Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है
(A^c\cap B^c=\(A\cup B\)^c) होता है। \(A\cup B={2,3,4,6,8,9,10,12}\), इसलिए बचे तत्व उत्तर हैं। / (A^c\cap B^c=\(A\cup B\)^c). Since \(A\cup B={2,3,4,6,8,9,10,12}\), the remaining elements are the answer.
(A^c\cup B^c=\(A\cap B\)^c) होता है। \(A\cap B={4,5}\), इसलिए (U) से इसे हटाने पर उत्तर मिलता है। / (A^c\cup B^c=\(A\cap B\)^c). Since \(A\cap B={4,5}\), remove it from (U) to get the answer.
(1) से (20) तक (8) अभाज्य संख्याएं हैं, इसलिए (n\(A^c\)=20-8=12)। (1) को अभाज्य न मानें। / There are (8) primes from (1) to (20), so (n\(A^c\)=20-8=12). Do not treat (1) as prime.
\(x^2\le 4\) से \(A=\{-2,-1,0,1,2\}\) मिलता है। (U) के बाकी तत्व \(A^c\) बनाते हैं। / From \(x^2\le 4\), \(A=\{-2,-1,0,1,2\}\). The remaining elements of (U) form \(A^c\).
(1) (A) में नहीं है, इसलिए पूरक में शामिल होगा। (4) (A) में है, इसलिए पूरक (4) के बाद शुरू होगा। / (1) is not in (A), so it is included in the complement. (4) is in (A), so the complement starts after (4).
(-1) (A) में है, इसलिए पूरक में नहीं आएगा। (3) (A) में नहीं है, इसलिए पूरक में शामिल होगा। / (-1) is in (A), so it is not in the complement. (3) is not in (A), so it is included in the complement.
पूरक लेने पर समावेशन का क्रम उलट जाता है। इसलिए \(A\subseteq B\) से \(B^c\subseteq A^c\) मिलता है। / The order of inclusion reverses after taking complements. Thus \(A\subseteq B\) gives \(B^c\subseteq A^c\).
पूरकों में समावेशन उलटा होता है। इसलिए \(A^c\subseteq B^c\) से \(B\subseteq A\) मिलेगा। / Inclusion reverses for complements. Therefore \(A^c\subseteq B^c\) implies \(B\subseteq A\).
\(A^c\cup B^c\) की संख्या (40+55-20=75) है। डी मॉर्गन से (A^c\cup B^c=\(A\cap B\)^c), इसलिए (n\(A\cap B\)=25)। / The number in \(A^c\cup B^c\) is (40+55-20=75). By De Morgan, (A^c\cup B^c=\(A\cap B\)^c), so (n\(A\cap B\)=25).
\(A^c-B^c=A^c\cap B\) होता है। \(A^c={5,6,7,8,9}\) और \(B=\{4,5,6\}\), इसलिए उत्तर ({5,6}) है। / \(A^c-B^c=A^c\cap B\). Here \(A^c={5,6,7,8,9}\) and \(B=\{4,5,6\}\), so the answer is ({5,6}).
(2) या (3) से विभाज्य संख्याएं (15+10-5=20) हैं। इसलिए पूरक में (30-20=10) संख्याएं होंगी। / Numbers divisible by (2) or (3) are (15+10-5=20). So the complement has (30-20=10) numbers.
(1) से (50) तक (5) के (10) गुणज हैं। इसलिए (n\(A^c\)=50-10=40) होगा। / There are (10) multiples of (5) from (1) to (50). Therefore (n\(A^c\)=50-10=40).
\(x^2-5x+6=0\) से (x=2,3) मिलते हैं। (U) से (2) और (3) हटाने पर पूरक मिलता है। / From \(x^2-5x+6=0\), (x=2,3). Removing (2) and (3) from (U) gives the complement.
(U) में (11) पूर्णांक हैं और \(A=\{-3,3\}\) है। इसलिए (n\(A^c\)=11-2=9) होगा। / There are (11) integers in (U), and \(A=\{-3,3\}\). Hence (n\(A^c\)=11-2=9).
