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A. ठोस रेखा और मूल बिंदु वाला अर्ध-समतल/Solid line and half-plane containing origin
Explanation
Simple Explanation
चिह्न \(\le\) होने से सीमा रेखा शामिल होती है और ((0,0)) रखने पर \(0 \le 12\) सत्य है। परीक्षा में पहले मूल बिंदु से परीक्षण करें। / The sign \(\le\) includes the boundary line and substituting ((0,0)) gives \(0 \le 12\). In exams, test the origin first.
B. टूटी रेखा (x-y=4) के उस ओर जहाँ ((5,0)) है/Dotted line on the side containing ((5,0))
Explanation
Simple Explanation
चिह्न (>) होने से सीमा रेखा शामिल नहीं होगी और ((5,0)) रखने पर (5>4) सत्य है। कड़ी असमानता में टूटी रेखा बनाएं। / The sign (>) excludes the boundary line and substituting ((5,0)) gives (5>4). Use a dotted line for strict inequalities.
प्रथम चतुर्थांश में (x+y=7) अक्षों को ((7,0)) और ((0,7)) पर काटती है। अक्षों और रेखा के प्रतिच्छेद ही शीर्ष देते हैं। / In the first quadrant, (x+y=7) cuts the axes at ((7,0)) and ((0,7)). Intersections of axes and the line give the vertices.
((5,2)) रखने पर (3(5)+2(2)=19), इसलिए \(19 \ge 18\) सत्य है। विकल्पों में सीधे मान रखकर जांचें। / Substituting ((5,2)) gives (3(5)+2(2)=19), so \(19 \ge 18\) is true. Check options by direct substitution.
सीमा रेखाओं को बराबर करने पर (2x+1=-x+4), इसलिए (x=1) और (y=3)। ग्राफ में कोना अक्सर सीमा रेखाओं के हल से मिलता है। / Equating boundary lines gives (2x+1=-x+4), so (x=1) and (y=3). A corner on the graph often comes from solving boundary lines.
(4x-y<8) से (-y<8-4x), अतः चिह्न बदलकर (y>4x-8) मिलता है। ऋणात्मक संख्या से भाग देने पर असमानता का चिह्न पलटता है। / From (4x-y<8), (-y<8-4x), so reversing the sign gives (y>4x-8). When dividing by a negative number, the inequality sign reverses.
टूटी रेखा कड़ी असमानता बताती है और ((0,0)) रखने पर (0<5) सत्य है। छायांकित ओर का परीक्षण बिंदु सही चिह्न तय करता है। / A dotted line indicates a strict inequality and substituting ((0,0)) gives (0<5). The test point in the shaded side decides the correct sign.
((3,4)) पर (x+2y=11), इसलिए \(11 \le 10\) असत्य है। हर बिंदु को सभी असमानताओं में जांचना जरूरी है। / At ((3,4)), (x+2y=11), so \(11 \le 10\) is false. A point must satisfy every inequality in the system.
B. क्षैतिज रेखा के ऊपर और ऊर्ध्वाधर रेखा के बाईं ओर/Above horizontal line and left of vertical line
Explanation
Simple Explanation
\(y \ge 3\) रेखा (y=3) के ऊपर और \(x \le 5\) रेखा (x=5) के बाईं ओर का क्षेत्र देता है। ऊर्ध्वाधर और क्षैतिज सीमाओं को अलग-अलग पढ़ें। / \(y \ge 3\) gives the region above (y=3) and \(x \le 5\) gives the region left of (x=5). Read vertical and horizontal boundaries separately.
(x+y=6) और (2x+y=10) घटाने पर (x=4), फिर (y=2)। संयुक्त ग्राफ के कोने सीमा रेखाओं से मिलते हैं। / Subtracting (x+y=6) from (2x+y=10) gives (x=4), then (y=2). Corners of a common graph come from boundary lines.
((4,3)) पर (x-y=1) और (x+y=7), इसलिए दोनों शर्तें सत्य हैं। ग्राफ से पहले बीजगणितीय जांच तेज होती है। / At ((4,3)), (x-y=1) and (x+y=7), so both conditions are true. Algebraic checking is faster before graphing.
(y=0) रखने पर (x=4) और (x=0) रखने पर (y=10) मिलता है। सीमा रेखा खींचने के लिए अवरोध सबसे सरल तरीका है। / Putting (y=0) gives (x=4), and putting (x=0) gives (y=10). Intercepts are the easiest way to draw the boundary line.
