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Subjects
Class 11 Mathematics Easy Level 32

वास्तविक संख्याओं पर परिभाषित फलन \(f(x)=2-(x+1)^2\) का परिसर क्या है?

What is the range of the function \(f(x)=2-(x+1)^2\), defined for all real numbers?

Author: Muft Shiksha Editorial Team Published: Updated:
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Correct Answer

B. \((-infty,2]\)

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क्योंकि \((x+1)^2\ge 0\) प्रत्येक वास्तविक \(x\) के लिए, इसलिए \(f(x)=2-(x+1)^2\le 2\)। जब \(x=-1\), तब \(f(x)=2\), और \(x\) के \(-1\) से दूर जाने पर फलन के मान बिना सीमा के घटते जाते हैं। अतः परिसर \((-infty,2]\) है। विकल्प A गलत है क्योंकि परवलय नीचे की ओर खुलता है। परीक्षा-सुझाव: \(a<0\) वाले द्विघात फलन का शीर्ष अधिकतम मान देता है। / Since \((x+1)^2\ge 0\) for every real \(x\), we have \(f(x)=2-(x+1)^2\le 2\). At \(x=-1\), the function attains its maximum value \(2\), while its values decrease without bound as \(x\) moves away from \(-1\). Therefore, the range is \((-infty,2]\). Option A is incorrect because the parabola opens downward. Exam tip: for a quadratic with a negative leading coefficient, the vertex gives the maximum value.

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वास्तविक संख्याओं पर परिभाषित फलन \(f(x)=2-(x+1)^2\) का परिसर क्या है? / What is the range of the function \(f(x)=2-(x+1)^2\), defined for all real numbers?

Correct Answer: B. \((-infty,2]\). Explanation: क्योंकि \((x+1)^2\ge 0\) प्रत्येक वास्तविक \(x\) के लिए, इसलिए \(f(x)=2-(x+1)^2\le 2\)। जब \(x=-1\), तब \(f(x)=2\), और \(x\) के \(-1\) से दूर जाने पर फलन के मान बिना सीमा के घटते जाते हैं। अतः परिसर \((-infty,2]\) है। विकल्प A गलत है क्योंकि परवलय नीचे की ओर खुलता है। परीक्षा-सुझाव: \(a<0\) वाले द्विघात फलन का शीर्ष अधिकतम मान देता है। / Since \((x+1)^2\ge 0\) for every real \(x\), we have \(f(x)=2-(x+1)^2\le 2\). At \(x=-1\), the function attains its maximum value \(2\), while its values decrease without bound as \(x\) moves away from \(-1\). Therefore, the range is \((-infty,2]\). Option A is incorrect because the parabola opens downward. Exam tip: for a quadratic with a negative leading coefficient, the vertex gives the maximum value.