Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है
The average of the two zeroes is (5), so the other zero is (11). Tip: the axis of symmetry passes through the midpoint of zeroes.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. (11). The average of the two zeroes is (5), so the other zero is (11). Tip: the axis of symmetry passes through the midpoint of zeroes.
Step 3
Exam Tip
दो शून्यकों का औसत (5) है इसलिए दूसरा शून्यक (11) होगा। टिप: सममिति अक्ष शून्यकों के मध्य से गुजरता है।
A. (x=4) पर स्पर्श और (x=-3) पर कटान/Touches at (x=4) and crosses at (x=-3)
Step 1
Concept
An even-power zero gives touching and an odd-power zero gives crossing. Tip: identify graph behavior from the power of the factor.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. (x=4) पर स्पर्श और (x=-3) पर कटान / Touches at (x=4) and crosses at (x=-3). An even-power zero gives touching and an odd-power zero gives crossing. Tip: identify graph behavior from the power of the factor.
Step 3
Exam Tip
सम घात वाला शून्यक स्पर्श और विषम घात वाला शून्यक कटान देता है। टिप: कारक की घात से ग्राफ का व्यवहार पहचानें।
(x=-4) lies between the two zeroes and an upward-opening parabola stays below there. Tip: check the sign region between zeroes.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. (x)-अक्ष के नीचे / Below the (x)-axis. (x=-4) lies between the two zeroes and an upward-opening parabola stays below there. Tip: check the sign region between zeroes.
Step 3
Exam Tip
(x=-4) दोनों शून्यकों के बीच है और ऊपर खुलने वाला परवलय बीच में नीचे रहता है। टिप: शून्यकों के बीच संकेत क्षेत्र देखें।
In this interval the factor signs are (+), (+), (-), and the outside negative makes the value positive. Tip: apply the outside sign at the end.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. ऊपर / Above. In this interval the factor signs are (+), (+), (-), and the outside negative makes the value positive. Tip: apply the outside sign at the end.
Step 3
Exam Tip
इस अंतराल में कारकों के चिह्न (+), (+), (-) हैं और बाहर का ऋण चिन्ह मान को धनात्मक बनाता है। टिप: बाहरी चिन्ह को अंत में लगाएं।
The polynomial is ((x-n)(x-(n+3))), so the zeroes are (n) and (n+3). Tip: write zeroes as ((x,0)).
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. ((n,0)) और ((n+3,0)) / ((n,0)) and ((n+3,0)). The polynomial is ((x-n)(x-(n+3))), so the zeroes are (n) and (n+3). Tip: write zeroes as ((x,0)).
Step 3
Exam Tip
बहुपद ((x-n)(x-(n+3))) है इसलिए शून्यक (n) और (n+3) हैं। टिप: शून्यकों को ((x,0)) में लिखें।
The other zero is (8), and the average is \(\frac{-10+8}{2}=-1\). Tip: the axis of symmetry is the average of two zeroes.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. (x=-1). The other zero is (8), and the average is \(\frac{-10+8}{2}=-1\). Tip: the axis of symmetry is the average of two zeroes.
Step 3
Exam Tip
दूसरा शून्यक (8) है और औसत \(\frac{-10+8}{2}=-1\) है। टिप: सममिति अक्ष दो शून्यकों का औसत है।
There are two distinct zeroes (-2) and (5), and both have even powers. Tip: at an even-power zero the graph usually touches.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. दो, दोनों पर स्पर्श / Two, touches at both. There are two distinct zeroes (-2) and (5), and both have even powers. Tip: at an even-power zero the graph usually touches.
Step 3
Exam Tip
दो अलग शून्यक (-2) और (5) हैं तथा दोनों की घात सम है। टिप: सम घात वाले शून्यक पर ग्राफ सामान्यतः स्पर्श करता है।
From (x-c=0) we get (c), and from (x+d=0) we get (-d). Tip: do not count repetition among distinct zeroes.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. (c) और (-d) / (c) and (-d). From (x-c=0) we get (c), and from (x+d=0) we get (-d). Tip: do not count repetition among distinct zeroes.
