(6) अंकों का एक कोड बनाना है जिसमें पहले (2) स्थानों पर केवल विषम अंक और बाकी (4) स्थानों पर केवल सम अंक आ सकते हैं। यदि किसी भी अंक की पुनरावृत्ति नहीं होनी चाहिए तो कुल कितने कोड बनेंगे?
There are (5) and (4) choices for odd digits and (5,4,3,2) choices for even digits. Filling places one by one is the safest exam method.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. \(5 \times 4 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2=2400\). There are (5) and (4) choices for odd digits and (5,4,3,2) choices for even digits. Filling places one by one is the safest exam method.
Step 3
Exam Tip
विषम अंकों के लिए (5) और (4) विकल्प हैं तथा सम अंकों के लिए (5,4,3,2) विकल्प हैं। स्थानों को क्रम से भरना परीक्षा में सबसे सुरक्षित तरीका है।
एक वेबसाइट पासवर्ड में (4) अक्षर और (3) अंक इसी क्रम में होने चाहिए। अक्षर अंग्रेजी वर्णमाला से बिना पुनरावृत्ति और अंक (0) से (9) तक पुनरावृत्ति सहित लिए जा सकते हैं। कुल कितने पासवर्ड बनेंगे?
B. \(26 \times 25 \times 24 \times 23 \times 10^3\)
Step 1
Concept
Letters cannot repeat so the choices decrease and digits can repeat so the factor is \(10^3\). Read each restriction separately first.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is B. \(26 \times 25 \times 24 \times 23 \times 10^3\). Letters cannot repeat so the choices decrease and digits can repeat so the factor is \(10^3\). Read each restriction separately first.
Step 3
Exam Tip
अक्षरों में पुनरावृत्ति नहीं है इसलिए विकल्प घटते हैं और अंकों में पुनरावृत्ति है इसलिए \(10^3\) होगा। पहले नियमों को अलग-अलग पढ़ना चाहिए।
(5) अलग-अलग शहरों में से एक यात्रा में आरंभ शहर और अंतिम शहर चुनने हैं। दोनों शहर अलग होने चाहिए और बीच में (2) अलग-अलग ठहराव भी उन्हीं बचे शहरों में से चुनने हैं। क्रम महत्त्वपूर्ण है तो कुल कितनी यात्राएँ संभव हैं?
The (4) ordered positions have (5,4,3,2) choices. When order matters use the multiplication principle.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. \(5 \times 4 \times 3 \times 2=120\). The (4) ordered positions have (5,4,3,2) choices. When order matters use the multiplication principle.
Step 3
Exam Tip
यात्रा के (4) क्रमबद्ध स्थानों के लिए विकल्प (5,4,3,2) हैं। जब क्रम महत्त्वपूर्ण हो तो गुणन सिद्धांत लगाएँ।
एक प्रश्नपत्र में (3) खंड हैं। पहले खंड से (2) में से (1) प्रश्न, दूसरे से (4) में से (2) प्रश्न क्रम सहित और तीसरे से (3) में से (1) प्रश्न चुनना है। कुल कितने उत्तर-क्रम बनेंगे?
In the second section the ordered choices are (4) and (3). Multiply all independent stages.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. \(2 \times 4 \times 3 \times 3=72\). In the second section the ordered choices are (4) and (3). Multiply all independent stages.
Step 3
Exam Tip
दूसरे खंड में क्रम सहित (2) प्रश्नों के विकल्प (4) और (3) हैं। सभी स्वतंत्र चरणों को गुणा करें।
एक सुरक्षित लॉकर कोड (5) प्रतीकों का है। पहला प्रतीक (4) विशेष चिह्नों में से, अंतिम प्रतीक (3) रंगों में से और बीच के (3) प्रतीक (8) अंकों में से बिना पुनरावृत्ति चुने जाते हैं। कुल कितने कोड बनेंगे?
The middle three digits cannot repeat so their choices are (8,7,6). Multiply the boundary choices as well.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is B. \(4 \times 8 \times 7 \times 6 \times 3\). The middle three digits cannot repeat so their choices are (8,7,6). Multiply the boundary choices as well.
Step 3
Exam Tip
बीच के तीन अंकों में पुनरावृत्ति नहीं है इसलिए (8,7,6) विकल्प हैं। सीमांत विकल्पों को भी गुणा करें।
एक मेनू में (4) सूप, (5) मुख्य व्यंजन और (3) मिठाइयाँ हैं। ग्राहक या तो सूप के साथ मुख्य व्यंजन या मुख्य व्यंजन के साथ मिठाई या तीनों ले सकता है। कुल कितने भोजन-विकल्प होंगे?
