Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है
The average of the two zeroes is (-2), so the other zero is (-9). Tip: connect the axis of symmetry with the midpoint of zeroes.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. (-9). The average of the two zeroes is (-2), so the other zero is (-9). Tip: connect the axis of symmetry with the midpoint of zeroes.
Step 3
Exam Tip
दो शून्यकों का औसत (-2) है, इसलिए दूसरा शून्यक (-9) होगा। टिप: सममिति अक्ष को शून्यकों के मध्य से जोड़ें।
A. (x=-5) पर काटेगा और (x=2) पर स्पर्श करेगा/It crosses at (x=-5) and touches at (x=2)
Step 1
Concept
An odd-power zero gives crossing and an even-power zero gives touching. Tip: identify graph behavior from the power of the factor.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. (x=-5) पर काटेगा और (x=2) पर स्पर्श करेगा / It crosses at (x=-5) and touches at (x=2). An odd-power zero gives crossing and an even-power zero gives touching. Tip: identify graph behavior from the power of the factor.
Step 3
Exam Tip
विषम घात वाला शून्यक कटान और सम घात वाला शून्यक स्पर्श देता है। टिप: कारक की घात से ग्राफ का व्यवहार पहचानें।
(0) lies between the two zeroes and an upward parabola stays below there. Tip: check the sign region between zeroes.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is B. (x)-अक्ष के नीचे / Below the (x)-axis. (0) lies between the two zeroes and an upward parabola stays below there. Tip: check the sign region between zeroes.
Step 3
Exam Tip
(0) दोनों शून्यकों के बीच है और ऊपर खुलने वाला परवलय बीच में नीचे रहता है। टिप: शून्यकों के बीच संकेत क्षेत्र देखें।
In this interval the factor signs are (-), (+), (+), and the outside negative makes the value positive. Tip: apply the outside sign at the end.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. ऊपर / Above. In this interval the factor signs are (-), (+), (+), and the outside negative makes the value positive. Tip: apply the outside sign at the end.
Step 3
Exam Tip
इस अंतराल में कारकों के चिह्न (-), (+), (+) हैं और बाहर का ऋण चिन्ह मान को धनात्मक बनाता है। टिप: बाहरी चिन्ह को अंत में लगाएं।
The polynomial is ((x-m)(x-(m-1))), so the zeroes are (m) and (m-1). Tip: write zeroes as ((x,0)).
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. ((m,0)) और ((m-1,0)) / ((m,0)) and ((m-1,0)). The polynomial is ((x-m)(x-(m-1))), so the zeroes are (m) and (m-1). Tip: write zeroes as ((x,0)).
Step 3
Exam Tip
बहुपद ((x-m)(x-(m-1))) है, इसलिए शून्यक (m) और (m-1) हैं। टिप: शून्यकों को ((x,0)) में लिखें।
The other zero is (4), and the average is \(\frac{-8+4}{2}=-2\). Tip: the axis of symmetry is the average of two zeroes.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. (x=-2). The other zero is (4), and the average is \(\frac{-8+4}{2}=-2\). Tip: the axis of symmetry is the average of two zeroes.
Step 3
Exam Tip
दूसरा शून्यक (4) है और औसत \(\frac{-8+4}{2}=-2\) है। टिप: सममिति अक्ष दो शून्यकों का औसत है।
There are two distinct zeroes (1) and (-4), and both have even powers. Tip: at an even-power zero the graph usually touches.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. दो, दोनों पर स्पर्श / Two, touches at both. There are two distinct zeroes (1) and (-4), and both have even powers. Tip: at an even-power zero the graph usually touches.
Step 3
Exam Tip
दो अलग शून्यक (1) और (-4) हैं तथा दोनों की घात सम है। टिप: सम घात वाले शून्यक पर ग्राफ सामान्यतः स्पर्श करता है।
From (x+a=0) we get (-a), and from (x-b=0) we get (b). Tip: do not count repetition among distinct zeroes.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. (-a) और (b) / (-a) and (b). From (x+a=0) we get (-a), and from (x-b=0) we get (b). Tip: do not count repetition among distinct zeroes.
Step 3
Exam Tip
(x+a=0) से (-a) और (x-b=0) से (b) मिलता है। टिप: अलग शून्यकों में दोहराव न गिनें।
(x-2-9x-52=(x-13)(x+4)), so the zeroes are (13) and (-4). Tip: write intersection points from factors.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. ((13,0)) और ((-4,0)) / ((13,0)) and ((-4,0)). (x-2-9x-52=(x-13)(x+4)), so the zeroes are (13) and (-4). Tip: write intersection points from factors.
Step 3
Exam Tip
(x-2-9x-52=(x-13)(x+4)) है, इसलिए शून्यक (13) और (-4) हैं। टिप: गुणनखंडों से कटान बिंदु लिखें।
The origin is also on the (x)-axis, and (x=6) is another (x)-axis intersection. Tip: count ((0,0)) as zero (0).
