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B. मूल बिंदु की ओर और सीमा सहित/Toward origin with boundary
Explanation
Simple Explanation
मूल बिंदु रखने पर \(0\leq 6\) सत्य है इसलिए वही पक्ष लिया जाता है। परीक्षा सुझाव: \(\leq\) में सीमा रेखा शामिल होती है। / Putting the origin gives \(0\leq 6\), so the side containing it is taken. Exam tip: \(\leq\) includes the boundary line.
C. टूटी रेखा और मूल बिंदु से विपरीत भाग/Dashed line and side opposite origin
Explanation
Simple Explanation
( (0,0) ) रखने पर (0>4) असत्य है इसलिए विपरीत पक्ष लिया जाएगा। परीक्षा सुझाव: (>) में सीमा रेखा शामिल नहीं होती। / Substituting ( (0,0) ) gives (0>4), which is false, so the opposite side is taken. Exam tip: (>) does not include the boundary.
D. रेखा के ऊपर वाला असीमित भाग सीमा सहित/Unbounded part above the line with boundary
Explanation
Simple Explanation
मूल बिंदु से \(0\geq 12\) असत्य है इसलिए रेखा से दूर वाला भाग चुना जाता है। परीक्षा सुझाव: प्रथम चतुर्थांश क्षेत्र को हमेशा अक्षों से भी मिलाइए। / The origin gives \(0\geq 12\), which is false, so the side away from the origin is chosen. Exam tip: Always combine the region with the axes in the first quadrant.
रेखाओं के प्रतिच्छेद और (y=0) पर कटान से ये तीन शीर्ष मिलते हैं। परीक्षा सुझाव: हर सीमा रेखा को जोड़ी में हल करके शीर्ष जाँचिए। / The intersections of the boundary lines and their cuts on (y=0) give these three vertices. Exam tip: Solve boundary lines in pairs and verify each vertex.
B. पहली टूटी और दूसरी ठोस/First dashed and second solid
Explanation
Simple Explanation
(x+2y<8) कठोर असमानता है इसलिए उसकी सीमा शामिल नहीं है। परीक्षा सुझाव: (<) और (>) के लिए टूटी रेखा बनाइए। / The inequality (x+2y<8) is strict, so its boundary is not included. Exam tip: Use a dashed line for (<) and (>).
C. हल क्षेत्र में है और पहली सीमा पर है/It is in the solution region and on the first boundary
Explanation
Simple Explanation
\(2+2\cdot3=8\) और \(3\cdot2-3=3>1\) इसलिए बिंदु मान्य है। परीक्षा सुझाव: सीमा पर बिंदु तभी हटता है जब असमानता कठोर हो। / Since \(2+2\cdot3=8\) and \(3\cdot2-3=3>1\), the point is valid. Exam tip: A boundary point is excluded only for a strict inequality.
A. \(y\geq 4x-8\), सीमा सहित/\(y\geq 4x-8\), with boundary
Explanation
Simple Explanation
ऋणात्मक (y) को हटाते समय असमानता की दिशा बदलती है। परीक्षा सुझाव: ऋण से भाग देने पर संकेत पलटना न भूलें। / When removing the negative coefficient of (y), the inequality sign reverses. Exam tip: Never forget to reverse the sign when dividing by a negative number.
अक्षों की दिशा से \(x\geq 0\), \(y\geq 0\) और रेखा के नीचे से \(2x+y\leq 10\) मिलता है। परीक्षा सुझाव: शब्दों को पहले अक्षीय असमानताओं में बदलें। / The axis directions give \(x\geq 0\), \(y\geq 0\), and being below the line gives \(2x+y\leq 10\). Exam tip: Convert words into axis inequalities first.
एक ही राशि (x+y) साथ-साथ (4) से कम और (7) से अधिक नहीं हो सकती। परीक्षा सुझाव: समानांतर सीमा रेखाओं में खाली पट्टी पहचानें। / The same quantity (x+y) cannot be at most (4) and at least (7) simultaneously. Exam tip: Detect the empty gap between parallel boundary lines.