A. \(4 \times 5+5 \times 3+4 \times 5 \times 3=95\)
Step 1
Concept
There are three separate cases and their results are added. Within each case the choices are multiplied.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. \(4 \times 5+5 \times 3+4 \times 5 \times 3=95\). There are three separate cases and their results are added. Within each case the choices are multiplied.
Step 3
Exam Tip
यहाँ तीन अलग-अलग मामले हैं और उनके परिणाम जोड़े जाते हैं। हर मामले के अंदर विकल्प गुणा किए जाते हैं।
एक मोबाइल पिन (4) अंकों का है। पहला अंक (0) नहीं हो सकता, अंतिम अंक सम होना चाहिए और बीच के दो अंक कोई भी हो सकते हैं। पुनरावृत्ति मान्य है। कुल कितने पिन संभव हैं?
The last even digit has (5) choices from (0,2,4,6,8). With repetition allowed the middle places still have (10) choices each.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is B. \(9 \times 10 \times 10 \times 5=4500\). The last even digit has (5) choices from (0,2,4,6,8). With repetition allowed the middle places still have (10) choices each.
Step 3
Exam Tip
अंतिम सम अंक (0,2,4,6,8) में से (5) हो सकता है। पुनरावृत्ति मान्य हो तो बीच के स्थानों पर (10) विकल्प रहते हैं।
The posts are distinct so order matters and the choices are (7,6,5). For posts the multiplication principle applies directly.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is C. \(7 \times 6 \times 5=210\). The posts are distinct so order matters and the choices are (7,6,5). For posts the multiplication principle applies directly.
Step 3
Exam Tip
पद अलग-अलग हैं इसलिए क्रम महत्त्वपूर्ण है और विकल्प (7,6,5) हैं। पदों वाले सवालों में गुणन सिद्धांत सीधे लगता है।
एक वाहन संख्या में (2) अक्षर और (4) अंक हैं। अक्षर अलग होने चाहिए, अंकों की पुनरावृत्ति हो सकती है और पहला अंक (0) नहीं हो सकता। कुल कितनी संख्याएँ बनेंगी?
The letters have (26) and (25) choices while the first digit has (9) and the rest have (10) choices. Identify the zero restriction separately.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. \(26 \times 25 \times 9 \times 10^3\). The letters have (26) and (25) choices while the first digit has (9) and the rest have (10) choices. Identify the zero restriction separately.
Step 3
Exam Tip
अक्षरों के लिए (26) और (25) विकल्प हैं तथा अंकों में पहला (9) और बाकी (10) विकल्प हैं। शून्य की शर्त को अलग पहचानें।
एक पुस्तकालय शेल्फ पर (3) गणित की पुस्तकों में से (1), (4) विज्ञान की पुस्तकों में से (1) और (5) इतिहास की पुस्तकों में से (2) पुस्तकों को क्रम सहित रखना है। इतिहास की दोनों पुस्तकें अलग होंगी। कुल कितने क्रम संभव हैं?
The two history books are ordered so the choices are (5) and (4). Multiply the choices for all stages.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. \(3 \times 4 \times 5 \times 4=240\). The two history books are ordered so the choices are (5) and (4). Multiply the choices for all stages.
Step 3
Exam Tip
इतिहास की (2) पुस्तकों का क्रम है इसलिए (5) और (4) विकल्प होंगे। अलग-अलग चरणों को गुणा करें।
First place the unit digit with (5) odd choices, then the hundred and ten places have (8) and (7) choices. Handle the last-digit restriction first.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is B. \(9 \times 8 \times 5=360\). First place the unit digit with (5) odd choices, then the hundred and ten places have (8) and (7) choices. Handle the last-digit restriction first.
Step 3
Exam Tip
पहले इकाई स्थान पर (5) विषम विकल्प रखें, फिर सैकड़ा और दहाई पर (8) और (7) विकल्प मिलते हैं। अंतिम अंक की शर्त पहले लगाएँ।
एक ईमेल आईडी का उपसर्ग (3) छोटे अक्षरों और (2) अंकों से बनता है। अक्षरों में पुनरावृत्ति नहीं और अंकों में पुनरावृत्ति नहीं है। पहले स्थान पर अक्षर ही होगा और फिर क्रम (अक्षर,अक्षर,अंक,अंक) है। कुल कितने उपसर्ग बनेंगे?
The three letters have (26,25,24) choices and the two digits have (10,9) choices. Count each type at its fixed positions.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. \(26 \times 25 \times 24 \times 10 \times 9\). The three letters have (26,25,24) choices and the two digits have (10,9) choices. Count each type at its fixed positions.
Step 3
Exam Tip
तीन अक्षरों के विकल्प (26,25,24) और दो अंकों के विकल्प (10,9) हैं। अलग प्रकार की वस्तुओं को उनके स्थानों पर ही गिनें।
एक क्विज में (5) बहुविकल्पीय प्रश्न हैं। पहले (2) प्रश्नों में (4) विकल्प और बाकी (3) प्रश्नों में (5) विकल्प हैं। यदि हर प्रश्न का उत्तर देना अनिवार्य है तो कुल उत्तर-पैटर्न कितने हैं?
