Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है
relations and functions MCQ Questions for Class 12
relations and functions se related questions ko ek jagah revise karein. Har question me bilingual content, answer feedback aur explanation available hai.
स्थिर फलन (f(x)=5) हमेशा केवल (5) देता है। / The constant function (f(x)=5) always gives only (5).
Step 2
Why this answer is correct
सहक्षेत्र \(\mathbb{R}\) के बाकी मान जैसे (4) और (6) नहीं मिलते। / Other codomain values such as (4) and (6) are not obtained.
Step 3
Exam Tip
यदि परास में केवल एक मान हो और सहक्षेत्र बड़ा हो तो फलन आच्छादक नहीं होगा। / If the range has only one value and the codomain is larger, the function is not onto.
किसी भी \(y\in\mathbb{R}\) के लिए समीकरण (y=2x+7) हल करें। / For any \(y\in\mathbb{R}\), solve (y=2x+7).
Step 2
Why this answer is correct
\(x=\frac{y-7}{2}\) हर वास्तविक (y) के लिए वास्तविक है। / \(x=\frac{y-7}{2}\) is real for every real (y).
Step 3
Exam Tip
शून्येतर ढाल वाला रैखिक फलन \(\mathbb{R}\) से \(\mathbb{R}\) पर आच्छादक होता है। / A non-zero-slope linear function from \(\mathbb{R}\) to \(\mathbb{R}\) is onto.
B. आच्छादक नहीं है क्योंकि ऋणात्मक मान नहीं मिलते/Not onto because negative values are not obtained
Step 1
Concept
(|x|) का मान हमेशा (0) या धनात्मक होता है। / (|x|) is always (0) or positive.
Step 2
Why this answer is correct
सहक्षेत्र \(\mathbb{R}\) में (-3) जैसे मान हैं जो (|x|) से नहीं मिलते। / The codomain \(\mathbb{R}\) contains values like (-3), which cannot be obtained from (|x|).
Step 3
Exam Tip
मापांक फलन में ऋणात्मक लक्ष्य मान तुरंत आच्छादकता तोड़ देते हैं। / Negative target values quickly show that the modulus function is not onto over \(\mathbb{R}\).
\(e^x\) का परास (\(0,\infty\)) है। / The range of \(e^x\) is (\(0,\infty\)).
Step 2
Why this answer is correct
सहक्षेत्र भी (\(0,\infty\)) दिया है इसलिए हर लक्ष्य मान (y>0) के लिए \(x=\ln y\) मिल जाता है। / The codomain is also (\(0,\infty\)), so for every (y>0), \(x=\ln y\) exists.
Step 3
Exam Tip
आच्छादकता में दिए गए सहक्षेत्र को अनदेखा न करें। / Never ignore the given codomain in onto problems.
B. आच्छादक नहीं है क्योंकि ऋणात्मक मान नहीं मिलते/Not onto because negative values are not obtained
Step 1
Concept
\(e^x\) हमेशा (0) से बड़ा होता है। / \(e^x\) is always greater than (0).
Step 2
Why this answer is correct
सहक्षेत्र \(\mathbb{R}\) में ऋणात्मक संख्याएँ और (0) हैं जो परास में नहीं आतीं। / The codomain \(\mathbb{R}\) contains negative numbers and (0), which are not in the range.
Step 3
Exam Tip
घातीय फलन में परास को याद रखना आच्छादकता के लिए बहुत जरूरी है। / Remembering the range of exponential functions helps in onto questions.
(f(n)=n+1) से मान \(2,3,4,\ldots\) मिलते हैं। / (f(n)=n+1) gives values \(2,3,4,\ldots\).
Step 2
Why this answer is correct
सहक्षेत्र \(\mathbb{N}\) में (1) है पर (1) किसी (n) से प्राप्त नहीं होता। / The codomain \(\mathbb{N}\) contains (1), but (1) has no preimage.
Step 3
Exam Tip
प्राकृतिक संख्याओं वाले प्रश्नों में पहला मान अलग से जाँचना उपयोगी होता है। / In natural-number questions, checking the first few codomain values is very helpful.
आच्छादक होने के लिए हर \(y\in\mathbb{R}\) के लिए कोई \(x\in\mathbb{R}\) मिलना चाहिए। / For onto, every \(y\in\mathbb{R}\) must have some preimage \(x\in\mathbb{R}\).
Step 2
Why this answer is correct
\(y=x^3-1\) से \(x=\sqrt[3]{y+1}\) मिलता है जो हर वास्तविक (y) के लिए वास्तविक है। / From \(y=x^3-1\), we get \(x=\sqrt[3]{y+1}\), which is real for every real (y).
