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दो शून्यकों का औसत (-2) है, इसलिए दूसरा शून्यक (-9) होगा। टिप: सममिति अक्ष को शून्यकों के मध्य से जोड़ें। / The average of the two zeroes is (-2), so the other zero is (-9). Tip: connect the axis of symmetry with the midpoint of zeroes.
A. (x=-5) पर काटेगा और (x=2) पर स्पर्श करेगा/It crosses at (x=-5) and touches at (x=2)
Explanation
Simple Explanation
विषम घात वाला शून्यक कटान और सम घात वाला शून्यक स्पर्श देता है। टिप: कारक की घात से ग्राफ का व्यवहार पहचानें। / An odd-power zero gives crossing and an even-power zero gives touching. Tip: identify graph behavior from the power of the factor.
(0) दोनों शून्यकों के बीच है और ऊपर खुलने वाला परवलय बीच में नीचे रहता है। टिप: शून्यकों के बीच संकेत क्षेत्र देखें। / (0) lies between the two zeroes and an upward parabola stays below there. Tip: check the sign region between zeroes.
इस अंतराल में कारकों के चिह्न (-), (+), (+) हैं और बाहर का ऋण चिन्ह मान को धनात्मक बनाता है। टिप: बाहरी चिन्ह को अंत में लगाएं। / In this interval the factor signs are (-), (+), (+), and the outside negative makes the value positive. Tip: apply the outside sign at the end.
यह ((x-(a+3))2) है, इसलिए दोहराया शून्यक (a+3) है। टिप: पूर्ण वर्ग रूप में शून्यक तुरंत दिखता है। / It is ((x-(a+3))2), so the repeated zero is (a+3). Tip: a perfect square form shows the zero quickly.
बहुपद ((x-m)(x-(m-1))) है, इसलिए शून्यक (m) और (m-1) हैं। टिप: शून्यकों को ((x,0)) में लिखें। / The polynomial is ((x-m)(x-(m-1))), so the zeroes are (m) and (m-1). Tip: write zeroes as ((x,0)).
दूसरा शून्यक (4) है और औसत \(\frac{-8+4}{2}=-2\) है। टिप: सममिति अक्ष दो शून्यकों का औसत है। / The other zero is (4), and the average is \(\frac{-8+4}{2}=-2\). Tip: the axis of symmetry is the average of two zeroes.
दिए गए शून्यक (-6) और (5) हैं, इसलिए दूरी (5-(-6)=11) है। टिप: केवल (p(x)=0) वाले (x)-मान लें। / The given zeroes are (-6) and (5), so the distance is (5-(-6)=11). Tip: take only (x)-values where (p(x)=0).
(p(x)=x(x-5)(x-2)) है, इसलिए शून्यक (0), (2), (5) और माध्य \(\frac{7}{3}\) है। टिप: पहले गुणनखंड करें। / (p(x)=x(x-5)(x-2)), so the zeroes are (0), (2), (5), and the mean is \(\frac{7}{3}\). Tip: factor first.
दो अलग शून्यक (1) और (-4) हैं तथा दोनों की घात सम है। टिप: सम घात वाले शून्यक पर ग्राफ सामान्यतः स्पर्श करता है। / There are two distinct zeroes (1) and (-4), and both have even powers. Tip: at an even-power zero the graph usually touches.
(x+a=0) से (-a) और (x-b=0) से (b) मिलता है। टिप: अलग शून्यकों में दोहराव न गिनें। / From (x+a=0) we get (-a), and from (x-b=0) we get (b). Tip: do not count repetition among distinct zeroes.
मध्यबिंदु (\left\(\frac{-13+7}{2},0\right\)=(-3,0)) है। टिप: (x)-अक्ष पर मध्यबिंदु का (y)-मान (0) रहता है। / The midpoint is (\left\(\frac{-13+7}{2},0\right\)=(-3,0)). Tip: on the (x)-axis the midpoint has (y=0).
परास सबसे बड़े और सबसे छोटे शून्यक का अंतर है, (11-(-15)=26)। टिप: परास हमेशा गैरऋणात्मक होती है। / The range is the difference between the greatest and smallest zero, (11-(-15)=26). Tip: range is always non-negative.
(x-2-9x-52=(x-13)(x+4)) है, इसलिए शून्यक (13) और (-4) हैं। टिप: गुणनखंडों से कटान बिंदु लिखें। / (x-2-9x-52=(x-13)(x+4)), so the zeroes are (13) and (-4). Tip: write intersection points from factors.