Each question is an independent stage, so the count is \(4 \times 4 \times 5 \times 5 \times 5\). For mandatory answers multiply, do not add.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is B. \(4^2 \times 5^3=2000\). Each question is an independent stage, so the count is \(4 \times 4 \times 5 \times 5 \times 5\). For mandatory answers multiply, do not add.
Step 3
Exam Tip
हर प्रश्न स्वतंत्र चरण है, इसलिए \(4 \times 4 \times 5 \times 5 \times 5\) होगा। अनिवार्य उत्तरों में जोड़ नहीं गुणा करें।
(4) अंकों की ऐसी संख्या बनानी है जिसके सभी अंक अलग हों और अंक (2,4,6,8) में से ठीक (2) अंक आएँ। शेष अंक (1,3,5,7,9) में से हों। कुल कितनी संख्याएँ संभव हैं?
First choose the (2) positions for even digits in (6) ways, then fill them with (4,3,5,4) choices. Keep position selection and digit filling separate.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is B. \(6 \times 4 \times 3 \times 5 \times 4=1440\). First choose the (2) positions for even digits in (6) ways, then fill them with (4,3,5,4) choices. Keep position selection and digit filling separate.
Step 3
Exam Tip
पहले (2) सम स्थानों की जगह (6) तरीकों से चुनें, फिर क्रम में (4,3,5,4) विकल्प हैं। स्थान चुनने और अंक भरने को अलग रखें।
एक (3) चरण वाली प्रक्रिया में पहले चरण के (4) विकल्प हैं। दूसरे चरण में चुने गए पहले विकल्प पर (5) विकल्प मिलते हैं और बाकी (3) पहले विकल्पों पर (2) विकल्प मिलते हैं। तीसरे चरण में हमेशा (6) विकल्प हैं। कुल कितने परिणाम होंगे?
The second-stage choices depend on the first choice, so cases must be separated. Do not use one uniform product for dependent stages.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is B. \(1 \times 5 \times 6+3 \times 2 \times 6=66\). The second-stage choices depend on the first choice, so cases must be separated. Do not use one uniform product for dependent stages.
Step 3
Exam Tip
दूसरे चरण के विकल्प पहले चयन पर निर्भर हैं, इसलिए मामलों को अलग करना होगा। निर्भर चरणों में सीधा समान गुणन नहीं करें।
(8) दरवाजों वाले भवन में प्रवेश और निकास के लिए अलग-अलग दरवाजे चुनने हैं। बीच में आपात निकास के लिए एक तीसरा दरवाजा भी चुना जाता है जो पहले दोनों से अलग हो। क्रम महत्त्वपूर्ण है। कुल कितने तरीके हैं?
The three roles are different, so the choices are (8,7,6). When roles have different names, order matters.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is B. \(8 \times 7 \times 6=336\). The three roles are different, so the choices are (8,7,6). When roles have different names, order matters.
Step 3
Exam Tip
तीनों भूमिकाएँ अलग हैं, इसलिए विकल्प (8,7,6) होंगे। भूमिकाओं के नाम बदलने पर क्रम महत्त्वपूर्ण हो जाता है।
एक (5)-अक्षरी संकेत में केवल (A,B,C,D,E,F) का उपयोग होना है। पहला और अंतिम अक्षर अलग होने चाहिए, पर बीच के (3) अक्षरों में पुनरावृत्ति हो सकती है। कुल कितने संकेत बनेंगे?
The first letter has (6) choices and the last has (5), while each middle place has (6) choices. Reduce choices only where the condition applies.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. \(6 \times 5 \times 6^3=6480\). The first letter has (6) choices and the last has (5), while each middle place has (6) choices. Reduce choices only where the condition applies.
Step 3
Exam Tip
पहले अक्षर के (6) और अंतिम के (5) विकल्प हैं, बीच के प्रत्येक स्थान पर (6) विकल्प हैं। केवल दी गई शर्तों पर ही विकल्प घटाएँ।
एक परीक्षा रोल नंबर (2) अक्षरों और (3) अंकों का है। पहला अक्षर स्वर होना चाहिए, दूसरा अक्षर व्यंजन होना चाहिए और (3) अंकों में कोई पुनरावृत्ति नहीं होनी चाहिए। अंग्रेजी वर्णमाला में (5) स्वर मानें। कुल कितने रोल नंबर बनेंगे?
The letter choices are (5) and (21), and the digit choices are (10,9,8). Keep letter restrictions separate from digit restrictions.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is B. \(5 \times 21 \times 10 \times 9 \times 8\). The letter choices are (5) and (21), and the digit choices are (10,9,8). Keep letter restrictions separate from digit restrictions.
