Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है
खुला बिंदु (-9) को बाहर रखता है और बंद बिंदु (-1) को शामिल करता है। परीक्षा में खुले endpoint के लिए गोल कोष्ठक लगाएँ। / The open dot excludes (-9), and the closed dot includes (-1). In exams, use a round bracket for an open endpoint.
D. \(x\ge6\), (6) पर बंद बिंदु और दाईं ओर/\(x\ge6\), closed dot at (6) shaded right
Explanation
Simple Explanation
\(3x\ge18\) से \(x\ge6\) मिलता है। परीक्षा में \(\ge\) होने पर boundary point को शामिल करें। / \(3x\ge18\) gives \(x\ge6\). In exams, include the boundary point when the sign is \(\ge\).
पहला भाग (-4) से पहले खुला है और दूसरा (3) सहित दाईं ओर है। परीक्षा में \(\cup\) को "या" की तरह पढ़ें। / The first part is open before (-4), and the second starts from (3) inclusive. In exams, read \(\cup\) as or.
सभी भागों को (3) से गुणा करने पर \(-6\le x+5<12\), इसलिए \(-11\le x<7\)। परीक्षा में compound inequality में हर भाग पर समान operation करें। / Multiplying all parts by (3) gives \(-6\le x+5<12\), so \(-11\le x<7\). In exams, apply the same operation to every part of a compound inequality.
\(-\frac{5}{2}\) से बड़े पूर्णांक (-2) से शुरू होते हैं और \(\frac{13}{3}\) तक (4) अंतिम पूर्णांक है। परीक्षा में fractional boundary पर valid integer चुनें। / Integers greater than \(-\frac{5}{2}\) start at (-2), and the last integer up to \(\frac{13}{3}\) is (4). In exams, choose valid integers at fractional boundaries.
दिए गए interval में (-6) शामिल है और (2) शामिल नहीं है, इसलिए complement में (-6) हटेगा और (2) शामिल होगा। परीक्षा में complement लेते समय endpoints उलटकर जाँचें। / The given interval includes (-6) and excludes (2), so the complement excludes (-6) and includes (2). In exams, check endpoints carefully while taking complements.
\(-9\le4x+1\le9\) से \(-10\le4x\le8\), इसलिए \(-\frac{5}{2}\le x\le2\)। परीक्षा में \(\le\) वाले modulus में closed interval लें। / \(-9\le4x+1\le9\) gives \(-10\le4x\le8\), so \(-\frac{5}{2}\le x\le2\). In exams, modulus with \(\le\) gives a closed interval.
साझा भाग (-2) से (3) तक है और दोनों endpoints बाहर हैं। परीक्षा में \(\cap\) के लिए केवल overlapping region लें। / The common part is from (-2) to (3), and both endpoints are excluded. In exams, take only the overlapping region for \(\cap\).
A. (x<2), (2) पर खुला बिंदु और बाईं ओर/(x<2), open dot at (2) shaded left
Explanation
Simple Explanation
(8-6x-3>-7) से (5-6x>-7), इसलिए (x<2)। परीक्षा में negative coefficient से divide करते समय sign reverse करें। / (8-6x-3>-7) gives (5-6x>-7), so (x<2). In exams, reverse the sign when dividing by a negative coefficient.
पहली शर्त (x<5) देती है और दूसरी \(x\ge-4\), इसलिए साझा हल ([-4,5)) है। परीक्षा में "और" का अर्थ common shaded part होता है। / The first condition gives (x<5), and the second gives \(x\ge-4\), so the common solution is ([-4,5)). In exams, and means the common shaded part.
पहला भाग (-3) को शामिल करता है और दूसरा (-3) के बाद शुरू होता है, इसलिए gap नहीं बचता। परीक्षा में जुड़े intervals को merge करें। / The first part includes (-3), and the second starts after (-3), so no gap remains. In exams, merge connected intervals.
