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मान रखने पर ((1,2),(2,1),(2,4),(3,3),(4,2)) मिलते हैं। ऐसे प्रश्न में हर (a) के लिए संभावित (b) व्यवस्थित रूप से जांचें। / By checking values, we get ((1,2),(2,1),(2,4),(3,3),(4,2)). In such questions, check possible (b) values for each (a) systematically.
क्योंकि हर \(a \in A\) के लिए \((a,a) \in R\) है। स्वसम जांच में केवल सभी आत्म युग्म देखें। / Because for every \(a \in A\), \((a,a) \in R\). For reflexive check, look only for all self-pairs.
A. यह तुल्यता संबंध है/It is an equivalence relation
Explanation
Simple Explanation
समान parity वाले तत्व जुड़े हैं, इसलिए संबंध स्वसम, सममित और संकर्मक है। परीक्षा में इसे सम और विषम वर्गों में बांटकर जांचें। / Elements with the same parity are related, so the relation is reflexive, symmetric, and transitive. In exams, check it by splitting into even and odd classes.
हर \((a,b) \in R\) के साथ \((b,a) \in R\) भी है। सममितता में उल्टा युग्म अवश्य जांचें। / For every \((a,b) \in R\), \((b,a) \in R\) is also present. In symmetry, always check the reverse pair.
A. क्योंकि \((2,1) \notin R\)/Because \((2,1) \notin R\)
Explanation
Simple Explanation
अलग तत्वों के लिए उल्टा युग्म साथ में नहीं है। प्रत्यासममित में ((a,b)) और ((b,a)) दोनों हों तो (a=b) होना चाहिए। / The reverse pair for distinct elements is not present. In antisymmetry, if ((a,b)) and ((b,a)) both occur, then (a=b) must hold.
हर संख्या स्वयं को भाग देती है और भाग देने का गुण संकर्मक होता है। पर यह सममित नहीं होता जैसे \(1 \mid 2\) पर \(2 \nmid 1\)। / Every number divides itself and divisibility is transitive. But it is not symmetric since \(1 \mid 2\) while \(2 \nmid 1\).
R में (a, b) तभी होगा जब a + b = 6 हो। तब b + a = 6 भी होगा, क्योंकि जोड़ क्रमविनिमेय है; इसलिए (b, a) भी R में होगा और R सममित है। यह स्वसम नहीं है, क्योंकि उदाहरण के लिए (1, 1) ∉ R। यह प्रत्यासममित भी नहीं है, क्योंकि (1, 5) और (5, 1) दोनों R में हैं, जबकि 1 ≠ 5। परीक्षा टिप: सममितता जाँचने के लिए प्रत्येक (a, b) के साथ (b, a) की उपस्थिति देखें। / A pair (a, b) belongs to R exactly when a + b = 6. In that case, b + a = 6 as well, by the commutative property of addition; hence (b, a) also belongs to R, so R is symmetric. It is not reflexive because, for example, (1, 1) ∉ R. It is not antisymmetric because both (1, 5) and (5, 1) belong to R although 1 ≠ 5. Exam tip: To test symmetry, check whether every pair (a, b) is accompanied by (b, a).
क्योंकि \(A \times A\) में (9) युग्म हैं और संबंध उसका कोई भी उपसमुच्चय है। सूत्र \(2^{n^2}\) याद रखें। / Because \(A \times A\) has (9) pairs and a relation is any subset of it. Remember the formula \(2^{n^2}\).
(4) आत्म युग्म अनिवार्य हैं और बाकी (16-4=12) युग्म स्वतंत्र हैं। इसलिए संख्या \(2^{12}\) है। / The (4) self-pairs are compulsory and the remaining (16-4=12) pairs are free. Hence the number is \(2^{12}\).
(3) आत्म युग्म और (3) अन unordered जोड़े स्वतंत्र हैं। कुल स्वतंत्र चुनाव (3+3=6) हैं। / There are (3) self-pairs and (3) unordered off-diagonal pair choices. Total free choices are (3+3=6).
आत्म युग्मों के लिए \(2^3\) चुनाव और हर अलग जोड़े के लिए (3) चुनाव हैं। इसलिए संख्या \(2^3\cdot 3^3\) है। / Self-pairs give \(2^3\) choices and each distinct unordered pair gives (3) choices. Hence the number is \(2^3\cdot 3^3\).