Step 3
Exam Tip
(x-c=0) से (c) और (x+d=0) से (-d) मिलता है। टिप: अलग शून्यकों में दोहराव न गिनें।
(x-2-13x-68=(x-17)(x+4)), so the zeroes are (17) and (-4). Tip: write intersection points from factors.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. ((17,0)) और ((-4,0)) / ((17,0)) and ((-4,0)). (x-2-13x-68=(x-17)(x+4)), so the zeroes are (17) and (-4). Tip: write intersection points from factors.
Step 3
Exam Tip
(x-2-13x-68=(x-17)(x+4)) है, इसलिए शून्यक (17) और (-4) हैं। टिप: गुणनखंडों से कटान बिंदु लिखें।
The origin is also on the (x)-axis, and (x=-9) is another (x)-axis intersection. Tip: count ((0,0)) as zero (0).
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. (0) और (-9) / (0) and (-9). The origin is also on the (x)-axis, and (x=-9) is another (x)-axis intersection. Tip: count ((0,0)) as zero (0).
Step 3
Exam Tip
मूल बिंदु (x)-अक्ष पर भी है और (x=-9) भी (x)-अक्ष कटान है। टिप: ((0,0)) को शून्यक (0) के रूप में गिनें।
(x-2+20x+100=(x+10)2), so the touching point is ((-10,0)). Tip: change the sign in a perfect square to get the zero.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. ((-10,0)). (x-2+20x+100=(x+10)2), so the touching point is ((-10,0)). Tip: change the sign in a perfect square to get the zero.
Step 3
Exam Tip
(x-2+20x+100=(x+10)2) है, इसलिए स्पर्श बिंदु ((-10,0)) है। टिप: पूर्ण वर्ग में चिह्न बदलकर शून्यक मिलता है।
A. क्योंकि यह ((x-7)2+4) है/Because it is ((x-7)2+4)
Step 1
Concept
((x-7)2+4) is always positive, so (p(x)=0) will not occur. Tip: adding a positive number to a square gives no real intersection.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. क्योंकि यह ((x-7)2+4) है / Because it is ((x-7)2+4). ((x-7)2+4) is always positive, so (p(x)=0) will not occur. Tip: adding a positive number to a square gives no real intersection.
Step 3
Exam Tip
((x-7)2+4) हमेशा धनात्मक है इसलिए (p(x)=0) नहीं होगा। टिप: वर्ग में धनात्मक संख्या जुड़ने पर वास्तविक कटान नहीं मिलता।
A. ग्राफ (x)-अक्ष को काटेगा/The graph will cross the (x)-axis
Step 1
Concept
((x-3)5) is an odd-power factor, so the graph crosses at (x=3). Tip: at an odd power the graph usually crosses the axis.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. ग्राफ (x)-अक्ष को काटेगा / The graph will cross the (x)-axis. ((x-3)5) is an odd-power factor, so the graph crosses at (x=3). Tip: at an odd power the graph usually crosses the axis.
Step 3
Exam Tip
((x-3)5) विषम घात का कारक है, इसलिए (x=3) पर कटान होगा। टिप: विषम घात में ग्राफ सामान्यतः अक्ष पार करता है।
The axis of symmetry is at the average of the zeroes, (\frac{(q-11)+(q+7)}{2}=q-2). Tip: take the midpoint even with symbols.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. (x=q-2). The axis of symmetry is at the average of the zeroes, (\frac{(q-11)+(q+7)}{2}=q-2). Tip: take the midpoint even with symbols.
Step 3
Exam Tip
सममिति अक्ष शून्यकों के औसत पर है, (\frac{(q-11)+(q+7)}{2}=q-2)। टिप: प्रतीकों में भी मध्य मान लें।
In this interval the first two factors are positive and the third is negative, so the product is negative. Tip: check the sign of each factor separately.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is B. ऋणात्मक / Negative. In this interval the first two factors are positive and the third is negative, so the product is negative. Tip: check the sign of each factor separately.