रेखा के नीचे का अर्थ \(y \le 3-\frac{x}{3}\) है और सीमा शामिल होने से \(\le\) लगेगा। शामिल सीमा के लिए ठोस रेखा बनती है। / Below the line means \(y \le 3-\frac{x}{3}\), and including the boundary requires \(\le\). A solid line is used for included boundaries.
((3,2)) पर (2x+y=8) और (x+y=5), इसलिए सभी शर्तें पूरी होती हैं। संयुक्त समाधान में हर असमानता सत्य होनी चाहिए। / At ((3,2)), (2x+y=8) and (x+y=5), so all conditions are satisfied. In a common solution, every inequality must be true.
तीन सीमा रेखाएं तीन शीर्ष ((1,2)), ((6,2)), और ((1,7)) देती हैं। तीन रेखाओं से बंद क्षेत्र सामान्यतः त्रिभुज बनता है। / The three boundary lines give vertices ((1,2)), ((6,2)), and ((1,7)). A closed region from three lines is generally a triangle.
B. सीमा रेखा टूटी होगी और क्षेत्र नीचे होगा/Boundary line is dotted and region is below
Explanation
Simple Explanation
कड़ी असमानता (<) होने से रेखा टूटी होगी और (y) छोटा होने से क्षेत्र रेखा के नीचे होगा। चिह्न देखकर रेखा और दिशा दोनों तय करें। / The strict sign (<) makes the line dotted, and smaller (y) means the region below the line. Use the sign to decide both line type and direction.
यदि परीक्षण बिंदु असत्य देता है तो छायांकन सीमा रेखा के दूसरी ओर होता है। ग्राफ में एक गलत परीक्षण बिंदु भी सही आधा-समतल चुनने में मदद करता है। / If the test point gives false, the shading is on the other side of the boundary line. Even a false test point helps choose the correct half-plane.
दोनों रेखाओं को घटाने पर (x=y), फिर (3x=8) से \(x=y=\frac{8}{3}\)। तिरछी सीमाओं का प्रतिच्छेद अलग से निकालें। / Subtracting the two lines gives (x=y), then (3x=8), so \(x=y=\frac{8}{3}\). Find the intersection of slant boundaries separately.
सीमा रेखा (2x-5y=10) है और ((5,0)) रखने पर (10=10) मिलता है। सीमा पर बिंदु के लिए बराबरी जांचें। / The boundary line is (2x-5y=10), and substituting ((5,0)) gives (10=10). For a boundary point, check equality.
दोनों को साथ रखने के लिए \(x+2 \le 6-x\), इसलिए \(2x \le 4\) और \(x \le 2\)। दो रेखाओं के बीच क्षेत्र के लिए निचली सीमा ऊपरी सीमा से छोटी होनी चाहिए। / For both to hold, \(x+2 \le 6-x\), so \(2x \le 4\) and \(x \le 2\). For a region between two lines, the lower bound must not exceed the upper bound.
रेखा अक्षों को ((8,0)) और ((0,6)) पर काटती है, इसलिए क्षेत्रफल \(\frac{1}{2}\times 8\times 6=24\)। अवरोधों से त्रिभुज का क्षेत्रफल तुरंत मिलता है। / The line cuts the axes at ((8,0)) and ((0,6)), so area is \(\frac{1}{2}\times 8\times 6=24\). Intercepts quickly give the triangle area.
प्रथम चतुर्थांश में \(x+2y \ge 4\) रेखा के ऊपर और दूर तक फैलता है। सभी ओर से बंद न हो तो क्षेत्र असीम होता है। / In the first quadrant, \(x+2y \ge 4\) extends above the line without limit. If a region is not closed on all sides, it is unbounded.
((5,2)) में (x=5), जो \(x \le 4\) को संतुष्ट नहीं करता। किसी भी एक शर्त के गलत होने पर बिंदु बाहर हो जाता है। / For ((5,2)), (x=5), which does not satisfy \(x \le 4\). If even one condition fails, the point lies outside.
(x+y=5) से (2x+2y=10), घटाने पर (y=2) और (x=3)। सीमा रेखाओं को हल करना ग्राफ के कोने देता है। / From (x+y=5), (2x+2y=10); subtracting gives (y=2) and (x=3). Solving boundary lines gives graph corners.
\(x-2y \le 6\) से \(-2y \le 6-x\), इसलिए चिह्न पलटकर \(y \ge \frac{x-6}{2}\) मिलता है। ऋणात्मक गुणांक हटाते समय सावधानी रखें। / From \(x-2y \le 6\), \(-2y \le 6-x\), so reversing the sign gives \(y \ge \frac{x-6}{2}\). Be careful when removing a negative coefficient.