A. यह संकर्मक संबंध है/It is a transitive relation
Explanation
Simple Explanation
संकर्मकता के लिए यदि (a,b) और (b,c) संबंध R में हों, तो (a,c) भी R में होना चाहिए। यहाँ (1,2) और (2,3) के साथ (1,3) उपस्थित है; अन्य सभी संभव श्रृंखलाएँ भी इसी प्रकार शर्त पूरी करती हैं। वास्तव में R समुच्चय A पर ≤ संबंध के समान है, इसलिए यह संकर्मक है। विकल्प B गलत है, क्योंकि (1,2) मौजूद है लेकिन (2,1) मौजूद नहीं है। विकल्प C भी गलत है, क्योंकि (1,1), (2,2) और (3,3) सभी मौजूद हैं। परीक्षा-युक्ति: संकर्मकता जाँचने के लिए दो क्रमिक युग्मों (a,b), (b,c) पर ध्यान दें। / For transitivity, whenever (a,b) and (b,c) belong to R, (a,c) must also belong to R. Here, (1,2) and (2,3) imply (1,3), which is present; all other possible chains satisfy the same condition. In fact, R behaves like the ≤ relation on A, so it is transitive. Option B is false because (1,2) is present but (2,1) is not. Option C is false because (1,1), (2,2), and (3,3) are all present. Exam tip: to test transitivity, look for chains of the form (a,b), (b,c) and check whether (a,c) is included.
((1,2)) और ((2,3)) के लिए जरूरी ((1,3)) मौजूद है। संकर्मकता में केवल वास्तविक श्रृंखलाएं जांचें। / The required ((1,3)) is present for ((1,2)) and ((2,3)). In transitivity, check only actual chains.
A. क्योंकि \((1,3) \notin R\)/Because \((1,3) \notin R\)
Explanation
Simple Explanation
((1,2)) और ((2,3)) होने पर संकर्मकता के लिए ((1,3)) चाहिए। एक कमी संकर्मकता को असत्य कर देती है। / Since ((1,2)) and ((2,3)) are present, transitivity needs ((1,3)). One missing required pair makes it false.
यह स्वसम, सममित और संकर्मक तीनों है। समान शेषफल वाला संबंध सामान्य तुल्यता संबंध होता है। / It is reflexive, symmetric, and transitive. A same-remainder relation is a standard equivalence relation.
(5) विषम है और उससे सम अंतर वाले सभी पूर्णांक विषम होंगे। तुल्यता वर्ग में समान गुण वाले सभी तत्व आते हैं। / (5) is odd, and all integers differing from it by an even number are odd. An equivalence class contains all elements with the same property.
समुच्चय \(A=\{1,2,3,4,5,6\}\) पर संबंध \(R\) इस प्रकार परिभाषित है: \(aRb\) यदि और केवल यदि \(a\equiv b \pmod{2}\)। इस तुल्यता संबंध के अंतर्गत तुल्यता वर्गों की संख्या कितनी है?
दो संख्याएँ तभी संबंधित होंगी जब उन्हें 2 से भाग देने पर समान शेषफल मिले। सम संख्याएँ \(\{2,4,6\}\) एक तुल्यता वर्ग बनाती हैं और विषम संख्याएँ \(\{1,3,5\}\) दूसरा। इसलिए कुल 2 तुल्यता वर्ग हैं। विकल्प 6 में तत्वों की संख्या बताई गई है, वर्गों की नहीं। परीक्षा टिप: मॉड्यूलो 2 के संबंध में संख्याओं को सम और विषम समूहों में बाँटें। / Two numbers are related when they leave the same remainder on division by 2. The even numbers \(\{2,4,6\}\) form one equivalence class, and the odd numbers \(\{1,3,5\}\) form the other. Hence, there are 2 equivalence classes. Option 6 gives the number of elements in the set, not the number of classes. Exam tip: For modulo 2, group the elements into even and odd numbers.
A. यह आंशिक क्रम संबंध है/It is a partial order relation
Explanation
Simple Explanation
संबंध R में प्रत्येक a ∈ A के लिए a ≤ a होता है, इसलिए यह स्वसम है। यदि a ≤ b और b ≤ a, तो a = b, इसलिए यह प्रत्यासममित भी है। साथ ही a ≤ b और b ≤ c से a ≤ c प्राप्त होता है, अतः यह संकर्मक है। इसलिए R आंशिक क्रम संबंध है। यह सममित नहीं है, क्योंकि (1, 2) ∈ R लेकिन (2, 1) ∉ R; इसी कारण यह तुल्यता संबंध भी नहीं है। परीक्षा-युक्ति: ≤ वाले संबंध की जाँच में स्वसम, प्रत्यासममित और संकर्मक तीनों गुण अवश्य जाँचें। / For every a ∈ A, a ≤ a, so R is reflexive. If a ≤ b and b ≤ a, then a = b, so it is antisymmetric. Also, a ≤ b and b ≤ c imply a ≤ c; hence it is transitive. Therefore, R is a partial order relation. It is not symmetric because (1, 2) ∈ R but (2, 1) ∉ R, so it cannot be an equivalence relation either. Exam tip: For a relation defined by ≤, check reflexivity, antisymmetry, and transitivity to identify a partial order.