Step 3
Exam Tip
इस अंतराल में पहले दो कारक धनात्मक और तीसरा ऋणात्मक है, इसलिए गुणनफल ऋणात्मक है। टिप: प्रत्येक कारक का चिह्न अलग जांचें।
A. दूसरा (7), कटान ((6,0)), ((7,0))/Other (7), intersections ((6,0)), ((7,0))
Step 1
Concept
In the quadratic, the sum of zeroes is (13), so the other zero is (7). Tip: convert a zero into ((x,0)).
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. दूसरा (7), कटान ((6,0)), ((7,0)) / Other (7), intersections ((6,0)), ((7,0)). In the quadratic, the sum of zeroes is (13), so the other zero is (7). Tip: convert a zero into ((x,0)).
Step 3
Exam Tip
द्विघात में शून्यकों का योग (13) है, इसलिए दूसरा शून्यक (7) है। टिप: शून्यक को ((x,0)) में बदलें।
The zeroes are (-12) and (12), so the product is (-144) and the sum is (0). Tip: opposite zeroes have sum (0).
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. गुणनफल (-144), योग (0) / Product (-144), sum (0). The zeroes are (-12) and (12), so the product is (-144) and the sum is (0). Tip: opposite zeroes have sum (0).
Step 3
Exam Tip
शून्यक (-12) और (12) हैं, इसलिए गुणनफल (-144) और योग (0) है। टिप: विपरीत शून्यकों का योग (0) होता है।
A. (\left\(\frac{7}{6},0\right\)) और (\left\(-\frac{7}{6},0\right\))/(\left\(\frac{7}{6},0\right\)) and (\left\(-\frac{7}{6},0\right\))
Step 1
Concept
From \(36x^2-49=0\), \(x=\pm\frac{7}{6}\). Tip: treat \(36x^2\) as ((6x)2).
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. (\left\(\frac{7}{6},0\right\)) और (\left\(-\frac{7}{6},0\right\)) / (\left\(\frac{7}{6},0\right\)) and (\left\(-\frac{7}{6},0\right\)). From \(36x^2-49=0\), \(x=\pm\frac{7}{6}\). Tip: treat \(36x^2\) as ((6x)2).
Step 3
Exam Tip
\(36x^2-49=0\) से \(x=\pm\frac{7}{6}\) मिलता है। टिप: \(36x^2\) को ((6x)2) समझें।
Repeated points give the same (x)-values, so the distinct zeroes are (-11) and (4). Tip: count the same (x)-value once.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is B. दो / Two. Repeated points give the same (x)-values, so the distinct zeroes are (-11) and (4). Tip: count the same (x)-value once.
Step 3
Exam Tip
दोहराए बिंदु समान (x)-मान देते हैं, इसलिए अलग शून्यक (-11) और (4) हैं। टिप: समान (x)-मान को एक बार गिनें।
Real zeroes are counted from (x)-axis intersections, not from the (y)-axis intercept. Tip: ((0,25)) does not show a zero.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is B. दो / Two. Real zeroes are counted from (x)-axis intersections, not from the (y)-axis intercept. Tip: ((0,25)) does not show a zero.
Step 3
Exam Tip
वास्तविक शून्यक (x)-अक्ष कटानों से गिने जाते हैं, (y)-अक्ष कटान से नहीं। टिप: ((0,25)) शून्यक नहीं बताता।
(x-4-1296=\(x^2-36\)\(x^2+36\)), and the real zeroes are only \(\pm6\). Tip: \(x^2+36\) gives no real zero.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. ((-6,0)) और ((6,0)) / ((-6,0)) and ((6,0)). (x-4-1296=\(x^2-36\)\(x^2+36\)), and the real zeroes are only \(\pm6\). Tip: \(x^2+36\) gives no real zero.
