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रेखीय फलन (f(x)=x+3) हर वास्तविक (x) के लिए परिभाषित है। परीक्षा में हर रेखीय फलन का प्रांत सामान्यतः \(\mathbb{R}\) लें। / The linear function (f(x)=x+3) is defined for every real (x). In exams, the domain of a basic linear function is usually \(\mathbb{R}\).
किसी भी वास्तविक (x) के लिए \(x^2 \ge 0\) होता है। इसलिए सबसे छोटा मान (0) है और परिसर \([0,\infty\)) है। / For every real (x), \(x^2 \ge 0\). So the least value is (0), and the range is \([0,\infty\)).
वर्गमूल वास्तविक होने के लिए \(x \ge 0\) चाहिए। इसलिए प्रांत \([0,\infty\)) है। / For the square root to be real, \(x \ge 0\) is required. Hence the domain is \([0,\infty\)).
हर में (x) है, इसलिए (x=0) पर फलन परिभाषित नहीं है। परीक्षा में हर को (0) न बनने दें। / The denominator is (x), so the function is not defined at (x=0). In exams, make sure the denominator is not (0).
यह स्थिर फलन है और हर (x) पर मान (5) ही देता है। स्थिर फलन का परिसर एकल समुच्चय होता है। / This is a constant function and gives only the value (5). The range of a constant function is a singleton set.
(f(3)=2(3)-1=5) है। मान निकालते समय (x) की जगह दिए गए मान को रखें। / (f(3)=2(3)-1=5). To evaluate a function, substitute the given value in place of (x).
वर्गमूल के अंदर \(x-2 \ge 0\) होना चाहिए। इसलिए \(x \ge 2\) और प्रांत \([2,\infty\)) है। / The expression inside the square root must satisfy \(x-2 \ge 0\). Thus \(x \ge 2\), so the domain is \([2,\infty\)).
क्योंकि \(x^2 \ge 0\), इसलिए \(x^2+1 \ge 1\) है। न्यूनतम मान (1) पर मिलता है। / Since \(x^2 \ge 0\), we have \(x^2+1 \ge 1\). The minimum value is (1).
हर (x-4) है, इसलिए (x=4) पर हर (0) बनता है। इसीलिए (4) को प्रांत से हटाते हैं। / The denominator is (x-4), so at (x=4) it becomes (0). Hence (4) is excluded from the domain.
A. प्रांत \(\mathbb{R}\), परिसर \(\mathbb{R}\)/Domain \(\mathbb{R}\), range \(\mathbb{R}\)
Explanation
Simple Explanation
घन फलन हर वास्तविक (x) के लिए परिभाषित है और हर वास्तविक मान ले सकता है। इसलिए दोनों \(\mathbb{R}\) हैं। / The cubic function is defined for every real (x) and can take every real value. Hence both are \(\mathbb{R}\).
(1,2,3) रखने पर मान (2,3,4) मिलते हैं। सीमित प्रांत में हर तत्व पर फलन लगाएँ। / Substituting (1,2,3) gives (2,3,4). For a finite domain, apply the function to each element.
वर्गमूल के अंदर \(x+3 \ge 0\) होना चाहिए। इसलिए \(x \ge -3\) है। / The expression inside the square root must satisfy \(x+3 \ge 0\). Therefore \(x \ge -3\).
(|x-2|) का मान कभी ऋणात्मक नहीं होता और (x=2) पर (0) हो जाता है। इसलिए न्यूनतम मान (0) है। / (|x-2|) is never negative and becomes (0) at (x=2). Hence the minimum value is (0).
हर (x+1) है, इसलिए (x=-1) पर हर (0) हो जाता है। इस मान को प्रांत से हटाते हैं। / The denominator is (x+1), so it becomes (0) at (x=-1). This value is removed from the domain.
वर्गमूल के लिए \(9-x^2 \ge 0\) चाहिए। इससे \(x^2 \le 9\), यानी \(-3 \le x \le 3\) मिलता है। / For the square root, \(9-x^2 \ge 0\) is needed. This gives \(x^2 \le 9\), that is \(-3 \le x \le 3\).
शर्त \(9-x^2 \ge 0\) से ([-3,3]) मिलता है। सिरों को शामिल करें क्योंकि वर्गमूल (0) हो सकता है। / The condition \(9-x^2 \ge 0\) gives ([-3,3]). Include the endpoints because the square root can be (0).
क्योंकि \(x^2 \ge 0\), इसलिए \(x^2-4 \ge -4\) है। न्यूनतम मान (x=0) पर (-4) है। / Since \(x^2 \ge 0\), \(x^2-4 \ge -4\). The minimum value is (-4) at (x=0).
