 और B में 2 अवयव हैं। कार्तीय गुणनफल A × B में प्रत्येक अवयव को B के प्रत्येक अवयव के साथ जोड़ा जाता है, इसलिए क्रमित युग्मों की संख्या 2 × 2 = 4 होगी। ये युग्म हैं: (1, 3), (1, 4), (2, 3) और (2, 4)। विकल्प 2 केवल एक समुच्चय के अवयवों की संख्या दर्शाता है, जबकि कार्तीय गुणनफल के लिए दोनों समुच्चयों की संख्याएँ गुणा की जाती हैं। परीक्षा-युक्ति: |A × B| = |A| × |B| का सूत्र याद रखें। / Set A has 2 elements and set B has 2 elements. In the Cartesian product A × B, each element of A is paired with every element of B, so the number of ordered pairs is 2 × 2 = 4. The pairs are (1, 3), (1, 4), (2, 3), and (2, 4). The answer 2 counts the elements of only one set; for a Cartesian product, multiply the cardinalities of both sets. Exam tip: remember the formula |A × B| = |A| × |B|.
