Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है
(n\(A\times B\)=n(A)n(B)=2\times3=6) होता है। परीक्षा में पहले दोनों समुच्चयों के अवयव गिनें। / (n\(A\times B\)=n(A)n(B)=2\times3=6). In exams, first count elements of both sets.
\(A\times B\) में पहला अवयव (A) से और दूसरा (B) से आता है। क्रमित युग्म में क्रम बहुत महत्वपूर्ण है। / In \(A\times B\), the first element comes from (A) and the second from (B). Order is very important in ordered pairs.
योग सम तब होगा जब दोनों घटक सम हों या दोनों विषम हों। यहां सही युग्म ((2,2),(2,4),(4,2),(4,4)) हैं। / The sum is even when both components are even or both are odd. Here the valid pairs are ((2,2),(2,4),(4,2),(4,4)).
\(B\times A\) में पहला अवयव (B) से और दूसरा (A) से होना चाहिए। इसलिए ((1,4)) सही है। / In \(B\times A\), the first element must be from (B) and the second from (A). Hence ((1,4)) is correct.
सही युग्म ((1,2)) और ((2,1)) हैं। ध्यान रखें कि दोनों क्रमित युग्म अलग माने जाते हैं। / The valid pairs are ((1,2)) and ((2,1)). Remember that these two ordered pairs are considered different.
A. क्योंकि \(1\in A\) और \(y\in B\)/because \(1\in A\) and \(y\in B\)
Explanation
Simple Explanation
\((1,y)\in A\times B\) तभी होगा जब \(1\in A\) और \(y\in B\) हो। सदस्यता जांच में क्रम न बदलें। / \((1,y)\in A\times B\) only when \(1\in A\) and \(y\in B\). Do not reverse order while checking membership.
सही युग्म ((1,3),(2,4),(3,5)) हैं। ऐसी शर्तों में पहले (x) चुनकर (y) निकालना आसान है। / The valid pairs are ((1,3),(2,4),(3,5)). In such conditions, choose (x) first and then find (y).
किसी भी समुच्चय का रिक्त समुच्चय के साथ कार्तीय गुणन \(\varnothing\) होता है। यदि एक भी समुच्चय रिक्त हो तो कोई क्रमित युग्म नहीं बनता। / The Cartesian product of any set with an empty set is \(\varnothing\). If one set is empty, no ordered pair is formed.
सही युग्म ((2,1),(3,1),(3,2),(5,1),(5,2),(5,3)) हैं। असमानता में क्रम बदलने से उत्तर बदल सकता है। / The valid pairs are ((2,1),(3,1),(3,2),(5,1),(5,2),(5,3)). In inequalities, reversing order can change the answer.
(n\(A\times B\)=n(A)n(B)), इसलिए (20=4n(B)) और (n(B)=5)। ऐसे प्रश्नों में गुणन सूत्र सीधे लगाएं। / (n\(A\times B\)=n(A)n(B)), so (20=4n(B)) and (n(B)=5). Use the multiplication formula directly in such questions.
\(B\cup C={3,4,5,6}\), इसलिए (n(A\times\(B\cup C\))=2\times4=8)। पहले समुच्चय संक्रिया पूरी करें। / \(B\cup C={3,4,5,6}\), so (n(A\times\(B\cup C\))=2\times4=8). Complete the set operation first.
(n\(A\times A\)=n(A)2=32=9) होता है। \(A\times A\) में समान अवयव वाले युग्म भी शामिल होते हैं। / (n\(A\times A\)=n(A)2=32=9). In \(A\times A\), pairs with equal elements are also included.
\(B\cap C={3,4}\), इसलिए (n(A\times\(B\cap C\))=3\times2=6)। प्रतिच्छेद निकालकर ही कार्तीय गुणन गिनें। / \(B\cap C={3,4}\), so (n(A\times\(B\cap C\))=3\times2=6). Find the intersection before counting the Cartesian product.
दोनों स्थानों पर अवयव अपने संबंधित समुच्चय से हैं, इसलिए ((2,2)) शामिल है। समान अवयव वाला क्रमित युग्म भी मान्य होता है। / Both entries are from their respective sets, so ((2,2)) is included. An ordered pair with equal entries is also valid.
\(A\cup B={1,2,3}\), इसलिए (n(\(A\cup B\)\times C)=3\times2=6)। समान अवयव को दो बार न गिनें। / \(A\cup B={1,2,3}\), so (n(\(A\cup B\)\times C)=3\times2=6). Do not count a common element twice.
A. यह नहीं होगा क्योंकि \(A\ne B\)/it will not happen because \(A\ne B\)
Explanation
Simple Explanation
केवल समान संख्या के अवयव होना पर्याप्त नहीं है। सामान्यतः \(A\times B=B\times A\) तभी जब (A=B) या कोई समुच्चय रिक्त हो। / Having the same number of elements is not enough. Usually \(A\times B=B\times A\) only when (A=B) or one set is empty.
सही युग्म ((1,2),(1,4),(1,6),(2,2),(2,4),(2,6),(3,6),(4,4)) हैं। विभाज्यता में कौन किसे विभाजित कर रहा है यह ध्यान रखें। / The valid pairs are ((1,2),(1,4),(1,6),(2,2),(2,4),(2,6),(3,6),(4,4)). In divisibility, note carefully which number divides the other.
