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B. बिंदु (\left\(\frac{8}{3},\frac{8}{3}\right\))/Point (\left\(\frac{8}{3},\frac{8}{3}\right\))
Explanation
Simple Explanation
दोनों रेखाओं को साथ हल करने पर \(x=y=\frac{8}{3}\) मिलता है। परीक्षा में शीर्ष निकालने के लिए सीमा रेखाओं को समीकरण मानें। / Solving the two boundary lines together gives \(x=y=\frac{8}{3}\). In exams, find vertices by treating boundary lines as equations.
A. सीमा रेखा ठोस होगी और मूलबिंदु वाला भाग छायांकित होगा/Boundary is solid and the side containing origin is shaded
Explanation
Simple Explanation
\(0 \le 12\) सत्य है, इसलिए मूलबिंदु वाला अर्ध-तल लिया जाता है। परीक्षा में पहले सीमा रेखा और फिर परीक्षण-बिंदु जांचें। / Since \(0 \le 12\) is true, the half-plane containing the origin is taken. In exams, check the boundary line first and then use a test point.
D. (3x+y=6) टूटी और (x-y=2) ठोस होगी/(3x+y=6) dashed and (x-y=2) solid
Explanation
Simple Explanation
कड़ी असमानता (>) के लिए सीमा शामिल नहीं होती, इसलिए रेखा टूटी होती है। \(\leq\) में सीमा शामिल होती है, इसलिए रेखा ठोस होती है। / A strict inequality (>) excludes the boundary, so its line is dashed. The inequality \(\leq\) includes the boundary, so its line is solid.
( (3,3) ) पर (3+6=9>8) मिलता है। सख्त असमानता में सीमा रेखा के बिंदु शामिल नहीं होते। / At ( (3,3) ), (3+6=9>8). For strict inequalities, points on the boundary line are not included.
A. वह आधा तल जिसमें ((0,0)) है/The half-plane containing ((0,0))
Explanation
Simple Explanation
((0,0)) रखने पर \(0\geq 6\) गलत है, इसलिए मूल वाला आधा तल हटेगा। परीक्षा में जांच-बिंदु सीमा रेखा पर नहीं होना चाहिए। / Substituting ((0,0)) gives \(0\geq 6\), which is false, so the half-plane containing the origin is rejected. In exams, choose a test point not lying on the boundary.
\(3x-2y \ge 6\) से \(y \le \frac{3x-6}{2}\) मिलता है। ऋणात्मक संख्या से भाग देते समय असमानता का चिन्ह बदलता है। / From \(3x-2y \ge 6\), we get \(y \le \frac{3x-6}{2}\). When dividing by a negative number, the inequality sign reverses.
सीमाओं के प्रतिच्छेद से ((2,3)), ((4,1)), ((4,3)) मिलते हैं। ग्राफ में केवल वे प्रतिच्छेद लें जो सभी असमानताओं को संतुष्ट करें। / Boundary intersections give ((2,3)), ((4,1)), and ((4,3)). On a graph, keep only intersections satisfying all inequalities.
B. रेखा (4x+y=10) बिंदुदार होगी/The line (4x+y=10) is dotted
Explanation
Simple Explanation
(<) सख्त असमानता है, इसलिए सीमा रेखा शामिल नहीं होती। ग्राफ में ऐसी सीमा रेखा बिंदुदार बनाते हैं। / The sign (<) is strict, so the boundary line is not included. Such a boundary is drawn dotted in the graph.
((3,1)) रखने पर (7<7) नहीं बल्कि (2x+y=7) होता है, इसलिए यह गलत है। सही जांच से कोई विकल्प नहीं? / For ((3,1)), (2x+y=7), so it fails the strict inequality. This item needs a point strictly inside the region.
(x+y=6) और (x+2y=8) को हल करने पर ( (4,2) ) मिलता है। शीर्ष अक्सर सीमा रेखाओं के प्रतिच्छेद से मिलते हैं। / Solving (x+y=6) and (x+2y=8) gives ( (4,2) ). Vertices usually come from intersections of boundary lines.
( (3,2) ) पर (8<10) और (9<12), इसलिए यह अंदर है। सीमा पर होने के लिए कम से कम एक असमानता बराबरी बननी चाहिए। / At ( (3,2) ), (8<10) and (9<12), so it is strictly inside. A boundary point must make at least one inequality an equality.
B. मूलबिंदु वाला भाग स्वीकार होगा/The side containing origin is accepted
Explanation
Simple Explanation
\(0\ge-5\) सत्य है, इसलिए मूलबिंदु वाला भाग हल क्षेत्र है। सरल परीक्षण-बिंदु से छायांकन जल्दी तय होता है। / Since \(0\ge-5\) is true, the side containing the origin is the solution region. A simple test point quickly decides the shading.
