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relations and functions MCQ Questions for Class 12
relations and functions se related questions ko ek jagah revise karein. Har question me bilingual content, answer feedback aur explanation available hai.
कुल फलन \(2^5=32\) हैं। / Total functions are \(2^5=32\).
Step 2
Why this answer is correct
आच्छादक नहीं होने वाले फलन वे हैं जिनमें सभी (5) सदस्य एक ही लक्ष्य पर जाएँ ऐसे (2) फलन हैं। / Non-onto functions send all (5) elements to just one target; there are (2) such functions.
Step 3
Exam Tip
इसलिए आच्छादक फलन (32-2=30) हैं। / Therefore onto functions are (32-2=30).
यह फलन हमेशा (0) और (1) के बीच मान देता है। / This function always gives a value between (0) and (1).
Step 2
Why this answer is correct
हर \(y\in(0,1)\) के लिए (x=\ln\left\(\frac{y}{1-y}\right\)) लेने पर (f(x)=y) मिलता है। / For every \(y\in(0,1)\), taking (x=\ln\left\(\frac{y}{1-y}\right\)) gives (f(x)=y).
Step 3
Exam Tip
कठिन आच्छादकता में लक्ष्य (y) से (x) निकालना बहुत उपयोगी है। / In hard onto questions, solving for (x) from target (y) is very useful.
C. आच्छादक है क्योंकि हर धनात्मक लक्ष्य (y) के लिए \(x=e^y\) है/Onto because for every positive target (y), \(x=e^y\) works
Step 1
Concept
सहक्षेत्र केवल (\(0,\infty\)) है इसलिए धनात्मक लक्ष्य मान ही जाँचने हैं। / The codomain is only (\(0,\infty\)), so only positive target values must be checked.
Step 2
Why this answer is correct
हर (y>0) के लिए \(x=e^y>0\) और \(\ln x=y\) होता है। / For every (y>0), \(x=e^y>0\) and \(\ln x=y\).
Step 3
Exam Tip
आच्छादकता में सहक्षेत्र के बाहर के मानों की चिंता नहीं की जाती। / For onto, values outside the codomain do not matter.
B. आच्छादक नहीं है क्योंकि परास \([1,\infty\)) है/Not onto because range is \([1,\infty\))
Step 1
Concept
\(x^2\ge0\) इसलिए \(e^{x^2}\ge1\)। / Since \(x^2\ge0\), \(e^{x^2}\ge1\).
Step 2
Why this answer is correct
सहक्षेत्र \(\mathbb{R}\) में (0) और ऋणात्मक मान हैं जो नहीं मिलते। / The codomain \(\mathbb{R}\) contains (0) and negative values that are not obtained.
Step 3
Exam Tip
घातीय फलन में घात का न्यूनतम मान परास तय करता है। / For exponential functions, the minimum of the exponent decides the range.
\(x^3+a x\) विषम घात का बहुपद है। / \(x^3+a x\) is an odd-degree polynomial.
Step 2
Why this answer is correct
अग्र पद \(x^3\) होने से \(x\to\infty\) पर मान \(\infty\) और \(x\to-\infty\) पर \(-\infty\) जाता है। / Since the leading term is \(x^3\), the value goes to \(\infty\) as \(x\to\infty\) and to \(-\infty\) as \(x\to-\infty\).
Step 3
Exam Tip
सतत विषम घात बहुपद \(\mathbb{R}\) से \(\mathbb{R}\) पर आच्छादक होता है। / A continuous odd-degree polynomial from \(\mathbb{R}\) to \(\mathbb{R}\) is onto.
B. किसी भी वास्तविक (a) के लिए आच्छादक नहीं है/Not onto for any real (a)
Step 1
Concept
(a=0) पर फलन स्थिर है। / If (a=0), the function is constant.
Step 2
Why this answer is correct
(a>0) पर परास \([1,\infty\)) और (a<0) पर परास (\(-\infty,1]\) होता है। / If (a>0), the range is \([1,\infty\)), and if (a<0), the range is (\(-\infty,1]\).
Step 3
Exam Tip
इनमें से कोई भी परास पूरे \(\mathbb{R}\) के बराबर नहीं है। / None of these ranges equals all of \(\mathbb{R}\).
\(t=x^2\ge0\) रखने पर फलन \(\frac{t+1}{t+2}\) बनता है। / Put \(t=x^2\ge0\), so the function becomes \(\frac{t+1}{t+2}\).
Step 2
Why this answer is correct
(t=0) पर \(\frac{1}{2}\) और \(t\to\infty\) पर मान (1) के पास जाता है पर (1) नहीं आता। / At (t=0), the value is \(\frac{1}{2}\), and as \(t\to\infty\), it approaches (1) without reaching it.
Step 3
Exam Tip
\(x^2\) को (t) मानकर कठिन परास प्रश्न सरल हो जाते हैं। / Replacing \(x^2\) by (t) simplifies hard range questions.
B. आच्छादक नहीं है क्योंकि परास \(\left[\frac{1}{2},1\right\)) है/Not onto because range is \(\left[\frac{1}{2},1\right\))
Step 1
Concept
(x=0) पर मान \(\frac{1}{2}\) मिलता है। / At (x=0), the value is \(\frac{1}{2}\).
Step 2
Why this answer is correct
(x) बड़ा होने पर मान (1) के पास जाता है पर (1) नहीं बनता। / As (x) becomes large, the value approaches (1) but never becomes (1).