मूल बिंदु (x)-अक्ष पर भी है और (x=6) भी (x)-अक्ष कटान है। टिप: ((0,0)) को शून्यक (0) के रूप में गिनें। / The origin is also on the (x)-axis, and (x=6) is another (x)-axis intersection. Tip: count ((0,0)) as zero (0).
(x-2-18x+81=(x-9)2) है, इसलिए स्पर्श बिंदु ((9,0)) है। टिप: पूर्ण वर्ग में चिह्न बदलकर शून्यक मिलता है। / (x-2-18x+81=(x-9)2), so the touching point is ((9,0)). Tip: change the sign in a perfect square to get the zero.
शून्यकों के मान हैं r-1, r+2 और r+5। माध्य निकालने के लिए उनका जोड़ विभाजित 3 से करें: \(\frac{(r-1)+(r+2)+(r+5)}{3}=\frac{3r+6}{3}=r+2\)। इसलिए सही उत्तर r+2 है। सबसे नज़दीकी प्रभावी भ्रम (r+1) तब होता यदि जोड़ में -1 या +1 की ग़लत गणना हुई हो — ध्यान रखें कि समपदों का योग करके ही औसत निकालते हैं। परीक्षा टिप: प्रतीकात्मक शून्यकों का औसत निकालने का तरीका वही है जो संख्याओं के लिए है — पहले जोड़ें, फिर भाग करें। / The zeroes are r-1, r+2 and r+5. Take their average: \(\frac{(r-1)+(r+2)+(r+5)}{3}=\frac{3r+6}{3}=r+2\). Thus r+2 is correct. A common close distractor is r+1, which would result from an arithmetic mistake when summing the terms (for example misadding +2 and +5). Exam tip: for symbolic roots, always sum the expressions first, simplify like terms, then divide by the number of roots.
A. क्योंकि यह ((x-5)2+4) है/Because it is ((x-5)2+4)
Explanation
Simple Explanation
((x-5)2+4) हमेशा धनात्मक है, इसलिए (p(x)=0) नहीं होगा। टिप: वर्ग में धनात्मक संख्या जुड़ने पर वास्तविक कटान नहीं मिलता। / ((x-5)2+4) is always positive, so (p(x)=0) will not occur. Tip: adding a positive number to a square gives no real intersection.
B. ग्राफ (x)-अक्ष को स्पर्श करेगा/The graph will touch the (x)-axis
Explanation
Simple Explanation
((x-7)4) सम घात का कारक है, इसलिए (x=7) पर स्पर्श होगा। टिप: सम घात में ग्राफ आमतौर पर लौटता है। / ((x-7)4) is an even-power factor, so the graph touches at (x=7). Tip: at an even power the graph usually turns back.
सममिति अक्ष शून्यकों के औसत पर है, (\frac{(t-9)+(t+5)}{2}=t-2)। टिप: प्रतीकों में भी मध्य मान लें। / The axis of symmetry is at the average of the zeroes, (\frac{(t-9)+(t+5)}{2}=t-2). Tip: take the midpoint even with symbols.
((0,12)) में (y=12) है, इसलिए यह (x)-अक्ष पर नहीं है। टिप: शून्यक बिंदु में दूसरा निर्देशांक (0) होना चाहिए। / ((0,12)) has (y=12), so it is not on the (x)-axis. Tip: a zero point must have second coordinate (0).
इस अंतराल में पहले दो कारक धनात्मक और तीसरा ऋणात्मक है, इसलिए गुणनफल ऋणात्मक है। टिप: प्रत्येक कारक का चिह्न अलग जांचें। / In this interval the first two factors are positive and the third is negative, so the product is negative. Tip: check the sign of each factor separately.
A. दूसरा (7), कटान ((4,0)), ((7,0))/Other (7), intersections ((4,0)), ((7,0))
Explanation
Simple Explanation
द्विघात में शून्यकों का योग (11) है, इसलिए दूसरा शून्यक (7) है। टिप: शून्यक को ((x,0)) में बदलें। / In the quadratic, the sum of zeroes is (11), so the other zero is (7). Tip: convert a zero into ((x,0)).
शून्यक (-10) और (10) हैं, इसलिए गुणनफल (-100) और योग (0) है। टिप: विपरीत शून्यकों का योग (0) होता है। / The zeroes are (-10) and (10), so the product is (-100) and the sum is (0). Tip: opposite zeroes have sum (0).