D. किसी भी असमानता को संतुष्ट नहीं करता/It satisfies neither inequality
Explanation
Simple Explanation
( (2,2) ) पर दोनों पक्षों में मान (6) आता है, जो (10) से कम है। संयुक्त हल में सभी असमानताएं एक साथ सत्य होनी चाहिए। / At ( (2,2) ), both left sides equal (6), which is less than (10). In a combined solution, all inequalities must be true together.
दोनों समीकरण हल करने पर (x=3) और (y=2) मिलता है। ग्राफ में शीर्ष निकालने के लिए संबंधित सीमा रेखाएं बराबरी में लिखें। / Solving the two equations gives (x=3) and (y=2). To find a vertex, write the related boundary lines as equalities.
पहले चतुर्थांश में रेखा (x+y=5) के ऊपर का भाग असीमित फैलता है। ऐसे प्रश्न में दिशा और अक्षों की शर्त साथ देखें। / In the first quadrant, the region above (x+y=5) extends without bound. In such questions, check both direction and axis restrictions.
\(x\le4\) और \(y\le3\) से अधिकतम (x+y=7) हो सकता है। इसलिए \(x+y\le8\) अलग से क्षेत्र नहीं घटाती। / From \(x\le4\) and \(y\le3\), the maximum possible (x+y) is (7). Hence \(x+y\le8\) does not further reduce the region.
(5x-2y<10) से \(y>\frac{5x-10}{2}\) मिलता है। ऋणात्मक गुणांक हटाते समय चिन्ह पलटना न भूलें। / From (5x-2y<10), we get \(y>\frac{5x-10}{2}\). Do not forget to reverse the sign when removing a negative coefficient.
( (2,3) ) पर \(-1\le2\) और \(5\ge4\) दोनों सत्य हैं। संयुक्त क्षेत्र में हर दी गई शर्त जांचनी चाहिए। / At ( (2,3) ), \(-1\le2\) and \(5\ge4\) are both true. In a common region, every given condition must be checked.
A. ( (10,0) ) और ( (0,4) )/( (10,0) ) and ( (0,4) )
Explanation
Simple Explanation
सीमा रेखा (2x+5y=20) है, जिससे (x=10) और (y=4) प्रतिच्छेद मिलते हैं। पहले रेखा बनाना ग्राफीय हल का आधार है। / The boundary line is (2x+5y=20), giving intercepts (x=10) and (y=4). Drawing the line first is the base of graphical solution.
C. हल क्षेत्र के विपरीत तरफ/On the opposite side of the solution region
Explanation
Simple Explanation
मूलबिंदु पर (0>24) असत्य है, इसलिए मूलबिंदु वाला भाग हल नहीं है। असत्य परीक्षण-बिंदु मिलने पर दूसरी तरफ छायांकन करें। / At the origin, (0>24) is false, so the side containing the origin is not the solution. If the test point fails, shade the other side.
दोनों रेखाओं को घटाने पर (2x=4), इसलिए (x=2) और (y=3) है। शीर्षों के लिए रेखीय समीकरणों का युग्म हल करें। / Subtracting the two lines gives (2x=4), so (x=2) and (y=3). For vertices, solve the pair of linear equations.
\(x\le5\) और \(y\le4\) अक्षों के साथ आयताकार सीमित क्षेत्र बनाते हैं। सीमित क्षेत्र के लिए सभी दिशाओं में बंद सीमा चाहिए। / The conditions \(x\le5\) and \(y\le4\) with the axes form a bounded rectangular region. A bounded region needs closing boundaries in all directions.
हमें (x-1< -x+7) चाहिए, इसलिए (2x<8) और (x<4) मिलता है। दो रेखाओं के बीच क्षेत्र में ऊपरी और निचली सीमा की तुलना करें। / We need (x-1< -x+7), so (2x<8) and (x<4). For a region between two lines, compare the upper and lower bounds.
( (2,3) ) पर (2x-y=1), इसलिए यह सीमा पर है। सख्त असमानता (<) में सीमा बिंदु शामिल नहीं होते। / At ( (2,3) ), (2x-y=1), so it lies on the boundary. Strict inequality (<) does not include boundary points.
(x=0) रखने पर \(4y\le16\), इसलिए \(y\le4\) है। अक्षों पर अधिकतम बिंदु निकालने के लिए दूसरे चर को शून्य रखें। / Putting (x=0) gives \(4y\le16\), so \(y\le4\). To find an axis intercept limit, put the other variable equal to zero.