Step 3
Exam Tip
अक्षरों के विकल्प (5) और (21) हैं तथा अंकों के विकल्प (10,9,8) हैं। भाषा वाली शर्त को संख्या वाली शर्त से अलग रखें।
एक ऑनलाइन फॉर्म में (4) हाँ-ना प्रश्न और (2) ऐसे प्रश्न हैं जिनके (3) विकल्प हैं। यदि सभी प्रश्नों का उत्तर देना अनिवार्य है, तो कुल कितने उत्तर संयोजन होंगे?
The four binary questions give \(2^4\) and the two three-option questions give \(3^2\). Use multiplication for all independent responses.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. \(2^4 \times 3^2=144\). The four binary questions give \(2^4\) and the two three-option questions give \(3^2\). Use multiplication for all independent responses.
Step 3
Exam Tip
चार द्विविकल्पी प्रश्न \(2^4\) और दो त्रिविकल्पी प्रश्न \(3^2\) देते हैं। सभी स्वतंत्र उत्तरों के लिए गुणन सिद्धांत लगाएँ।
The thousands digit is one of (3,4,5,6,7), then (6,5,4) choices remain. Apply the inequality condition at the first place.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. \(5 \times 6 \times 5 \times 4=600\). The thousands digit is one of (3,4,5,6,7), then (6,5,4) choices remain. Apply the inequality condition at the first place.
Step 3
Exam Tip
हजारों स्थान (3,4,5,6,7) में से होगा, फिर (6,5,4) विकल्प बचते हैं। असमानता की शर्त पहले स्थान पर लगाएँ।
The first color has (3) choices and the last has (2), while the (4) middle boxes are independent. The inequality applies only to the ends.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is B. \(3 \times 2 \times 3^4=486\). The first color has (3) choices and the last has (2), while the (4) middle boxes are independent. The inequality applies only to the ends.
Step 3
Exam Tip
पहले रंग के (3) और अंतिम के (2) विकल्प हैं, बीच के (4) खाने स्वतंत्र हैं। केवल पहले और अंतिम पर असमानता लागू है।
एक कंप्यूटर फोल्डर नाम (2) अक्षरों और (2) अंकों से बनता है। ठीक (1) अक्षर बड़ा और (1) अक्षर छोटा होना चाहिए, स्थान कोई भी हो सकते हैं, और दोनों अंक अलग हों। कुल कितने नाम बनेंगे?
First choose the (2) letter positions in (6) ways and arrange uppercase-lowercase in (2) ways; thus the correct count should be \(6 \times 2 \times 26^2 \times 10 \times 9\). Among the options \(6 \times 26 \times 26 \times 10 \times 9\) is incomplete.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. \(6 \times 26 \times 26 \times 10 \times 9\). First choose the (2) letter positions in (6) ways and arrange uppercase-lowercase in (2) ways; thus the correct count should be \(6 \times 2 \times 26^2 \times 10 \times 9\). Among the options \(6 \times 26 \times 26 \times 10 \times 9\) is incomplete.
Step 3
Exam Tip
पहले (4) स्थानों में (2) अक्षर-स्थान (6) तरीकों से चुनें और उनमें बड़ा-छोटा क्रम (2) तरीकों से पहले से \(26 \times 26\) में शामिल नहीं है, इसलिए सही रूप \(6 \times 2 \times 26^2 \times 10 \times 9\) होना चाहिए। दिए विकल्पों में \(6 \times 26 \times 26 \times 10 \times 9\) अधूरा है।
(5) अक्षरों का एक संकेत बनाना है जिसमें ठीक (2) स्वर और (3) व्यंजन हों। स्वर (5) और व्यंजन (21) माने जाएँ तथा किसी भी अक्षर की पुनरावृत्ति न हो। कुल कितने संकेत बनेंगे?
First choose the (2) vowel positions in (10) ways, then fill vowels and consonants in order. Separate position selection from letter filling.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. \(10 \times 5 \times 4 \times 21 \times 20 \times 19\). First choose the (2) vowel positions in (10) ways, then fill vowels and consonants in order. Separate position selection from letter filling.
Step 3
Exam Tip
पहले (2) स्वर-स्थान (10) तरीकों से चुनें, फिर स्वर और व्यंजन क्रम से भरें। स्थान चुनना और अक्षर भरना अलग-अलग करें।
Count separately the cases when the last digit is (0) and when it is (2,4,6). For zero restrictions, casework is safer.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is B. (360). Count separately the cases when the last digit is (0) and when it is (2,4,6). For zero restrictions, casework is safer.