Step 3
Exam Tip
भिन्न में सीमा और वास्तविक प्राप्त मान दोनों अलग-अलग जाँचें। / In rational expressions, check both the limiting value and the actually attained values.
B. आच्छादक नहीं है क्योंकि (1) नहीं मिलता/Not onto because (1) is not obtained
Step 1
Concept
\(\frac{x+1}{x+2}=1\) मानने पर (x+1=x+2) मिलता है जो असंभव है। / If \(\frac{x+1}{x+2}=1\), then (x+1=x+2), which is impossible.
Step 2
Why this answer is correct
इसलिए (1) परास में नहीं है जबकि सहक्षेत्र \(\mathbb{R}\) है। / Thus (1) is not in the range, while the codomain is \(\mathbb{R}\).
Step 3
Exam Tip
रैखिक भिन्न फलन में क्षैतिज सीमा अक्सर छूटा हुआ मान बताती है। / In linear fractional functions, the horizontal limiting value often indicates the missing value.
\(x+\frac{1}{x}\) का न्यूनतम मान (2) है जो (x=1) पर मिलता है। / The minimum value of \(x+\frac{1}{x}\) is (2), attained at (x=1).
Step 2
Why this answer is correct
\(x\to0^+\) या \(x\to\infty\) पर मान \(\infty\) की ओर जाता है इसलिए \([2,\infty\)) पूरा मिलता है। / As \(x\to0^+\) or \(x\to\infty\), the value goes to \(\infty\), so all of \([2,\infty\)) is obtained.
Step 3
Exam Tip
न्यूनतम मान मिलने के बाद सहक्षेत्र से तुलना करें। / After finding the minimum, compare it with the codomain.
B. आच्छादक नहीं है क्योंकि परास \([2,\infty\)) है/Not onto because range is \([2,\infty\))
Step 1
Concept
(x>0) के लिए \(x+\frac{1}{x}\ge 2\) होता है। / For (x>0), \(x+\frac{1}{x}\ge 2\).
Step 2
Why this answer is correct
सहक्षेत्र \(\mathbb{R}\) में (1) और ऋणात्मक संख्याएँ हैं जो नहीं मिलतीं। / The codomain \(\mathbb{R}\) contains (1) and negative numbers, which are not obtained.
Step 3
Exam Tip
\(x+\frac{1}{x}\) में न्यूनतम मान पहचानना परीक्षा में बहुत उपयोगी है। / Identifying the minimum of \(x+\frac{1}{x}\) is very useful in exams.
\(\cos x\) सीमित है और (x) असीम दिशा में बढ़ता या घटता है। / \(\cos x\) is bounded, while (x) grows without bound in both directions.
Step 2
Why this answer is correct
इसलिए \(x-\cos x\) का मान भी दोनों दिशाओं में असीम जाता है और फलन सतत है। / Hence \(x-\cos x\) also goes without bound in both directions and is continuous.
Step 3
Exam Tip
सततता और अंत व्यवहार मिलकर आच्छादकता सिद्ध कर सकते हैं। / Continuity plus end behavior can prove onto.
\(x+\sin x\) सतत फलन है। / \(x+\sin x\) is continuous.
Step 2
Why this answer is correct
\(x\to\infty\) पर यह \(\infty\) और \(x\to-\infty\) पर \(-\infty\) की ओर जाता है क्योंकि (x) वाला भाग प्रमुख है। / As \(x\to\infty\), it goes to \(\infty\), and as \(x\to-\infty\), it goes to \(-\infty\), because the (x)-term dominates.
Step 3
Exam Tip
सीमित त्रिकोणमितीय भाग के साथ (x) जुड़ा हो तो अंत व्यवहार देखें। / When a bounded trigonometric term is added to (x), check end behavior.
इसका परास \([-4,\infty\)) है और वही सहक्षेत्र दिया गया है। / Its range is \([-4,\infty\)), exactly the given codomain.
Step 3
Exam Tip
आच्छादकता में सूत्र से अधिक महत्वपूर्ण परास और सहक्षेत्र की बराबरी है। / For onto, the equality of range and codomain is more important than the formula alone.
यह विषम घात का बहुपद है जिसका अग्र गुणांक धनात्मक है। / This is an odd-degree polynomial with positive leading coefficient.
Step 2
Why this answer is correct
\(x\to\infty\) पर मान \(\infty\) और \(x\to-\infty\) पर मान \(-\infty\) की ओर जाता है इसलिए हर वास्तविक लक्ष्य मान मिल जाता है। / As \(x\to\infty\), the value goes to \(\infty\), and as \(x\to-\infty\), it goes to \(-\infty\), so every real target value is obtained.
Step 3
Exam Tip
कठिन प्रश्नों में भी विषम घात बहुपद का अंत व्यवहार जल्दी पहचानें। / In hard questions, first check the end behavior of odd-degree polynomials.
\(x\in[-2,2]\) होने पर \(x^2\) का मान (0) से (4) तक होता है। / When \(x\in[-2,2]\), \(x^2\) takes values from (0) to (4).
Step 2
Why this answer is correct
किसी भी \(y\in[0,4]\) के लिए \(x=\sqrt{y}\) लेने पर \(x\in[-2,2]\) और (f(x)=y) मिल जाता है। / For any \(y\in[0,4]\), taking \(x=\sqrt{y}\) gives \(x\in[-2,2]\) and (f(x)=y).
Step 3
Exam Tip
परीक्षा में प्रांत और सहक्षेत्र दोनों देखकर ही आच्छादकता तय करें। / In exams, decide onto only after checking both the domain and the codomain.