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. (0) और (6) / (0) and (6). The origin is also on the (x)-axis, and (x=6) is another (x)-axis intersection. Tip: count ((0,0)) as zero (0).
Step 3
Exam Tip
मूल बिंदु (x)-अक्ष पर भी है और (x=6) भी (x)-अक्ष कटान है। टिप: ((0,0)) को शून्यक (0) के रूप में गिनें।
A. क्योंकि यह ((x-5)2+4) है/Because it is ((x-5)2+4)
Step 1
Concept
((x-5)2+4) is always positive, so (p(x)=0) will not occur. Tip: adding a positive number to a square gives no real intersection.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. क्योंकि यह ((x-5)2+4) है / Because it is ((x-5)2+4). ((x-5)2+4) is always positive, so (p(x)=0) will not occur. Tip: adding a positive number to a square gives no real intersection.
Step 3
Exam Tip
((x-5)2+4) हमेशा धनात्मक है, इसलिए (p(x)=0) नहीं होगा। टिप: वर्ग में धनात्मक संख्या जुड़ने पर वास्तविक कटान नहीं मिलता।
B. ग्राफ (x)-अक्ष को स्पर्श करेगा/The graph will touch the (x)-axis
Step 1
Concept
((x-7)4) is an even-power factor, so the graph touches at (x=7). Tip: at an even power the graph usually turns back.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is B. ग्राफ (x)-अक्ष को स्पर्श करेगा / The graph will touch the (x)-axis. ((x-7)4) is an even-power factor, so the graph touches at (x=7). Tip: at an even power the graph usually turns back.
Step 3
Exam Tip
((x-7)4) सम घात का कारक है, इसलिए (x=7) पर स्पर्श होगा। टिप: सम घात में ग्राफ आमतौर पर लौटता है।
The axis of symmetry is at the average of the zeroes, (\frac{(t-9)+(t+5)}{2}=t-2). Tip: take the midpoint even with symbols.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. (x=t-2). The axis of symmetry is at the average of the zeroes, (\frac{(t-9)+(t+5)}{2}=t-2). Tip: take the midpoint even with symbols.
Step 3
Exam Tip
सममिति अक्ष शून्यकों के औसत पर है, (\frac{(t-9)+(t+5)}{2}=t-2)। टिप: प्रतीकों में भी मध्य मान लें।
In this interval the first two factors are positive and the third is negative, so the product is negative. Tip: check the sign of each factor separately.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is B. ऋणात्मक / Negative. In this interval the first two factors are positive and the third is negative, so the product is negative. Tip: check the sign of each factor separately.
Step 3
Exam Tip
इस अंतराल में पहले दो कारक धनात्मक और तीसरा ऋणात्मक है, इसलिए गुणनफल ऋणात्मक है। टिप: प्रत्येक कारक का चिह्न अलग जांचें।
A. दूसरा (7), कटान ((4,0)), ((7,0))/Other (7), intersections ((4,0)), ((7,0))
Step 1
Concept
In the quadratic, the sum of zeroes is (11), so the other zero is (7). Tip: convert a zero into ((x,0)).
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. दूसरा (7), कटान ((4,0)), ((7,0)) / Other (7), intersections ((4,0)), ((7,0)). In the quadratic, the sum of zeroes is (11), so the other zero is (7). Tip: convert a zero into ((x,0)).
Step 3
Exam Tip
द्विघात में शून्यकों का योग (11) है, इसलिए दूसरा शून्यक (7) है। टिप: शून्यक को ((x,0)) में बदलें।
The zeroes are (-10) and (10), so the product is (-100) and the sum is (0). Tip: opposite zeroes have sum (0).
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. गुणनफल (-100), योग (0) / Product (-100), sum (0). The zeroes are (-10) and (10), so the product is (-100) and the sum is (0). Tip: opposite zeroes have sum (0).
Step 3
Exam Tip
शून्यक (-10) और (10) हैं, इसलिए गुणनफल (-100) और योग (0) है। टिप: विपरीत शून्यकों का योग (0) होता है।
A. (\left\(\frac{6}{5},0\right\)) और (\left\(-\frac{6}{5},0\right\))/(\left\(\frac{6}{5},0\right\)) and (\left\(-\frac{6}{5},0\right\))
Step 1
Concept
From \(25x^2-36=0\), \(x=\pm\frac{6}{5}\). Tip: treat \(25x^2\) as ((5x)2).
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. (\left\(\frac{6}{5},0\right\)) और (\left\(-\frac{6}{5},0\right\)) / (\left\(\frac{6}{5},0\right\)) and (\left\(-\frac{6}{5},0\right\)). From \(25x^2-36=0\), \(x=\pm\frac{6}{5}\). Tip: treat \(25x^2\) as ((5x)2).