Step 3
Exam Tip
अंतिम अंक (0) होने और (2,4,6) होने के मामले अलग गिनें। शून्य की शर्त वाले सवालों में केस बनाना सुरक्षित रहता है।
एक प्रतियोगिता में (6) टीमों में से प्रथम, द्वितीय और तृतीय स्थान दिए जाने हैं। पिछली विजेता टीम को प्रथम स्थान नहीं दिया जा सकता। कोई टीम एक से अधिक स्थान नहीं ले सकती। कुल कितने परिणाम संभव हैं?
There are (5) choices for first place, then (5) and (4) choices remain. Remove the forbidden choice and fill ordered positions.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. \(5 \times 5 \times 4=100\). There are (5) choices for first place, then (5) and (4) choices remain. Remove the forbidden choice and fill ordered positions.
Step 3
Exam Tip
प्रथम स्थान के लिए (5) विकल्प हैं, फिर बचे हुए (5) और (4) विकल्प मिलते हैं। निषिद्ध विकल्प हटाकर क्रमबद्ध पद भरें।
एक (6)-कुंजी पासवर्ड में पहली (3) कुंजियाँ (7) अक्षरों में से बिना पुनरावृत्ति और अंतिम (3) कुंजियाँ (4) प्रतीकों में से पुनरावृत्ति सहित चुनी जाती हैं। कुल कितने पासवर्ड बनेंगे?
Letter choices decrease, while symbols give \(4^3\) because repetition is allowed. Read the repetition rule for each block separately.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. \(7 \times 6 \times 5 \times 4^3\). Letter choices decrease, while symbols give \(4^3\) because repetition is allowed. Read the repetition rule for each block separately.
Step 3
Exam Tip
अक्षरों में विकल्प घटते हैं और प्रतीकों में पुनरावृत्ति के कारण \(4^3\) रहता है। हर ब्लॉक की पुनरावृत्ति-शर्त अलग पढ़ें।
एक मार्ग में (4) बस मार्ग और (3) रेल मार्ग उपलब्ध हैं। यात्री या तो बस से जाकर रेल से लौटता है या रेल से जाकर बस से लौटता है। जाने और लौटने का मार्ग अलग माध्यमों से है। कुल कितने यात्रा-विकल्प हैं?
There are two separate cases and each has (12) options. Add the cases for or, and multiply within each case.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is B. \(4 \times 3+3 \times 4=24\). There are two separate cases and each has (12) options. Add the cases for or, and multiply within each case.
Step 3
Exam Tip
दो अलग-अलग मामले हैं और दोनों में (12) विकल्प हैं। या वाले मामलों को जोड़ें और प्रत्येक मामले में गुणा करें।
(5) खाली स्थानों में (2) अलग-अलग लाल गेंदें, (1) नीली गेंद और (2) खाली चिह्न रखने हैं। लाल गेंदों के स्थान क्रम सहित गिने जाते हैं और नीली गेंद अलग है। कुल कितने पैटर्न बनेंगे?
Choose positions for the two distinct red balls and then the blue ball, giving (5,4,3) choices. Blank marks occupy the remaining positions automatically.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. \(5 \times 4 \times 3=60\). Choose positions for the two distinct red balls and then the blue ball, giving (5,4,3) choices. Blank marks occupy the remaining positions automatically.
Step 3
Exam Tip
पहले दोनों अलग लाल गेंदों और फिर नीली गेंद के स्थान चुनें, विकल्प (5,4,3) हैं। खाली चिह्न बचे स्थानों में अपने आप आ जाते हैं।
एक (5)-अंकीय गुप्त संख्या में पहला अंक (1) से (9) तक, दूसरा अंक पहले से बड़ा और बाकी (3) अंक कोई भी हो सकते हैं। पुनरावृत्ति की अनुमति है। कुल कितनी संख्याएँ बनेंगी?
The first two digits form an increasing pair in (36) ways. The remaining (3) positions independently give \(10^3\) choices.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. \(36 \times 10^3\). The first two digits form an increasing pair in (36) ways. The remaining (3) positions independently give \(10^3\) choices.
Step 3
Exam Tip
पहले दो अंकों के लिए बढ़ते क्रम वाली जोड़ी (36) तरीकों से बनती है। बाकी (3) स्थानों पर स्वतंत्र रूप से \(10^3\) विकल्प हैं।
एक छात्र को (3) अलग-अलग विषयों में से प्रत्येक के लिए एक-एक नोटबुक चुननी है। पहले विषय के लिए (5), दूसरे के लिए (4) और तीसरे के लिए (6) विकल्प हैं। साथ ही उसे (2) पेन में से (1) चुनना है। कुल कितने अध्ययन-किट बनेंगे?
Every item is compulsory and independent, so all choices are multiplied. For complete kits, do not add choices.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is C. \(5 \times 4 \times 6 \times 2=240\). Every item is compulsory and independent, so all choices are multiplied. For complete kits, do not add choices.