\(x^2\) का न्यूनतम मान (0) है, इसलिए \(x^2-4\) का न्यूनतम मान (-4) है। अतः परिसर \([-4,\infty\)) है। / The minimum value of \(x^2\) is (0), so the minimum value of \(x^2-4\) is (-4). Hence the range is \([-4,\infty\)).
((-1)2=1), \(0^2=0\), और \(1^2=1\) हैं। अलग-अलग प्राप्त मान ({0,1}) हैं। / ((-1)2=1), \(0^2=0\), and \(1^2=1\). The distinct output values are ({0,1}).
हर \(x^2\) है और (x=0) पर यह (0) बनता है। इसलिए (0) प्रांत में नहीं होगा। / The denominator is \(x^2\), and it becomes (0) at (x=0). Therefore (0) is not in the domain.
\(x \ne 0\) होने पर \(x^2>0\), इसलिए \(\frac{1}{x^2}>0\) है। मान (0) कभी नहीं मिलता। / When \(x \ne 0\), \(x^2>0\), so \(\frac{1}{x^2}>0\). The value (0) is never obtained.
\(x^2\) का सबसे छोटा मान (0) होता है। इसलिए \(x^2+4\) का सबसे छोटा मान (4) है। / The least value of \(x^2\) is (0). Therefore the least value of \(x^2+4\) is (4).
क्योंकि \(x^2 \ge 0\), इसलिए \(x^2+4 \ge 4\) है। अतः परिसर \([4,\infty\)) है। / Since \(x^2 \ge 0\), \(x^2+4 \ge 4\). Hence the range is \([4,\infty\)).
\(\sqrt{x^2}\) का मान हमेशा गैर-ऋणात्मक होता है, इसलिए यह (|x|) के बराबर है। सामान्य गलती इसे सीधे (x) लिखना है। / \(\sqrt{x^2}\) is always non-negative, so it equals (|x|). A common mistake is writing it directly as (x).
A. जिसका हर मान \(\mathbb{R}\) में हो/Its every value lies in \(\mathbb{R}\)
Explanation
Simple Explanation
वास्तविक मान वाला फलन वह है जिसके निर्गत मान वास्तविक संख्याएँ होते हैं। यहाँ मुख्य ध्यान सहप्रांत या मानों पर होता है। / A real valued function has output values in the real numbers. The key focus is on the codomain or values.
\(f:A\to\mathbb{R}\) में (A) इनपुट समुच्चय है। इसलिए (A) प्रांत कहलाता है। / In \(f:A\to\mathbb{R}\), (A) is the input set. Hence (A) is called the domain.
\(f:A\to\mathbb{R}\) में \(\mathbb{R}\) वह समुच्चय है जिसमें मान जाने हैं। यह सहप्रांत कहलाता है। / In \(f:A\to\mathbb{R}\), \(\mathbb{R}\) is the set where outputs are expected to lie. It is called the codomain.
((-2)2=4) और \(2^2=4\), इसलिए केवल एक अलग मान मिलता है। परिसर में दोहराए गए मान एक बार लिखते हैं। / ((-2)2=4) and \(2^2=4\), so only one distinct value is obtained. Repeated values are written once in the range.
शर्त \(4-2x \ge 0\) से \(x \le 2\) मिलता है। इसलिए प्रांत (\(-\infty,2]\) है। / The condition \(4-2x \ge 0\) gives \(x \le 2\). Thus the domain is (\(-\infty,2]\).
(|x|) का न्यूनतम मान (0) है, इसलिए (3-|x|) अधिकतम (3) होगा। यह (x=0) पर मिलता है। / The minimum value of (|x|) is (0), so (3-|x|) is maximum at (3). This occurs at (x=0).
(|x|) जितना बड़ा होगा, (3-|x|) उतना छोटा होगा। अधिकतम (3) है और नीचे कोई सीमा नहीं है। / As (|x|) becomes larger, (3-|x|) becomes smaller. The maximum is (3), and there is no lower bound.
(f(5)=\frac{5+1}{2}=3) है। भिन्न वाले फलन में पहले कोष्ठक का मान निकालें। / (f(5)=\frac{5+1}{2}=3). In a fractional expression, evaluate the numerator carefully first.
वर्ग ((x-1)2) हमेशा (0) या धनात्मक है। (x=1) पर न्यूनतम (0) मिलता है। / The square ((x-1)2) is always (0) or positive. At (x=1), the minimum (0) is obtained.
