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(4x-2-12x+5=(2x-1)(2x-5)), इसलिए मूल \(\frac{1}{2}\) और \(\frac{5}{2}\) हैं। परीक्षा में हर रैखिक गुणनखंड को अलग हल करें। / (4x-2-12x+5=(2x-1)(2x-5)), so the roots are \(\frac{1}{2}\) and \(\frac{5}{2}\). In exams, solve each linear factor separately.
यहां (ac=24) और (12+2=14), इसलिए (14x) को (12x+2x) में तोड़ते हैं। परीक्षा में पहले (ac) निकालें। / Here (ac=24) and (12+2=14), so (14x) is split as (12x+2x). In exams, find (ac) first.
(8x-2+14x+3=(4x+1)(2x+3)), इसलिए मूल \(-\frac{1}{4}\) और \(-\frac{3}{2}\) हैं। परीक्षा में भिन्न मूल सरल रूप में लिखें। / (8x-2+14x+3=(4x+1)(2x+3)), so the roots are \(-\frac{1}{4}\) and \(-\frac{3}{2}\). In exams, write fractional roots in simplest form.
यहां (D=(-8)2-4(1)(12)=16), इसलिए \(x=\frac{8\pm4}{2}\) मिलता है। परीक्षा में (-b) का चिन्ह सही रखें। / Here (D=(-8)2-4(1)(12)=16), so \(x=\frac{8\pm4}{2}\). In exams, keep the sign of (-b) correct.
\(x^2-8x=-12\) में (16) जोड़ने पर ((x-4)2=4) मिलता है। परीक्षा में दोनों पक्षों में समान संख्या जोड़ें। / Adding (16) to \(x^2-8x=-12\) gives ((x-4)2=4). In exams, add the same number to both sides.
(3x-2+8x+4=(3x+2)(x+2)), इसलिए मूल \(-\frac{2}{3}\) और (-2) हैं। परीक्षा में धनात्मक गुणनखंडों से ऋणात्मक मूल मिलते हैं। / (3x-2+8x+4=(3x+2)(x+2)), so the roots are \(-\frac{2}{3}\) and (-2). In exams, positive factors give negative roots.
यहां (ac=-30) और (-15+2=-13), इसलिए मध्य पद (-15x+2x) होगा। परीक्षा में (ac) का संकेत ध्यान से देखें। / Here (ac=-30) and (-15+2=-13), so the middle term is (-15x+2x). In exams, check the sign of (ac) carefully.
(5x-2-13x-6=(5x+2)(x-3)), इसलिए मूल (3) और \(-\frac{2}{5}\) हैं। परीक्षा में रैखिक गुणनखंडों के चिन्ह उलटकर मूल लिखें। / (5x-2-13x-6=(5x+2)(x-3)), so the roots are (3) and \(-\frac{2}{5}\). In exams, reverse the signs from linear factors to write roots.
(6) को बाईं ओर लाने पर \(3x^2+7x-6=0\) मिलता है। परीक्षा में सूत्र लगाने से पहले मानक रूप बनाएं। / Bringing (6) to the left gives \(3x^2+7x-6=0\). In exams, make standard form before applying any method.
(3x-2+7x-6=(3x-2)(x+3)), इसलिए मूल \(\frac{2}{3}\) और (-3) हैं। परीक्षा में पहले सही मानक रूप बनाना जरूरी है। / (3x-2+7x-6=(3x-2)(x+3)), so the roots are \(\frac{2}{3}\) and (-3). In exams, correct standard form is necessary first.
(16x-2-24x+9=(4x-3)2), इसलिए यह पूर्ण वर्ग है। परीक्षा में ((a-b)2) का पैटर्न पहचानें। / (16x-2-24x+9=(4x-3)2), so it is a perfect square. In exams, recognize the pattern ((a-b)2).
((4x-3)2=0), इसलिए (4x-3=0) और \(x=\frac{3}{4}\) है। परीक्षा में दोहराए हुए मूल को भी सही भिन्न में लिखें। / ((4x-3)2=0), so (4x-3=0) and \(x=\frac{3}{4}\). In exams, write the repeated root as a correct fraction.
(6x-2-18x=6x(x-3)), इसलिए (x=0) और (x=3) दोनों मूल हैं। परीक्षा में चर से भाग देने पर (x=0) छूट सकता है। / (6x-2-18x=6x(x-3)), so (x=0) and (x=3) are both roots. In exams, dividing by the variable can miss (x=0).