Step 3
Exam Tip
हर वस्तु चुनना अनिवार्य और स्वतंत्र है, इसलिए सभी विकल्प गुणा होंगे। पूर्ण किट वाले सवालों में जोड़ नहीं करते।
एक (4)-अक्षरी शब्द-संकेत में (8) अक्षरों में से अक्षर चुने जाते हैं। पहला और दूसरा अक्षर अलग हों, तीसरा पहले जैसा हो और चौथा दूसरे जैसा न हो। कुल कितने संकेत बनेंगे?
The third position is forced by the first letter, so it has (1) choice, and the fourth has (7) choices excluding the second letter. Count forced positions separately.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. \(8 \times 7 \times 1 \times 7=392\). The third position is forced by the first letter, so it has (1) choice, and the fourth has (7) choices excluding the second letter. Count forced positions separately.
Step 3
Exam Tip
तीसरे स्थान पर पहले अक्षर की बाध्यता से (1) विकल्प है और चौथे पर दूसरे अक्षर को छोड़कर (7) विकल्प हैं। बाध्य स्थानों को अलग से गिनें।
The hundred place can only be (2) or (3), and each remaining place has (6) choices. Apply the bound condition to the highest place.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. \(2 \times 6 \times 6=72\). The hundred place can only be (2) or (3), and each remaining place has (6) choices. Apply the bound condition to the highest place.
Step 3
Exam Tip
सैकड़ा स्थान केवल (2) या (3) हो सकता है, बाकी दोनों स्थानों पर (6) विकल्प हैं। सीमा की शर्त सबसे बड़े स्थान पर लगाएँ।
एक क्लब में सदस्यता कार्ड (2) रंगों, (5) आकारों और (4) चिह्नों से बनता है। यदि लाल रंग के साथ केवल (2) चिह्न मान्य हैं और दूसरे रंग के साथ सभी (4) चिह्न मान्य हैं, तो कुल कितने कार्ड बनेंगे?
The number of symbols changes with the color, so there are two cases. Uniform multiplication is not used when choices depend on earlier choices.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is B. \(1 \times 5 \times 2+1 \times 5 \times 4=30\). The number of symbols changes with the color, so there are two cases. Uniform multiplication is not used when choices depend on earlier choices.
Step 3
Exam Tip
रंग के अनुसार चिह्नों की संख्या बदलती है, इसलिए दो मामले बनेंगे। निर्भर विकल्पों में समान गुणन नहीं लगाया जाता।
(9) खिलाड़ियों में से कप्तान, उपकप्तान और विकेटकीपर चुनने हैं। (2) विशेष खिलाड़ी विकेटकीपर नहीं बन सकते और कोई खिलाड़ी दो पद नहीं ले सकता। कुल कितने चयन संभव हैं?
Choose the wicketkeeper first with (7) choices, then captain and vice-captain have (8) and (7) choices. Fill the most restricted post first.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is C. \(7 \times 8 \times 9=504\). Choose the wicketkeeper first with (7) choices, then captain and vice-captain have (8) and (7) choices. Fill the most restricted post first.
Step 3
Exam Tip
पहले विकेटकीपर चुनें, उसके (7) विकल्प हैं, फिर कप्तान और उपकप्तान के (8) और (7) विकल्प हैं। सबसे सीमित पद पहले भरें।
एक (5)-स्थान वाली सीटिंग कोड में हर स्थान पर (A,B,C) में से एक अक्षर लिखा जाता है। लगातार (A) न आएँ, यह शर्त केवल पहले दो स्थानों पर लागू है। कुल कितने कोड बनेंगे?
From all \(3^5\) codes, subtract the \(3^3\) codes having (AA) in the first two positions. Subtract only the forbidden part.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. \(3^5-3^3=216\). From all \(3^5\) codes, subtract the \(3^3\) codes having (AA) in the first two positions. Subtract only the forbidden part.
Step 3
Exam Tip
कुल \(3^5\) कोडों में से पहले दो स्थानों पर (AA) वाले \(3^3\) कोड हटेंगे। केवल जिस भाग पर रोक है, उसी को घटाएँ।
एक बैज में (1) आकार, (1) रंग और (1) अक्षर चुना जाता है। आकार (4) हैं, रंग (3) हैं, अक्षर (5) हैं। यदि गोल आकार के साथ केवल (2) रंग मान्य हैं और बाकी (3) आकारों के साथ सभी रंग मान्य हैं, तो कुल कितने बैज बनेंगे?
Color choices differ for the circular shape and the other shapes. In such questions, make cases and add them.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is B. \(1 \times 2 \times 5+3 \times 3 \times 5=55\). Color choices differ for the circular shape and the other shapes. In such questions, make cases and add them.