((x+2)2) का न्यूनतम मान (0) है। इसलिए पूरा फलन न्यूनतम (1) देता है। / The minimum value of ((x+2)2) is (0). Therefore the whole function has minimum value (1).
\(x^2+4\) हर वास्तविक (x) के लिए धनात्मक है। इसलिए हर कभी (0) नहीं बनता। / \(x^2+4\) is positive for every real (x). Therefore the denominator never becomes (0).
\(\sqrt{x}\) वास्तविक होने के लिए \(x \ge 0\) चाहिए। (2) से गुणा करने पर प्रांत नहीं बदलता। / For \(\sqrt{x}\) to be real, \(x \ge 0\) is needed. Multiplication by (2) does not change the domain.
\(\sqrt{x}\ge 0\) होता है, इसलिए \(2\sqrt{x}\ge 0\) है। (x=0) पर मान (0) मिलता है। / \(\sqrt{x}\ge 0\), so \(2\sqrt{x}\ge 0\). At (x=0), the value is (0).
हर में \(\sqrt{x-1}\) है, इसलिए (x-1>0) चाहिए। इस कारण (x>1) और प्रांत (\(1,\infty\)) है। / The denominator is \(\sqrt{x-1}\), so (x-1>0) is required. Thus (x>1), and the domain is (\(1,\infty\)).
(|x+1|) का न्यूनतम मान (0) है। इसलिए (|x+1|-3) का न्यूनतम मान (-3) है। / The minimum value of (|x+1|) is (0). Therefore the minimum value of (|x+1|-3) is (-3).
रेखीय फलन (x-7) हर वास्तविक (x) के लिए परिभाषित है। इसलिए इसका प्रांत \(\mathbb{R}\) है। / The linear function (x-7) is defined for every real (x). Hence its domain is \(\mathbb{R}\).
(7-2x) एक अस्थिर रेखीय फलन है और हर वास्तविक मान ले सकता है। इसलिए इसका परिसर \(\mathbb{R}\) है। / (7-2x) is a non-constant linear function and can take every real value. Therefore its range is \(\mathbb{R}\).
वर्गमूल वास्तविक होने के लिए \(x-5 \ge 0\) चाहिए। इसलिए सही शर्त \(x \ge 5\) है। / For the square root to be real, \(x-5 \ge 0\) is required. So the correct condition is \(x \ge 5\).
\(x-5 \ge 0\) से \(x \ge 5\) मिलता है। सिरा (5) शामिल है क्योंकि वर्गमूल (0) हो सकता है। / From \(x-5 \ge 0\), we get \(x \ge 5\). The endpoint (5) is included because the square root can be (0).
वर्गमूल के अंदर \(8-x \ge 0\) होना चाहिए। इससे \(x \le 8\) और प्रांत (\(-\infty,8]\) मिलता है। / The expression inside the square root must satisfy \(8-x \ge 0\). This gives \(x \le 8\), so the domain is (\(-\infty,8]\).
हर (x-6) है और (x=6) पर हर (0) बन जाता है। इसलिए (6) प्रांत में नहीं होगा। / The denominator is (x-6), and it becomes (0) at (x=6). Therefore (6) is not in the domain.
हर (x+5) है और (x=-5) पर यह (0) होता है। इसलिए (-5) को प्रांत से हटाते हैं। / The denominator is (x+5), and it becomes (0) at (x=-5). Hence (-5) is excluded from the domain.
(2,4,6) रखने पर मान (1,2,3) मिलते हैं। सीमित प्रांत में हर तत्व का मान निकालें। / Substituting (2,4,6) gives (1,2,3). For a finite domain, find the value for each element.
\(x^2\) का न्यूनतम मान (0) है, इसलिए \(x^2+9\) का न्यूनतम मान (9) है। अतः परिसर \([9,\infty\)) है। / The minimum value of \(x^2\) is (0), so the minimum value of \(x^2+9\) is (9). Thus the range is \([9,\infty\)).
((x-2)2) का न्यूनतम मान (0) है। इसलिए (5-(x-2)2) का अधिकतम मान (5) है। / The minimum value of ((x-2)2) is (0). Therefore the maximum value of (5-(x-2)2) is (5).
((x-2)2\ge 0), इसलिए (5-(x-2)2\le 5) है। नीचे कोई सीमा नहीं है, इसलिए परिसर (\(-\infty,5]\) है। / Since ((x-2)2\ge 0), (5-(x-2)2\le 5). There is no lower bound, so the range is (\(-\infty,5]\).