यदि (U) में (120) विद्यार्थी हैं, (72) विद्यार्थी हिंदी पढ़ते हैं और (55) विद्यार्थी अंग्रेजी पढ़ते हैं, जबकि (30) दोनों पढ़ते हैं, तो न हिंदी न अंग्रेजी पढ़ने वाले विद्यार्थी कितने हैं?
हिंदी या अंग्रेजी पढ़ने वाले (72+55-30=97) हैं। इसलिए पूरक में (120-97=23) विद्यार्थी हैं। / Students studying Hindi or English are (72+55-30=97). Therefore the complement has (120-97=23) students.
यदि (U) किसी कक्षा के (90) विद्यार्थी हैं और (A) विज्ञान पसंद करने वाले विद्यार्थी हैं। यदि (n\(A^c\)=34), तो विज्ञान पसंद करने वाले विद्यार्थी कितने हैं?
(1) से (25) तक पूर्ण वर्ग (1,4,9,16,25) हैं। इसलिए (n\(A^c\)=25-5=20) होगा। / The perfect squares from (1) to (25) are (1,4,9,16,25). Hence (n\(A^c\)=25-5=20).
\(A^c\) में सम संख्याएं हैं। (3) से विभाज्य सम संख्याएं (6) और (12) हैं। / \(A^c\) contains even numbers. The even numbers divisible by (3) are (6) and (12).
\(A^c\) में (U) के वे तत्व होंगे जो (A) में नहीं हैं। इसलिए \(B=\{4,5,6\}\) चाहिए। / \(A^c\) contains the elements of (U) that are not in (A). Therefore \(B=\{4,5,6\}\) is needed.
(A) और (B) असंबद्ध हैं और दोनों मिलकर (U) बनाते हैं। इसलिए (B), (A) का पूरक है। / (A) and (B) are disjoint and together form (U). Therefore (B) is the complement of (A).
यदि दो समुच्चय असंबद्ध हों और मिलकर (U) बनाएं, तो वे एक-दूसरे के पूरक होते हैं। इसलिए \(B=A^c\) होगा। / If two sets are disjoint and together form (U), then they are complements of each other. Hence \(B=A^c\).
(A) और \(A^c\) असंबद्ध हैं और मिलकर (U) बनाते हैं। इसलिए उनकी संख्याओं का योग (n(U)) होता है। / (A) and \(A^c\) are disjoint and together form (U). Therefore the sum of their cardinalities is (n(U)).
\(A^c\) में (7) तत्व हैं क्योंकि (A) में (3) तत्व हैं। (5) \(A^c\) में नहीं है, इसलिए जोड़ने पर संख्या (8) होगी। / \(A^c\) has (7) elements because (A) has (3) elements. Since (5) is not in \(A^c\), adding it makes the count (8).
अंकों का \(U=\{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9\}\) है। सम अंक (5) हैं, इसलिए विषम अंक भी (5) हैं। / The digit set is \(U=\{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9\}\). There are (5) even digits, so there are (5) odd digits.
दोनों से विभाज्य होने का अर्थ (6) से विभाज्य होना है, इसलिए \(A=\{6,12\}\)। बाकी तत्व \(A^c\) हैं। / Divisible by both means divisible by (6), so \(A=\{6,12\}\). The remaining elements are \(A^c\).
\(C=A^c\) है, इसलिए (C^c=\(A^c\)^c=A)। दोहरे पूरक में मूल समुच्चय वापस आता है। / \(C=A^c\), so (C^c=\(A^c\)^c=A). The double complement returns the original set.
A. (A) और \(A^c\) (U) का विभाजन बनाते हैं/(A) and \(A^c\) form a partition of (U)
Explanation
Simple Explanation
दो असंबद्ध समुच्चय जो मिलकर (U) बनाते हैं, (U) का विभाजन बनाते हैं। यह पूरक का वैचारिक अर्थ है। / Two disjoint sets that together form (U) make a partition of (U). This is the conceptual meaning of complement.