कटान ((6,0)) और ((0,4)) हैं इसलिए क्षेत्रफल \(\frac{1}{2}\cdot6\cdot4=12\) है। परीक्षा सुझाव: प्रथम चतुर्थांश त्रिभुज में अक्षीय कटानों से क्षेत्रफल निकालें। / The intercepts are ((6,0)) and ((0,4)), so the area is \(\frac{1}{2}\cdot6\cdot4=12\). Exam tip: Use axis intercepts for the first-quadrant triangle.
रेखा (x+y=6) शामिल नहीं है पर क्षेत्र त्रिभुज के भीतर सीमित है। परीक्षा सुझाव: कठोर असमानता बंदपन को बदल देती है। / The line (x+y=6) is not included, but the region remains within a triangle. Exam tip: A strict inequality changes closedness.
पहली दो शर्तों से \(x+y\leq 5\) अधिकतम हो सकता है इसलिए \(x+y\geq 10\) असंभव है। परीक्षा सुझाव: ग्राफ से पहले चरम सीमा सोचें। / From the first two conditions, the maximum possible (x+y) is (5), so \(x+y\geq 10\) is impossible. Exam tip: Think about extreme limits before graphing.
((1,3)) पर (2-3<1) और \(1+3\geq 4\) दोनों सत्य हैं। परीक्षा सुझाव: विकल्पों को सीधे असमानताओं में रखकर जाँचें। / At ((1,3)), both (2-3<1) and \(1+3\geq 4\) are true. Exam tip: Substitute options directly into the inequalities.
C. मूल बिंदु वाला पक्ष सीमा सहित/Side containing origin with boundary
Explanation
Simple Explanation
मूल बिंदु रखने पर \(0\leq 6\) सत्य है इसलिए मूल बिंदु वाला पक्ष लिया जाता है। परीक्षा सुझाव: जब संभव हो तो ((0,0)) सबसे तेज परीक्षण बिंदु है। / Substituting the origin gives \(0\leq 6\), so the side containing the origin is taken. Exam tip: ((0,0)) is the fastest test point when allowed.
मूल बिंदु (x+y<5) को सत्य करता है इसलिए उसे हटाने के लिए (x+y>5) होगा। परीक्षा सुझाव: सीमा रहित होने पर केवल (<) या (>) चुनें। / The origin satisfies (x+y<5), so excluding it gives (x+y>5). Exam tip: If the boundary is excluded, choose only (<) or (>).
दोनों रेखाओं का प्रतिच्छेद ((2,2)) है और अक्षों पर सीमाएँ ((3,0)), ((0,3)) देती हैं। परीक्षा सुझाव: सभी संभावित शीर्षों को असमानताओं से सत्यापित करें। / The two lines intersect at ((2,2)), and the axes give the limits ((3,0)) and ((0,3)). Exam tip: Verify all possible vertices with the inequalities.
B. कटान ((9,0)), ((0,3)) हैं और मूल बिंदु अंदर है/Intercepts are ((9,0)), ((0,3)) and origin is inside
Explanation
Simple Explanation
(y=0) पर (x=9) और (x=0) पर (y=3) मिलता है। परीक्षा सुझाव: कटान निकालते समय एक चर को शून्य रखें। / Putting (y=0) gives (x=9), and putting (x=0) gives (y=3). Exam tip: Set one variable to zero to find intercepts.
नीचे का अर्थ (y) का मान रेखा से कम है और सीमा रहित होने से (<) आता है। परीक्षा सुझाव: ऊपर-नीचे वाले प्रश्नों में (y) की तुलना सीधे करें। / Below means the value of (y) is less than the line value, and open boundary gives (<). Exam tip: In above-below questions, compare (y) directly.
A. असीमित क्षेत्र जो मूल बिंदु को शामिल नहीं करता/Unbounded region not containing the origin
Explanation
Simple Explanation
मूल बिंदु \(0\geq 10\) असत्य करता है इसलिए रेखा से दूर वाला प्रथम चतुर्थांश भाग लिया जाता है। परीक्षा सुझाव: \(\geq\) वाली रेखा के लिए सीमा शामिल रहती है। / The origin makes \(0\geq 10\) false, so the first-quadrant side away from the line is taken. Exam tip: With \(\geq\), the boundary line remains included.
\(x-y\leq 0\) से \(y\geq x\) और \(x+y\leq 4\) मिलकर ये त्रिभुज बनाते हैं। परीक्षा सुझाव: हर शीर्ष को सभी असमानताओं में रखकर जाँचें। / The condition \(x-y\leq 0\) gives \(y\geq x\), and together with \(x+y\leq 4\) these form the triangle. Exam tip: Test every vertex in all inequalities.
