Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है
\(A^c\cap B^c\) में वे संख्याएं हैं जो न (2) से और न (3) से विभाज्य हैं। ऐसी संख्याएं (1,5,7,11,13,17) हैं। / \(A^c\cap B^c\) contains numbers divisible by neither (2) nor (3). These numbers are (1,5,7,11,13,17).
पहले \(A\cup B={1,2,4,6,8,9,10,12,14,16}\) लिखें। (U) में बचे हुए तत्व ही पूरक हैं। / First write \(A\cup B={1,2,4,6,8,9,10,12,14,16}\). The remaining elements in (U) form the complement.
\(A^c\cap B\) में विषम लेकिन अभाज्य नहीं संख्याएं आएंगी। (1), (9) और (15) इस शर्त को पूरा करते हैं। / \(A^c\cap B\) contains odd numbers that are not prime. (1), (9), and (15) satisfy this condition.
\(x^2<9\) से \(A=\{-2,-1,0,1,2\}\) मिलता है। (U) से इन्हें हटाने पर पूरक मिलता है। / From \(x^2<9\), \(A=\{-2,-1,0,1,2\}\). Removing these from (U) gives the complement.
(-1) और (4) दोनों (A) में शामिल नहीं हैं, इसलिए वे पूरक में आएंगे। अंतरालों में खुले और बंद सिरों पर विशेष ध्यान दें। / (-1) and (4) are not included in (A), so they come in the complement. Pay special attention to open and closed endpoints in intervals.
(0) और (2) (A) में शामिल हैं, इसलिए पूरक उनसे बाहर होगा। (6) (U) में शामिल है, इसलिए अंतिम सिरा बंद रहेगा। / (0) and (2) are included in (A), so the complement stays outside them. (6) is included in (U), so the right endpoint remains closed.
पूरक लेने पर समावेशन का क्रम उलट जाता है। इसलिए सबसे बड़े (C) का पूरक सबसे छोटा होगा। / The order of inclusion reverses after taking complements. Hence the complement of the largest set (C) is the smallest.
पूरकों में समावेशन उलट जाता है। इसलिए \(B^c\subseteq A^c\) से \(A\subseteq B\) मिलता है। / Inclusion reverses for complements. Therefore \(B^c\subseteq A^c\) gives \(A\subseteq B\).
(n\(A^c\cup B^c\)=35+50-18=67) है। डी मॉर्गन से यह (n(\(A\cap B\)^c)) है, इसलिए (n\(A\cap B\)=90-67=23)। / (n\(A^c\cup B^c\)=35+50-18=67). By De Morgan, this is (n(\(A\cap B\)^c)), so (n\(A\cap B\)=90-67=23).
\(A^c-B^c=A^c\cap B\) होता है। \(A^c={6,7,8,9,10}\), इसलिए (B) के साथ साझा भाग ({6,7,8}) है। / \(A^c-B^c=A^c\cap B\). Since \(A^c={6,7,8,9,10}\), the common part with (B) is ({6,7,8}).
पहले (B-A={1,4}) है। (U) से इसे हटाने पर ((B-A)^c={2,3,5,6,7,8,9}) मिलता है। / First (B-A={1,4}). Removing it from (U) gives ((B-A)^c={2,3,5,6,7,8,9}).
(4) के (10) और (5) के (8) गुणज हैं, साझा (20) के (2) गुणज हैं। इसलिए (n(A)=10+8-2=16) और (n\(A^c\)=24)। / There are (10) multiples of (4) and (8) multiples of (5), with (2) common multiples of (20). Thus (n(A)=10+8-2=16), so (n\(A^c\)=24).
(1) से (60) तक (6) के (10) गुणज हैं। इसलिए पूरक में (60-10=50) तत्व होंगे। / There are (10) multiples of (6) from (1) to (60). Therefore the complement has (60-10=50) elements.
\(x^2-7x+12=0\) से (x=3,4) मिलते हैं। (U) से (3) और (4) हटाने पर \(A^c\) मिलता है। / From \(x^2-7x+12=0\), (x=3,4). Removing (3) and (4) from (U) gives \(A^c\).
(U) में (13) पूर्णांक हैं और \(A=\{-4,4\}\) है। इसलिए (n\(A^c\)=13-2=11) होगा। / There are (13) integers in (U), and \(A=\{-4,4\}\). Hence (n\(A^c\)=13-2=11).