(|x-4|) का न्यूनतम मान (0) होता है। इसलिए (|x-4|+1) का न्यूनतम मान (1) है। / The minimum value of (|x-4|) is (0). Hence the minimum value of (|x-4|+1) is (1).
(|x+2|) का न्यूनतम मान (0) है। इसलिए (6-|x+2|) का अधिकतम मान (6) है। / The minimum value of (|x+2|) is (0). Therefore the maximum value of (6-|x+2|) is (6).
(|x+2|) बड़ा होने पर (6-|x+2|) छोटा होता जाता है। अधिकतम (6) है और नीचे कोई सीमा नहीं है। / As (|x+2|) becomes larger, (6-|x+2|) becomes smaller. The maximum is (6), and there is no lower bound.
(f(8)=\sqrt{8+1}=\sqrt{9}=3) है। वर्गमूल निकालते समय अंदर का मान पहले जोड़ें। / (f(8)=\sqrt{8+1}=\sqrt{9}=3). Add inside the radical before taking the square root.
वर्गमूल के अंदर \(x+10 \ge 0\) चाहिए। इससे \(x \ge -10\) मिलता है। / The expression inside the square root must satisfy \(x+10 \ge 0\). This gives \(x \ge -10\).
\(12-3x \ge 0\) से \(x \le 4\) मिलता है। इसलिए प्रांत (\(-\infty,4]\) है। / From \(12-3x \ge 0\), we get \(x \le 4\). Therefore the domain is (\(-\infty,4]\).
हर \(x^2-9\) है और \(x^2-9=0\) से \(x=\pm3\) मिलता है। इसलिए (-3) और (3) हटेंगे। / The denominator is \(x^2-9\), and \(x^2-9=0\) gives \(x=\pm3\). So (-3) and (3) are excluded.
हर (0) नहीं होना चाहिए और \(x^2-9=0\) पर (x=-3,3) मिलते हैं। इसलिए प्रांत \(\mathbb{R}-{-3,3}\) है। / The denominator must not be (0), and \(x^2-9=0\) gives (x=-3,3). Hence the domain is \(\mathbb{R}-{-3,3}\).
\(x^2+6\) हर वास्तविक (x) के लिए धनात्मक है। इसलिए हर कभी (0) नहीं बनता। / \(x^2+6\) is positive for every real (x). Therefore the denominator never becomes (0).
हर \(x^2+6\) सबसे छोटा (6) तब होता है जब (x=0)। इसलिए भिन्न का मान सबसे बड़ा तब मिलता है। / The denominator \(x^2+6\) is smallest at (6) when (x=0). Therefore the fraction is greatest then.
हर का न्यूनतम मान (6) है, इसलिए अधिकतम मान \(\frac{1}{6}\) है। (0) कभी नहीं मिलता पर मान (0) के पास जा सकता है। / The minimum denominator is (6), so the maximum value is \(\frac{1}{6}\). The value (0) is never reached but can be approached.
वर्गमूल के लिए \(16-x^2 \ge 0\) चाहिए। इससे \(-4 \le x \le 4\) मिलता है। / For the square root, \(16-x^2 \ge 0\) is needed. This gives \(-4 \le x \le 4\).
\(16-x^2\) सबसे बड़ा (16) तब होता है जब (x=0)। इसलिए वर्गमूल का सबसे बड़ा मान (4) है। / \(16-x^2\) is greatest at (16) when (x=0). Therefore the greatest square-root value is (4).
वर्गमूल का मान ऋणात्मक नहीं होता और अधिकतम (4) है। इसलिए परिसर ([0,4]) है। / A square-root value is not negative, and the maximum is (4). Hence the range is ([0,4]).
((x-3)2) का न्यूनतम मान (0) है। इसलिए पूरे फलन का न्यूनतम मान (2) है। / The minimum value of ((x-3)2) is (0). Therefore the minimum value of the whole function is (2).
क्योंकि ((x+1)2\ge 0), इसलिए (2-(x+1)2\le 2) है। अतः परिसर (\(-\infty,2]\) है। / Since ((x+1)2\ge 0), (2-(x+1)2\le 2). Thus the range is (\(-\infty,2]\).
A. इसके निर्गत मान \(\mathbb{R}\) में होते हैं/Its output values lie in \(\mathbb{R}\)
Explanation
Simple Explanation
वास्तविक मान वाले फलन में मान वास्तविक संख्याओं में होते हैं। प्रांत (A) कोई उपयुक्त समुच्चय हो सकता है। / In a real valued function, the values are real numbers. The domain (A) can be any suitable set.
