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relations and functions MCQ Questions for Class 12
relations and functions se related questions ko ek jagah revise karein. Har question me bilingual content, answer feedback aur explanation available hai.
दोनों समुच्चयों में समान (2) सदस्य हैं। / Both sets have (2) elements.
Step 2
Why this answer is correct
आच्छादक होने के लिए दोनों लक्ष्य सदस्य मिलने चाहिए इसलिए फलन वास्तव में एक-एक मेल होगा। / To be onto, both target elements must be hit, so the function is a one-to-one pairing.
Step 3
Exam Tip
ऐसे मेलों की संख्या (2!=2) होती है। / The number of such pairings is (2!=2).
कुल फलनों की संख्या \(2^3=8\) है। / Total functions are \(2^3=8\).
Step 2
Why this answer is correct
आच्छादक नहीं होने वाले फलन वे हैं जिनका परास केवल एक सदस्य है ऐसे (2) फलन हैं। / Non-onto functions use only one codomain element, so there are (2) such functions.
Step 3
Exam Tip
अतः आच्छादक फलन (8-2=6) हैं और छोटे समुच्चयों में पूरक विधि तेज रहती है। / Therefore onto functions are (8-2=6); complement counting is quick for small sets.
B. नहीं क्योंकि (B) में अधिक सदस्य हैं/No because (B) has more elements
Step 1
Concept
आच्छादक फलन में (B) के हर सदस्य को कम से कम एक पूर्वप्रतिबिंब चाहिए। / In an onto function, every element of (B) needs at least one preimage.
Step 2
Why this answer is correct
(A) में (3) सदस्य हैं पर (B) में (4) सदस्य हैं इसलिए चारों को ढकना असंभव है। / (A) has (3) elements while (B) has (4), so all four elements cannot be covered.
Step 3
Exam Tip
सीमित समुच्चयों में यदि (|A|<|B|) हो तो आच्छादक फलन नहीं बन सकता। / For finite sets, if (|A|<|B|), an onto function cannot exist.
B. आच्छादक नहीं है क्योंकि केवल पूर्णांक मान मिलते हैं/Not onto because only integer values are obtained
Step 1
Concept
\(\lfloor x\rfloor\) हर (x) के लिए सबसे बड़ा पूर्णांक देता है जो (x) से बड़ा नहीं होता। / \(\lfloor x\rfloor\) gives the greatest integer not greater than (x).
Step 2
Why this answer is correct
इसलिए परास \(\mathbb{Z}\) है \(\mathbb{R}\) नहीं। / Hence its range is \(\mathbb{Z}\), not \(\mathbb{R}\).
Step 3
Exam Tip
मंजिल फलन में दशमलव लक्ष्य मान कभी नहीं मिलते। / For the floor function, decimal target values are never obtained.
(x=0) पर मान (1) मिलता है। / At (x=0), the value (1) is obtained.
Step 2
Why this answer is correct
(x) बड़ा होने पर मान (0) के पास जाता है पर (0) नहीं होता इसलिए परास ((0,1]) है। / As (x) grows large, the value approaches (0) but never becomes (0), so the range is ((0,1]).
Step 3
Exam Tip
सीमा पर मिले या न मिले यह आच्छादकता में महत्वपूर्ण है। / Whether a boundary value is attained matters in onto questions.
\(1+x^2\ge 1\) इसलिए \(\frac{1}{1+x^2}\) (0) से बड़ा और (1) तक होता है। / Since \(1+x^2\ge 1\), \(\frac{1}{1+x^2}\) is greater than (0) and at most (1).
Step 2
Why this answer is correct
इसका परास ((0,1]) है जबकि सहक्षेत्र \(\mathbb{R}\) है। / Its range is ((0,1]), while the codomain is \(\mathbb{R}\).
Step 3
Exam Tip
भिन्न फलन में हर का न्यूनतम मान परास समझने में मदद करता है। / For rational functions, the minimum denominator helps determine the range.
(2n-1) सभी विषम प्राकृतिक संख्याएँ देता है। / (2n-1) gives all odd natural numbers.
Step 2
Why this answer is correct
सहक्षेत्र भी विषम प्राकृतिक संख्याओं का समुच्चय है। / The codomain is also the set of odd natural numbers.
Step 3
Exam Tip
यदि लक्ष्य समुच्चय वही है जो सूत्र वास्तव में देता है तो फलन आच्छादक होता है। / If the target set is exactly what the formula produces, the function is onto.
B. आच्छादक नहीं है क्योंकि सम प्राकृतिक संख्याएँ नहीं मिलतीं/Not onto because even natural numbers are not obtained
Step 1
Concept
(2n-1) हमेशा विषम प्राकृतिक संख्या देता है। / (2n-1) always gives an odd natural number.
Step 2
Why this answer is correct
सहक्षेत्र \(\mathbb{N}\) में \(2,4,6,\ldots\) जैसे सम मान भी हैं जो नहीं मिलते। / The codomain \(\mathbb{N}\) also contains even values \(2,4,6,\ldots\), which are not obtained.