एक सर्वे में (150) लोगों में से (85) चाय पसंद करते हैं, (70) कॉफी पसंद करते हैं और (40) दोनों पसंद करते हैं। न चाय न कॉफी पसंद करने वाले लोगों की संख्या कितनी है?
चाय या कॉफी पसंद करने वाले (85+70-40=115) हैं। इसलिए पूरक में (150-115=35) लोग होंगे। / People who like tea or coffee are (85+70-40=115). Therefore the complement has (150-115=35) people.
(1) से (36) तक पूर्ण वर्ग (1,4,9,16,25,36) हैं। इसलिए (n\(A^c\)=36-6=30) होगा। / The perfect squares from (1) to (36) are (1,4,9,16,25,36). Hence (n\(A^c\)=36-6=30).
यह सम संख्याओं में से (4) से विभाज्य संख्याएं हटाने जैसा है। इसलिए उत्तर (2,6,10,14,18) है। / This is like removing the multiples of (4) from the even numbers. Therefore the answer is (2,6,10,14,18).
यदि \(B^c=A\), तो \(B=A^c\) होगा। (U) से (2,4,6) हटाने पर \(B=\{1,3,5,7\}\) मिलता है। / If \(B^c=A\), then \(B=A^c\). Removing (2,4,6) from (U) gives \(B=\{1,3,5,7\}\).
(A) और (B) में कोई साझा तत्व नहीं है और दोनों मिलकर (U) बनाते हैं। इसलिए (B), (A) का पूरक है। / (A) and (B) have no common element and together form (U). Therefore (B) is the complement of (A).
यदि दो समुच्चय असंबद्ध हों और मिलकर (U) बनाएं, तो वे पूरक होते हैं। इसलिए \(P^c=Q\) होगा। / If two sets are disjoint and together form (U), they are complements. Hence \(P^c=Q\).
\(A^c\) में (8) तत्व हैं और (6,12) इसमें नहीं हैं। इसलिए दो नए तत्व जोड़ने पर कुल (10) तत्व होंगे। / \(A^c\) has (8) elements, and (6,12) are not in it. Adding these two new elements gives (10) elements.
अंकों में अभाज्य अंक (2,3,5,7) हैं। कुल (10) अंक हैं, इसलिए पूरक में (10-4=6) अंक होंगे। / The prime digits are (2,3,5,7). There are (10) digits in all, so the complement has (10-4=6) digits.
दोनों से विभाज्य होने का अर्थ (10) से विभाज्य होना है। (1) से (18) तक केवल (10) ऐसा है, इसलिए बाकी सभी \(A^c\) में हैं। / Divisible by both means divisible by (10). From (1) to (18), only (10) satisfies this, so all others are in \(A^c\).
A. \(A\cap A^c=\varnothing\) और \(A\cup A^c=U\)/\(A\cap A^c=\varnothing\) and \(A\cup A^c=U\)
Explanation
Simple Explanation
विभाजन के लिए भाग असंबद्ध होने चाहिए और उनका संघ पूरा (U) होना चाहिए। (A) और \(A^c\) यही दोनों शर्तें पूरी करते हैं। / For a partition, the parts must be disjoint and their union must be the whole (U). (A) and \(A^c\) satisfy both conditions.
A. ऐसा कोई (A) संभव नहीं है/no such (A) is possible
Explanation
Simple Explanation
यदि \(A=A^c\), तो \(A\cap A^c=A\) होगा, पर \(A\cap A^c=\varnothing\) है। \(U\ne\varnothing\) में यह स्थिति संभव नहीं होती। / If \(A=A^c\), then \(A\cap A^c=A\), but \(A\cap A^c=\varnothing\). For \(U\ne\varnothing\), this situation is impossible.
A. \(A^c\) में नए तत्व जुड़ सकते हैं/new elements may be added to \(A^c\)
Explanation
Simple Explanation
पूरक (U) पर निर्भर करता है। यदि (U) में नए तत्व आए और वे (A) में न हों, तो वे \(A^c\) में जुड़ेंगे। / Complement depends on (U). If new elements enter (U) and are not in (A), they are added to \(A^c\).