A. क्योंकि प्रत्येक \(a\in A\) के लिए \(a<a\) असत्य है/Because \(a<a\) is false for every \(a\in A\)
Explanation
Simple Explanation
स्वसमता के लिए प्रत्येक \(a\in A\) के लिए \((a,a)\in R\) होना आवश्यक है। यहाँ \((a,a)\in R\) तभी होगा जब \(a<a\) सत्य हो, लेकिन कोई भी संख्या स्वयं से छोटी नहीं होती। इसलिए \(R\) स्वसम नहीं, बल्कि अस्वसम (irreflexive) है। विकल्प B भी गलत है, क्योंकि \(a<b\) सममित नहीं है; और सममितता स्वसमता की शर्त नहीं है। परीक्षा-युक्ति: स्वसमता जाँचने के लिए हर अवयव के लिए \((a,a)\) अवश्य जाँचें। / For reflexivity, \((a,a)\) must belong to \(R\) for every \(a\in A\). Here, \((a,a)\in R\) would require \(a<a\), but no number is less than itself. Therefore, \(R\) is not reflexive; it is irreflexive. Option B is also incorrect because \(a<b\) is not symmetric, and symmetry is a different property from reflexivity. Exam tip: To test reflexivity, check whether every pair \((a,a)\) is present in the relation.
रिक्त समुच्चय में कोई तत्व नहीं है इसलिए शर्त स्वतः सत्य है। रिक्त आधार पर कई गुण vacuously true होते हैं। / There is no element in the empty set, so the condition is automatically true. On an empty base set, many properties are vacuously true.
\(A \times A\) में सभी युग्म होते हैं इसलिए स्वसम और सममित दोनों हैं। यह संकर्मक भी होता है पर प्रत्यासममित सामान्यतः नहीं। / \(A \times A\) contains all pairs, so it is both reflexive and symmetric. It is also transitive but generally not antisymmetric.
B. यह सममित और संकर्मक है/It is symmetric and transitive
Explanation
Simple Explanation
कोई विरोधी युग्म या श्रृंखला नहीं है इसलिए सममित और संकर्मक शर्तें स्वतः सत्य हैं। पर अरिक्त (A) पर यह स्वसम नहीं है। / There is no violating pair or chain, so symmetry and transitivity are vacuously true. But on non-empty (A), it is not reflexive.
A. सममित, लेकिन स्वसम नहीं/Symmetric but not reflexive
Explanation
Simple Explanation
यदि \((a,b)\in R\), तो \(a+b\) विषम है। चूँकि \(b+a=a+b\), इसलिए \((b,a)\in R\) भी होगा; अतः संबंध सममित है। लेकिन किसी भी \(a\in A\) के लिए \(a+a=2a\) सम होता है, इसलिए \((a,a)\notin R\) और संबंध स्वसम नहीं है। यह तुल्यता संबंध भी नहीं है, क्योंकि यह स्वसम नहीं है और उदाहरणतः \((1,2),(2,3)\in R\), पर \((1,3)\notin R\)। परीक्षा-युक्ति: \(a+b\) विषम होने वाला संबंध सामान्यतः विपरीत समता वाले युग्मों को जोड़ता है और स्वसम नहीं होता। / If \((a,b)\in R\), then \(a+b\) is odd. Since \(b+a=a+b\), \((b,a)\in R\) as well; hence the relation is symmetric. However, for every \(a\in A\), \(a+a=2a\) is even, so \((a,a)\notin R\), and the relation is not reflexive. It is therefore not an equivalence relation; in fact, \((1,2),(2,3)\in R\), but \((1,3)\notin R\), so it is not transitive either. Exam tip: A relation defined by an odd sum links elements of opposite parity and cannot be reflexive.
समान parity वाले तत्व जुड़े हैं इसलिए संबंध स्वसम, सममित और संकर्मक है। यह सम और विषम दो वर्ग बनाता है। / Elements with the same parity are related, so the relation is reflexive, symmetric, and transitive. It forms even and odd classes.