Step 3
Exam Tip
(x-4-1296=\(x^2-36\)\(x^2+36\)) है और वास्तविक शून्यक केवल \(\pm6\) हैं। टिप: \(x^2+36\) वास्तविक शून्यक नहीं देता।
For eight distinct real zeroes, the degree must be at least (8). Tip: the number of distinct zeroes cannot exceed the degree.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is C. (8). For eight distinct real zeroes, the degree must be at least (8). Tip: the number of distinct zeroes cannot exceed the degree.
Step 3
Exam Tip
आठ अलग वास्तविक शून्यकों के लिए घात कम से कम (8) होनी चाहिए। टिप: अलग शून्यकों की संख्या घात से अधिक नहीं हो सकती।
C. ग्राफ (x)-अक्ष को नहीं काटता/The graph does not cut the (x)-axis
Step 1
Concept
(x-2+16x+80=(x+8)2+16), so there is no real zero. Tip: an always positive form gives no intersection.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is C. ग्राफ (x)-अक्ष को नहीं काटता / The graph does not cut the (x)-axis. (x-2+16x+80=(x+8)2+16), so there is no real zero. Tip: an always positive form gives no intersection.
Step 3
Exam Tip
(x-2+16x+80=(x+8)2+16) है, इसलिए वास्तविक शून्यक नहीं है। टिप: हमेशा धनात्मक रूप कटान नहीं देता।
A. यह दोनों शून्यकों का मध्य है/It is the midpoint of the two zeroes
Step 1
Concept
\(18=\frac{10+26}{2}\), so it is the midpoint of the two zeroes. Tip: the midpoint value need not be a zero.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. यह दोनों शून्यकों का मध्य है / It is the midpoint of the two zeroes. \(18=\frac{10+26}{2}\), so it is the midpoint of the two zeroes. Tip: the midpoint value need not be a zero.
Step 3
Exam Tip
\(18=\frac{10+26}{2}\), इसलिए यह दोनों शून्यकों का मध्य है। टिप: मध्य मान का शून्यक होना जरूरी नहीं।
(6x-2-72x+216=6(x-6)2), so it touches at (x=6). Tip: the outside (6) does not change the zero.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. (x=6) पर स्पर्श करेगा / It will touch at (x=6). (6x-2-72x+216=6(x-6)2), so it touches at (x=6). Tip: the outside (6) does not change the zero.
Step 3
Exam Tip
(6x-2-72x+216=6(x-6)2) है, इसलिए (x=6) पर स्पर्श होगा। टिप: बाहरी (6) शून्यक नहीं बदलता।
For (x<-13), both factors are negative and the outside negative makes the value negative. Tip: check factor signs first.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is B. नीचे / Below. For (x<-13), both factors are negative and the outside negative makes the value negative. Tip: check factor signs first.
Step 3
Exam Tip
(x<-13) पर दोनों कारक ऋणात्मक हैं और बाहर का ऋण चिन्ह मान को ऋणात्मक बनाता है। टिप: पहले कारकों का चिह्न देखें।
For a downward-opening parabola, values between the two zeroes are positive. Tip: (x=2) lies between the zeroes.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. (x)-अक्ष के ऊपर / Above the (x)-axis. For a downward-opening parabola, values between the two zeroes are positive. Tip: (x=2) lies between the zeroes.
Step 3
Exam Tip
नीचे खुलने वाले परवलय में दो शून्यकों के बीच मान धनात्मक होते हैं। टिप: (x=2) दोनों शून्यकों के बीच है।
A. (22) को (10) करना होगा/(22) must be changed to (10)
Step 1
Concept
For equal distance from the (y)-axis, zeroes should be opposites, so (10) is needed with (-10). Tip: symmetric zeroes are (a) and (-a).
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. (22) को (10) करना होगा / (22) must be changed to (10). For equal distance from the (y)-axis, zeroes should be opposites, so (10) is needed with (-10). Tip: symmetric zeroes are (a) and (-a).