Step 3
Exam Tip
परीक्षा में घन फलनों का परास ध्यान से देखें क्योंकि वे अक्सर पूरे \(\mathbb{R}\) को ढकते हैं। / In exams, cubic functions often cover all real values.
आच्छादीपन जांचने के लिए (f(x)=y) रखें। / To test onto nature, put (f(x)=y).
Step 2
Why this answer is correct
(5x-11=y) से \(x=\frac{y+11}{5}\) मिलता है, जो हर वास्तविक (y) के लिए वास्तविक है। / From (5x-11=y), we get \(x=\frac{y+11}{5}\), which is real for every real (y).
Step 3
Exam Tip
रैखिक फलन में (x) को (y) के रूप में निकालना सबसे सरल तरीका है। / For a linear function, solving (x) in terms of (y) is the easiest method.
A. \((-\infty,-1]\) पर एकैकी/One-one on (\(-\infty,-1]\)
Step 1
Concept
एकैकी जांचने के लिए बढ़ने-घटने का व्यवहार देखें। / Check monotonic behaviour to test one-one nature.
Step 2
Why this answer is correct
(f'(x)=3x-2-3=3(x-1)(x+1)), इसलिए (\(-\infty,-1]\) पर फलन लगातार बढ़ता है। / (f'(x)=3x-2-3=3(x-1)(x+1)), so the function is increasing on (\(-\infty,-1]\).
Step 3
Exam Tip
परीक्षा में ऐसे घन फलनों के लिए अवकलज का संकेत सबसे तेज तरीका है। / In exams, the sign of the derivative is the quickest method for such cubic functions.
उसके परिणाम पर \(g\) लागू करें: \(g(3)=2\cdot3-1=5\). / apply \(g\) to that result: \(g(3)=2\cdot3-1=5\).
Step 3
Exam Tip
फिर \(h\) लागू करें: \(h(5)=5^2=25\). अतः सही उत्तर 25 है। नज़दीकी गलत विकल्प \(16\) आम गलती है जब कोई अंदर के मान को गलत तरीके से घटाकर या जोड़कर \(4\) पाता है और फिर उसे वर्ग कर देता है; सावधानी से प्रत्येक चरण का मान लिखें। परीक्षा टिप: हर चरण के बाद मध्यवर्ती मान कागज पर लिखें ताकि क्रम उल्टा न हो। / apply \(h\): \(h(5)=5^2=25\). So the value is 25. The closest wrong choice 16 often arises from an arithmetic/order mistake (for example getting 4 instead of 5 and then squaring); avoid that by writing intermediate results. Exam tip: evaluate one function at a time and record each intermediate value to prevent order errors.
पहचान: यह एक रैखिक फलन का सरल समीकरण है जहाँ हम इनपुट \(a\) ज्ञात करना चाहते हैं। समाधान: \(f(a)=6a+2\) इसलिए \(6a+2=38\)। इससे \(6a=36\) और अतः \(a=6\)। क्यों अन्य विकल्प गलत हैं: सबसे नज़दीकी विचलक 5 है — यदि \(a=5\) होता तो \(f(5)=6\times5+2=32\), जो 38 के बराबर नहीं है। परीक्षा-सुझाव: हमेशा पहली बात के रूप में फलन में दिए गए इनपुट को स्थापित करें, स्थिर पद को दूसरी ओर ले जाकर घटाएँ और अंत में गुणा कारक से विभाजित करें। / Concept: This is solving a linear function for the input that produces a given output. Solution: Substitute to get \(f(a)=6a+2\), so \(6a+2=38\). Hence \(6a=36\) and \(a=6\). Why other options are wrong: the closest distractor 5 fails because \(f(5)=6\times5+2=32\), not 38. Exam tip: Plug the unknown into the function, move constant terms to the other side, then divide by the coefficient of the variable to solve quickly and check by substitution.