बंद बिंदु (5) को शामिल करता है और खुला बिंदु (14) को बाहर रखता है। परीक्षा में endpoint देखकर \(\le\) या (<) तय करें। / The closed dot includes (5), and the open dot excludes (14). In exams, decide \(\le\) or (<) from the endpoint.
A. (x>11), (11) पर खुला बिंदु और दाईं ओर/(x>11), open dot at (11) shaded right
Explanation
Simple Explanation
(4x-9>35) से (4x>44), इसलिए (x>11)। परीक्षा में strict inequality में open endpoint बनाएं। / (4x-9>35) gives (4x>44), so (x>11). In exams, make an open endpoint for a strict inequality.
हटाया गया भाग (2) को नहीं हटाता पर (7) को हटाता है। परीक्षा में set difference में हटने वाले endpoints पर ध्यान दें। / The removed part does not remove (2), but it removes (7). In exams, pay attention to the endpoints removed in set difference.
\(x^2\ge64\) से \(|x|\ge8\), इसलिए बाहर के दो closed rays मिलते हैं। परीक्षा में \(\ge\) होने पर boundary points शामिल करें। / \(x^2\ge64\) gives \(|x|\ge8\), so two closed outer rays are obtained. In exams, include boundary points when the sign is \(\ge\).
प्राकृतिक संख्याएँ (4,5,6,7,8,9,10) हैं, इसलिए कुल (7) बिंदु होंगे। परीक्षा में upper strict boundary को न गिनें। / The natural numbers are (4,5,6,7,8,9,10), so there are (7) points. In exams, do not count the strict upper boundary.
कोई संख्या एक साथ (7) से कम या बराबर और (7) से बड़ी नहीं हो सकती। परीक्षा में विरोधी शर्तों का intersection रिक्त होता है। / No number can be less than or equal to (7) and greater than (7) at the same time. In exams, contradictory conditions have an empty intersection.
\(x\ne9\) में पूरी संख्या रेखा ली जाती है लेकिन (9) हटाया जाता है। परीक्षा में हटे हुए बिंदु को open circle से दिखाएँ। / For \(x\ne9\), the whole number line is taken except (9). In exams, show the removed point with an open circle.
पहली असमानता से \(-2\le x\le4\) और दूसरी से (x>0), इसलिए common भाग ((0,4]) है। परीक्षा में extra condition लगाकर intersection लें। / The first inequality gives \(-2\le x\le4\), and the second gives (x>0), so the common part is ((0,4]). In exams, apply the extra condition as an intersection.
पहला interval (-5) को शामिल करता है और दूसरा (-5) के बाद शुरू होता है, इसलिए कोई gap नहीं है। परीक्षा में touching intervals को merge करें। / The first interval includes (-5), and the second starts after (-5), so there is no gap. In exams, merge touching intervals.
\(|x+2|\le5\) से \(-7\le x\le3\), इसलिए कुल (11) पूर्णांक हैं। परीक्षा में closed interval में endpoints भी गिनें। / \(|x+2|\le5\) gives \(-7\le x\le3\), so there are (11) integers. In exams, count endpoints in a closed interval.
\(x\le-2\) में (-2) शामिल है और (4<x<10) में दोनों सिरे बाहर हैं। परीक्षा में "या" को union से लिखें। / In \(x\le-2\), (-2) is included, and in (4<x<10), both endpoints are excluded. In exams, write or using union.
A. \(x\le7\), (7) पर बंद बिंदु और बाईं ओर/\(x\le7\), closed dot at (7) shaded left
Explanation
Simple Explanation
\(11-3x\ge-10\) से \(-3x\ge-21\), इसलिए \(x\le7\)। परीक्षा में ऋणात्मक से divide करते समय inequality reverse करें। / \(11-3x\ge-10\) gives \(-3x\ge-21\), so \(x\le7\). In exams, reverse the inequality while dividing by a negative.