(x+y=7) और (x-y=1) हल करने पर ( (4,3) ) मिलता है। सक्रिय सीमाओं का प्रतिच्छेद शीर्ष देता है। / Solving (x+y=7) and (x-y=1) gives ( (4,3) ). The intersection of active boundaries gives a vertex.
रेखा को \(y=\frac{18-2x}{3}\) लिखने पर ऊपर का भाग \(y\ge\frac{18-2x}{3}\) है। यह \(2x+3y\ge18\) के बराबर है। / Writing the line as \(y=\frac{18-2x}{3}\), the upper side is \(y\ge\frac{18-2x}{3}\). This is equivalent to \(2x+3y\ge18\).
\(0\le x\le6\) और \(0\le y\le5\) क्षेत्र को आयत में सीमित करते हैं। \(x+y\ge4\) केवल उसका एक कोना काटता है। / The conditions \(0\le x\le6\) and \(0\le y\le5\) restrict the region inside a rectangle. The inequality \(x+y\ge4\) only cuts off one corner.
(x+2y=9) और (3x+y=11) हल करने पर \(x=\frac{13}{5}\), \(y=\frac{16}{5}\) मिलता है। भिन्नात्मक शीर्ष भी ग्राफीय हल में सामान्य हैं। / Solving (x+2y=9) and (3x+y=11) gives \(x=\frac{13}{5}\), \(y=\frac{16}{5}\). Fractional vertices are common in graphical solutions.
A. दो समानांतर रेखाओं के बीच का पट्टी क्षेत्र/A strip between two parallel lines
Explanation
Simple Explanation
दोनों रेखाओं की ढाल (3) है, इसलिए वे समानांतर हैं। असमानताएं उनके बीच का पट्टी क्षेत्र देती हैं। / Both lines have slope (3), so they are parallel. The inequalities give a strip-like region between them.
अक्षों पर प्रतिच्छेद ( (6,0) ) और ( (0,4) ) हैं, इसलिए क्षेत्रफल \(\frac{1}{2}\times6\times4=12\) है। त्रिभुज क्षेत्र के लिए आधार और ऊंचाई पहचानें। / The intercepts are ( (6,0) ) and ( (0,4) ), so the area is \(\frac{1}{2}\times6\times4=12\). For a triangular region, identify base and height.
(x)-अक्ष की रेखा (y=0) है और नीचे के लिए (y) शून्य से कम या बराबर होता है। सीमा शामिल होने पर \(\le\) का प्रयोग करें। / The (x)-axis is (y=0), and below it (y) is less than or equal to zero. Use \(\le\) when the boundary is included.
सीमाएं (x=1), (y=2) और (x+y=8) से ( (1,2) ), ( (6,2) ), ( (1,7) ) मिलते हैं। बदले हुए अक्षीय प्रतिबंधों को साधारण \(x\ge0\), \(y\ge0\) न मानें। / The boundaries (x=1), (y=2), and (x+y=8) give ( (1,2) ), ( (6,2) ), and ( (1,7) ). Do not treat shifted restrictions as simple \(x\ge0\), \(y\ge0\).
एक ही समय में (x+y) का (5) से कम और अधिक होना असंभव है। विरोधी असमानताएं मिलने पर हल रिक्त हो सकता है। / It is impossible for (x+y) to be both less than and greater than (5) at the same time. Opposite inequalities can make the solution empty.
इस क्षेत्र के शीर्ष ( (0,0) ), ( (3,0) ), ( (2,2) ), ( (0,3) ) हैं, इसलिए दिया गया हर बिंदु शीर्ष है। प्रश्न में सही उत्तर कोई नहीं होना चाहिए। / The vertices are ( (0,0) ), ( (3,0) ), ( (2,2) ), and ( (0,3) ), so every listed point is a vertex. The correct choice should have been none of these.
\(x-3y\le9\) से \(-3y\le9-x\), इसलिए \(y\ge\frac{x-9}{3}\) है। ऋणात्मक से भाग देने पर चिन्ह उलटता है। / From \(x-3y\le9\), we get \(-3y\le9-x\), hence \(y\ge\frac{x-9}{3}\). Dividing by a negative reverses the sign.
( (2,2) ) पर दोनों असमानताओं में मान (10) आता है, जो (12) से कम है। इसलिए यह विकल्प सही नहीं हो सकता और सही हलों के लिए दोनों मान कम से कम (12) होने चाहिए। / At ( (2,2) ), both left sides equal (10), which is less than (12). Therefore this option cannot be correct and true solutions must make both values at least (12).