((0,4)) पर (x-y=-4), जो \(x-y \ge 0\) को संतुष्ट नहीं करता। हर संभावित शीर्ष को सभी सीमाओं से जांचें। / At ((0,4)), (x-y=-4), which does not satisfy \(x-y \ge 0\). Check every possible vertex against all boundaries.
रेखा के ऊपर का क्षेत्र (y) को बड़ा बनाता है और सीमा शामिल नहीं है, इसलिए (>) लगेगा। ग्राफ की दिशा और रेखा का प्रकार साथ पढ़ें। / The region above the line means larger (y), and the boundary is excluded, so (>) is used. Read direction and line type together.
दो तिरछी रेखाओं का प्रतिच्छेद (\left\(\frac{10}{3},\frac{10}{3}\right\)) है और वहां \(x+y=\frac{20}{3}\) मिलता है। रैखिक अभिव्यक्ति का अधिकतम कोनों पर जांचें। / The slant lines intersect at (\left\(\frac{10}{3},\frac{10}{3}\right\)), where \(x+y=\frac{20}{3}\). Check linear expressions at vertices for maxima.
((0,0)) रखने पर \(0 \ge 6\) असत्य है, इसलिए मूल बिंदु वाली ओर गलत है। असत्य परीक्षण बिंदु के विपरीत ओर छायांकित करें। / Substituting ((0,0)) gives \(0 \ge 6\), which is false, so the origin side is wrong. Shade the side opposite to a false test point.
(x) और (y) दोनों पर निचली और ऊपरी सीमाएं क्षेत्र को चारों ओर से बंद करती हैं। चार बंद सीमाएं आयताकार चतुर्भुज देती हैं। / Lower and upper bounds on both (x) and (y) close the region on all sides. Four closed boundaries give a rectangular quadrilateral.
C. यह बिंदु समाधान क्षेत्र में नहीं है/This point is not in the solution region
Explanation
Simple Explanation
((2,3)) पर (x+2y=8), लेकिन असमानता (<8) है इसलिए सीमा शामिल नहीं है। कड़ी असमानता में सीमा रेखा के बिंदु समाधान नहीं होते। / At ((2,3)), (x+2y=8), but the inequality is (<8), so the boundary is excluded. Points on the boundary are not solutions for strict inequalities.
A. \(y \ge x\) और \(y \le -x+6\)/\(y \ge x\) and \(y \le -x+6\)
Explanation
Simple Explanation
बीच के क्षेत्र में (y) रेखा (y=x) से ऊपर और रेखा (y=-x+6) से नीचे है। ऐसी स्थिति में निचली और ऊपरी सीमा पहचानें। / In the between-region, (y) is above (y=x) and below (y=-x+6). Identify the lower and upper boundaries in such cases.
(x=2) को (x+y=9) में रखने पर (y=7), इसलिए ((2,7)) शीर्ष है। सीमा रेखाओं की जोड़ी से संभावित शीर्ष निकालें। / Putting (x=2) in (x+y=9) gives (y=7), so ((2,7)) is a vertex. Use pairs of boundary lines to find possible vertices.
B. मूल बिंदु सीमा पर है और समाधान में शामिल है/Origin is on boundary and included in solution
Explanation
Simple Explanation
((0,0)) रखने पर \(0 \ge 0\) सत्य है और बराबरी होने से बिंदु सीमा पर है। \(\ge\) में सीमा शामिल रहती है। / Substituting ((0,0)) gives \(0 \ge 0\), true, and equality means the point is on the boundary. The boundary is included for \(\ge\).
ठोस रेखा के लिए \(\le\) या \(\ge\) चाहिए और ((0,0)) पर \(0 \ge 9\) असत्य है। इसलिए मूल बिंदु शामिल नहीं होगा। / A solid line requires \(\le\) or \(\ge\), and at ((0,0)), \(0 \ge 9\) is false. Hence the origin is not included.
शीर्ष ((1,1)), ((5,1)), और ((1,5)) हैं, इसलिए कुल (3) हैं। सभी सीमा रेखाओं के वैध प्रतिच्छेद गिनें। / The vertices are ((1,1)), ((5,1)), and ((1,5)), so there are (3). Count valid intersections of all boundary lines.
अधिकतम (y) के लिए (x=0) रखें, तब (3y=12) और (y=4)। अक्ष-अवरोध अधिकतम सीमा समझने में मदद करते हैं। / For maximum (y), put (x=0), then (3y=12) and (y=4). Axis intercepts help identify maximum limits.
((2,3)) पर (x+2y=8), जो (10) से कम है और इसलिए रेखा के नीचे वाले अर्ध-समतल में है। नीचे की जांच (y) के छोटे मान से भी की जा सकती है। / At ((2,3)), (x+2y=8), which is less than (10), so it lies in the lower half-plane. Below can also be checked by smaller (y)-values.