A. स्वसम और सममित पर संकर्मक नहीं/Reflexive and symmetric but not transitive
Explanation
Simple Explanation
\(|a-a|\le 1\) और (|a-b|=|b-a|) सत्य हैं। पर ((1,2)) और ((2,3)) हैं लेकिन ((1,3)) नहीं है। / \(|a-a|\le 1\) and (|a-b|=|b-a|) are true. But ((1,2)) and ((2,3)) exist while ((1,3)) does not.
यदि \((a,b)\in R\), तो \(|a-b|=2\) होता है। चूँकि \(|b-a|=|a-b|=2\), इसलिए \((b,a)\in R\) भी होगा; अतः सम्बन्ध सममित है। यह स्वसम नहीं है, क्योंकि किसी भी \(a\) के लिए \(|a-a|=0\ne2\), इसलिए \((a,a)\notin R\)। यह संकर्मक भी नहीं है; उदाहरण के लिए \((1,3)\in R\) और \((3,5)\in R\), लेकिन \((1,5)\notin R\)। परीक्षा-युक्ति: निरपेक्ष अन्तर वाले सम्बन्धों में \(|a-b|=|b-a|\) देखकर पहले सममितता जाँचें। / If \((a,b)\in R\), then \(|a-b|=2\). Since \(|b-a|=|a-b|=2\), we also have \((b,a)\in R\); hence the relation is symmetric. It is not reflexive because \(|a-a|=0\ne2\), so \((a,a)\notin R\) for every \(a\). It is also not transitive: \((1,3)\in R\) and \((3,5)\in R\), but \((1,5)\notin R\). Exam tip: for relations involving absolute differences, use \(|a-b|=|b-a|\) to test symmetry first.
संबंध के प्रत्येक युग्म \((a,b)\) में \(a,b\in A\) होने चाहिए और \(a+2b=6\) संतुष्ट होना चाहिए। \(b=1\) रखने पर \(a=4\), जिससे \((4,1)\) मिलता है; \(b=2\) रखने पर \(a=2\), जिससे \((2,2)\) मिलता है। \(b=3\) पर \(a=0\) और \(b=4\) पर \(a=-2\) मिलता है, जो \(A\) में नहीं हैं। अतः कुल 2 क्रमित युग्म हैं। परीक्षा-युक्ति: संबंध के युग्मों की संख्या निकालते समय दोनों अवयवों का दिए गए समुच्चय में होना अवश्य जाँचें। / Each ordered pair \((a,b)\) must have both entries in \(A\) and satisfy \(a+2b=6\). For \(b=1\), \(a=4\), giving \((4,1)\); for \(b=2\), \(a=2\), giving \((2,2)\). For \(b=3\), \(a=0\), and for \(b=4\), \(a=-2\); neither value belongs to \(A\). Therefore, the relation contains 2 ordered pairs. Exam tip: when counting relation pairs, verify that both components belong to the specified set, not just that the equation is satisfied.
A. यह सममित है, लेकिन प्रतिवर्ती नहीं है/It is symmetric but not reflexive
Explanation
Simple Explanation
यदि �(ab)� सम है, तो �(ba)� भी सम होगा क्योंकि �(ab=ba)�। इसलिए संबंध सममित है। लेकिन �\((1,1)\notin R\)�, क्योंकि �\(1\cdot1=1\)� विषम है; अतः यह प्रतिवर्ती नहीं है। यह प्रत्यासममित भी नहीं है, क्योंकि �\((1,2)\in R\)� और �\((2,1)\in R\)�, जबकि �\(1\ne2\)�। इसलिए तुल्यता संबंध होने के लिए आवश्यक प्रतिवर्तिता भी इसमें नहीं है। परीक्षा-युक्ति: प्रतिवर्तिता जाँचने के लिए प्रत्येक �(a,a)� की जाँच करें। / If �(ab)� is even, then �(ba)� is also even because �(ab=ba)�. Hence, the relation is symmetric. However, �\((1,1)\notin R\)� since �\(1\cdot1=1\)� is odd, so the relation is not reflexive. It is also not antisymmetric because both �\((1,2)\in R\)� and �\((2,1)\in R\)�, while �\(1\ne2\)�. Therefore, it cannot be an equivalence relation, which must be reflexive. Exam tip: To test reflexivity, check every pair of the form �(a,a)�.