A. \(\left(\frac{6}{5},0\right)\) and \(\left(-\frac{6}{5},0\right)\)
Explanation
Simple Explanation
x-अक्ष पर कट बिंदु बहुपद के शून्य होते हैं, अत: \(p(x)=0\) रखें: \(25x^2-36=0\). यह \((5x)^2-6^2=0\) है, यानी \((5x-6)(5x+6)=0\). इसलिए \(x=\pm\dfrac{6}{5}\)। विकल्प B इसलिए गलत है क्योंकि वहाँ \(\sqrt{25}=5\) को न लेकर केवल \(\sqrt{36}=6\) लिया गया (फलस्वरूप 6 के बजाय 6/5 होना चाहिए)। परीक्षा टिप: अंतर के वर्ग के रूप में फैक्टर करें: \(a^2-b^2=(a-b)(a+b)\)। / x-axis intersections are the zeros of the polynomial, so set \(p(x)=0:\) \(25x^2-36=0\). Write as \((5x)^2-6^2=0\), hence \((5x-6)(5x+6)=0\) and \(x=\pm\dfrac{6}{5}\). Option B is a common mistake — forgetting \(\sqrt{25}=5\) yields 6 instead of \(6/5\). Exam tip: recognize and factor a difference of squares quickly: \(a^2-b^2=(a-b)(a+b)\).
दोहराए बिंदु समान (x)-मान देते हैं, इसलिए अलग शून्यक (-7) और (2) हैं। टिप: समान (x)-मान को एक बार गिनें। / Repeated points give the same (x)-values, so the distinct zeroes are (-7) and (2). Tip: count the same (x)-value once.
शून्यक (-9) और (4) हैं, इसलिए बहुपद ((x+9)(x-4)=x-2+5x-36) है। टिप: कटान से गुणनखंड बनाएं। / The zeroes are (-9) and (4), so the polynomial is ((x+9)(x-4)=x-2+5x-36). Tip: form factors from intersections.
वास्तविक शून्यक (x)-अक्ष कटानों से गिने जाते हैं, (y)-अक्ष कटान से नहीं। टिप: ((0,-20)) शून्यक नहीं बताता। / Real zeroes are counted from (x)-axis intersections, not from the (y)-axis intercept. Tip: ((0,-20)) does not show a zero.
(x-4-625=\(x^2-25\)\(x^2+25\)) है और वास्तविक शून्यक केवल \(\pm5\) हैं। टिप: \(x^2+25\) वास्तविक शून्यक नहीं देता। / (x-4-625=\(x^2-25\)\(x^2+25\)), and the real zeroes are only \(\pm5\). Tip: \(x^2+25\) gives no real zero.
सात अलग वास्तविक शून्यकों के लिए घात कम से कम (7) होनी चाहिए। टिप: अलग शून्यकों की संख्या घात से अधिक नहीं हो सकती। / For seven distinct real zeroes, the degree must be at least (7). Tip: the number of distinct zeroes cannot exceed the degree.
C. ग्राफ (x)-अक्ष को नहीं काटता/The graph does not cut the (x)-axis
Explanation
Simple Explanation
(x-2+6x+18=(x+3)2+9) है, इसलिए वास्तविक शून्यक नहीं है। टिप: हमेशा धनात्मक रूप कटान नहीं देता। / (x-2+6x+18=(x+3)2+9), so there is no real zero. Tip: an always positive form gives no intersection.
(x-3-10x-2+24x=x(x-4)(x-6)) है, इसलिए शून्यक (0), (4), (6) हैं। टिप: पहले (x) सामान्य गुणनखंड निकालें। / (x-3-10x-2+24x=x(x-4)(x-6)), so the zeroes are (0), (4), (6). Tip: first take (x) as the common factor.
A. यह दोनों शून्यकों का मध्य है/It is the midpoint of the two zeroes
Explanation
Simple Explanation
\(14=\frac{8+20}{2}\), इसलिए यह दोनों शून्यकों का मध्य है। टिप: मध्य मान का शून्यक होना जरूरी नहीं। / \(14=\frac{8+20}{2}\), so it is the midpoint of the two zeroes. Tip: the midpoint value need not be a zero.
(5x-2-50x+125=5(x-5)2) है, इसलिए (x=5) पर स्पर्श होगा। टिप: बाहरी (5) शून्यक नहीं बदलता। / (5x-2-50x+125=5(x-5)2), so it touches at (x=5). Tip: the outside (5) does not change the zero.
(x<-11) पर दोनों कारक ऋणात्मक हैं और बाहर का ऋण चिन्ह मान को ऋणात्मक बनाता है। टिप: पहले कारकों का चिह्न देखें। / For (x<-11), both factors are negative and the outside negative makes the value negative. Tip: check factor signs first.