मानक रूप \(ax^2+bx+c=0 \) से (a=3,b=-6,c=-2 ) मिलते हैं। इसलिए (D=b-2-4ac=(-6)2-4(3)(-2)=36+24=60 )। ध्यान रखें कि (c ) ऋणात्मक होने पर (-4ac ) का मान धनात्मक हो जाता है; इसी कारण 36 में 24 जोड़ा जाता है। / Comparing the equation with \(ax^2+bx+c=0 \), we get (a=3,b=-6,c=-2 ). Thus, (D=b-2-4ac=(-6)2-4(3)(-2)=36+24=60 ). Since (c ) is negative, the term (-4ac ) becomes positive, so 24 must be added to 36 rather than subtracted. Exam tip: identify (a,b,c ) with their signs before applying the formula.
सूत्र से \(x=\frac{6\pm\sqrt{60}}{6}=1\pm\frac{\sqrt{15}}{3}\) मिलता है। परीक्षा में \(\sqrt{60}=2\sqrt{15}\) सरल करें। / The formula gives \(x=\frac{6\pm\sqrt{60}}{6}=1\pm\frac{\sqrt{15}}{3}\). In exams, simplify \(\sqrt{60}=2\sqrt{15}\).
समान मूलों के लिए (D=0), इसलिए (144-4k=0) और (k=36) है। परीक्षा में समान मूल का संकेत (D=0) है। / For equal roots, (D=0), so (144-4k=0) and (k=36). In exams, equal roots indicate (D=0).
समान मूलों के लिए \(k^2-100=0\), इसलिए \(k=\pm10\) और (k<0) से (k=-10) है। परीक्षा में दी गई शर्त जरूर लगाएं। / For equal roots, \(k^2-100=0\), so \(k=\pm10\), and (k<0) gives (k=-10). In exams, apply the given condition.
पहले समीकरण के मूल (3,4) और दूसरे के मूल (4,5) हैं। परीक्षा में दोनों समीकरण अलग हल करके समान मूल देखें। / The roots of the first equation are (3,4), and the roots of the second are (4,5). In exams, solve both equations separately and compare the common root.
पहचान \(a^2-2ab+b^2=(a-b)^2\) का प्रयोग करने पर \(25x^2-20x+4=(5x)^2-2(5x)(2)+2^2=(5x-2)^2\) मिलता है। इसलिए सही पूर्ण वर्ग रूप \((5x-2)^2=0\) है। विकल्प B में मध्य पद \(+20x\) होता, जबकि विकल्प C और D में पहला पद क्रमशः \(625x^2\) और \(x^2\) बनता है। परीक्षा-टिप: पूर्ण वर्ग पहचान में मध्य पद का चिन्ह अवश्य जाँचें। / Using the identity \(a^2-2ab+b^2=(a-b)^2\), we get \(25x^2-20x+4=(5x)^2-2(5x)(2)+2^2=(5x-2)^2\). Hence, the correct perfect-square form is \((5x-2)^2=0\). In option B, the middle term would be \(+20x\), while options C and D have incorrect leading terms, \(625x^2\) and \(x^2\), respectively. Exam tip: Always check the sign and coefficient of the middle term when applying a perfect-square identity.
((5x-2)2=0), इसलिए (5x-2=0) और \(x=\frac{2}{5}\) है। परीक्षा में वर्ग रूप के बाद रैखिक समीकरण हल करें। / ((5x-2)2=0), so (5x-2=0) and \(x=\frac{2}{5}\). In exams, solve the linear equation after square form.
द्विघात समीकरण का मानक रूप ax² + bx + c = 0 होता है। दिए गए समीकरण में 7x को बाईं ओर लाने पर उसका चिह्न बदलकर −7x हो जाता है: 2x² − 7x + 1 = 0। इसलिए विकल्प A सही है। ध्यान रखें कि किसी पद को समीकरण के दूसरी ओर ले जाने पर उसका चिह्न बदल जाता है। / The standard form of a quadratic equation is ax² + bx + c = 0. Moving 7x to the left changes its sign to −7x, giving 2x² − 7x + 1 = 0. Therefore, option A is correct. Exam tip: the sign of a term changes whenever it is transposed to the other side of the equation.
द्विघात समीकरण \\(ax^2+bx+c=0\\) में विविक्तकर का सूत्र \\(D=b^2-4ac\\) होता है। यहाँ \\(a=2, b=-7, c=1\\) हैं, इसलिए \\(D=(-7)^2-4(2)(1)=49-8=41\\)। विकल्प B में केवल \\(b^2=49\\) लिया गया है और \\(4ac\\) घटाया नहीं गया। परीक्षा में पहले \\(a,b,c\\) पहचानकर सूत्र में उनके चिह्नों सहित मान रखें। / For a quadratic equation \\(ax^2+bx+c=0\\), the discriminant is \\(D=b^2-4ac\\). Here, \\(a=2, b=-7, c=1\\), so \\(D=(-7)^2-4(2)(1)=49-8=41\\). Option B results from taking only \\(b^2=49\\) and not subtracting \\(4ac\\). In an exam, identify \\(a,b,c\\) first and substitute their signed values carefully.
