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\(A^{c}\) में (U) के वे अवयव आते हैं जो (A) में नहीं हैं। परीक्षा में पहले (U) से (A) हटाएं। / \(A^{c}\) contains elements of (U) that are not in (A). In exams, first remove (A) from (U).
\(A=\{1,4,9\}\) है, इसलिए (n\(A^{c}\)=15-3=12) नहीं बल्कि (15) तक पूर्ण वर्ग ({1,4,9}) ही हैं। सही गिनती (12) होती, इसलिए विकल्पों में गलती पहचानें। / \(A=\{1,4,9\}\), so (n\(A^{c}\)=15-3=12). Since (12) is not listed, this question has no valid option and must be corrected in an exam audit.
\(B^{c}={b,c,d}\), इसलिए अवयवों की संख्या (3) है। गिनती करते समय केवल (U) के अंदर देखें। / \(B^{c}={b,c,d}\), so the number of elements is (3). While counting, look only inside (U).
\(A=\{1,4,9,16\}\) है, इसलिए (n\(A^{c}\)=16-4=12)। पूर्ण वर्गों की सूची पहले बना लें। / \(A=\{1,4,9,16\}\), so (n\(A^{c}\)=16-4=12). List the perfect squares first.
(A) में (3) सहित उससे बड़ी वास्तविक संख्याएं हैं, इसलिए पूरक (x<3) है। असमानता में बराबर का चिन्ह ध्यान से बदलें। / (A) contains (3) and all greater real numbers, so the complement is (x<3). Change the equality part carefully in inequalities.
\(\varnothing\) में कोई अवयव नहीं होता, इसलिए उसका पूरक पूरा (U) है। परीक्षा में रिक्त समुच्चय का पूरक तुरंत (U) लिखें। / \(\varnothing\) has no element, so its complement is the whole (U). In exams, write the complement of the empty set as (U).
\(A^{c}={7,8,9,10,11,12}\) है, इसलिए \(A^{c}\cap B={8,10,12}\)। पहले पूरक निकालकर फिर साझा अवयव लें। / \(A^{c}={7,8,9,10,11,12}\), so \(A^{c}\cap B={8,10,12}\). First find the complement and then take common elements.
जब (A) में (U) के सभी अवयव हैं, तो बाहर कुछ नहीं बचता। इसलिए \(U^{c}=\varnothing\) याद रखें। / When (A) contains all elements of (U), nothing remains outside it. So remember \(U^{c}=\varnothing\).
\(A\cup B\cup C={1,2,3,4,5,6,7,8}\) है, इसलिए पूरक ({9}) है। तीन समुच्चयों में भी पहले पूरा संघ निकालें। / \(A\cup B\cup C={1,2,3,4,5,6,7,8}\), so the complement is ({9}). Even with three sets, find the full union first.
\(A\cup B={1,2,3,5,7,8}\), इसलिए पूरक ({4,6}) है। पहले संघ निकालना अधिक सुरक्षित है। / \(A\cup B={1,2,3,5,7,8}\), so the complement is ({4,6}). Finding the union first is safer.
(2) और (3) दोनों से विभाज्य संख्याएं (6) के गुणज हैं, यानी (5) संख्याएं। इसलिए (n\(A^{c}\)=30-5=25)। / Numbers divisible by both (2) and (3) are multiples of (6), giving (5) numbers. Thus (n\(A^{c}\)=30-5=25).
बड़ा समुच्चय लेने पर पूरक छोटा हो जाता है, इसलिए \(B^{c}\subseteq A^{c}\)। उपसमुच्चय में पूरक का क्रम उलट जाता है। / When the set becomes larger, its complement becomes smaller, so \(B^{c}\subseteq A^{c}\). Complements reverse the subset order.
(n\(A^{c}\)=n(U)-n(A)=40-18=22)। अवयव संख्या में पूरक के लिए कुल में से दिए गए समुच्चय को घटाएं। / (n\(A^{c}\)=n(U)-n(A)=40-18=22). For complement cardinality, subtract the given set from the total.
न खेलने वाले विद्यार्थी क्रिकेट समुच्चय के पूरक में हैं, इसलिए (60-35=25)। शब्द प्रश्न में सार्वत्रिक समुच्चय पहचानना जरूरी है। / Students who do not play cricket are in the complement of the cricket set, so (60-35=25). In word problems, identify the universal set first.
(A) में (U) की सम संख्याएं हैं, इसलिए पूरक विषम संख्याएं ({1,3,5,7,9}) हैं। शर्त को ध्यान से पढ़ें। / (A) contains the even numbers of (U), so the complement is the odd numbers ({1,3,5,7,9}). Read the condition carefully.
(A) में धन पूर्णांक हैं, इसलिए पूरक में (0) और ऋण पूर्णांक आते हैं। असमानता में सीमांत मान जरूर जांचें। / (A) contains positive integers, so the complement includes (0) and negative integers. Always check the boundary value in inequalities.