Step 3
Exam Tip
(y)-अक्ष से समान दूरी के लिए शून्यक विपरीत होने चाहिए, इसलिए (-10) के साथ (10) चाहिए। टिप: सममित शून्यक (a) और (-a) होते हैं।
A. दो बिंदु, (x=-5) पर स्पर्श/Two points, touching at (x=-5)
Step 1
Concept
The zeroes are (-5) and (14), and ((x+5)2) causes touching at (-5). Tip: the outside (11) does not change the zeroes.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. दो बिंदु, (x=-5) पर स्पर्श / Two points, touching at (x=-5). The zeroes are (-5) and (14), and ((x+5)2) causes touching at (-5). Tip: the outside (11) does not change the zeroes.
Step 3
Exam Tip
शून्यक (-5) और (14) हैं तथा ((x+5)2) के कारण (-5) पर स्पर्श है। टिप: बाहरी (11) शून्यक नहीं बदलता।
In this interval the signs are (+), (-), (-), so the product is positive. Tip: the product of two negative factors is positive.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. (x)-अक्ष के ऊपर / Above the (x)-axis. In this interval the signs are (+), (-), (-), so the product is positive. Tip: the product of two negative factors is positive.
Step 3
Exam Tip
इस अंतराल में चिह्न (+), (-), (-) हैं, इसलिए गुणनफल धनात्मक है। टिप: दो ऋणात्मक कारकों का गुणन धनात्मक होता है।
A. क्योंकि इसका विविक्तकर ऋणात्मक है/Because its discriminant is negative
Step 1
Concept
The discriminant is \(g^2-4g^2=-3g^2<0\), so there are no real zeroes. Tip: a negative discriminant means no (x)-axis intersection.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. क्योंकि इसका विविक्तकर ऋणात्मक है / Because its discriminant is negative. The discriminant is \(g^2-4g^2=-3g^2<0\), so there are no real zeroes. Tip: a negative discriminant means no (x)-axis intersection.
Step 3
Exam Tip
विविक्तकर \(g^2-4g^2=-3g^2<0\) है, इसलिए वास्तविक शून्यक नहीं हैं। टिप: ऋणात्मक विविक्तकर का अर्थ (x)-अक्ष कटान नहीं है।
The vertex lies on the (x)-axis, so the parabola touches at ((-14,0)). Tip: if the vertex has (y=0), there is one distinct zero.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is B. एक / One. The vertex lies on the (x)-axis, so the parabola touches at ((-14,0)). Tip: if the vertex has (y=0), there is one distinct zero.
Step 3
Exam Tip
शीर्ष (x)-अक्ष पर है, इसलिए परवलय ((-14,0)) पर स्पर्श करेगा। टिप: शीर्ष का (y)-मान (0) हो तो एक अलग शून्यक होता है।
The discriminant is (400-460=-60), so there are no real zeroes. Tip: with negative discriminant a parabola does not meet the (x)-axis.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is C. नहीं काटेगा / It will not cut. The discriminant is (400-460=-60), so there are no real zeroes. Tip: with negative discriminant a parabola does not meet the (x)-axis.
Step 3
Exam Tip
विविक्तकर (400-460=-60) है, इसलिए वास्तविक शून्यक नहीं हैं। टिप: ऋणात्मक विविक्तकर पर परवलय (x)-अक्ष से नहीं मिलता।
It is ((x-d)2-36), so \(x-d=\pm6\) and the zeroes are (d-6), (d+6). Tip: use difference of squares.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. (d-6) और (d+6) / (d-6) and (d+6). It is ((x-d)2-36), so \(x-d=\pm6\) and the zeroes are (d-6), (d+6). Tip: use difference of squares.
Step 3
Exam Tip
यह ((x-d)2-36) है, इसलिए \(x-d=\pm6\) और शून्यक (d-6), (d+6) हैं। टिप: वर्गों के अंतर का उपयोग करें।