बंद endpoints के कारण (0) और (12) शामिल हैं और बाहर की दो rays ली जाती हैं। परीक्षा में outer shading को दो intervals की union समझें। / Because the endpoints are closed, (0) and (12) are included, and two outer rays are taken. In exams, read outer shading as a union of two intervals.
(6) से गुणा करने पर (2x-8<2x+5) यानी (-8<5), जो हमेशा सत्य है। परीक्षा में (x) पद कटने पर शेष कथन की सत्यता जाँचें। / Multiplying by (6) gives (2x-8<2x+5), that is (-8<5), which is always true. In exams, when (x)-terms cancel, check the truth of the remaining statement.
साझा भाग (6) से (15) तक है और दोनों सिरे शामिल हैं। परीक्षा में closed boundaries को intersection में बनाए रखें। / The common part is from (6) to (15), and both endpoints are included. In exams, keep closed boundaries in the intersection.
हटाया गया भाग (-2) को हटाता है पर (1) को नहीं हटाता। परीक्षा में set difference में बचने वाले endpoints अलग से जाँचें। / The removed part removes (-2) but does not remove (1). In exams, check the remaining endpoints separately in set difference.
(|x+6|>3) से (x<-9) या (x>-3) मिलता है। परीक्षा में (>) वाले modulus में बाहर के खुले भाग बनते हैं। / (|x+6|>3) gives (x<-9) or (x>-3). In exams, modulus with (>) gives open outer regions.
दोनों intervals overlap करते हैं और (-7) से (6) तक बिना gap के जाते हैं। परीक्षा में union में पूरा covered region लें। / The intervals overlap and cover from (-7) to (6) without a gap. In exams, take the entire covered region for a union.
साझा भाग (-9) से (-6) तक है और दोनों सिरे शामिल हैं। परीक्षा में intersection में केवल overlapping segment चुनें। / The common part is from (-9) to (-6), and both endpoints are included. In exams, choose only the overlapping segment in an intersection.
A. \(x\ge -1\), (-1) पर बंद बिंदु और दाईं ओर/\(x\ge -1\), closed dot at (-1) shaded right
Explanation
Simple Explanation
\(15-3x\le2x+20\) से \(-5\le5x\), इसलिए \(x\ge-1\)। परीक्षा में final inequality को standard direction में लिखें। / \(15-3x\le2x+20\) gives \(-5\le5x\), so \(x\ge-1\). In exams, write the final inequality in the standard direction.
दिए गए भाग पूरी संख्या रेखा को ढकते हैं लेकिन (2) को नहीं लेते। परीक्षा में missing point पहचानकर interval सरल करें। / The given parts cover the whole number line except (2). In exams, identify the missing point while simplifying intervals.
भाग देने पर \(-4<x\le5\), इसलिए पूर्णांक (-3) से (5) तक कुल (9) हैं। परीक्षा में open lower boundary को count न करें। / Dividing gives \(-4<x\le5\), so integers from (-3) to (5) total (9). In exams, do not count an open lower boundary.
\(8\le3x-1\le20\) से \(9\le3x\le21\), इसलिए \(3\le x\le7\)। परीक्षा में closed compound inequality से closed interval मिलता है। / \(8\le3x-1\le20\) gives \(9\le3x\le21\), so \(3\le x\le7\). In exams, a closed compound inequality gives a closed interval.
पहला भाग (-2) तक है और दूसरा (-2) के बाद शुरू होता है, इसलिए कोई common point नहीं है। परीक्षा में endpoint inclusion देखकर intersection तय करें। / The first part goes up to (-2), and the second starts after (-2), so there is no common point. In exams, decide intersection after checking endpoint inclusion.
खुला बिंदु (13) को बाहर रखता है और बाईं ओर shading (x<13) बताती है। परीक्षा में left ray को less than side समझें। / The open dot excludes (13), and left shading means (x<13). In exams, read a left ray as the less than side.