B. क्योंकि (x+2y<7) में समानता मिलती है/Because equality occurs in (x+2y<7)
Explanation
Simple Explanation
((3,2)) पर (x+2y=7) है लेकिन (x+2y<7) में सीमा शामिल नहीं होती। परीक्षा सुझाव: कठोर असमानता में बराबरी वाले बिंदु हटा दें। / At ((3,2)), (x+2y=7), but (x+2y<7) excludes the boundary. Exam tip: Remove equality points in strict inequalities.
रेखा (x+2y=4) है और मूल बिंदु \(0\geq 4\) को असत्य करता है। परीक्षा सुझाव: रेखा शामिल हो तो \(\leq\) या \(\geq\) ही लें। / The line is (x+2y=4), and the origin makes \(0\geq 4\) false. Exam tip: If the line is included, use only \(\leq\) or \(\geq\).
दोनों सीमा रेखाएँ (\(\frac{8}{3},\frac{8}{3}\)) पर मिलती हैं और वहाँ \(x+y=\frac{16}{3}\) है। परीक्षा सुझाव: रैखिक मान का चरम प्रायः शीर्ष पर मिलता है। / The two boundary lines meet at (\(\frac{8}{3},\frac{8}{3}\)), where \(x+y=\frac{16}{3}\). Exam tip: A linear expression usually attains its extreme at a vertex.
B. दोनों रेखाओं के बीच का असीमित क्षेत्र और \(x\leq 2\)/Unbounded region between the two lines with \(x\leq 2\)
Explanation
Simple Explanation
दोनों शर्तों के लिए \(x+1\leq -x+5\) होना चाहिए जिससे \(x\leq 2\) मिलता है। परीक्षा सुझाव: ऊपर और नीचे की रेखाओं की तुलना करें। / Both conditions require \(x+1\leq -x+5\), which gives \(x\leq 2\). Exam tip: Compare the lower and upper boundary lines.
मूल बिंदु \(2x-5y\leq 10\) को सत्य करता है इसलिए विपरीत पक्ष \(2x-5y\geq 10\) होगा। परीक्षा सुझाव: ठोस सीमा के लिए बराबरी शामिल रखें। / The origin satisfies \(2x-5y\leq 10\), so the opposite side is \(2x-5y\geq 10\). Exam tip: Keep equality for a solid boundary.
C. ((0,0)), ((2,0)), (\(\frac{3}{2},\frac{3}{2}\))
Explanation
Simple Explanation
\(x-y\geq 0\) से \(y\leq x\) और (3x+y=6) से प्रतिच्छेद (\(\frac{3}{2},\frac{3}{2}\)) मिलता है। परीक्षा सुझाव: बदले हुए रूप में क्षेत्र पढ़ना आसान होता है। / The condition \(x-y\geq 0\) gives \(y\leq x\), and its intersection with (3x+y=6) is (\(\frac{3}{2},\frac{3}{2}\)). Exam tip: Reading the region is easier after rewriting inequalities.
((1,1)) रखने पर (1+2=3<8) और टूटी सीमा के कारण (<) लिया जाएगा। परीक्षा सुझाव: परीक्षण बिंदु और सीमा का प्रकार दोनों देखें। / Substituting ((1,1)) gives (1+2=3<8), and the dashed boundary requires (<). Exam tip: Check both the test point and boundary type.
दोनों असमानताएँ साथ में (x+2y=4) को ही संभव बनाती हैं। परीक्षा सुझाव: विपरीत दिशाओं वाली समान सीमा कभी-कभी रेखा बनाती है। / Together, the two inequalities force (x+2y=4). Exam tip: Opposite inequalities with the same boundary may reduce to a line.
शीर्ष ((1,2)), ((1,9)), ((8,2)) हैं और लंबाई (7), (7) है। परीक्षा सुझाव: स्थानांतरित अक्षीय सीमाओं में आधार और ऊँचाई ध्यान से लें। / The vertices are ((1,2)), ((1,9)), and ((8,2)), giving perpendicular lengths (7) and (7). Exam tip: For shifted axis bounds, read base and height carefully.