क्योंकि \(\gcd(a,b)=\gcd(b,a)\), इसलिए यदि \((a,b)\in R\), तो \((b,a)\in R\) भी होगा; अतः संबंध सममित है। यह स्वसम नहीं है, क्योंकि \(\gcd(2,2)=2\neq 1\)। यह संक्रामक भी नहीं है: \(\gcd(2,3)=1\) और \(\gcd(3,4)=1\), लेकिन \(\gcd(2,4)=2\)। साथ ही, \((2,3)\) और \((3,2)\) दोनों संबंध में हैं, जबकि \(2\neq3\), इसलिए यह प्रतिसममित नहीं है। परीक्षा-युक्ति: \(\gcd(a,b)=1\) वाले संबंधों में सममिति जाँचने के लिए महत्तम समापवर्तक की अदला-बदली संपत्ति याद रखें। / Since \(\gcd(a,b)=\gcd(b,a)\), whenever \((a,b)\in R\), we also have \((b,a)\in R\); hence the relation is symmetric. It is not reflexive because \(\gcd(2,2)=2\neq1\). It is not transitive: \(\gcd(2,3)=1\) and \(\gcd(3,4)=1\), but \(\gcd(2,4)=2\). It is also not antisymmetric because both \((2,3)\) and \((3,2)\) belong to \(R\), although \(2\neq3\). Exam tip: for relations defined by \(\gcd(a,b)=1\), first use the symmetry \(\gcd(a,b)=\gcd(b,a)\).
समुच्चय \(A=\{1,2,3,4,6,12\}\) पर संबंध \(R\) इस प्रकार परिभाषित है कि \(aRb\) तब और केवल तब जब \(a\mid b\)। \(12\) से संबंधित प्रथम अवयवों की संख्या कितनी है?
किसी प्रथम अवयव \(a\) का \(12\) से संबंधित होना तभी संभव है जब \(a\mid 12\)। समुच्चय \(A\) के सभी तत्व \(1,2,3,4,6,12\), \(12\) के भाजक हैं। अतः संबंधित युग्म \((1,12),(2,12),(3,12),(4,12),(6,12),(12,12)\) हैं और प्रथम अवयवों की संख्या \(6\) है। परीक्षा-युक्ति: भाजकों की गिनती में स्वयं संख्या \(12\) को भी शामिल करें। / A first element \(a\) is related to \(12\) precisely when \(a\mid 12\). Every element of \(A\)—namely \(1,2,3,4,6,12\)—divides \(12\). Thus the related ordered pairs are \((1,12),(2,12),(3,12),(4,12),(6,12),(12,12)\), giving 6 first elements. Exam tip: when counting divisors, include the number itself; counting only proper divisors would incorrectly give 5.
सममित संबंध की परिभाषा के अनुसार, यदि \((a,b)\in R\), तो \((b,a)\in R\) भी होना चाहिए। यहाँ \((2,5)\in R\) दिया है, इसलिए इसका क्रम-विपरीत युग्म \((5,2)\) निश्चित रूप से \(R\) में होगा। \((2,2)\), \((5,5)\) या \((1,2)\) के लिए दी गई जानकारी से कोई निष्कर्ष नहीं निकाला जा सकता। परीक्षा-युक्ति: सममित संबंध में युग्म के दोनों अवयवों का स्थान बदलकर दूसरा युग्म लिखें। / By definition of a symmetric relation, if \((a,b)\in R\), then \((b,a)\in R\) as well. Since \((2,5)\in R\), its reversed pair \((5,2)\) must belong to \(R\). The given information does not require \((2,2)\), \((5,5)\), or \((1,2)\) to be in the relation. Exam tip: For a symmetric relation, interchange the two entries of any given ordered pair.
अलग तत्वों (3) और (7) के लिए उल्टा युग्म साथ में नहीं हो सकता। यही प्रत्यासममितता की मुख्य जांच है। / For distinct elements (3) and (7), the reverse pair cannot occur together. This is the key test of antisymmetry.
संकर्मकता के अनुसार, यदि \((a,b)\in R\) और \((b,c)\in R\), तो \((a,c)\in R\) अवश्य होता है। यहाँ \(a=1\), \(b=4\) और \(c=6\) हैं, इसलिए \((1,6)\in R\)। अन्य विकल्पों में युग्मों का क्रम उलट गया है; संकर्मकता ऐसे उलटे युग्मों की गारंटी नहीं देती। परीक्षा-युक्ति: संकर्मकता में पहले युग्म का दूसरा अवयव और दूसरे युग्म का पहला अवयव समान होना चाहिए। / By transitivity, if \((a,b)\in R\) and \((b,c)\in R\), then \((a,c)\in R\) must hold. Here, \(a=1\), \(b=4\), and \(c=6\), so \((1,6)\in R\). The other options reverse the order of the elements, and transitivity does not guarantee such reverse pairs. Exam tip: in a transitive relation, match the second element of the first pair with the first element of the second pair, then connect the remaining elements.