B. सभी प्राप्त वास्तविक मान/All actually obtained real values
Explanation
Simple Explanation
परिसर उन मानों का समुच्चय है जो फलन वास्तव में देता है। इसे सहप्रांत से अलग समझना चाहिए। / The range is the set of values actually produced by the function. It should be understood separately from the codomain.
प्रांत वे मान हैं जिन्हें (x) के रूप में फलन में रखा जा सकता है। प्रांत निकालते समय हर और वर्गमूल की शर्त देखें। / The domain is the set of values that can be used as (x) in the function. While finding it, check denominator and square-root conditions.
हर \(x^2+1\) कभी (0) नहीं होता। इसलिए फलन हर वास्तविक (x) पर परिभाषित है। / The denominator \(x^2+1\) is never (0). Therefore the function is defined for every real (x).
(0,1,2,3) रखने पर मान (1,3,5,7) मिलते हैं। परिसर में केवल प्राप्त मान लिखते हैं। / Substituting (0,1,2,3) gives (1,3,5,7). In the range, write only the obtained values.
\(4x^2\) का न्यूनतम मान (0) है। इसलिए \(4x^2-1\) का न्यूनतम मान (-1) है। / The minimum value of \(4x^2\) is (0). Hence the minimum value of \(4x^2-1\) is (-1).
\(\frac{2x+1}{3}\) अस्थिर रेखीय फलन है। (x) वास्तविक होने पर इसका परिसर \(\mathbb{R}\) है। / \(\frac{2x+1}{3}\) is a non-constant linear function. When (x) is real, its range is \(\mathbb{R}\).
यह स्थिर फलन है और हर इनपुट पर केवल (-4) देता है। इसलिए परिसर ({-4}) है। / This is a constant function and gives only (-4) for every input. Hence the range is ({-4}).
\(\sqrt{x}\) ([0,9]) पर (0) से (3) तक मान लेता है। इसलिए परिसर ([0,3]) है। / \(\sqrt{x}\) takes values from (0) to (3) on ([0,9]). Therefore the range is ([0,3]).
अंतराल ([-2,3]) में (0) शामिल है, इसलिए न्यूनतम मान (0) है। सबसे बड़ा वर्ग \(3^2=9\) है, इसलिए परिसर ([0,9]) है। / The interval ([-2,3]) includes (0), so the minimum value is (0). The largest square is \(3^2=9\), so the range is ([0,9]).
रेखीय फलन (f(x)=x+5) हर वास्तविक (x) पर परिभाषित है। परीक्षा में रेखीय फलन का डोमेन सामान्यतः \(\mathbb{R}\) याद रखें। / The linear function (f(x)=x+5) is defined for every real (x). In exams remember that a linear function usually has domain \(\mathbb{R}\).
किसी भी वास्तविक (x) के लिए \(x^2 \ge 0\) होता है। परीक्षा में वर्ग फलन की न्यूनतम वैल्यू (0) याद रखें। / For every real (x), \(x^2 \ge 0\). In exams remember that the square function has minimum value (0).
वर्गमूल के लिए \(x-2 \ge 0\) होना चाहिए इसलिए \(x \ge 2\)। परीक्षा में वर्गमूल के अंदर की राशि को \( \ge 0\) रखें। / For a square root, \(x-2 \ge 0\), so \(x \ge 2\). In exams keep the expression under the square root \( \ge 0\).
हर में \(x-3 \ne 0\) होना चाहिए इसलिए \(x \ne 3\)। परीक्षा में हर को कभी (0) न होने दें। / The denominator must satisfy \(x-3 \ne 0\), so \(x \ne 3\). In exams never allow the denominator to become (0).
वर्गमूल के लिए \(5-x \ge 0\) इसलिए \(x \le 5\)। परीक्षा में असमानता हल करते समय चिन्ह ध्यान से बदलें। / For the square root, \(5-x \ge 0\), so \(x \le 5\). In exams handle the inequality sign carefully while solving.
क्योंकि \(x^2 \ge 0\) इसलिए \(x^2+1 \ge 1\)। परीक्षा में ऊपर या नीचे शिफ्ट से रेंज बदलती है। / Since \(x^2 \ge 0\), \(x^2+1 \ge 1\). In exams a vertical shift changes the range.
मापांक फलन हर वास्तविक (x) के लिए परिभाषित रहता है। परीक्षा में मापांक में डोमेन पर अलग रोक नहीं होती। / A modulus function is defined for every real (x). In exams modulus does not usually create a domain restriction.