C. \(y>\frac{2}{3}x-2\), टूटी सीमा/\(y>\frac{2}{3}x-2\), dashed boundary
Explanation
Simple Explanation
(-3y<6-2x) में ऋण से भाग देने पर \(y>\frac{2}{3}x-2\) होता है। परीक्षा सुझाव: कठोर असमानता में टूटी सीमा रखें। / Dividing (-3y<6-2x) by a negative number gives \(y>\frac{2}{3}x-2\). Exam tip: Keep a dashed boundary for strict inequalities.
((2,4)) पर \(4\cdot2+4=12\) इसलिए यह सीमा पर है। परीक्षा सुझाव: सीमा के लिए असमानता की जगह समीकरण लगाएँ। / At ((2,4)), \(4\cdot2+4=12\), so it lies on the boundary. Exam tip: For boundary checking, replace the inequality by its equation.
दूसरी असमानता (x+y>4) है जो \(x+y\leq 3\) से मेल नहीं खाती। परीक्षा सुझाव: समान गुणज वाली रेखाओं को पहले सरल करें। / The second inequality is (x+y>4), which cannot overlap with \(x+y\leq 3\). Exam tip: Simplify proportional boundary lines first.
\(x-1\leq 3\) से \(x\leq 4\) मिलता है और सभी सीमाएँ शामिल हैं। परीक्षा सुझाव: छिपी हुई ऊपरी सीमा तुलना से मिलती है। / From \(x-1\leq 3\), we get \(x\leq 4\), and all boundaries are included. Exam tip: A hidden upper bound may come from comparing inequalities.
अक्षीय कटान ((16,0)) और ((0,4)) हैं, जिनमें मूल बिंदु से दूरी (16) और (4) है। परीक्षा सुझाव: दूरी तुलना में वर्गों का उपयोग भी कर सकते हैं। / The intercepts are ((16,0)) and ((0,4)), whose distances from the origin are (16) and (4). Exam tip: You can also compare squared distances.
दोनों सीमा रेखाएँ ((2,2)) पर मिलती हैं और वही बाहरी असीमित क्षेत्र का निकटतम कोना है। परीक्षा सुझाव: दो \(\geq\) क्षेत्रों में प्रतिच्छेद बिंदु अक्सर महत्वपूर्ण होता है। / The two boundary lines meet at ((2,2)), which is the nearest corner of the outer unbounded region. Exam tip: In two \(\geq\) regions, the intersection point is often crucial.
C. \(y\leq x-2\), सीमा सहित और मूल बिंदु से दूर/\(y\leq x-2\), with boundary and away from origin
Explanation
Simple Explanation
\(x-y\geq 2\) से \(y\leq x-2\) मिलता है और ((0,0)) इसे असत्य करता है। परीक्षा सुझाव: (y) के चिन्ह पर विशेष ध्यान दें। / The inequality \(x-y\geq 2\) gives \(y\leq x-2\), and ((0,0)) makes it false. Exam tip: Pay close attention to the sign of (y).
शीर्ष ((-1,-2)), ((-1,6)), ((7,-2)) हैं और लंबवत भुजाएँ (8), (8) हैं। परीक्षा सुझाव: ऋणात्मक सीमाओं में कटान सावधानी से निकालें। / The vertices are ((-1,-2)), ((-1,6)), and ((7,-2)), with perpendicular sides (8) and (8). Exam tip: Find intercepts carefully when bounds are negative.
B. दूसरी असमानता सीमा रेखा (x+2y=6) को शामिल करती है/The second inequality includes the boundary line (x+2y=6)
Explanation
Simple Explanation
दोनों का पक्ष समान है लेकिन \(\leq\) में सीमा रेखा शामिल होती है। परीक्षा सुझाव: ग्राफ में ठोस और टूटी रेखा का अंतर अंक दिलाता है। / Both have the same side, but \(\leq\) includes the boundary line. Exam tip: The solid versus dashed line difference earns marks in graph questions.
(x=0) से (8) तक (y) के संभव मान गिनने पर कुल (33) बिंदु मिलते हैं। परीक्षा सुझाव: ऐसे प्रश्नों में प्रत्येक (x) के लिए अधिकतम (y) लिखें। / Counting possible (y)-values for (x=0) to (8) gives a total of (33) points. Exam tip: For such questions, write the maximum (y) for each (x).