Step 3
Exam Tip
जब सूत्र केवल विषम या सम मान देता हो तो आच्छादकता सावधानी से जाँचें। / When a formula gives only odd or even values, check onto carefully.
\(2\mathbb{Z}\) सभी सम पूर्णांकों का समुच्चय है। / \(2\mathbb{Z}\) is the set of all even integers.
Step 2
Why this answer is correct
किसी भी सम पूर्णांक (y) के लिए (y=2k) होगा और (x=k) लेने पर (f(x)=y)। / Any even integer (y) can be written as (y=2k), and taking (x=k) gives (f(x)=y).
Step 3
Exam Tip
सहक्षेत्र को सम पूर्णांकों तक रखने पर यह फलन आच्छादक हो जाता है। / With codomain restricted to even integers, this function is onto.
(f(x)=\left\(x-\frac{1}{2}\right\)2-\frac{1}{4}) है। / (f(x)=\left\(x-\frac{1}{2}\right\)2-\frac{1}{4}).
Step 2
Why this answer is correct
इसका परास \(\left[-\frac{1}{4},\infty\right\)) है और यही सहक्षेत्र दिया गया है। / Its range is \(\left[-\frac{1}{4},\infty\right\)), exactly the given codomain.
Step 3
Exam Tip
परास और सहक्षेत्र बराबर मिलते ही आच्छादकता सिद्ध हो जाती है। / Once range and codomain match, onto is proved.
\(\tan x\) इस खुले अंतराल पर परिभाषित है। / \(\tan x\) is defined on this open interval.
Step 2
Why this answer is correct
(x) जैसे-जैसे सिरों के पास जाता है मान \(-\infty\) से \(\infty\) तक सभी वास्तविक मान लेता है। / As (x) approaches the ends, the values cover all real numbers from \(-\infty\) to \(\infty\).
Step 3
Exam Tip
त्रिकोणमितीय फलन में चुना गया अंतराल बहुत महत्वपूर्ण होता है। / The chosen interval is very important for trigonometric functions.
A. यह पूरे \(\mathbb{R}\) पर परिभाषित नहीं है/It is not defined on all of \(\mathbb{R}\)
Step 1
Concept
\(\tan x\) \(x=\frac{\pi}{2}+n\pi\) पर परिभाषित नहीं होता। / \(\tan x\) is not defined at \(x=\frac{\pi}{2}+n\pi\).
Step 2
Why this answer is correct
इसलिए इसे \(\mathbb{R}\) से \(\mathbb{R}\) तक फलन की तरह सीधे नहीं माना जा सकता। / So it cannot directly be treated as a function from \(\mathbb{R}\) to \(\mathbb{R}\).
Step 3
Exam Tip
आच्छादकता से पहले यह जाँचें कि दिया गया नियम पूरे प्रांत पर परिभाषित है या नहीं। / Before testing onto, check whether the rule is defined on the entire domain.
\(x^3+x\) एक सतत बढ़ता हुआ फलन है क्योंकि \(3x^2+1>0\)। / \(x^3+x\) is a continuous increasing function because \(3x^2+1>0\).
Step 2
Why this answer is correct
\(x\to \infty\) पर मान \(\infty\) और \(x\to -\infty\) पर मान \(-\infty\) की ओर जाता है। / As \(x\to \infty\), the value goes to \(\infty\), and as \(x\to -\infty\), it goes to \(-\infty\).
Step 3
Exam Tip
ऐसे घन फलन पूरे \(\mathbb{R}\) को ढकते हैं। / Such cubic functions cover all real values.
A. हर \(b\in B\) के लिए कोई \(a\in A\) हो जिससे (f(a)=b)/For every \(b\in B\), there exists \(a\in A\) such that (f(a)=b)
Step 1
Concept
आच्छादकता सहक्षेत्र के हर सदस्य से जुड़ी शर्त है। / Onto is a condition about every element of the codomain.
Step 2
Why this answer is correct
यदि हर \(b\in B\) किसी \(a\in A\) का प्रतिबिंब है तो परास (B) के बराबर है। / If every \(b\in B\) is the image of some \(a\in A\), then range equals (B).
Step 3
Exam Tip
परिभाषा वाले प्रश्नों में (B) से शुरू होने वाली शर्त पहचानें। / In definition questions, identify the statement that starts from the codomain.
सहक्षेत्र (B) के सदस्य (p) और (q) हैं। / The codomain (B) has elements (p) and (q).
Step 2
Why this answer is correct
(p) भी मिलता है और (q) भी मिलता है इसलिए कोई सदस्य छूटा नहीं। / Both (p) and (q) are obtained, so no codomain element is missed.
Step 3
Exam Tip
आच्छादकता के लिए अलग-अलग पूर्वप्रतिबिंब जरूरी नहीं बस हर सहक्षेत्र सदस्य मिलना चाहिए। / Onto does not require distinct preimages, only that every codomain element is hit.