Step 3
Exam Tip
\(25x^2-36=0\) से \(x=\pm\frac{6}{5}\) मिलता है। टिप: \(25x^2\) को ((5x)2) समझें।
Repeated points give the same (x)-values, so the distinct zeroes are (-7) and (2). Tip: count the same (x)-value once.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is B. दो / Two. Repeated points give the same (x)-values, so the distinct zeroes are (-7) and (2). Tip: count the same (x)-value once.
Step 3
Exam Tip
दोहराए बिंदु समान (x)-मान देते हैं, इसलिए अलग शून्यक (-7) और (2) हैं। टिप: समान (x)-मान को एक बार गिनें।
Real zeroes are counted from (x)-axis intersections, not from the (y)-axis intercept. Tip: ((0,-20)) does not show a zero.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is B. दो / Two. Real zeroes are counted from (x)-axis intersections, not from the (y)-axis intercept. Tip: ((0,-20)) does not show a zero.
Step 3
Exam Tip
वास्तविक शून्यक (x)-अक्ष कटानों से गिने जाते हैं, (y)-अक्ष कटान से नहीं। टिप: ((0,-20)) शून्यक नहीं बताता।
(x-4-625=\(x^2-25\)\(x^2+25\)), and the real zeroes are only \(\pm5\). Tip: \(x^2+25\) gives no real zero.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. ((-5,0)) और ((5,0)) / ((-5,0)) and ((5,0)). (x-4-625=\(x^2-25\)\(x^2+25\)), and the real zeroes are only \(\pm5\). Tip: \(x^2+25\) gives no real zero.
Step 3
Exam Tip
(x-4-625=\(x^2-25\)\(x^2+25\)) है और वास्तविक शून्यक केवल \(\pm5\) हैं। टिप: \(x^2+25\) वास्तविक शून्यक नहीं देता।
For seven distinct real zeroes, the degree must be at least (7). Tip: the number of distinct zeroes cannot exceed the degree.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is C. (7). For seven distinct real zeroes, the degree must be at least (7). Tip: the number of distinct zeroes cannot exceed the degree.
Step 3
Exam Tip
सात अलग वास्तविक शून्यकों के लिए घात कम से कम (7) होनी चाहिए। टिप: अलग शून्यकों की संख्या घात से अधिक नहीं हो सकती।
C. ग्राफ (x)-अक्ष को नहीं काटता/The graph does not cut the (x)-axis
Step 1
Concept
(x-2+6x+18=(x+3)2+9), so there is no real zero. Tip: an always positive form gives no intersection.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is C. ग्राफ (x)-अक्ष को नहीं काटता / The graph does not cut the (x)-axis. (x-2+6x+18=(x+3)2+9), so there is no real zero. Tip: an always positive form gives no intersection.
Step 3
Exam Tip
(x-2+6x+18=(x+3)2+9) है, इसलिए वास्तविक शून्यक नहीं है। टिप: हमेशा धनात्मक रूप कटान नहीं देता।
A. यह दोनों शून्यकों का मध्य है/It is the midpoint of the two zeroes
Step 1
Concept
\(14=\frac{8+20}{2}\), so it is the midpoint of the two zeroes. Tip: the midpoint value need not be a zero.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. यह दोनों शून्यकों का मध्य है / It is the midpoint of the two zeroes. \(14=\frac{8+20}{2}\), so it is the midpoint of the two zeroes. Tip: the midpoint value need not be a zero.
Step 3
Exam Tip
\(14=\frac{8+20}{2}\), इसलिए यह दोनों शून्यकों का मध्य है। टिप: मध्य मान का शून्यक होना जरूरी नहीं।
(5x-2-50x+125=5(x-5)2), so it touches at (x=5). Tip: the outside (5) does not change the zero.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. (x=5) पर स्पर्श करेगा / It will touch at (x=5). (5x-2-50x+125=5(x-5)2), so it touches at (x=5). Tip: the outside (5) does not change the zero.
Step 3
Exam Tip
(5x-2-50x+125=5(x-5)2) है, इसलिए (x=5) पर स्पर्श होगा। टिप: बाहरी (5) शून्यक नहीं बदलता।
For (x<-11), both factors are negative and the outside negative makes the value negative. Tip: check factor signs first.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is B. नीचे / Below. For (x<-11), both factors are negative and the outside negative makes the value negative. Tip: check factor signs first.
Step 3
Exam Tip
(x<-11) पर दोनों कारक ऋणात्मक हैं और बाहर का ऋण चिन्ह मान को ऋणात्मक बनाता है। टिप: पहले कारकों का चिह्न देखें।
For a downward-opening parabola, values between the two zeroes are positive. Tip: (x=4) lies between the zeroes.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. (x)-अक्ष के ऊपर / Above the (x)-axis. For a downward-opening parabola, values between the two zeroes are positive. Tip: (x=4) lies between the zeroes.