\(x^2-16x=-28\) में (64) जोड़ने पर ((x-8)2=36) मिलता है। परीक्षा में आधे गुणांक का वर्ग जोड़ें। / Adding (64) to \(x^2-16x=-28\) gives ((x-8)2=36). In exams, add the square of half the coefficient.
दिए गए समीकरण को गुणनखंडित करने पर \(x^2-16x+28=(x-2)(x-14)\) मिलता है। इसलिए \(x-2=0\) या \(x-14=0\), अतः मूल \(x=2,14\) हैं। विकल्प D में संख्याओं का योग 14 है, जबकि मूलों का योग 16 होना चाहिए। परीक्षा में मूलों की जाँच के लिए उनका योग \(16\) और गुणनफल \(28\) अवश्य मिलाएँ। / Factoring the equation gives \(x^2-16x+28=(x-2)(x-14)\). Thus, \(x-2=0\) or \(x-14=0\), so the roots are \(x=2,14\). In option D, the sum of the numbers is 14, whereas the sum of the roots must be 16. As an exam tip, verify the roots using their sum \(16\) and product \(28\).
वियत के योग प्रमेय के अनुसार, मूलों का योग \(-p\) के बराबर होता है। यहाँ \((-4)+(-5)=-9\), इसलिए \(-p=-9\) और \(p=9\)। विकल्प B मूलों के योग को सीधे \(p\) मान लेने से प्राप्त होता है। परीक्षा में \(x^2+px+q=0\) के लिए मूलों का योग हमेशा \(-p\) याद रखें। / By Vieta’s sum-of-roots relation, the sum of the roots is \(-p\). Here, \((-4)+(-5)=-9\), so \(-p=-9\) and hence \(p=9\). Option B results from incorrectly taking the root sum as \(p\) instead of \(-p\). In exams, remember that for \(x^2+px+q=0\), the sum of the roots is \(-p\).
मूल (3) और (7) हों तो ((x-3)(x-7)=0), यानी \(x^2-10x+21=0\) है। परीक्षा में मूलों के विपरीत चिन्ह से गुणनखंड बनाएं। / If roots are (3) and (7), then ((x-3)(x-7)=0), that is \(x^2-10x+21=0\). In exams, form factors with opposite signs of roots.
(3x-2+11x+10=(3x+5)(x+2)), इसलिए मूल \(-\frac{5}{3}\) और (-2) हैं। परीक्षा में धनात्मक गुणनखंडों से ऋणात्मक मूल मिलते हैं। / (3x-2+11x+10=(3x+5)(x+2)), so the roots are \(-\frac{5}{3}\) and (-2). In exams, positive factors give negative roots.
(x-2-x-30=(x-6)(x+5)), इसलिए मूल (6) और (-5) हैं। परीक्षा में बड़ा मान मध्य पद का चिन्ह तय करता है। / (x-2-x-30=(x-6)(x+5)), so the roots are (6) and (-5). In exams, the larger value decides the sign of the middle term.
(D=(-10)2-4(1)(21)=16), इसलिए \(x=\frac{10\pm4}{2}\) से (3) और (7) मिलते हैं। परीक्षा में सूत्र में (b) का चिन्ह सही रखें। / (D=(-10)2-4(1)(21)=16), so \(x=\frac{10\pm4}{2}\) gives (3) and (7). In exams, keep the sign of (b) correct in the formula.
(-8+(-10)=-18) और ((-8)(-10)=80), इसलिए यह जोड़ी सही है। परीक्षा में (c) धनात्मक और (b) ऋणात्मक हो तो दोनों संख्याएं ऋणात्मक होती हैं। / (-8+(-10)=-18) and ((-8)(-10)=80), so this pair is correct. In exams, when (c) is positive and (b) is negative, both numbers are negative.
(x-2-18x+80=(x-8)(x-10)), इसलिए मूल (8) और (10) हैं। परीक्षा में गुणनखंड से मूल लिखते समय चिन्ह बदलें। / (x-2-18x+80=(x-8)(x-10)), so the roots are (8) and (10). In exams, change signs while writing roots from factors.