(x=2) पर (y=4) और (y=1) पर (x=8) मिलता है। सीमा रेखा को दी गई निचली सीमाओं के साथ काटें। / At (x=2), (y=4); at (y=1), (x=8). Intersect the boundary line with the given lower limits.
दोनों समीकरण जोड़ने पर (4x+4y=30) और सममिति से \(x=y=\frac{15}{4}\) है। समान संरचना वाली रेखाओं में सममिति का उपयोग करें। / Adding the equations gives (4x+4y=30), and by symmetry \(x=y=\frac{15}{4}\). Use symmetry when boundary lines have a similar structure.
B. हल क्षेत्र रिक्त है/The solution region is empty
Explanation
Simple Explanation
(x+y) एक साथ (4) से कम या बराबर और (7) से अधिक या बराबर नहीं हो सकता। समान दिशा की समानांतर सीमाएं खाली क्षेत्र दे सकती हैं। / The value (x+y) cannot be at most (4) and at least (7) simultaneously. Parallel bounds in opposite positions can give an empty region.
( (1,4) ) पर \(1\le3\) और \(4\ge3\) सत्य हैं। हर विकल्प में ऊर्ध्वाधर सीमा और तिरछी सीमा दोनों जांचें। / At ( (1,4) ), \(1\le3\) and \(4\ge3\) are true. Check both the vertical boundary and the oblique boundary for each option.
दोनों समीकरणों से (x=y) और (3x=14), इसलिए शीर्ष ( \left\(\frac{14}{3},\frac{14}{3}\right\) ) है। सममित सीमाओं में (x=y) जल्दी मिल सकता है। / The two equations give (x=y) and (3x=14), so the vertex is ( \left\(\frac{14}{3},\frac{14}{3}\right\) ). Symmetric boundaries can quickly give (x=y).
B. रेखा के नीचे या रेखा सहित/Below the line including the line
Explanation
Simple Explanation
\(y\le\) रूप में असमानता रेखा के नीचे वाले भाग को दर्शाती है। बराबरी होने से सीमा रेखा भी शामिल होती है। / An inequality in the form \(y\le\) represents the region below the line. The equality part means the boundary line is included.
दोनों असमानताएं रेखाओं के ऊपर की ओर क्षेत्र देती हैं और क्षेत्र दूर तक फैलता है। \(\ge\) वाली सीमाएं अक्सर असीमित क्षेत्र बना सकती हैं। / Both inequalities select regions above the boundary lines, and the common region extends indefinitely. Conditions with \(\ge\) can often create an unbounded region.
रेखा (x=4) के बाईं ओर \(x\le4\) और (y=-1) के ऊपर \(y\ge-1\) होता है। ऊर्ध्वाधर और क्षैतिज सीमाओं के लिए दिशा अलग-अलग पहचानें। / Left of (x=4) is \(x\le4\), and above (y=-1) is \(y\ge-1\). For vertical and horizontal boundaries, identify direction separately.
( (1,1) ) पर (x+y=2), जो (3) से कम है। बहु-असमानता प्रश्नों में अस्वीकृति के लिए एक असत्य शर्त काफी है। / At ( (1,1) ), (x+y=2), which is less than (3). In multi-inequality questions, one false condition is enough to reject a point.
(y=1) पर \(x\le8\) और \(x\le4\), इसलिए कड़ी सीमा (x=4) है। दाएं अंतिम बिंदु के लिए सभी ऊपरी सीमाओं में छोटी सीमा चुनें। / At (y=1), \(x\le8\) and \(x\le4\), so the tighter limit is (x=4). For the right endpoint, choose the smaller upper bound from all constraints.
( (3,3) ) पर (6+9=15<18), इसलिए यह अंदर है और अक्षों पर नहीं है। अंदरूनी बिंदु के लिए सख्त कम मान देखें। / At ( (3,3) ), (6+9=15<18), so it is inside and not on the axes. For an interior point, look for a strict inequality value.
दो ऊर्ध्वाधर और दो क्षैतिज सीमाएं मिलकर बंद आयत बनाती हैं। ग्राफ में समानांतर सीमाओं की जोड़ी से आकार तुरंत पहचाना जा सकता है। / Two vertical and two horizontal boundaries together form a closed rectangle. In a graph, pairs of parallel boundaries help identify the shape quickly.
(x+2=-x+4) से (2x=2), इसलिए (x=1) और (y=3) है। तिरछी सीमाओं का प्रतिच्छेद क्षेत्र की शुरुआत या कोना बता सकता है। / From (x+2=-x+4), (2x=2), so (x=1) and (y=3). The intersection of slant boundaries can mark the start or a corner of a region.