Step 3
Exam Tip
नीचे खुलने वाले परवलय में दो शून्यकों के बीच मान धनात्मक होते हैं। टिप: (x=4) दोनों शून्यकों के बीच है।
A. (18) को (8) करना होगा/(18) must be changed to (8)
Step 1
Concept
For equal distance from the (y)-axis, zeroes should be opposites, so (8) is needed with (-8). Tip: symmetric zeroes are (a) and (-a).
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. (18) को (8) करना होगा / (18) must be changed to (8). For equal distance from the (y)-axis, zeroes should be opposites, so (8) is needed with (-8). Tip: symmetric zeroes are (a) and (-a).
Step 3
Exam Tip
(y)-अक्ष से समान दूरी के लिए शून्यक विपरीत होने चाहिए, इसलिए (-8) के साथ (8) चाहिए। टिप: सममित शून्यक (a) और (-a) होते हैं।
A. दो बिंदु, (x=-4) पर स्पर्श/Two points, touching at (x=-4)
Step 1
Concept
The zeroes are (-4) and (12), and ((x+4)2) causes touching at (-4). Tip: the outside (9) does not change the zeroes.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. दो बिंदु, (x=-4) पर स्पर्श / Two points, touching at (x=-4). The zeroes are (-4) and (12), and ((x+4)2) causes touching at (-4). Tip: the outside (9) does not change the zeroes.
Step 3
Exam Tip
शून्यक (-4) और (12) हैं तथा ((x+4)2) के कारण (-4) पर स्पर्श है। टिप: बाहरी (9) शून्यक नहीं बदलता।
In this interval the signs are (+), (-), (-), so the product is positive. Tip: the product of two negative factors is positive.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. (x)-अक्ष के ऊपर / Above the (x)-axis. In this interval the signs are (+), (-), (-), so the product is positive. Tip: the product of two negative factors is positive.
Step 3
Exam Tip
इस अंतराल में चिह्न (+), (-), (-) हैं, इसलिए गुणनफल धनात्मक है। टिप: दो ऋणात्मक कारकों का गुणन धनात्मक होता है।
A. क्योंकि इसका विविक्तकर ऋणात्मक है/Because its discriminant is negative
Step 1
Concept
The discriminant is \(f^2-4f^2=-3f^2<0\), so there are no real zeroes. Tip: a negative discriminant means no (x)-axis intersection.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. क्योंकि इसका विविक्तकर ऋणात्मक है / Because its discriminant is negative. The discriminant is \(f^2-4f^2=-3f^2<0\), so there are no real zeroes. Tip: a negative discriminant means no (x)-axis intersection.
Step 3
Exam Tip
विविक्तकर \(f^2-4f^2=-3f^2<0\) है, इसलिए वास्तविक शून्यक नहीं हैं। टिप: ऋणात्मक विविक्तकर का अर्थ (x)-अक्ष कटान नहीं है।
The vertex lies on the (x)-axis, so the parabola touches at ((12,0)). Tip: if the vertex has (y=0), there is one distinct zero.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is B. एक / One. The vertex lies on the (x)-axis, so the parabola touches at ((12,0)). Tip: if the vertex has (y=0), there is one distinct zero.
Step 3
Exam Tip
शीर्ष (x)-अक्ष पर है, इसलिए परवलय ((12,0)) पर स्पर्श करेगा। टिप: शीर्ष का (y)-मान (0) हो तो एक अलग शून्यक होता है।
The discriminant is (256-336=-80), so there are no real zeroes. Tip: with negative discriminant a parabola does not meet the (x)-axis.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is C. नहीं काटेगा / It will not cut. The discriminant is (256-336=-80), so there are no real zeroes. Tip: with negative discriminant a parabola does not meet the (x)-axis.
Step 3
Exam Tip
विविक्तकर (256-336=-80) है, इसलिए वास्तविक शून्यक नहीं हैं। टिप: ऋणात्मक विविक्तकर पर परवलय (x)-अक्ष से नहीं मिलता।
It is ((x-c)2-25), so \(x-c=\pm5\) and the zeroes are (c-5), (c+5). Tip: use difference of squares.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. (c-5) और (c+5) / (c-5) and (c+5). It is ((x-c)2-25), so \(x-c=\pm5\) and the zeroes are (c-5), (c+5). Tip: use difference of squares.
Step 3
Exam Tip
यह ((x-c)2-25) है, इसलिए \(x-c=\pm5\) और शून्यक (c-5), (c+5) हैं। टिप: वर्गों के अंतर का उपयोग करें।