किसी संबंध के स्वसम होने के लिए प्रत्येक \(a\in A\) के लिए \((a,a)\) होना आवश्यक है। इसलिए यहाँ \((1,1),(2,2),(3,3)\) अनिवार्य युग्म हैं, और इनका समुच्चय न्यूनतम स्वसम संबंध है। विकल्प D भी स्वसम है, लेकिन उसमें सभी 9 क्रमित युग्म हैं, इसलिए वह न्यूनतम नहीं है। परीक्षा-युक्ति: न्यूनतम स्वसम संबंध हमेशा \(\{(a,a):a\in A\}\) होता है। / A relation is reflexive if \((a,a)\) belongs to it for every \(a\in A\). Thus, \((1,1),(2,2),(3,3)\) are the only required pairs, giving the smallest reflexive relation. Option D is also reflexive, but it contains all 9 ordered pairs, so it is not minimal. Exam tip: the smallest reflexive relation on a set \(A\) is \(\{(a,a):a\in A\}\).
पहचान संबंध में केवल ((a,a)) प्रकार के युग्म होते हैं। यह स्वसम, सममित और संकर्मक होता है। / The identity relation contains only pairs of the form ((a,a)). It is reflexive, symmetric, and transitive.
धनात्मक अलग तत्वों के वर्ग बराबर नहीं होते इसलिए केवल ((a,a)) युग्म मिलते हैं। इसलिए यह पहचान संबंध है। / Squares of distinct positive elements are not equal, so only ((a,a)) pairs occur. Hence it is the identity relation.
बराबर वर्ग वाला संबंध स्वसम, सममित और संकर्मक है। यहां (2) और (-2) एक ही वर्ग में आएंगे। / The equal-square relation is reflexive, symmetric, and transitive. Here (2) and (-2) fall in the same class.
A. यह संकर्मक है, लेकिन स्वसम नहीं/It is transitive but not reflexive
Explanation
Simple Explanation
शर्त \(a-b>0\) का अर्थ \(a>b\) है। यदि \(a>b\) और \(b>c\), तो \(a>c\), इसलिए \(R\) संकर्मक है। लेकिन किसी भी \(a\in A\) के लिए \(a-a=0>0\) असत्य है, इसलिए \((a,a)\notin R\) और संबंध स्वसम नहीं है। यह सममित भी नहीं है, क्योंकि \((2,1)\in R\), पर \((1,2)\notin R\)। परीक्षा-युक्ति: \(a>b\) संबंध को सामान्यतः संकर्मक और अस्वसम समझें; यह तुल्यता संबंध नहीं हो सकता। / The condition \(a-b>0\) is equivalent to \(a>b\). If \(a>b\) and \(b>c\), then \(a>c\), so the relation is transitive. However, for every \(a\in A\), \(a-a=0>0\) is false; hence \((a,a)\notin R\), and the relation is not reflexive. It is also not symmetric, since \((2,1)\in R\) but \((1,2)\notin R\). Exam tip: A strict greater-than relation is transitive and irreflexive, so it cannot be an equivalence relation.
यदि \((a,b)\in R\), तो \(a+b\le 6\) होगा। चूँकि जोड़ क्रमविनिमेय है, इसलिए \(b+a=a+b\le 6\), अतः \((b,a)\in R\) भी होगा। इसलिए \(R\) सममित है। यह स्वसम नहीं है, क्योंकि \((4,4)\notin R\); यह प्रत्यासममित नहीं है, क्योंकि \((1,2)\) और \((2,1)\) दोनों \(R\) में हैं। यह संकर्मक भी नहीं है, क्योंकि \((2,1),(1,5)\in R\), लेकिन \((2,5)\notin R\)। परीक्षा-युक्ति: सममितता जाँचने के लिए \((a,b)\) के साथ \((b,a)\) की उपस्थिति देखें। / If \((a,b)\in R\), then \(a+b\le 6\). Since addition is commutative, \(b+a=a+b\le 6\), so \((b,a)\in R\) as well. Hence, \(R\) is symmetric. It is not reflexive because \((4,4)\notin R\); it is not antisymmetric because both \((1,2)\) and \((2,1)\) belong to \(R\). It is also not transitive since \((2,1),(1,5)\in R\), but \((2,5)\notin R\). Exam tip: To test symmetry, check whether every \((a,b)\) is accompanied by \((b,a)\).