अशून्य ढाल वाला रेखीय फलन सभी वास्तविक आउटपुट दे सकता है। परीक्षा में (ax+b) के लिए \(a \ne 0\) हो तो रेंज \(\mathbb{R}\) होती है। / A linear function with non-zero slope can produce all real outputs. In exams (ax+b) has range \(\mathbb{R}\) when \(a \ne 0\).
स्थिर फलन हमेशा एक ही आउटपुट (7) देता है। परीक्षा में स्थिर फलन की रेंज एकल समुच्चय होती है। / A constant function always gives the same output (7). In exams the range of a constant function is a singleton set.
हर में \(x+4 \ne 0\) इसलिए \(x \ne -4\)। परीक्षा में हर को शून्य बनाने वाली वैल्यू हटाएं। / The denominator needs \(x+4 \ne 0\), so \(x \ne -4\). In exams remove the value that makes the denominator zero.
वर्गमूल के लिए \(x+6 \ge 0\) इसलिए \(x \ge -6\)। परीक्षा में सीमा बिंदु शामिल होगा क्योंकि वर्गमूल (0) पर परिभाषित है। / For the square root, \(x+6 \ge 0\), so \(x \ge -6\). In exams the endpoint is included because square root is defined at (0).
क्योंकि \(\sqrt{x} \ge 0\) इसलिए \(\sqrt{x}+3 \ge 3\)। परीक्षा में ऊपर (3) जोड़ने से न्यूनतम वैल्यू (3) हो जाती है। / Since \(\sqrt{x} \ge 0\), \(\sqrt{x}+3 \ge 3\). In exams adding (3) shifts the minimum value to (3).
हर \(x^2+1\) कभी (0) नहीं होता क्योंकि \(x^2 \ge 0\)। परीक्षा में हर की न्यूनतम वैल्यू जांचें। / The denominator \(x^2+1\) is never (0) because \(x^2 \ge 0\). In exams check the minimum value of the denominator.
इनपुट (0,1,2) पर आउटपुट (2,3,6) मिलते हैं। परीक्षा में सीमित डोमेन हो तो हर इनपुट की वैल्यू निकालें। / For inputs (0,1,2), the outputs are (2,3,6). In exams, for a finite domain, calculate the value for each input.
हर (x-2) को (0) नहीं होना चाहिए इसलिए \(x \ne 2\)। परीक्षा में भिन्न वाले फलन में हर पहले जांचें। / The denominator (x-2) must not be (0), so \(x \ne 2\). In exams check the denominator first in fractional functions.
वर्गमूल के लिए \(2x+8 \ge 0\) इसलिए \(x \ge -4\)। परीक्षा में पहले (2x+8) को \( \ge 0\) रखें। / For the square root, \(2x+8 \ge 0\), so \(x \ge -4\). In exams first put (2x+8) as \( \ge 0\).
(5-x) एक अशून्य ढाल वाला रेखीय फलन है इसलिए सभी वास्तविक वैल्यू दे सकता है। परीक्षा में ऋणात्मक ढाल से भी रेंज \(\mathbb{R}\) रहती है। / (5-x) is a linear function with non-zero slope, so it can give all real values. In exams a negative slope still gives range \(\mathbb{R}\).
क्योंकि \(|x-2| \ge 0\) इसलिए \(|x-2|+1 \ge 1\)। परीक्षा में मापांक की न्यूनतम वैल्यू उसके शून्य पर देखें। / Since \(|x-2| \ge 0\), \(|x-2|+1 \ge 1\). In exams check the minimum of modulus where it becomes zero.
हर \(x^2-9 \ne 0\) इसलिए \(x \ne -3\) और \(x \ne 3\)। परीक्षा में \(a^2-b^2\) को गुणनखंड करके जांचें। / The denominator needs \(x^2-9 \ne 0\), so \(x \ne -3\) and \(x \ne 3\). In exams factor \(a^2-b^2\) to check.
वर्गमूल के लिए \(10-2x \ge 0\) इसलिए \(x \le 5\)। परीक्षा में ऋणात्मक गुणांक से भाग देने पर असमानता बदलती है। / For the square root, \(10-2x \ge 0\), so \(x \le 5\). In exams dividing by a negative coefficient reverses the inequality.
\(\frac{1}{x}\) कभी (0) नहीं बनता। परीक्षा में reciprocal function की रेंज से (0) हटता है। / \(\frac{1}{x}\) can never become (0). In exams the reciprocal function range excludes (0).
इनपुट (-1,0,2) पर आउटपुट (-4,0,8) हैं। परीक्षा में डोमेन के हर सदस्य पर फलन लगाएं। / For inputs (-1,0,2), the outputs are (-4,0,8). In exams apply the function to every member of the domain.