B. \(x\ge-2\), (-2) पर बंद बिंदु और दाईं ओर/\(x\ge-2\), closed dot at (-2) shaded right
Explanation
Simple Explanation
(-4) से गुणा करने पर चिन्ह पलटकर \(x-10\ge-12\), इसलिए \(x\ge-2\)। परीक्षा में negative denominator हटाते समय sign reverse करें। / Multiplying by (-4) reverses the sign to \(x-10\ge-12\), so \(x\ge-2\). In exams, reverse the sign when removing a negative denominator.
सिर्फ (-5) हटाया गया है, इसलिए दोनों ओर shading और (-5) पर open point होगा। परीक्षा में इसे \(x\ne-5\) के रूप में पहचानें। / Only (-5) is removed, so both sides are shaded with an open point at (-5). In exams, identify it as \(x\ne-5\).
पहला interval (-3) को शामिल करता है और दूसरा (-3) के बाद शुरू होता है, इसलिए gap नहीं बचता। परीक्षा में connected intervals को एक interval में बदलें। / The first interval includes (-3), and the second starts after (-3), so no gap remains. In exams, change connected intervals into one interval.
Common भाग (6) से बड़ा और (11) से छोटा है, इसलिए दोनों endpoints खुले हैं। परीक्षा में intersection में दोनों conditions साथ पढ़ें। / The common part is greater than (6) and less than (11), so both endpoints are open. In exams, read both conditions together in an intersection.
A. \(x\le19\), (19) पर बंद बिंदु और बाईं ओर/\(x\le19\), closed dot at (19) shaded left
Explanation
Simple Explanation
(6) से गुणा करने पर \(4x+14\le3x+33\), इसलिए \(x\le19\)। परीक्षा में भिन्न हटाने के लिए LCM से गुणा करें। / Multiplying by (6) gives \(4x+14\le3x+33\), so \(x\le19\). In exams, multiply by the LCM to clear fractions.
\(-\frac{17}{4}\) से बड़ा पहला पूर्णांक (-4) है और \(\frac{7}{3}\) तक अंतिम पूर्णांक (2) है। परीक्षा में fractional boundary पर valid integer ध्यान से चुनें। / The first integer greater than \(-\frac{17}{4}\) is (-4), and the last integer up to \(\frac{7}{3}\) is (2). In exams, choose valid integers carefully at fractional boundaries.
पहला common भाग ([-5,-3]) है और दूसरा ((2,4]) है। परीक्षा में union के हर भाग का intersection अलग-अलग निकालें। / The first common part is ([-5,-3]), and the second is ((2,4]). In exams, find the intersection of each union part separately.
\(|3x-4|\ge11\) से \(3x-4\le-11\) या \(3x-4\ge11\), इसलिए \(x\le-\frac{7}{3}\) या \(x\ge5\)। परीक्षा में \(\ge\) वाले modulus में बाहर के closed rays बनते हैं। / \(|3x-4|\ge11\) gives \(3x-4\le-11\) or \(3x-4\ge11\), so \(x\le-\frac{7}{3}\) or \(x\ge5\). In exams, modulus with \(\ge\) gives closed outer rays.
हटाया गया भाग (-2) को हटाता है पर (4) को नहीं हटाता। परीक्षा में set difference में कौन-सा endpoint बचता है, यह अलग से जाँचें। / The removed part removes (-2) but does not remove (4). In exams, check separately which endpoint remains in set difference.
B. \(x>\frac{11}{4}\), \(\frac{11}{4}\) पर खुला बिंदु और दाईं ओर/\(x>\frac{11}{4}\), open dot at \(\frac{11}{4}\) shaded right
Explanation
Simple Explanation
(-2) से गुणा करने पर चिन्ह पलटकर (5-4x<-6), इसलिए \(x>\frac{11}{4}\)। परीक्षा में negative denominator हटाते समय inequality reverse करें। / Multiplying by (-2) reverses the sign to (5-4x<-6), so \(x>\frac{11}{4}\). In exams, reverse the inequality when removing a negative denominator.