पहला अवयव (A) से और दूसरा (B) से लिया जाता है। (B) में केवल (5) है, इसलिए दोनों युग्मों में दूसरा अवयव (5) होगा। / The first element is taken from (A) and the second from (B). Since (B) has only (5), the second entry in both pairs is (5).
सही युग्म ((3,6),(5,4),(5,6)) हैं। सीमा वाली असमानता में बराबरी शामिल है या नहीं यह जरूर देखें। / The valid pairs are ((3,6),(5,4),(5,6)). In boundary inequalities, check whether equality is included or not.
\(-1\in A\) और \(4\in B\), इसलिए \((-1,4)\in A\times B\) सत्य है। पहले और दूसरे स्थान की अलग-अलग जांच करें। / Since \(-1\in A\) and \(4\in B\), \((-1,4)\in A\times B\) is true. Check first and second positions separately.
सही युग्म ((2,1)) और ((3,2)) हैं। दिए हुए (B) के अवयवों से (x) निकालना तेज तरीका है। / The valid pairs are ((2,1)) and ((3,2)). A quick method is to choose elements of (B) and then find (x).
A. क्योंकि \(4\notin A\) और \(1\notin B\)/because \(4\notin A\) and \(1\notin B\)
Explanation
Simple Explanation
\(A\times B\) में पहले स्थान पर (A) का अवयव होना चाहिए और दूसरे स्थान पर (B) का। यहां दोनों स्थान गलत हैं। / In \(A\times B\), the first entry must be from (A) and the second from (B). Here both positions are wrong.
सही युग्म ((1,1),(2,4),(3,9)) हैं। कार्तीय गुणन में दिए संबंध की शर्त लगाकर उपसमुच्चय बनाया जाता है। / The valid pairs are ((1,1),(2,4),(3,9)). In a Cartesian product, applying a condition forms a subset relation.
सही युग्म ((1,4),(2,3),(3,2),(4,1)) हैं। क्रमित युग्मों में ((2,3)) और ((3,2)) अलग होते हैं। / The valid pairs are ((1,4),(2,3),(3,2),(4,1)). In ordered pairs, ((2,3)) and ((3,2)) are different.
\(A=\{-1,0,1\}\) में (3) अवयव और (B) में (2) अवयव हैं। इसलिए कुल युग्म \(3\times2=6\) हैं। / \(A=\{-1,0,1\}\) has (3) elements and (B) has (2) elements. Therefore total pairs are \(3\times2=6\).
(A-B={1,3,5}), इसलिए (n\((A-B)\times C\)=3\times3=9)। पहले समुच्चय का अंतर निकालें फिर कार्तीय गुणन गिनें। / (A-B={1,3,5}), so (n\((A-B)\times C\)=3\times3=9). First find the set difference and then count the Cartesian product.
(n\(A\times B\)=4) और (n(C)=1), इसलिए (n(\(A\times B\)\times C)=4)। ध्यान रखें कि (\(A\times B\)) खुद एक समुच्चय है। / (n\(A\times B\)=4) and (n(C)=1), so (n(\(A\times B\)\times C)=4). Remember that (\(A\times B\)) itself is a set.
\(1\in A\) के साथ (B) के सभी (3) अवयव जुड़ेंगे। इसलिए पहला घटक (1) कुल (3) बार आएगा। / The element \(1\in A\) pairs with all (3) elements of (B). So the first component (1) appears (3) times.
\(8\in B\) के साथ (A) के सभी (3) अवयव जुड़ेंगे। इसलिए दूसरा घटक (8) कुल (3) बार आएगा। / The element \(8\in B\) pairs with all (3) elements of (A). Therefore the second component (8) appears (3) times.
\((3,4)\in A\times B\) और (3+4=7)। ((4,3)) सही नहीं क्योंकि पहला अवयव (A) से नहीं है। / \((3,4)\in A\times B\) and (3+4=7). ((4,3)) is not correct because the first element is not from (A).
सही युग्म ((1,2),(1,3),(2,3)) हैं। शर्त लगाने के बाद ही गिनती करें। / The correct pairs are ((1,2),(1,3),(2,3)). Count only after applying the condition.
सही युग्म ((1,1)) और ((2,0)) हैं। ध्यान रखें कि पहला अवयव (A) से और दूसरा (B) से होना चाहिए। / The correct pairs are ((1,1)) and ((2,0)). Remember the first element must come from (A) and the second from (B).
सही युग्म ((2,2),(4,2),(4,4)) हैं। विभाज्यता में स्थान बदलने से अर्थ बदल जाता है। / The correct pairs are ((2,2),(4,2),(4,4)). In divisibility, changing positions changes the meaning.
(A) से (B) में संबंध \(A\times B\) का कोई भी उपसमुच्चय होता है। केवल ({(1,3),(2,5)}) के दोनों युग्म \(A\times B\) में हैं। / A relation from (A) to (B) is any subset of \(A\times B\). Only ({(1,3),(2,5)}) has both pairs in \(A\times B\).