Step 3
Exam Tip
गोल आकार और अन्य आकारों के लिए रंग-विकल्प अलग हैं। ऐसे सवाल में केस बनाकर जोड़ना चाहिए।
एक (6)-अंकीय संख्या के पहले (2) अंक समान होने चाहिए और अंतिम (4) अंक (0) से (9) तक कोई भी हो सकते हैं। पहला अंक (0) नहीं हो सकता। कुल कितनी संख्याएँ बनेंगी?
The first digit is chosen in (9) ways and the second is fixed by it. A forced position has (1) choice.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. \(9 \times 1 \times 10^4\). The first digit is chosen in (9) ways and the second is fixed by it. A forced position has (1) choice.
Step 3
Exam Tip
पहला अंक (9) तरीकों से चुना जाएगा और दूसरा उसी से निश्चित है। निश्चित स्थान का विकल्प (1) माना जाता है।
(4) अलग-अलग पत्र (5) अलग-अलग लिफाफों में डालने हैं। प्रत्येक पत्र के लिए कोई भी लिफाफा चुना जा सकता है और लिफाफे खाली भी रह सकते हैं। कुल कितने तरीके हैं?
एक (4)-चरणीय मशीन सेटिंग में पहले चरण के (3) विकल्प हैं। यदि पहले चरण में तीसरा विकल्प चुना जाए तो दूसरे चरण में (2) विकल्प हैं, अन्यथा (5) विकल्प हैं। तीसरे और चौथे चरण में क्रमशः (4) और (6) विकल्प हैं। कुल कितनी सेटिंग्स होंगी?
The second-stage choices depend on the first selection, so separate the (1) and (2) first-stage cases. When dependence appears, use cases.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is B. \(1 \times 2 \times 4 \times 6+2 \times 5 \times 4 \times 6=288\). The second-stage choices depend on the first selection, so separate the (1) and (2) first-stage cases. When dependence appears, use cases.
Step 3
Exam Tip
दूसरे चरण के विकल्प पहले चयन पर निर्भर हैं, इसलिए (1) और (2) पहले-चरण मामलों को अलग करें। निर्भरता दिखे तो केस विधि लगाएँ।
The shelves are different, so the first, second, and third shelves have (10,9,8) choices. For distinct positions, order matters.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. \(10 \times 9 \times 8=720\). The shelves are different, so the first, second, and third shelves have (10,9,8) choices. For distinct positions, order matters.
Step 3
Exam Tip
शेल्फ अलग-अलग हैं, इसलिए पहली, दूसरी और तीसरी शेल्फ के लिए (10,9,8) विकल्प हैं। अलग स्थानों पर क्रम का ध्यान रखें।
एक (5)-अंकीय संख्या में ठीक (2) अंक (7) होने चाहिए और बाकी (3) स्थानों पर (0) से (9) तक (7) को छोड़कर कोई भी अंक आ सकता है। पहला अंक (0) नहीं हो सकता। कुल कितनी संख्याएँ बनेंगी?
Count separately whether the first digit is (7) or not. For exactly (2) occurrences, choose positions carefully.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is D. \(4 \times 9^3+6 \times 8 \times 9^2\). Count separately whether the first digit is (7) or not. For exactly (2) occurrences, choose positions carefully.
Step 3
Exam Tip
पहला स्थान (7) हो या न हो, दोनों मामले अलग गिनें। ठीक (2) बार आने वाली शर्त में स्थान-चयन ध्यान से करें।
एक सुरक्षा कार्ड में (3) प्रतीकों की पंक्ति है। प्रत्येक स्थान पर (6) प्रतीकों में से एक आ सकता है, लेकिन तीनों प्रतीक एक जैसे नहीं होने चाहिए। कुल कितने कार्ड बनेंगे?
From all \(6^3\) rows, subtract the (6) rows where all three are identical. With a single prohibition, the complement method is quick.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. \(6^3-6=210\). From all \(6^3\) rows, subtract the (6) rows where all three are identical. With a single prohibition, the complement method is quick.
Step 3
Exam Tip
कुल \(6^3\) पंक्तियों में से तीनों समान वाली (6) पंक्तियाँ हटाएँ। जब केवल एक निषेध हो तो पूरक विधि तेज होती है।
एक ट्रेन टिकट कोड में (1) क्षेत्र, (1) श्रेणी और (2) अंक होते हैं। क्षेत्रों के (4) विकल्प हैं। यदि क्षेत्र उत्तर हो तो श्रेणी के (3) विकल्प हैं, अन्य (3) क्षेत्रों में श्रेणी के (5) विकल्प हैं। अंकों में पुनरावृत्ति हो सकती है। कुल कितने कोड होंगे?
B. \(1 \times 3 \times 10^2+3 \times 5 \times 10^2=1800\)
Step 1
Concept
Class choices depend on the zone, so count North and other zones separately. For digits with repetition, the factor remains \(10^2\).