\(9x^2-45x=0\) से (9x(x-5)=0), इसलिए (x=0) और (x=5) हैं। परीक्षा में चर से भाग देने से एक मूल छूट सकता है। / From \(9x^2-45x=0\), (9x(x-5)=0), so (x=0) and (x=5). In exams, dividing by the variable can miss one root.
\(x^2+2x=24\) में (1) जोड़ने पर ((x+1)2=25) मिलता है। परीक्षा में आधे गुणांक का वर्ग जोड़ें। / Adding (1) to \(x^2+2x=24\) gives ((x+1)2=25). In exams, add the square of half the coefficient.
द्विघात बहुपद का गुणनखंड करने पर \(x^2+2x-24=(x+6)(x-4)\) मिलता है। अतः \((x+6)(x-4)=0\) से \(x=-6\) या \(x=4\), इसलिए विकल्प A सही है। विकल्प B में दोनों मूलों के चिह्न उलट गए हैं। परीक्षा में गुणनखंडों को शून्य के बराबर रखकर दोनों मूल अवश्य जाँचें। / Factoring the quadratic gives \(x^2+2x-24=(x+6)(x-4)\). Thus, \((x+6)(x-4)=0\) gives \(x=-6\) or \(x=4\), so option A is correct. In option B, the signs of both roots are reversed. In an exam, set each factor equal to zero to obtain and check both roots.
(ac=-12) और (4+(-3)=1), इसलिए (x) को (4x-3x) में तोड़ते हैं। परीक्षा में (ac) का संकेत ध्यान से देखें। / (ac=-12) and (4+(-3)=1), so (x) is split as (4x-3x). In exams, check the sign of (ac) carefully.
(6x-2+x-2=(3x+2)(2x-1)), इसलिए मूल \(\frac{1}{2}\) और \(-\frac{2}{3}\) हैं। परीक्षा में दोनों रैखिक गुणनखंड सावधानी से हल करें। / (6x-2+x-2=(3x+2)(2x-1)), so the roots are \(\frac{1}{2}\) and \(-\frac{2}{3}\). In exams, solve both linear factors carefully.
समान मूल \(x=\frac{-b}{2a}\) होता है, इसलिए \(x=\frac{12}{6}=2\) है। परीक्षा में (D=0) पर यह छोटा सूत्र उपयोगी है। / The equal root is \(x=\frac{-b}{2a}\), so \(x=\frac{12}{6}=2\). In exams, this short formula is useful when (D=0).
यहां (D=(-4)2-4(1)(13)=-36<0), इसलिए वास्तविक मूल नहीं हैं। परीक्षा में (D<0) होने पर वास्तविक हल नहीं मिलता। / Here (D=(-4)2-4(1)(13)=-36<0), so there are no real roots. In exams, (D<0) means no real solution.
(x-2-4x+13=(x-2)2+9), इसलिए वास्तविक मूल नहीं मिलते। परीक्षा में पूर्ण वर्ग रूप से भी मूलों की प्रकृति समझें। / (x-2-4x+13=(x-2)2+9), so no real roots are obtained. In exams, use completed square form to understand the nature of roots.
दोनों पक्षों को 5 से भाग देने पर \(x^2=16\) प्राप्त होता है। अतः वर्गमूल लेने पर \(x=\pm\sqrt{16}=\pm4\), इसलिए विकल्प A सही है। केवल \(x=4\) या केवल \(x=-4\) लिखना एक मूल छोड़ देना है। परीक्षा-युक्ति: वर्गमूल लेते समय धनात्मक और ऋणात्मक दोनों चिह्न अवश्य लिखें। / Dividing both sides by 5 gives \(x^2=16\). Taking square roots, \(x=\pm\sqrt{16}=\pm4\), so option A is correct. Writing only \(x=4\) or only \(x=-4\) omits one root, while \(\pm16\) results from an incorrect calculation. Exam tip: always include both the positive and negative signs when taking the square root of a positive number.
\(x+6=\pm\sqrt{5}\), इसलिए \(x=-6\pm\sqrt{5}\) है। परीक्षा में \(\pm\) को पूरे वर्गमूल के साथ लिखें। / \(x+6=\pm\sqrt{5}\), so \(x=-6\pm\sqrt{5}\). In exams, write \(\pm\) with the whole square root.
(x-2+12x+32=(x+4)(x+8)), इसलिए (x=-4,-8) हैं। परीक्षा में धनात्मक मध्य पद और धनात्मक स्थिर पद से ऋणात्मक मूल आ सकते हैं। / (x-2+12x+32=(x+4)(x+8)), so (x=-4,-8). In exams, a positive middle term and positive constant can give negative roots.