(n\(A\times B\)=3\times2=6), और हर संबंध \(A\times B\) का उपसमुच्चय है। इसलिए संबंधों की संख्या \(2^6\) होगी। / (n\(A\times B\)=3\times2=6), and every relation is a subset of \(A\times B\). Therefore the number of relations is \(2^6\).
(n\(A\times B\)=3\times1=3), इसलिए उपसमुच्चयों की संख्या \(2^3=8\) है। संबंध गिनने में \(2^{n(A\times B)}\) याद रखें। / (n\(A\times B\)=3\times1=3), so the number of subsets is \(2^3=8\). For counting relations, remember \(2^{n(A\times B)}\).
A. दोनों में अवयवों की संख्या समान है पर युग्म अलग हैं/both have same number of elements but different pairs
Explanation
Simple Explanation
दोनों में \(2\times2=4\) युग्म होंगे, पर क्रम बदलने से युग्म बदल जाते हैं। कार्तीय गुणन क्रमविनिमेय नहीं होता। / Both have \(2\times2=4\) pairs, but changing order changes the pairs. Cartesian product is not commutative.
((2,2)) दोनों \(A\times B\) और \(B\times A\) में है। प्रतिच्छेद के लिए युग्म दोनों समुच्चयों में होना चाहिए। / ((2,2)) is in both \(A\times B\) and \(B\times A\). For intersection, the pair must belong to both sets.
((4,1)) में पहला अवयव (A) से नहीं और दूसरा (B) से नहीं है। क्रमित युग्म में स्थान की जांच जरूरी है। / In ((4,1)), the first element is not from (A) and the second is not from (B). Position checking is necessary in ordered pairs.
सबसे बड़ा पहला घटक (2) और सबसे बड़ा दूसरा घटक (5) है, इसलिए योग (7) अधिकतम है। ((5,2)) \(A\times B\) में नहीं है। / The greatest first component is (2) and the greatest second component is (5), so the maximum sum is (7). ((5,2)) is not in \(A\times B\).
समान घटकों वाले युग्म ((1,1)) और ((2,2)) हैं। केवल \(A\cap B\) के अवयव ऐसे युग्म बनाते हैं। / The equal-component pairs are ((1,1)) and ((2,2)). Only elements of \(A\cap B\) form such pairs.
सही युग्म ((2,1),(4,2),(6,3)) हैं। शर्त को हर संभव युग्म पर लागू करें। / The correct pairs are ((2,1),(4,2),(6,3)). Apply the condition to every possible pair.
A. (x)-अक्ष पर \(1\le x\le3\) वाला रेखाखंड/line segment on (x)-axis with \(1\le x\le3\)
Explanation
Simple Explanation
\(A\times B={(x,0):1\le x\le3}\), इसलिए यह (x)-अक्ष पर रेखाखंड है। अंतराल वाले प्रश्नों में निर्देशांक रूप लिखें। / \(A\times B={(x,0):1\le x\le3}\), so it is a line segment on the (x)-axis. In interval questions, write the coordinate form.
पहला घटक हमेशा (0) होगा और दूसरा ([-2,2]) से बदलता रहेगा। इसलिए यह (y)-अक्ष का रेखाखंड है। / The first component is always (0), and the second varies in ([-2,2]). So it is a segment on the (y)-axis.
\(A\times B\) क्रमित युग्मों का समुच्चय है, इसलिए रूप \({(x,y):x\in A,,y\in B}\) है। योग या गुणन कार्तीय गुणन नहीं है। / \(A\times B\) is a set of ordered pairs, so its form is \({(x,y):x\in A,,y\in B}\). Sum or product of entries is not Cartesian product.
\(A\times B\) में सभी पहले घटक (A) से आते हैं और (B) रिक्त नहीं है। इसलिए पहले घटकों का समुच्चय (A) ही है। / In \(A\times B\), all first components come from (A), and (B) is non-empty. Therefore the set of first components is (A).
दूसरे घटक हमेशा (B) से आते हैं। यदि (A) रिक्त नहीं है तो (B) का हर अवयव दूसरे घटक के रूप में आएगा। / Second components always come from (B). If (A) is non-empty, every element of (B) appears as a second component.
A. हर \(a\in A\) के लिए (B) के सभी अवयवों से युग्म बनते हैं/for every \(a\in A\), pairs are formed with all elements of (B)
Explanation
Simple Explanation
कार्तीय गुणन में (A) का हर अवयव (B) के प्रत्येक अवयव के साथ जुड़ता है। यही कारण है कि कुल युग्म (n(A)n(B)) होते हैं। / In Cartesian product, every element of (A) pairs with each element of (B). That is why total pairs are (n(A)n(B)).
सही युग्म ((1,2),(1,4),(2,4),(3,4),(2,4)) नहीं दोहराएं; वास्तविक अलग युग्म ((1,2),(1,4),(2,4),(3,4)) और ((2,4)) की पुनरावृत्ति हटाने पर (4) होता है। / The listed valid distinct pairs are ((1,2),(1,4),(2,4),(3,4)), so the count is (4). Avoid counting the same pair twice.