((2,5)) में अंतिम बिंदु शामिल नहीं हैं, इसलिए पूरक में (2) और (5) शामिल होंगे। अंतराल के पूरक में कोष्ठक बदलना याद रखें। / ((2,5)) does not include endpoints, so the complement includes (2) and (5). Remember bracket changes in interval complements.
([-1,4]) में अंतिम बिंदु शामिल हैं, इसलिए पूरक में वे शामिल नहीं होंगे। बंद अंतराल का पूरक खुले अंतिम बिंदु देता है। / ([-1,4]) includes the endpoints, so the complement does not include them. The complement of a closed interval has open endpoints.
(A) वे अवयव हैं जो \(A^{c}\) में नहीं हैं, इसलिए \(A=\{1,3,4,6,7,9\}\)। दिए गए पूरक को (U) से हटाएं। / (A) contains the elements not in \(A^{c}\), so \(A=\{1,3,4,6,7,9\}\). Remove the given complement from (U).
\(A^{c}\) में वे (x) होते हैं जो (U) में हैं पर (A) में नहीं हैं। पूरक हमेशा सार्वत्रिक समुच्चय के संदर्भ में लिखा जाता है। / \(A^{c}\) contains those (x) that are in (U) but not in (A). A complement is always written relative to the universal set.
कोई अवयव एक साथ (A) और \(A^{c}\) दोनों में नहीं हो सकता। इसलिए \(A\cap A^{c}=\varnothing\) होता है। / No element can be in both (A) and \(A^{c}\) at the same time. Therefore, \(A\cap A^{c}=\varnothing\).
(A) और \(A^{c}\) मिलकर पूरे (U) को बना देते हैं। पूरक गुणों में यह सबसे उपयोगी सर्वसमिका है। / (A) and \(A^{c}\) together form the whole (U). This is one of the most useful complement identities.
\(B^{c}={1,2,3,8,9,10}\), इसलिए \(A\cap B^{c}={1,2,3}\)। पहले पूरक फिर प्रतिच्छेद करें। / \(B^{c}={1,2,3,8,9,10}\), so \(A\cap B^{c}={1,2,3}\). First find the complement and then the intersection.
B. \(x\in U\) और \(x\notin A\)/\(x\in U\) and \(x\notin A\)
Explanation
Simple Explanation
\(x\in A^{c}\) का अर्थ है कि (x) सार्वत्रिक समुच्चय में है पर (A) में नहीं है। प्रतीक पढ़ते समय (U) को न भूलें। / \(x\in A^{c}\) means (x) is in the universal set but not in (A). Do not forget (U) while reading the symbol.
\(A=\{3,6,9,12\}\), इसलिए पूरक बाकी अवयव हैं। गुणज वाले प्रश्नों में पहले सूची बनाएं। / \(A=\{3,6,9,12\}\), so the complement is the remaining elements. In multiple-based questions, list the set first.
\(A=\{2,3,5,7\}\), इसलिए \(A^{c}={1,4,6,8,9}\)। याद रखें कि (1) अभाज्य नहीं है। / \(A=\{2,3,5,7\}\), so \(A^{c}={1,4,6,8,9}\). Remember that (1) is not prime.
\(A^{c}={4,5,6}\) और \(B^{c}={1,2,6}\), उनका संघ ({1,2,4,5,6}) है। यह (\(A\cap B\)^{c}) से भी मिलता है। / \(A^{c}={4,5,6}\) and \(B^{c}={1,2,6}\), so their union is ({1,2,4,5,6}). This also matches (\(A\cap B\)^{c}).
\(A^{c}={3,5,6}\) और \(B^{c}={1,3,5}\), इसलिए प्रतिच्छेद ({3,5}) है। यह (\(A\cup B\)^{c}) जैसा है। / \(A^{c}={3,5,6}\) and \(B^{c}={1,3,5}\), so the intersection is ({3,5}). This is the same as (\(A\cup B\)^{c}).
यदि पूरक खाली है, तो (A) ने पूरे (U) को कवर कर लिया है। इसलिए (A=U) होगा। / If the complement is empty, then (A) covers the whole (U). Therefore, (A=U).
यदि (A) का पूरक पूरा (U) है, तो (A) में कोई अवयव नहीं है। इसलिए \(A=\varnothing\) सही है। / If the complement of (A) is the whole (U), then (A) has no element. Thus, \(A=\varnothing\) is correct.
(n(A)=n(U)-n\(A^{c}\)=8-3=5)। यदि पूरक दिया हो तो कुल में से पूरक घटाएं। / (n(A)=n(U)-n\(A^{c}\)=8-3=5). If the complement is given, subtract it from the total.
\(A^{c}={5,6,7,8,9,10}\), और यह (B) का उपसमुच्चय है। इसलिए ये सभी अवयव (B) में होने जरूरी हैं। / \(A^{c}={5,6,7,8,9,10}\), and it is a subset of (B). Hence all these elements must be in (B).