दोनों समीकरण हल करने पर (x=2), (y=1) मिलता है। परीक्षा सुझाव: सामान्य क्षेत्र बनाने से पहले सीमा रेखाओं के प्रतिच्छेद निकालें। / Solving the two equations gives (x=2), (y=1). Exam tip: Find boundary intersections before drawing the common region.
वर्ग \(0\leq x\leq 4\), \(0\leq y\leq 4\) में \(x+y\geq 6\) ऊपर-दाईं त्रिभुज छोड़ता है। परीक्षा सुझाव: पहले बड़ा क्षेत्र बनाकर फिर कटान करें। / Inside the square \(0\leq x\leq 4\), \(0\leq y\leq 4\), the condition \(x+y\geq 6\) leaves the upper-right triangle. Exam tip: Draw the larger region first and then cut it.
(x)-अक्ष पर (y=0) होता है और नीचे के लिए (y<0) चाहिए। परीक्षा सुझाव: अक्षीय रेखाओं को भी सीमा रेखा की तरह देखें। / On the (x)-axis, (y=0), and below it requires (y<0). Exam tip: Treat axis lines as boundary lines too.
कटान ((9,0)) और ((0,6)) हैं इसलिए क्षेत्रफल \(\frac{1}{2}\cdot9\cdot6=27\) है। परीक्षा सुझाव: कटान गलत होने पर पूरा ग्राफ गलत हो सकता है। / The intercepts are ((9,0)) and ((0,6)), so the area is \(\frac{1}{2}\cdot9\cdot6=27\). Exam tip: Wrong intercepts can make the whole graph wrong.
हर बिंदु के लिए (x-2y) या तो (4) से कम-बराबर होगा या (4) से बड़ा होगा। परीक्षा सुझाव: या वाले प्रश्न में क्षेत्रों का संघ सोचें। / For every point, (x-2y) is either at most (4) or greater than (4). Exam tip: In or questions, think of the union of regions.
((2,3)) में (3>2) और (2+3<6) दोनों सत्य हैं। परीक्षा सुझाव: खुली सीमा पर बराबरी वाले विकल्प तुरंत हटाएँ। / For ((2,3)), both (3>2) and (2+3<6) are true. Exam tip: Immediately reject options with equality on open boundaries.
(y=0) से ((0,0)), ((6,0)) और (2x=-x+6) से ((2,4)) मिलता है। परीक्षा सुझाव: अक्ष और तिरछी रेखाओं के प्रतिच्छेद अलग-अलग निकालें। / From (y=0), we get ((0,0)) and ((6,0)), and (2x=-x+6) gives ((2,4)). Exam tip: Find axis and slant-line intersections separately.
दो समानांतर रेखाओं और अक्षों के बीच प्रथम चतुर्थांश में सीमित चतुर्भुज बनता है। परीक्षा सुझाव: समानांतर रेखाओं के बीच के क्षेत्र को अक्षों से काटकर देखें। / Between the two parallel lines and the axes, a bounded quadrilateral is formed in the first quadrant. Exam tip: View the strip between parallel lines after cutting it by the axes.
D. \(y\leq 2x+3\), सीमा सहित/\(y\leq 2x+3\), with boundary
Explanation
Simple Explanation
ऋण से भाग देने पर \(y\leq 2x+3\) मिलता है और \(\geq\) के कारण सीमा शामिल है। परीक्षा सुझाव: असमानता पलटने के बाद सीमा का प्रकार अलग से जाँचें। / Dividing by a negative gives \(y\leq 2x+3\), and the boundary is included because the inequality is non-strict. Exam tip: After reversing the sign, check boundary type separately.
दिया गया त्रिभुज प्रथम चतुर्थांश में रेखा (x+y=5) के नीचे है। परीक्षा सुझाव: शीर्षों से पहले अक्षीय शर्तें पहचानें। / The given triangle lies in the first quadrant below the line (x+y=5). Exam tip: Identify axis conditions from vertices first.
दोनों असमानताएँ कठोर हैं इसलिए दोनों सीमा रेखाएँ हटाई जाती हैं। परीक्षा सुझाव: हर असमानता का सीमा-प्रकार अलग-अलग तय करें। / Both inequalities are strict, so both boundary lines are excluded. Exam tip: Decide boundary type separately for each inequality.