A. क्योंकि \((1,1)\notin R\)/Because \((1,1)\notin R\)
Explanation
Simple Explanation
स्वसम संबंध के लिए प्रत्येक \(a\in A\) के लिए \((a,a)\in R\) होना आवश्यक है। यहाँ \((1,1)\in R\) होने के लिए \(1+1\ge 5\) होना चाहिए, लेकिन \(2\ge 5\) असत्य है; अतः \((1,1)\notin R\) और संबंध स्वसम नहीं है। \((4,4)\in R\) होना केवल एक आत्म-युग्म की पुष्टि करता है, सभी की नहीं। परीक्षा-युक्ति: स्वसमता जाँचने के लिए सभी \((a,a)\) युग्मों की जाँच करें; एक भी असफल युग्म पर्याप्त है। / A relation is reflexive only if \((a,a)\in R\) for every \(a\in A\). For \((1,1)\) to belong to \(R\), we need \(1+1\ge 5\), but \(2\ge 5\) is false. Therefore, \((1,1)\notin R\), so the relation is not reflexive. Although \((4,4)\in R\), one self-pair does not establish reflexivity for the entire set. Exam tip: To test reflexivity, check every pair of the form \((a,a)\); one failure is enough.
(2) और (5) का \( \pmod{3}\) शेषफल समान है। ([2]) में (2) के समान शेषफल वाले तत्व आते हैं। / (2) and (5) have the same remainder modulo (3). ([2]) contains elements with the same remainder as (2).
यह संबंध प्रत्येक तत्व को स्वयं से संबंधित करता है, तथा 1 और 2 को एक-दूसरे से एवं 3 और 4 को एक-दूसरे से संबंधित करता है। इसलिए इसके तुल्यता वर्ग हैं: [1]=[2]={1,2} और [3]=[4]={3,4}। अतः कुल 2 तुल्यता वर्ग बनते हैं। परीक्षा-टिप: तुल्यता वर्गों की संख्या, संबंध से बनने वाले अलग-अलग समूहों की संख्या होती है, न कि क्रमित युग्मों या तत्वों की संख्या। / The relation connects 1 with 2 in both directions and 3 with 4 in both directions, while every element is related to itself. Hence, the equivalence classes are [1]=[2]={1,2} and [3]=[4]={3,4}. Therefore, there are 2 equivalence classes. Exam tip: Count the distinct groups in the partition, not the number of ordered pairs or elements.
तुल्यता संबंध में संबंधित तत्व एक ही वर्ग में होते हैं। इसलिए उनके तुल्यता वर्ग बराबर होते हैं। / In an equivalence relation, related elements lie in the same class. Hence their equivalence classes are equal.
A. स्वसम, सममित और संकर्मक/Reflexive, symmetric and transitive
Explanation
Simple Explanation
तुल्यता संबंध के लिए तीनों गुण साथ चाहिए। कोई एक गुण छूटे तो वह तुल्यता संबंध नहीं होगा। / An equivalence relation needs all three properties together. If any one is missing, it is not an equivalence relation.
A. स्वसम, प्रत्यासममित और संकर्मक/Reflexive, antisymmetric and transitive
Explanation
Simple Explanation
आंशिक क्रम संबंध में स्वसमता, प्रत्यासममितता और संकर्मकता होती है। \(\le\) और \(\subseteq\) इसके अच्छे उदाहरण हैं। / A partial order relation is reflexive, antisymmetric, and transitive. \(\le\) and \(\subseteq\) are good examples.
समावेशन संबंध \(\subseteq\) स्वसमतुल्य है, क्योंकि प्रत्येक \(A\in P\) के लिए \(A\subseteq A\) होता है। यह प्रत्यासममित है: यदि \(A\subseteq B\) और \(B\subseteq A\), तो \(A=B\)। यह संकर्मक भी है, क्योंकि \(A\subseteq B\) और \(B\subseteq C\) से \(A\subseteq C\) मिलता है। इसलिए \(R\) आंशिक क्रम संबंध है। यह तुल्यता संबंध नहीं है, क्योंकि यह सममित नहीं है; उदाहरणतः \(\{1\}\subseteq\{1,2\}\), लेकिन \(\{1,2\}\not\subseteq\{1\}\)। परीक्षा-युक्ति: आंशिक क्रम की पहचान के लिए स्वसमतुल्यता, प्रत्यासममितता और संकर्मकता—इन तीनों की जाँच करें। / The inclusion relation \(\subseteq\) is reflexive because \(A\subseteq A\) for every \(A\in P\). It is antisymmetric: if \(A\subseteq B\) and \(B\subseteq A\), then \(A=B\). It is also transitive, since \(A\subseteq B\) and \(B\subseteq C\) imply \(A\subseteq C\). Therefore, \(R\) is a partial order relation. It is not an equivalence relation because it is not symmetric; for example, \(\{1\}\subseteq\{1,2\}\), but \(\{1,2\}\not\subseteq\{1\}\). Exam tip: To identify a partial order, check reflexivity, antisymmetry, and transitivity.
