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\(x^2-24x+108=0\) को पूर्ण वर्ग के रूप में लिखने पर \((x-12)^2=36\) मिलता है। अतः \(x-12=\pm6\), इसलिए \(x=12+6=18\) या \(x=12-6=6\)। इस प्रकार मूल \(6\) और \(18\) हैं। परीक्षा में \(\pm\) चिह्न से प्राप्त दोनों मान अवश्य जाँचें; विकल्प C में केवल एक सही मूल \(6\) है, जबकि \(12\) मूल नहीं है। / Writing the equation in completed-square form gives \((x-12)^2=36\). Therefore, \(x-12=\pm6\), so \(x=12+6=18\) or \(x=12-6=6\). Hence, the roots are \(6\) and \(18\). In an exam, remember to use the \(\pm\) sign to obtain both roots; option C contains the correct root \(6\) but \(12\) is not a root.
(11x+1)(x+1) को फैलाने पर 11x-2+11x+x+1=11x-2+12x+1 प्राप्त होता है, इसलिए विकल्प A सही है। विकल्प C को फैलाने पर x-2+12x+11 मिलता है, जिसमें x-2 का गुणांक 1 है, 11 नहीं। परीक्षा में गुणनखंडों का गुणन करके मूल द्विघात समीकरण से मिलान करें। / Expanding (11x+1)(x+1) gives 11x-2+11x+x+1=11x-2+12x+1, so option A is correct. Option C expands to x-2+12x+11, whose coefficient of x-2 is 1 rather than 11. In an exam, multiply the proposed factors to verify the original quadratic equation.
दोनों पक्षों को 7 से भाग देने पर \\(x^2=25\\) मिलता है। इसलिए \\(x=\pm\sqrt{25}=\pm5\\), अर्थात् मूल 5 और -5 हैं। केवल \\(x=5\\) या केवल \\(x=-5\\) लिखना अधूरा है, क्योंकि वर्गमूल लेते समय धनात्मक और ऋणात्मक दोनों मान लेने होते हैं। परीक्षा में \\(x^2=a\\) के लिए \\(x=\pm\sqrt{a}\\) अवश्य लिखें। / Dividing both sides by 7 gives \\(x^2=25\\). Therefore, \\(x=\pm\sqrt{25}=\pm5\\), so the roots are 5 and -5. Writing only \\(x=5\\) or only \\(x=-5\\) is incomplete because both square roots must be considered. Exam tip: for \\(x^2=a\\), write \\(x=\pm\sqrt{a}\\).
दिए गए समीकरण को \(x^2+8x-33=(x-3)(x+11)=0\) के रूप में गुणनखंडित किया जा सकता है। अतः \(x=3\) या \(x=-11\), इसलिए विकल्प A सही है। विकल्प B में दोनों मूलों के चिह्न गलत हैं। परीक्षा में मूलों की जाँच के लिए उनके योग \(-8\) और गुणनफल \(-33\) होना चाहिए। / The equation factors as \(x^2+8x-33=(x-3)(x+11)=0\). Therefore, \(x=3\) or \(x=-11\), so option A is correct. In option B, the signs of both roots are incorrect. As an exam check, the sum of the roots should be \(-8\) and their product should be \(-33\).
दिए गए मूलों से समीकरण के गुणनखंड \((x+6)(x+7)=0\) होंगे। विस्तार करने पर \(x^2+13x+42=0\) मिलता है, इसलिए \(p=13\)। विकल्प \(-13\) में चिह्न की गलती है; क्योंकि मूलों का योग \(-6+(-7)=-13=-p\) होता है। परीक्षा-युक्ति: \(x^2+px+q=0\) में मूलों का योग \(-p\) होता है। / The given roots form the factors \((x+6)(x+7)=0\). Expanding gives \(x^2+13x+42=0\), so \(p=13\). The distractor \(-13\) results from missing the negative sign in the relation that the sum of roots is \(-p\): \(-6+(-7)=-13=-p\). Exam tip: For \(x^2+px+q=0\), the sum of the roots is \(-p\).
समीकरण को \((x-3)(x-15)=0\) के रूप में गुणनखंडित किया जा सकता है। अतः \(x=3\) या \(x=15\), इसलिए विकल्प A सही है। विकल्प C में संख्याओं का योग 18 है, लेकिन उनका गुणनफल 72 है, जबकि आवश्यक गुणनफल 45 होना चाहिए। परीक्षा में मूलों की जाँच के लिए उनका योग 18 और गुणनफल 45 अवश्य मिलाएँ। / The equation factors as \((x-3)(x-15)=0\). Therefore, \(x=3\) or \(x=15\), so option A is correct. In option C, the numbers add to 18 but their product is 72, whereas the required product is 45. In an exam, verify the roots using their sum 18 and product 45.