(7x + 1)(x + 1) को विस्तार करने पर 7x² + 7x + x + 1 = 7x² + 8x + 1 प्राप्त होता है, इसलिए विकल्प A सही है। विकल्प C में x² का गुणांक 1 होता है, जबकि विकल्प D का विस्तार 7x² + 15x + 8 देता है। परीक्षा में गुणनखंडों का विस्तार करके मूल बहुपद से मिलान करें। / Expanding (7x + 1)(x + 1) gives 7x² + 7x + x + 1 = 7x² + 8x + 1, so option A is correct. In option C, the coefficient of x² is 1, while option D expands to 7x² + 15x + 8. In exams, verify factorisation by expanding the factors and comparing the result with the original polynomial.
((7x+1)(x+1)=0), इसलिए \(x=-\frac{1}{7}\) और (-1) हैं। परीक्षा में ((7x+1)=0) से \(-\frac{1}{7}\) मिलता है। / ((7x+1)(x+1)=0), so \(x=-\frac{1}{7}\) and (-1). In exams, ((7x+1)=0) gives \(-\frac{1}{7}\).
यहां (D=22-4(1)(-2)=12), इसलिए \(x=\frac{-2\pm\sqrt{12}}{2}=-1\pm\sqrt{3}\) है। परीक्षा में \(\sqrt{12}=2\sqrt{3}\) सरल करें। / Here (D=22-4(1)(-2)=12), so \(x=\frac{-2\pm\sqrt{12}}{2}=-1\pm\sqrt{3}\). In exams, simplify \(\sqrt{12}=2\sqrt{3}\).
((3x+2)(x-4)=3x-2-10x-8), इसलिए यह सही गुणनखंड रूप है। परीक्षा में विस्तार करके उत्तर जांचें। / ((3x+2)(x-4)=3x-2-10x-8), so this is the correct factorised form. In exams, check the answer by expanding.
दिए गए समीकरण का गुणनखंडन \(3x^2-10x-8=(3x+2)(x-4)\) है। अतः \((3x+2)(x-4)=0\) से \(x=-\frac{2}{3}\) या \(x=4\) प्राप्त होता है। इसलिए विकल्प A सही है; विकल्प B में दोनों मूलों के चिह्न गलत हैं। परीक्षा में गुणनखंड बनाने के बाद प्रत्येक गुणनखंड को शून्य रखकर मूल निकालें। / The factorisation of the equation is \(3x^2-10x-8=(3x+2)(x-4)\). Thus, \((3x+2)(x-4)=0\) gives \(x=-\frac{2}{3}\) or \(x=4\). Therefore, option A is correct; both signs are incorrect in option B. Exam tip: after factorising, set each factor equal to zero to obtain the roots.
A. \(x=\pm7\) लिखना चाहिए/One should write \(x=\pm7\)
Explanation
Simple Explanation
\(x^2=49\) से \(x=\pm\sqrt{49}=\pm7\) मिलता है। परीक्षा में वर्गमूल विधि में दोनों चिन्ह अनिवार्य हैं। / From \(x^2=49\), \(x=\pm\sqrt{49}=\pm7\). In exams, both signs are necessary in the square root method.
\(x^2-6x=7\) में (9) जोड़ने पर ((x-3)2=16) मिलता है। परीक्षा में आधे गुणांक का वर्ग दोनों पक्षों में जोड़ें। / Adding (9) to \(x^2-6x=7\) gives ((x-3)2=16). In exams, add the square of half the coefficient to both sides.
दिए गए समीकरण से \(x^2-6x=7\) प्राप्त होता है। दोनों पक्षों में 9 जोड़ने पर \(x^2-6x+9=16\), अर्थात् \((x-3)^2=16\)। इसलिए \(x-3=\pm4\), जिससे \(x=7\) या \(x=-1\) प्राप्त होते हैं। विकल्प C में दिए मूलों का योग 7 है, जबकि इस समीकरण में मूलों का योग 6 होना चाहिए। परीक्षा-युक्ति: पूर्ण वर्ग विधि में \(\pm\) चिन्ह से दोनों संभावित मूल अवश्य निकालें। / From the equation, \(x^2-6x=7\). Adding 9 to both sides gives \(x^2-6x+9=16\), or \((x-3)^2=16\). Hence, \(x-3=\pm4\), so the roots are \(x=7\) and \(x=-1\). Option C is incorrect because its roots have a sum of 7, whereas the sum of the roots of this equation must be 6. Exam tip: In the completing-square method, use the \(\pm\) sign to obtain both roots.