अंत में \(h(3)=3^2+1=9+1=10\). इसलिए मान 10 है. सामान्य भूल: विकल्प B (9) तब आता है जब कोई \(+1\) भूल जाए और सिर्फ \(3^2\) ले ले—यह गलत है। परीक्षा टिप: संयोजन करते समय हमेशा पहले सबसे अंदर वाले फ़ंक्शन का मान निकालें और फिर आगे बढ़ें। / \(h(3)=3^2+1=9+1=10\). Thus the value is 10. Common error: option B (9) results if a student computes \(3^2\) but omits the \(+1\). Exam tip: always compute the inner function first and substitute its value into the next function to avoid sign or constant errors.
f(2) का मान निकालें: \(f(2)=2^2+2k=4+2k\)। दिया है \(f(2)=12\), अतः \(4+2k=12\)। इससे \(2k=8\) और इसलिए \(k=4\)। गलत विकल्पों में से (2) सामान्य गणितीय त्रुटि है जब कोई गलती से दोनों पक्षों से 8 घटाने के बजाय 4 घटा दे या समीकरण का गलत रूप लिख दे; इसलिए यह गलत है। परीक्षा-सुझाव: मानों को सीधे प्रतिस्थापित कर के सरल रैखिक समीकरण बनाएं और चरण-दर-चरण हल करें। / Evaluate at x=2: \(f(2)=2^2+2k=4+2k\). Given \(f(2)=12\), so \(4+2k=12\). Solving gives \(2k=8\) and hence \(k=4\). The option 2 often appears from an arithmetic slip (for example writing the equation incorrectly); it does not satisfy the correct equation. Exam tip: always substitute carefully and isolate the unknown to avoid simple algebraic mistakes.
संयोजन का अर्थ यह है कि पहले अंदर वाली फलन को परखा जाता है और फिर बाहरी फलन लगाया जाता है। अतः \((g\circ f)(4)=g(f(4))\)। पहले \(f(4)=4-2=2\) निकालेँ; फिर \(g(2)=2^2+1=5\) मिलता है। विकल्प B (17) उस गलती से आता है जहाँ किसी ने सीधे \(g(4)=4^2+1\) लिया; विकल्प C और D भी गलत परिणाम हैं जो आंतरिक-आकलन क्रम को भूलने या अंकगणित त्रुटि से आते हैं। परीक्षा टिप: संयोजन में हमेशा अंदर वाले फलन का मान पहले निकालें, फिर बाहरी फलन पर लागू करें। / Composition means evaluate the inner function first, then apply the outer function. So \((g\circ f)(4)=g(f(4))\). Compute \(f(4)=4-2=2\), then \(g(2)=2^2+1=5\). Option B (17) would be the value of \(g(4)=4^2+1\), a common mistake of not composing in the correct order. Options C and D result from arithmetic or ordering errors. Exam tip: always find the inner function's value before applying the outer function.
अंत में \(h(4)=4^2=16\). इसलिए उत्तर 16 है। गलत विकल्पों पर टिप्पणी: 8 आमतः तब गलत चुन लिया जाता है जब g और h की अनुक्रमणिका उलटी कर दी जाए (जैसे पहले h लागू कर देना और फिर g), जिससे गलत क्रम का परिणाम निकलेगा; 4 तब मिलता है अगर केवल g का परिणाम (या केवल h का गलत क्रम) लिया जाए; 9 किसी तार्किक गलती या किसी और इनपुट पर वर्ग करने से आता है। परीक्षा टिप: फंक्शन कंपोजीशन में हमेशा दाएँ से बाएं क्रम में मूल्य निकालें और हर चरण का परिणाम लिखें। / \(h(4)=4^2=16\). Thus the value is 16. Note on distractors: 8 often appears if someone swaps the order of g and h (applying h before g), producing an incorrect sequence; 4 would result from stopping after g or misapplying functions; 9 is from an unrelated miscalculation. Exam tip: evaluate compositions right-to-left and record each intermediate value to avoid order errors.
\((g\circ f)(2)=g(f(2))\). Compute the inner function: \(f(2)=2\cdot2-1=3\). Then evaluate the outer function: \(g(3)=3+4=7\). Thus the correct answer is 7. The closest distractor 6 results from mistakenly evaluating \(g(2)=6\) instead of \(g(f(2))\). Exam tip: for compositions, always evaluate the inner function first (find \(f(x)\)), then apply the outer function.