मानक रूप \(ax^2+bx+c=0\) से \(a=3\), \(b=-11\) और \(c=2\) हैं। इसलिए विविक्तकर \(D=b^2-4ac=(-11)^2-4(3)(2)=121-24=97\) है। विकल्प 121 में \(4ac\) घटाया नहीं गया है। परीक्षा में पहले \(a,b,c\) के सही मान पहचानें, फिर \(D=b^2-4ac\) लगाएँ। / In the standard form \(ax^2+bx+c=0\), we have \(a=3\), \(b=-11\), and \(c=2\). Thus, the discriminant is \(D=b^2-4ac=(-11)^2-4(3)(2)=121-24=97\). The value 121 results from failing to subtract \(4ac\). In an exam, identify \(a,b,c\) first and then apply \(D=b^2-4ac\).
मानक रूप में सभी पदों को एक ही तरफ लाकर दूसरी तरफ शून्य लिखा जाता है। दोनों पक्षों से \(11x\) घटाने पर \(3x^2+2-11x=0\), अर्थात् \(3x^2-11x+2=0\) मिलता है। इसलिए विकल्प A सही है। विकल्प B में \(11x\) का चिह्न गलत है। परीक्षा-युक्ति: पद को दूसरी तरफ ले जाने पर उसका चिह्न बदल जाता है। / In standard form, all terms are brought to one side and the other side is made zero. Subtracting \(11x\) from both sides gives \(3x^2+2-11x=0\), which can be written as \(3x^2-11x+2=0\). Therefore, option A is correct. Option B has the wrong sign for the linear term. Exam tip: a term changes its sign when it is transposed to the other side.
\((7x-3)^2=49x^2-42x+9\), क्योंकि \((a-b)^2=a^2-2ab+b^2\)। इसलिए दिया गया समीकरण \((7x-3)^2=0\) है। विकल्प B में मध्य पद \(+42x\) होता, जबकि C और D में \(x^2\) का गुणांक सही नहीं है। परीक्षा में पूर्ण वर्ग पहचानने के लिए पहले और अंतिम पदों के वर्गमूल लेकर मध्य पद \(2ab\) से जाँच करें। / Using \((a-b)^2=a^2-2ab+b^2\), we get \((7x-3)^2=49x^2-42x+9\). Hence the equation becomes \((7x-3)^2=0\). In option B, the middle term would be \(+42x\), while options C and D have an incorrect coefficient of \(x^2\). Exam tip: take the square roots of the first and last terms and verify the middle term using \(2ab\).
मानक रूप \(ax^2+bx+c=0\) से \(a=5\), \(b=-10\) और \(c=-3\) हैं। इसलिए \(D=b^2-4ac=(-10)^2-4(5)(-3)=100+60=160\)। ऋणात्मक \(c\) होने के कारण \(-4ac\) का मान धनात्मक हो जाता है। परीक्षा-युक्ति: विविक्तकर निकालते समय \(b\) का चिह्न पहले लिखकर उसका वर्ग करें। / Comparing the equation with \(ax^2+bx+c=0\), we get \(a=5\), \(b=-10\), and \(c=-3\). Thus, \(D=b^2-4ac=(-10)^2-4(5)(-3)=100+60=160\). Since \(c\) is negative, the term \(-4ac\) becomes positive. Exam tip: write the sign of \(b\) explicitly before squaring it.
दिए गए समीकरण से \(x^2-6x=7\) प्राप्त होता है। दोनों पक्षों में 9 जोड़ने पर \(x^2-6x+9=16\), अर्थात् \((x-3)^2=16\)। इसलिए \(x-3=\pm4\), जिससे \(x=7\) या \(x=-1\) प्राप्त होते हैं। विकल्प C में दिए मूलों का योग 7 है, जबकि इस समीकरण में मूलों का योग 6 होना चाहिए। परीक्षा-युक्ति: पूर्ण वर्ग विधि में \(\pm\) चिन्ह से दोनों संभावित मूल अवश्य निकालें। / From the equation, \(x^2-6x=7\). Adding 9 to both sides gives \(x^2-6x+9=16\), or \((x-3)^2=16\). Hence, \(x-3=\pm4\), so the roots are \(x=7\) and \(x=-1\). Option C is incorrect because its roots have a sum of 7, whereas the sum of the roots of this equation must be 6. Exam tip: In the completing-square method, use the \(\pm\) sign to obtain both roots.