\(\sqrt{x^2}=|x|\) होता है इसलिए आउटपुट कभी ऋणात्मक नहीं होगा। परीक्षा में \(\sqrt{x^2}\) को (x) नहीं बल्कि (|x|) मानें। / \(\sqrt{x^2}=|x|\), so the output is never negative. In exams treat \(\sqrt{x^2}\) as (|x|), not simply (x).
हर में वर्गमूल है इसलिए (4-x>0) चाहिए और (x<4)। परीक्षा में हर वाले वर्गमूल में बराबरी शामिल न करें। / The square root is in the denominator, so (4-x>0), giving (x<4). In exams do not include equality for a denominator square root.
वर्गमूल के लिए \(x-7 \ge 0\) इसलिए \(x \ge 7\)। परीक्षा में बाहर का (+2) डोमेन नहीं बदलता। / For the square root, \(x-7 \ge 0\), so \(x \ge 7\). In exams the outside (+2) does not change the domain.
\(\sqrt{x-7}\) की न्यूनतम वैल्यू (0) है इसलिए (f(x)\ge 2)। परीक्षा में बाहर जोड़ा गया (2) रेंज को ऊपर शिफ्ट करता है। / The minimum value of \(\sqrt{x-7}\) is (0), so (f(x)\ge 2). In exams the outside added (2) shifts the range upward.
मूल फलन में हर (x+1) है इसलिए (x=-1) हटेगा। परीक्षा में काटने से पहले मूल हर की रोक याद रखें। / The original function has denominator (x+1), so (x=-1) is excluded. In exams remember the restriction from the original denominator before cancelling.
क्योंकि \(|x| \ge 0\) इसलिए \(2|x|+3 \ge 3\)। परीक्षा में धनात्मक गुणक और ऊपर शिफ्ट दोनों देखें। / Since \(|x| \ge 0\), \(2|x|+3 \ge 3\). In exams consider both the positive multiplier and the upward shift.
वर्गमूल के लिए \(3x-12 \ge 0\) इसलिए \(x \ge 4\)। परीक्षा में रैखिक असमानता को सावधानी से हल करें। / For the square root, \(3x-12 \ge 0\), so \(x \ge 4\). In exams solve the linear inequality carefully.
क्योंकि ((x-1)2 \ge 0) इसलिए (9-(x-1)2 \le 9)। परीक्षा में उल्टे परवलय की अधिकतम वैल्यू पहचानें। / Since ((x-1)2 \ge 0), (9-(x-1)2 \le 9). In exams identify the maximum value of a downward parabola.
जब \(x\in[0,3]\), तब \(x+2\in[2,5]\)। परीक्षा में अंतराल के दोनों सिरों पर फलन की वैल्यू देखें। / When \(x\in[0,3]\), \(x+2\in[2,5]\). In exams evaluate the function at both endpoints of the interval.
धनात्मक गुणक (2) खुले अंतराल ((-1,4)) को ((-2,8)) में बदलता है। परीक्षा में खुले सिरों को खुला ही रखें। / The positive multiplier (2) changes the open interval ((-1,4)) to ((-2,8)). In exams keep open endpoints open.
हर (x-5) शून्य नहीं हो सकता इसलिए \(x \ne 5\)। परीक्षा में बाहर जोड़ा गया (2) डोमेन नहीं बदलता। / The denominator (x-5) cannot be zero, so \(x \ne 5\). In exams the outside added (2) does not change the domain.
\(\frac{1}{x-5}\) कभी (0) नहीं होता इसलिए आउटपुट (2) नहीं बनेगा। परीक्षा में reciprocal के vertical shift से हटने वाली रेंज वैल्यू बदलती है। / \(\frac{1}{x-5}\) is never (0), so the output cannot be (2). In exams a vertical shift of a reciprocal changes the excluded range value.
क्योंकि \(x^2+4>0\) हर वास्तविक (x) के लिए है। परीक्षा में वर्गमूल के अंदर की राशि हमेशा धनात्मक हो तो डोमेन \(\mathbb{R}\) होता है। / Because \(x^2+4>0\) for every real (x). In exams if the square root expression is always positive, the domain is \(\mathbb{R}\).
\(x^2+4\) की न्यूनतम वैल्यू (4) है इसलिए \(\sqrt{x^2+4}\ge 2\)। परीक्षा में पहले अंदर की न्यूनतम वैल्यू निकालें। / The minimum value of \(x^2+4\) is (4), so \(\sqrt{x^2+4}\ge 2\). In exams first find the minimum value inside.