यदि \(A=A^c\), तो \(A\cap A^c=A\) होगा, लेकिन \(A\cap A^c=\varnothing\) होता है। इससे \(A=\varnothing\) चाहिए, पर तब \(A^c=U\), इसलिए संभव नहीं है। / If \(A=A^c\), then \(A\cap A^c=A\), but \(A\cap A^c=\varnothing\). This would force \(A=\varnothing\), but then \(A^c=U\), so it is impossible.
पूरक हमेशा सार्वत्रिक समुच्चय के सापेक्ष होता है। इसलिए (U) बदलने पर \(A^c\) भी बदल सकता है। / Complement is always relative to the universal set. Therefore \(A^c\) may change when (U) changes.
\(U_2\) में पूरक ({3,4,5,6}) और \(U_1\) में पूरक ({3,4}) है। अंतर ({5,6}) है। / Relative to \(U_2\), the complement is ({3,4,5,6}), and relative to \(U_1\), it is ({3,4}). The difference is ({5,6}).
\(A^c={5,6,7,8,9,10}\) और \(A^c\cap B={5,6}\) है। इसका पूरक (U-{5,6}) होगा। / \(A^c={5,6,7,8,9,10}\) and \(A^c\cap B={5,6}\). Its complement is (U-{5,6}).
\(A^c={1,3,5,7,9}\) है और \(A^c\cup B={1,2,3,4,5,7,9}\) है। (U) में बचे (6,8) हैं। / \(A^c={1,3,5,7,9}\), and \(A^c\cup B={1,2,3,4,5,7,9}\). The remaining elements in (U) are (6,8).
\(A^c\cap B^c\) में वे संख्याएं हैं जो न (3) से विभाज्य हैं और न सम हैं। ऐसी संख्याएं (1,5,7,11,13,17) हैं। / \(A^c\cap B^c\) contains numbers that are neither divisible by (3) nor even. These are (1,5,7,11,13,17).
(A^c\cup B^c=\(A\cap B\)^c) है। \(A\cap B={2,4,6}\), इसलिए पूरक में (12-3=9) तत्व होंगे। / (A^c\cup B^c=\(A\cap B\)^c). Since \(A\cap B={2,4,6}\), the complement has (12-3=9) elements.
(A^c\cap B^c=\(A\cup B\)^c) है। \(A\cup B={1,2,3,4,5}\), इसलिए बचे तत्व (6,7,8) हैं। / (A^c\cap B^c=\(A\cup B\)^c). Since \(A\cup B={1,2,3,4,5}\), the remaining elements are (6,7,8).
(U) में (10) तत्व हैं और \(A^c\) में (3) तत्व हैं। इसलिए (n(A)=10-3=7) होगा। / (U) has (10) elements and \(A^c\) has (3) elements. Therefore (n(A)=10-3=7).
A. क्योंकि कोई तत्व एक साथ (A) में और (A) में नहीं हो सकता/because no element can be both in (A) and not in (A)
Explanation
Simple Explanation
पूरक की परिभाषा में \(x\notin A\) शर्त होती है। इसलिए वही तत्व (A) में भी नहीं हो सकता। / The definition of complement has the condition \(x\notin A\). So the same element cannot also be in (A).
(1) से (100) तक (10) के (10) गुणज हैं। इसलिए पूरक में (100-10=90) तत्व होंगे। / There are (10) multiples of (10) from (1) to (100). Therefore the complement has (100-10=90) elements.
यदि \(B=A^c\), तो \(A\cup B=A\cup A^c=U\) होगा। यह पूरक का सीधा गुण है। / If \(B=A^c\), then \(A\cup B=A\cup A^c=U\). This is a direct property of complement.
यदि \(B=A^c\), तो \(A\cap B=A\cap A^c=\varnothing\) होगा। पूरक समुच्चय हमेशा असंबद्ध होते हैं। / If \(B=A^c\), then \(A\cap B=A\cap A^c=\varnothing\). Complementary sets are always disjoint.
यहां \(A\cap B=\varnothing\) है। इसलिए (\(A\cap B\)^c=\varnothing^c=U) होगा। / Here \(A\cap B=\varnothing\). Therefore (\(A\cap B\)^c=\varnothing^c=U).