स्पर्श करने वाले और काटने वाले दोनों बिंदु शून्यक हैं। यहाँ शून्यक 9 और −5 हैं। उनका गुणनफल 9×(−5)=−45 होगा. स्पर्श करने का अर्थ यह है कि शून्यक की गुणात्मकता (multiplicity) सम (even) हो सकती है, पर मान 9 वही रहेगा; काटने पर गुणात्मकता विषम (odd) होती है। निकटतम फैलाव (distractor) 45 उसीलिए गलत है क्योंकि संकेत (sign) का ध्यान नहीं रखा गया। परीक्षा-सुझाव: स्पर्श-बिंदु भी शून्यक होते हैं; गुणनफल लिखते समय चिन्ह का ध्यान रखें। / Both touching and crossing points are zeros. The zeros here are 9 and −5, so their product is 9×(−5)=−45. Touching indicates an even multiplicity but does not change the zero's value; crossing indicates an odd multiplicity. The closest distractor 45 is incorrect because it ignores the negative sign. Exam tip: always record the actual zero values (with sign); multiplicity affects whether the graph crosses or touches but not the numeric value of the zero.
x-अक्ष पर कटान बिंदु बहुपद के शून्य (roots) के x‑निर्देशांक होते हैं: 0, d और −d। इनके गुणनफल से मिलता है \(0\times d\times(-d)=0\)। निकटभ्रामक विकल्प \(-d^2\) केवल d और −d के गुणनफल से आता है और उस में 0 को शामिल नहीं करता — परन्तु यहाँ 0 भी एक शून्य है, इसलिए संपूर्ण गुणनफल 0 होगा। परीक्षा टिप: यदि शून्य (0) किसी भी शून्य में से मौजूद हो तो कुल गुणनफल तुरंत 0 हो जाता है। / The x-intercepts give the polynomial's zeros: 0, d and −d. Their product is \(0\times d\times(-d)=0\). The closest distractor \(-d^2\) is the product of d and −d only, which ignores the zero root; since 0 is one of the zeros the overall product is 0. Exam tip: whenever one root is 0 (graph passes through origin), the product of all roots is immediately 0.
(x-2-17x+72=(x-8)(x-9)) है, इसलिए दूरी (9-8=1) है। टिप: पहले शून्यक निकालें फिर दूरी लें। / (x-2-17x+72=(x-8)(x-9)), so the distance is (9-8=1). Tip: find zeroes first and then take distance.
नीचे खुलने वाले परवलय में दो शून्यकों के बीच मान धनात्मक होते हैं। टिप: (x=4) दोनों शून्यकों के बीच है। / For a downward-opening parabola, values between the two zeroes are positive. Tip: (x=4) lies between the zeroes.
वास्तविक (x) के लिए \(x^{10}\geq0\), इसलिए \(x^{10}+1>0\) है। टिप: हमेशा धनात्मक बहुपद (x)-अक्ष को नहीं काटता। / For real (x), \(x^{10}\geq0\), so \(x^{10}+1>0\). Tip: an always positive polynomial does not cut the (x)-axis.
एक मान \(x_0\) तभी शून्यक होता है जब \(p(x_0)=0\)। यहाँ \(p(-10)=0,\; p(3)=0,\; p(12)=0\) हैं, इसलिए \(-10,\;3,\;12\) तीन शून्यक हैं। \(p(-1)=4\) शून्य नहीं है इसलिए उसे गिना नहीं जाएगा। परीक्षा सुझाव: प्रत्येक दिए गए मान पर सीधे \(p(x)\) की मान जाँचें — केवल वही मान शून्यक होंगे जिनके लिए \(p(x)=0\) हो। / A value \(x_0\) is a zero (root) of the polynomial only if \(p(x_0)=0\). Here \(p(-10)=0,\; p(3)=0,\; p(12)=0\), so the three values \(-10,\;3,\;12\) are zeros. Since \(p(-1)=4\ne0\), \(-1\) is not a zero. Exam tip: check each given x by evaluating \(p(x)\); count only those with value 0 — do not assume values that are nonzero are roots.
ग्रह के x-अक्ष पर छेदन बिंदु वे बिंदु होते हैं जहाँ फलन का मान शून्य होता है। \(p(x)=x^2-ex\) को गुणन करके लिखें: \(x^2-ex=x(x-e)\)। इसलिए \(p(x)=0\) तभी जब \(x=0\) या \(x=e\)। अतः x-अक्ष के छेदन बिंदु \((0,0)\) और \((e,0)\) हैं। नज़दीकी ग़लत विकल्पों पर टिप्पणी: विकल्प B में -e गलत है क्योंकि गुणनखंड से -e नहीं आता; विकल्प D में \((0,e)\) x-अक्ष पर नहीं है (y≠0)। परीक्षा टिप: सामान्य गुणक (common factor) निकालकर शून्य के नियम का प्रयोग करें। / X-intercepts occur where the function value is zero. Write \(p(x)=x^2-ex\) as \(x^2-ex=x(x-e)\). So \(p(x)=0\) when \(x=0\) or \(x=e\). Hence the x-intercepts are \((0,0)\) and \((e,0)\). About distractors: option B is incorrect because the factorization does not give \(-e\); option D is wrong because \((0,e)\) does not lie on the x-axis (y≠0). Exam tip: always factor out the common factor and apply the zero-product property.