A. सममित, लेकिन संक्रामक नहीं/Symmetric but not transitive
Explanation
Simple Explanation
यदि \((a,b)\in R\), तो \(a\ne b\) होता है। इससे \(b\ne a\) भी सत्य है, इसलिए \((b,a)\in R\) और संबंध सममित है। लेकिन \((1,2)\in R\) तथा \((2,1)\in R\), जबकि \((1,1)\notin R\); अतः यह संक्रामक नहीं है। यह प्रत्यसममित भी नहीं है, क्योंकि \((1,2)\) और \((2,1)\) दोनों संबंध में हैं। परीक्षा-युक्ति: संक्रामकता जाँचने के लिए संबंध में मौजूद दो क्रमित युग्मों के मध्य पद को मिलाकर तीसरा युग्म अवश्य जाँचें। / If \((a,b)\in R\), then \(a\ne b\), which also implies \(b\ne a\). Hence \((b,a)\in R\), so the relation is symmetric. However, \((1,2)\in R\) and \((2,1)\in R\), whereas \((1,1)\notin R\); therefore, it is not transitive. It is also not antisymmetric because both \((1,2)\) and \((2,1)\) belong to the relation. Exam tip: To test transitivity, combine two related ordered pairs with a common middle element and check whether the resulting pair is also present.
A. यह तुल्यता संबंध है/It is an equivalence relation
Explanation
Simple Explanation
समान parity होना स्वसम, सममित और संकर्मक है। यह ({1,3}) और ({2,4}) वर्ग बनाता है। / Having the same parity is reflexive, symmetric, and transitive. It forms the classes ({1,3}) and ({2,4}).
पहला अवयव \(a=4\) रखने पर शर्त \(4\leq b\) मिलती है। चूँकि \(b\) को \(A\) का अवयव होना है और \(4\) इस समुच्चय का अधिकतम अवयव है, इसलिए यह असमानता केवल \(b=4\) के लिए सत्य है। अतः सम्बन्धित दूसरे अवयवों का समुच्चय \(\{4\}\) है। विकल्प B में \(1,2,3\) भी शामिल हैं, जिनके लिए \(4\leq b\) असत्य है; विकल्प D इसलिए गलत है क्योंकि \((4,4)\in R\)। परीक्षा-युक्ति: अधिकतम अवयव \(m\) के लिए \(m\leq b\) होने पर सामान्यतः केवल \(b=m\) सम्भव होता है। / Substituting the first element \(a=4\) gives the condition \(4\leq b\). Since \(b\) must belong to \(A\) and \(4\) is the maximum element of the set, this condition is true only for \(b=4\). Therefore, the set of related second elements is \(\{4\}\). Option B incorrectly includes \(1,2,3\), for which \(4\leq b\) is false, while option D is wrong because \((4,4)\in R\). Exam tip: for a maximum element \(m\), the condition \(m\leq b\) usually permits only \(b=m\).
R पहले से ही स्वसमित है, क्योंकि इसमें (1,1), (2,2) और (3,3) शामिल हैं। यह सममित भी है, क्योंकि (1,2) के साथ (2,1) भी मौजूद है। इसके अतिरिक्त, 1 और 2 एक ही तुल्यता वर्ग में हैं तथा 3 अलग वर्ग में है; इसलिए संकर्मिता भी संतुष्ट होती है। इसके तुल्यता वर्ग {1,2} और {3} हैं। अतः किसी नए युग्म को जोड़ने की आवश्यकता नहीं है। परीक्षा-युक्ति: तुल्यता संबंध जाँचने के लिए क्रमशः स्वसमिता, सममितता और संकर्मिता अवश्य जाँचें। / R is already reflexive because it contains (1,1), (2,2), and (3,3). It is symmetric because (1,2) is accompanied by (2,1). Transitivity also holds: 1 and 2 form one equivalence class, while 3 forms a separate class. Thus, the equivalence classes are {1,2} and {3}, and no new pair is needed. Exam tip: To test an equivalence relation, check reflexivity, symmetry, and transitivity in that order.