\(\frac{1}{x}\) में हर (x) है इसलिए (x=0) नहीं चलेगा। परीक्षा में हर में आने वाली वैल्यू को शून्य न बनने दें। / In \(\frac{1}{x}\), the denominator is (x), so (x=0) is not allowed. In exams do not let the denominator become zero.
\(x^2\) कभी ऋणात्मक नहीं होता और (0) से ऊपर सभी वैल्यू ले सकता है। परीक्षा में वर्ग फलन की रेंज \([0,\infty\)) याद रखें। / \(x^2\) is never negative and can take all values from (0) upward. In exams remember the range of the square function as \([0,\infty\)).
(f(16)=\sqrt{16}=4) होता है। परीक्षा में वर्गमूल की मुख्य धनात्मक वैल्यू लें। / (f(16)=\sqrt{16}=4). In exams take the principal positive value of the square root.
(f(-8)=|-8+5|=|-3|=3) होता है। परीक्षा में मापांक का उत्तर कभी ऋणात्मक नहीं होता। / (f(-8)=|-8+5|=|-3|=3). In exams the value of modulus is never negative.
दोनों शर्तें \(x-1\ge 0\) और \(6-x\ge 0\) मिलकर \(1\le x\le 6\) देती हैं। परीक्षा में दो वर्गमूल हों तो शर्तों का प्रतिच्छेद लें। / The two conditions \(x-1\ge 0\) and \(6-x\ge 0\) together give \(1\le x\le 6\). In exams take the intersection of conditions for two square roots.
हर (0) तब होगा जब (x=1) या (x=-2)। परीक्षा में हर के हर गुणनखंड को अलग से शून्य रखें। / The denominator becomes (0) when (x=1) or (x=-2). In exams set each denominator factor separately equal to zero.
क्योंकि ((x+2)2\ge 0), इसलिए (3-(x+2)2\le 3)। परीक्षा में अधिकतम तब मिलता है जब वर्ग वाला भाग (0) हो। / Since ((x+2)2\ge 0), (3-(x+2)2\le 3). In exams the maximum occurs when the squared part is (0).
क्योंकि ((x-4)2\ge 0), इसलिए न्यूनतम वैल्यू (6) है। परीक्षा में वर्ग वाला भाग (0) करके न्यूनतम वैल्यू पाएं। / Since ((x-4)2\ge 0), the minimum value is (6). In exams set the squared part to (0) to get the minimum value.
वर्गमूल के लिए \(1-x^2\ge 0\) इसलिए \(x^2\le 1\) और \(-1\le x\le 1\)। परीक्षा में \(x^2\le a^2\) से बंद अंतराल मिलता है। / For the square root, \(1-x^2\ge 0\), so \(x^2\le 1\) and \(-1\le x\le 1\). In exams \(x^2\le a^2\) gives a closed interval.
क्योंकि \(0\le 9-x^2\le 9\), इसलिए \(0\le \sqrt{9-x^2}\le 3\)। परीक्षा में पहले अंदर की अधिकतम और न्यूनतम वैल्यू देखें। / Since \(0\le 9-x^2\le 9\), we get \(0\le \sqrt{9-x^2}\le 3\). In exams first check the maximum and minimum values inside.
हर \(x^2+4\) की न्यूनतम वैल्यू (4) है, इसलिए अधिकतम आउटपुट \(\frac{1}{4}\) है और (0) नहीं मिलता। परीक्षा में reciprocal की रेंज में (0) अक्सर शामिल नहीं होता। / The denominator \(x^2+4\) has minimum value (4), so the maximum output is \(\frac{1}{4}\) and (0) is not reached. In exams (0) is often not included in reciprocal ranges.
दोनों वर्गमूलों के लिए \(x-2\ge 0\) और \(8-x\ge 0\) चाहिए, इसलिए \(2\le x\le 8\)। परीक्षा में संयुक्त डोमेन के लिए शर्तों का प्रतिच्छेद लें। / Both square roots need \(x-2\ge 0\) and \(8-x\ge 0\), so \(2\le x\le 8\). In exams take the intersection of conditions for the combined domain.
वर्गमूल के लिए \(x+2\ge 0\) और हर के लिए \(x-3\ne 0\) चाहिए। इसलिए \(x\ge -2\) और \(x\ne 3\); परीक्षा में सभी शर्तों का प्रतिच्छेद लें। / The square root needs \(x+2\ge 0\) and the denominator needs \(x-3\ne 0\). So \(x\ge -2\) and \(x\ne 3\); in exams take the intersection of all conditions.