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is B. \(1 \times 3 \times 10^2+3 \times 5 \times 10^2=1800\). Class choices depend on the zone, so count North and other zones separately. For digits with repetition, the factor remains \(10^2\).
Step 3
Exam Tip
श्रेणी के विकल्प क्षेत्र पर निर्भर हैं, इसलिए उत्तर और अन्य क्षेत्र अलग गिनें। पुनरावृत्ति वाले अंकों के लिए \(10^2\) रहेगा।
Choose chairs for the four distinct students in order, giving (6,5,4,3) choices. Distinct chairs create an ordered selection.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. \(6 \times 5 \times 4 \times 3=360\). Choose chairs for the four distinct students in order, giving (6,5,4,3) choices. Distinct chairs create an ordered selection.
Step 3
Exam Tip
चार अलग छात्रों के लिए क्रम से कुर्सियाँ चुनें, विकल्प (6,5,4,3) हैं। कुर्सियाँ अलग हों तो क्रमबद्ध चयन होता है।
एक (4)-स्थान कोड में पहले स्थान पर (3) विकल्प हैं। दूसरे स्थान पर पहला विकल्प दोहराया नहीं जा सकता। तीसरे और चौथे स्थान पर (5) विकल्पों में से कोई भी विकल्प आ सकता है। कुल कितने कोड बनेंगे?
The first choice is removed for the second position, leaving (2) choices. The remaining positions are independent.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. \(3 \times 2 \times 5^2=150\). The first choice is removed for the second position, leaving (2) choices. The remaining positions are independent.
Step 3
Exam Tip
दूसरे स्थान पर पहले का विकल्प हटता है, इसलिए (2) विकल्प बचते हैं। बाकी स्थान स्वतंत्र हैं।
एक (3)-विषय परीक्षा में छात्र हर विषय में (2) में से एक कठिनाई स्तर चुनता है और हर विषय के लिए (4) सेटों में से एक सेट चुनता है। कुल कितने परीक्षा-प्रोफाइल बनेंगे?
Each subject has \(2 \times 4\) choices and there are (3) subjects. Use powers for repeated independent stages.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. \(2^3 \times 4^3=512\). Each subject has \(2 \times 4\) choices and there are (3) subjects. Use powers for repeated independent stages.
Step 3
Exam Tip
हर विषय में \(2 \times 4\) विकल्प हैं और ऐसे (3) विषय हैं। समान स्वतंत्र चरणों में घात का उपयोग करें।
(1,2,3,4,5,6,7,8) से (4) अंकों की संख्या बनानी है। संख्या में ठीक (1) अंक (1,2,3) में से हो और बाकी (3) अंक (4,5,6,7,8) में से हों। पुनरावृत्ति नहीं है। कुल कितनी संख्याएँ बनेंगी?
First choose the position of the digit from the special group in (4) ways, then fill (3) and (5,4,3) choices. For exactly-one conditions, position choice is essential.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. \(4 \times 3 \times 5 \times 4 \times 3=720\). First choose the position of the digit from the special group in (4) ways, then fill (3) and (5,4,3) choices. For exactly-one conditions, position choice is essential.
Step 3
Exam Tip
पहले विशेष समूह वाले अंक का स्थान (4) तरीकों से चुनें, फिर (3) और (5,4,3) विकल्प भरें। ठीक एक जैसी शर्त में स्थान चुनना जरूरी है।
For at least one (4), subtract the \(3^5\) arrangements with no (4) from all \(4^5\). The complement method is easy for at-least questions.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. \(4^5-3^5=781\). For at least one (4), subtract the \(3^5\) arrangements with no (4) from all \(4^5\). The complement method is easy for at-least questions.
Step 3
Exam Tip
कम से कम एक (4) के लिए कुल \(4^5\) में से बिना (4) वाले \(3^5\) घटाएँ। कम से कम वाले सवालों में पूरक विधि आसान होती है।
एक (6)-अक्षरी कोड में पहले (2) स्थानों पर (M,N,O) में से अक्षर और अंतिम (4) स्थानों पर (P,Q,R,S) में से अक्षर आते हैं। पहले (2) स्थानों में पुनरावृत्ति नहीं और अंतिम (4) स्थानों में पुनरावृत्ति मान्य है। कुल कितने कोड बनेंगे?
The first block has (3) and (2) choices, and each position in the last block has (4) choices. Keep the conditions of different blocks separate.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. \(3 \times 2 \times 4^4=1536\). The first block has (3) and (2) choices, and each position in the last block has (4) choices. Keep the conditions of different blocks separate.
Step 3
Exam Tip
पहले भाग में (3) और (2) विकल्प हैं, अंतिम भाग में हर स्थान पर (4) विकल्प हैं। अलग-अलग ब्लॉक की शर्तों को अलग रखें।