A. (18) को (8) करना होगा/(18) must be changed to (8)
Explanation
Simple Explanation
(y)-अक्ष से समान दूरी के लिए शून्यक विपरीत होने चाहिए, इसलिए (-8) के साथ (8) चाहिए। टिप: सममित शून्यक (a) और (-a) होते हैं। / For equal distance from the (y)-axis, zeroes should be opposites, so (8) is needed with (-8). Tip: symmetric zeroes are (a) and (-a).
A. दो बिंदु, (x=-4) पर स्पर्श/Two points, touching at (x=-4)
Explanation
Simple Explanation
शून्यक (-4) और (12) हैं तथा ((x+4)2) के कारण (-4) पर स्पर्श है। टिप: बाहरी (9) शून्यक नहीं बदलता। / The zeroes are (-4) and (12), and ((x+4)2) causes touching at (-4). Tip: the outside (9) does not change the zeroes.
इस अंतराल में चिह्न (+), (-), (-) हैं, इसलिए गुणनफल धनात्मक है। टिप: दो ऋणात्मक कारकों का गुणन धनात्मक होता है। / In this interval the signs are (+), (-), (-), so the product is positive. Tip: the product of two negative factors is positive.
A. क्योंकि इसका विविक्तकर ऋणात्मक है/Because its discriminant is negative
Explanation
Simple Explanation
विविक्तकर \(f^2-4f^2=-3f^2<0\) है, इसलिए वास्तविक शून्यक नहीं हैं। टिप: ऋणात्मक विविक्तकर का अर्थ (x)-अक्ष कटान नहीं है। / The discriminant is \(f^2-4f^2=-3f^2<0\), so there are no real zeroes. Tip: a negative discriminant means no (x)-axis intersection.
शीर्ष (x)-अक्ष पर है, इसलिए परवलय ((12,0)) पर स्पर्श करेगा। टिप: शीर्ष का (y)-मान (0) हो तो एक अलग शून्यक होता है। / The vertex lies on the (x)-axis, so the parabola touches at ((12,0)). Tip: if the vertex has (y=0), there is one distinct zero.
विविक्तकर (256-336=-80) है, इसलिए वास्तविक शून्यक नहीं हैं। टिप: ऋणात्मक विविक्तकर पर परवलय (x)-अक्ष से नहीं मिलता। / The discriminant is (256-336=-80), so there are no real zeroes. Tip: with negative discriminant a parabola does not meet the (x)-axis.
यह ((x-c)2-25) है, इसलिए \(x-c=\pm5\) और शून्यक (c-5), (c+5) हैं। टिप: वर्गों के अंतर का उपयोग करें। / It is ((x-c)2-25), so \(x-c=\pm5\) and the zeroes are (c-5), (c+5). Tip: use difference of squares.
कोर विचार: बहुपद के शून्यक x-अक्ष के छेदन बिंदु के x-मान होते हैं; इनका माध्य साधारण औसत है। गणना: \\(
\frac{-3+5+13}{3}=\frac{15}{3}=5
\\) इसलिए उत्तर 5 है। नजदीकी विकर्षक क्यों गलत है: विकल्प B (15) भ्रम तब होता है जब जोड़ (
-3+5+13=15
) कर के भाग नहीं किया गया; विकल्प C (-5) संकेतों में गलती दिखाता है; विकल्प D (13) केवल सबसे बड़ा शून्यक है, माध्य नहीं। परीक्षा टिप: पहले छेदन बिंदुओं से सिर्फ x-मान उठाकर जोड़ें और कुल संख्या से भाग करें। / Core concept: the zeroes correspond to the x-coordinates of x-axis intersections, and their mean is the arithmetic average. Calculation: \\(
\frac{-3+5+13}{3}=\frac{15}{3}=5
\\) so 5 is correct. Why the closest distractor is wrong: option B (15) is the sum without dividing by 3; option C (-5) reflects a sign error; option D (13) is just the largest root, not the mean. Exam tip: extract only the x-values from the intercepts, add them, then divide by the number of zeroes.