(x-y=1) और (2x+y=8) जोड़ने पर (3x=9), इसलिए (x=3) और (y=2)। सीमा रेखाओं को समानता में बदलकर हल करें। / Adding (x-y=1) and (2x+y=8) gives (3x=9), so (x=3) and (y=2). Convert boundaries to equalities and solve.
एक ही समय में (y>4) और (y<1) संभव नहीं है। विरोधी समानांतर शर्तें रिक्त क्षेत्र देती हैं। / It is impossible to have (y>4) and (y<1) at the same time. Contradictory parallel conditions give an empty region.
(x)-अवरोध के लिए (y=0) रखें, इसलिए (x=16)। अवरोध निकालते समय दूसरे चर को (0) रखें। / For the (x)-intercept, put (y=0), so (x=16). To find an intercept, set the other variable to (0).
(x)-अक्ष पर (y=0), इसलिए \(2x \le 6\) और \(x \le 3\)। यदि \(x \ge 0\) अलग से न दिया हो तो ऋणात्मक (x) भी शामिल हो सकते हैं। / On the (x)-axis, (y=0), so \(2x \le 6\) and \(x \le 3\). If \(x \ge 0\) is not separately given, negative (x)-values may also be included.
A. दो समानांतर रेखाओं के बीच बंद पट्टी/Closed strip between two parallel lines
Explanation
Simple Explanation
दोनों रेखाओं का ढाल समान है और चिह्नों में बराबरी शामिल है, इसलिए बीच की बंद पट्टी मिलती है। समानांतर सीमाओं से पट्टी बनती है। / Both lines have the same slope and equality is included, so a closed strip between them is obtained. Parallel boundaries form a strip.
B. असीम पट्टी का कटा हुआ भाग/Cut part of an unbounded strip
Explanation
Simple Explanation
पहली दो असमानताएं समानांतर पट्टी बनाती हैं और तीसरी असमानता उसे एक ओर से काटती है, पर पूरी तरह बंद नहीं करती। इसलिए क्षेत्र असीम रहता है। / The first two inequalities form a parallel strip, and the third cuts it from one side but does not close it fully. Hence the region remains unbounded.
((3,1)) पर \(1 \le 2\) और \(1 \ge -2\), दोनों सत्य हैं। दोनों सीमाओं के बीच आने वाला बिंदु ही समाधान है। / At ((3,1)), \(1 \le 2\) and \(1 \ge -2\), both true. A solution point must lie between the two boundaries.
((0,-3)) रखने पर (0-3(-3)=9), इसलिए \(9 \ge 6\) सत्य है और ठोस रेखा के लिए \(\ge\) सही है। परीक्षण बिंदु और रेखा का प्रकार साथ मिलाएं। / Substituting ((0,-3)) gives (0-3(-3)=9), so \(9 \ge 6\) is true and \(\ge\) is correct for a solid line. Combine the test point with line type.
शीर्ष ((0,0)), ((4,0)), (\left\(\frac{8}{3},\frac{8}{3}\right\)), और ((0,4)) हैं। सभी वैध कोनों को क्रम से सूचीबद्ध करें। / The vertices are ((0,0)), ((4,0)), (\left\(\frac{8}{3},\frac{8}{3}\right\)), and ((0,4)). List all valid corners in order.
B. दोनों का संयुक्त समाधान रिक्त है/Their common solution is empty
Explanation
Simple Explanation
एक ही अभिव्यक्ति एक साथ (5) से बड़ी और (5) से छोटी नहीं हो सकती। विपरीत कड़ी असमानताएं संयुक्त समाधान को रिक्त कर देती हैं। / The same expression cannot be both greater than (5) and less than (5). Opposite strict inequalities make the common solution empty.
सीमा रेखा (2x+ay=12) है और ((0,3)) रखने पर (3a=12), इसलिए (a=4)। सीमा पर दिए बिंदु को समानता में रखें। / The boundary line is (2x+ay=12), and substituting ((0,3)) gives (3a=12), so (a=4). Put a boundary point in the equality.
(x+2y=14) और (3x+y=18) हल करने पर \(x=\frac{22}{5}\), \(y=\frac{24}{5}\) मिलता है। ग्राफ में तिरछी सीमाओं का प्रतिच्छेद अलग से जरूर निकालें। / Solving (x+2y=14) and (3x+y=18) gives \(x=\frac{22}{5}\), \(y=\frac{24}{5}\). In a graph, always find the intersection of slant boundaries separately.