रचना (composition) की परिभाषा के अनुसार \((f\circ g)(2)=f(g(2))\)। पहले अंदर की फ़ंक्शन पर मान लगाएँ: \(g(2)=3\cdot2=6\)। अब बाहर वाली फ़ंक्शन पर यह परिणाम लगाएँ: \(f(6)=6+2=8\)। इसलिए उत्तर 8 है। आम गलती: विकल्प 6 इसलिए दिया जा सकता है क्योंकि कुछ विद्यार्थी केवल \(g(2)\) तक पहुँचकर रचना पूरी समझ लेते हैं और \(f\) लागू करना भूल जाते हैं — यह गलत है। परीक्षा टिप: रचना लिखते समय हमेशा स्पष्ट रूप से लिखें \((f\circ g)(x)=f(g(x))\) और पहले अंदर वाली फ़ंक्शन का मान निकालें। / By definition of composition, \((f\circ g)(2)=f(g(2))\). Evaluate the inner function first: \(g(2)=3\cdot2=6\). Then apply \(f\) to that result: \(f(6)=6+2=8\). Hence the correct value is 8. Common mistake: some students stop at \(g(2)=6\) and choose 6, forgetting to apply \(f\); that is incorrect. Exam tip: Always write \((f\circ g)(x)=f(g(x))\) and compute the inner function before the outer one.
बुनियादी संघटक: \((f-g)(x)=f(x)-g(x)\)। इसलिए पहले हर फ़ंक्शन का मान \(x=2\) पर निकालें: \(f(2)=4\times2=8\) और \(g(2)=2+2=4\)। अब अंतर लें: \((f-g)(2)=8-4=4\)। विकल्प C (8) अक्सर गलत उत्तर होता है क्योंकि वह केवल \(f(2)\) है — यहाँ \(g(2)\) घटाना आवश्यक है। विकल्प D (2) तभी आएगा यदि कोई सभी को भाग में लिख दे, क्योंकि \(f(2)/g(2)=8/4=2\) जो यहाँ लागू नहीं है। परीक्षा टिप: किसी भी जोड़/घटाव वाली क्रिया में पहले संबंधित बिन्दु पर दोनों फ़ंक्शनों का मान निकालें फिर ऑपरेशन लागू करें। / Core idea: \((f-g)(x)=f(x)-g(x)\). Evaluate each function at \(x=2\): \(f(2)=4\times2=8\) and \(g(2)=2+2=4\). Then subtract: \((f-g)(2)=8-4=4\). Option C (8) is a common mistake — it is just \(f(2)\) and ignores subtracting \(g(2)\). Option D (2) equals \(f(2)/g(2)=8/4\), a division confusion, so it is incorrect here. Exam tip: Compute individual function values first at the given x, then apply the indicated operation (sum, difference, product, or quotient).
मूल सिद्धांत: \((f+g)(x)=f(x)+g(x)\)। अतः \((f+g)(1)=f(1)+g(1)\)। यहाँ \(f(1)=1+5=6\) और \(g(1)=1^2=1\)। इसलिए योग \(6+1=7\) होगा, इसलिए विकल्प A सही है। निकटतम भ्रम (विकल्प B = 6) केवल \(f(1)\) का मान दिखाता है और \(g(1)\) को छोड़ देता है। परीक्षा सुझाव: पहले प्रत्येक फलन का दिया हुआ x पर मान निकालें, फिर उन्हें जोड़ें। / Concept: \((f+g)(x)=f(x)+g(x)\). So \((f+g)(1)=f(1)+g(1)\). Compute: \(f(1)=1+5=6\) and \(g(1)=1^2=1\), sum = \(6+1=7\). Thus option A is correct. Closest distractor (option B = 6) equals only \(f(1)\) and wrongly omits \(g(1)\). Exam tip: evaluate each function at the given x separately, then add the results.
\(f(2)=2^2+2\cdot2=4+4=8\). So the sum is \(3+8=11\). The closest distractor C (10) could arise if someone mis-evaluates \(f(1)\) as 2, giving \(2+8=10\); that is incorrect because \(f(1)=3\). Exam tip: evaluate the function at each input separately (compute powers and multiplications first) and then add the results.
पहला कदम: \(f(10)=10-3=7\)। दूसरा कदम: \(f(4)=4-3=1\)। इसलिए अंतर \(f(10)-f(4)=7-1=6\)। अत: विकल्प A सही है।
नजदीकी भ्रामक उत्तर C (7) इसलिए गलत है क्योंकि वह केवल \(f(10)\) का मान है, पर प्रश्न दोनों मानों का अंतर पूछ रहा है।
परीक्षा टिप: पहले हर दिए बिंदु पर फलन का मान निकालें, फिर आवश्यक जोड़/घटाव करें — यह गलतियाँ कम करता है। / Compute values at each input: \(f(10)=10-3=7\) and \(f(4)=4-3=1\). The required difference is \(7-1=6\), so A is correct.
The closest distractor C (7) is wrong because it equals only \(f(10)\), not the difference \(f(10)-f(4)\).
Exam tip: Evaluate the function at each specified x first, then perform subtraction to avoid sign or copying errors.