\(U\setminus A\) का अर्थ है (U) से (A) हटाना, यही \(A^{c}\) है। पूरक को अंतर संकेत से भी लिखते हैं। / \(U\setminus A\) means removing (A) from (U), which is \(A^{c}\). Complement is also written using difference notation.
\(A^{c}\cup A=U\), इसलिए इसमें (7) अवयव हैं। सर्वसमिका को सीधे उपयोग करने से समय बचता है। / \(A^{c}\cup A=U\), so it has (7) elements. Using the identity directly saves time.
(A) और \(A^{c}\) में कोई साझा अवयव नहीं होता, इसलिए प्रतिच्छेद खाली है। रिक्त समुच्चय की अवयव संख्या (0) होती है। / (A) and \(A^{c}\) are disjoint, so their intersection is empty. The cardinality of the empty set is (0).
(A) के बाहर (U) में ({3,4,6,7}) बचते हैं, जो (C) है। पूरक पहचानने के लिए (U) से तुलना करें। / The elements left in (U) outside (A) are ({3,4,6,7}), which is (C). Compare with (U) to identify a complement.
(20) के गुणनखंड ({1,2,4,5,10,20}) हैं, इसलिए (n(A)=6)। अतः (n\(A^{c}\)=20-6=14)। / The factors of (20) are ({1,2,4,5,10,20}), so (n(A)=6). Hence (n\(A^{c}\)=20-6=14).
(A) विषम संख्याओं का समुच्चय है, इसलिए \(A^{c}\) सम संख्याएं ({2,4,6,8,10}) हैं। रूप देखकर भी उत्तर मिल सकता है। / (A) is the set of odd numbers, so \(A^{c}\) is the even numbers ({2,4,6,8,10}). The pattern can also help.
\(U=\{-3,-2,-1,0,1,2,3\}\), इसलिए (A) से बाहर ({-2,0,2}) हैं। ऋण संख्याओं और (0) को ध्यान से शामिल करें। / \(U=\{-3,-2,-1,0,1,2,3\}\), so the elements outside (A) are ({-2,0,2}). Include negative numbers and (0) carefully.
(B) में (U) के वे सभी अवयव हैं जो (A) में नहीं हैं। इसलिए \(B=A^{c}\) है। / (B) contains all elements of (U) that are not in (A). Therefore, \(B=A^{c}\).
\(A^{c}={3,4,5}\) और इसमें (A) का कोई अवयव नहीं है, इसलिए अंतर वही रहेगा। असंपाती समुच्चयों में घटाने से समुच्चय नहीं बदलता। / \(A^{c}={3,4,5}\) and it has no element of (A), so the difference remains the same. Subtracting a disjoint set does not change it.
(A) और \(A^{c}\) में कोई साझा अवयव नहीं है, इसलिए \(A\setminus A^{c}=A\)। पूरक के साथ अंतर में असंपाती गुण उपयोग करें। / (A) and \(A^{c}\) have no common element, so \(A\setminus A^{c}=A\). Use the disjoint property with complements.
(n(A)=n(U)-n\(A^{c}\)=30-12=18)। पूरक और समुच्चय की अवयव संख्या मिलकर कुल देती है। / (n(A)=n(U)-n\(A^{c}\)=30-12=18). The cardinalities of a set and its complement add to the total.
(9) (U) में है और (A) में नहीं है, इसलिए \(9\in A^{c}\)। सदस्यता प्रश्नों में दोनों शर्तें जांचें। / (9) is in (U) and not in (A), so \(9\in A^{c}\). In membership questions, check both conditions.
\(A\cap D=\varnothing\) और \(A\cup D=U\), इसलिए \(D=A^{c}\)। पूरक साबित करने के लिए ये दो शर्तें उपयोगी हैं। / \(A\cap D=\varnothing\) and \(A\cup D=U\), so \(D=A^{c}\). These two conditions are useful to prove a complement.
(A) में विषम संख्याएं हैं, इसलिए पूरक में सम संख्याएं हैं। नकारात्मक शब्दों में शर्त को उल्टा समझें। / (A) contains odd numbers, so the complement contains even numbers. With negative wording, reverse the condition carefully.
\(A\setminus B={1,2,3}\), इसलिए इसका पूरक ({4,5,6,7,8,9,10}) है। पहले अंतर निकालें फिर पूरक लें। / \(A\setminus B={1,2,3}\), so its complement is ({4,5,6,7,8,9,10}). First find the difference, then take the complement.
\(A^{c}={5,6,7,8}\) और \(A^{c}\cup B={3,4,5,6,7,8}\), इसलिए पूरक ({1,2}) है। चरण न छोड़ें। / \(A^{c}={5,6,7,8}\) and \(A^{c}\cup B={3,4,5,6,7,8}\), so the complement is ({1,2}). Do not skip steps.
(A) के बाहर (U) में ठीक (B) के अवयव हैं, इसलिए \(B=A^{c}\)। साथ ही (A) और (B) असंपाती हैं। / The elements outside (A) in (U) are exactly the elements of (B), so \(B=A^{c}\). Also, (A) and (B) are disjoint.