यदि \(U_1={1,2,3,4,5}\), \(U_2={1,2,3,4,5,6,7}\) और \(A=\{2,5\}\) है, तो \(U_2\) के सापेक्ष \(A^c\) में \(U_1\) के सापेक्ष \(A^c\) से कौन से अतिरिक्त तत्व होंगे?
\(U_1\) में पूरक ({1,3,4}) और \(U_2\) में पूरक ({1,3,4,6,7}) है। अतिरिक्त तत्व ({6,7}) हैं। / Relative to \(U_1\), the complement is ({1,3,4}), and relative to \(U_2\), it is ({1,3,4,6,7}). The extra elements are ({6,7}).
\(A^c={5,6,7,8,9,10,11,12}\) और \(A^c\cap B={5,6,7}\) है। इसका पूरक (U-{5,6,7}) होगा। / \(A^c={5,6,7,8,9,10,11,12}\) and \(A^c\cap B={5,6,7}\). Its complement is (U-{5,6,7}).
\(A^c={1,3,5,7,9}\) और \(A^c\cup B={1,2,3,4,5,7,9}\) है। (U) में बचे (6,8,10) हैं। / \(A^c={1,3,5,7,9}\), and \(A^c\cup B={1,2,3,4,5,7,9}\). The remaining elements in (U) are (6,8,10).
(A^c\cap B^c=\(A\cup B\)^c) है। (4) या (6) से विभाज्य संख्याएं (6+4-2=8) हैं, इसलिए पूरक में (24-8=16) तत्व हैं। / (A^c\cap B^c=\(A\cup B\)^c). Numbers divisible by (4) or (6) are (6+4-2=8), so the complement has (24-8=16) elements.
(A^c\cup B^c=\(A\cap B\)^c) है। \(A\cap B={3,5}\), इसलिए पूरक में (15-2=13) तत्व होंगे। / (A^c\cup B^c=\(A\cap B\)^c). Since \(A\cap B={3,5}\), the complement has (15-2=13) elements.
(A^c\cap B^c=\(A\cup B\)^c) है। \(A\cup B={1,2,4,6,7,8,10}\), इसलिए बचे तत्व ({3,5,9,11}) हैं। / (A^c\cap B^c=\(A\cup B\)^c). Since \(A\cup B={1,2,4,6,7,8,10}\), the remaining elements are ({3,5,9,11}).
(U) में (14) तत्व हैं और \(A^c\) में (6) तत्व हैं। इसलिए (n(A)=14-6=8) होगा। / (U) has (14) elements and \(A^c\) has (6) elements. Therefore (n(A)=14-6=8).
A. क्योंकि (U) का हर तत्व या तो (A) में है या (A) के बाहर है/because every element of (U) is either in (A) or outside (A)
Explanation
Simple Explanation
(U) का हर तत्व (A) में या \(A^c\) में जरूर आएगा। इसलिए दोनों का संघ पूरा (U) बनाता है। / Every element of (U) must belong to (A) or to \(A^c\). Therefore their union forms the whole (U).
सही पूरक ({1,4,6,7,8,9}) है। विकल्प ({1,4,6,7,8}) में (9) छूट गया है। / The correct complement is ({1,4,6,7,8,9}). The option ({1,4,6,7,8}) misses (9).
(1) से (80) तक (8) के (10) गुणज हैं। इसलिए पूरक में (80-10=70) तत्व होंगे। / There are (10) multiples of (8) from (1) to (80). Therefore the complement has (80-10=70) elements.
यदि \(B=A^c\), तो \(A\cup B=A\cup A^c=U\) होगा। यह पूरक का मूल गुण है। / If \(B=A^c\), then \(A\cup B=A\cup A^c=U\). This is a basic property of complement.
यदि \(B=A^c\), तो \(A\cap B=A\cap A^c=\varnothing\) होगा। पूरक समुच्चय असंबद्ध होते हैं। / If \(B=A^c\), then \(A\cap B=A\cap A^c=\varnothing\). Complementary sets are disjoint.
यहां \(A\cap B=\varnothing\) है। इसलिए (\(A\cap B\)^c=\varnothing^c=U) होगा। / Here \(A\cap B=\varnothing\). Therefore (\(A\cap B\)^c=\varnothing^c=U).