दिए गए समीकरण का गुणनखंडन \(3x^2-10x-8=(3x+2)(x-4)\) है। अतः \((3x+2)(x-4)=0\) से \(x=-\frac{2}{3}\) या \(x=4\) प्राप्त होता है। इसलिए विकल्प A सही है; विकल्प B में दोनों मूलों के चिह्न गलत हैं। परीक्षा में गुणनखंड बनाने के बाद प्रत्येक गुणनखंड को शून्य रखकर मूल निकालें। / The factorisation of the equation is \(3x^2-10x-8=(3x+2)(x-4)\). Thus, \((3x+2)(x-4)=0\) gives \(x=-\frac{2}{3}\) or \(x=4\). Therefore, option A is correct; both signs are incorrect in option B. Exam tip: after factorising, set each factor equal to zero to obtain the roots.
(7x + 1)(x + 1) को विस्तार करने पर 7x² + 7x + x + 1 = 7x² + 8x + 1 प्राप्त होता है, इसलिए विकल्प A सही है। विकल्प C में x² का गुणांक 1 होता है, जबकि विकल्प D का विस्तार 7x² + 15x + 8 देता है। परीक्षा में गुणनखंडों का विस्तार करके मूल बहुपद से मिलान करें। / Expanding (7x + 1)(x + 1) gives 7x² + 7x + x + 1 = 7x² + 8x + 1, so option A is correct. In option C, the coefficient of x² is 1, while option D expands to 7x² + 15x + 8. In exams, verify factorisation by expanding the factors and comparing the result with the original polynomial.
दोनों पक्षों को 5 से भाग देने पर \(x^2=16\) प्राप्त होता है। अतः वर्गमूल लेने पर \(x=\pm\sqrt{16}=\pm4\), इसलिए विकल्प A सही है। केवल \(x=4\) या केवल \(x=-4\) लिखना एक मूल छोड़ देना है। परीक्षा-युक्ति: वर्गमूल लेते समय धनात्मक और ऋणात्मक दोनों चिह्न अवश्य लिखें। / Dividing both sides by 5 gives \(x^2=16\). Taking square roots, \(x=\pm\sqrt{16}=\pm4\), so option A is correct. Writing only \(x=4\) or only \(x=-4\) omits one root, while \(\pm16\) results from an incorrect calculation. Exam tip: always include both the positive and negative signs when taking the square root of a positive number.
द्विघात बहुपद का गुणनखंड करने पर \(x^2+2x-24=(x+6)(x-4)\) मिलता है। अतः \((x+6)(x-4)=0\) से \(x=-6\) या \(x=4\), इसलिए विकल्प A सही है। विकल्प B में दोनों मूलों के चिह्न उलट गए हैं। परीक्षा में गुणनखंडों को शून्य के बराबर रखकर दोनों मूल अवश्य जाँचें। / Factoring the quadratic gives \(x^2+2x-24=(x+6)(x-4)\). Thus, \((x+6)(x-4)=0\) gives \(x=-6\) or \(x=4\), so option A is correct. In option B, the signs of both roots are reversed. In an exam, set each factor equal to zero to obtain and check both roots.
वियत के योग प्रमेय के अनुसार, मूलों का योग \(-p\) के बराबर होता है। यहाँ \((-4)+(-5)=-9\), इसलिए \(-p=-9\) और \(p=9\)। विकल्प B मूलों के योग को सीधे \(p\) मान लेने से प्राप्त होता है। परीक्षा में \(x^2+px+q=0\) के लिए मूलों का योग हमेशा \(-p\) याद रखें। / By Vieta’s sum-of-roots relation, the sum of the roots is \(-p\). Here, \((-4)+(-5)=-9\), so \(-p=-9\) and hence \(p=9\). Option B results from incorrectly taking the root sum as \(p\) instead of \(-p\). In exams, remember that for \(x^2+px+q=0\), the sum of the roots is \(-p\).
दिए गए समीकरण को गुणनखंडित करने पर \(x^2-16x+28=(x-2)(x-14)\) मिलता है। इसलिए \(x-2=0\) या \(x-14=0\), अतः मूल \(x=2,14\) हैं। विकल्प D में संख्याओं का योग 14 है, जबकि मूलों का योग 16 होना चाहिए। परीक्षा में मूलों की जाँच के लिए उनका योग \(16\) और गुणनफल \(28\) अवश्य मिलाएँ। / Factoring the equation gives \(x^2-16x+28=(x-2)(x-14)\). Thus, \(x-2=0\) or \(x-14=0\), so the roots are \(x=2,14\). In option D, the sum of the numbers is 14, whereas the sum of the roots must be 16. As an exam tip, verify the roots using their sum \(16\) and product \(28\).
द्विघात समीकरण \\(ax^2+bx+c=0\\) में विविक्तकर का सूत्र \\(D=b^2-4ac\\) होता है। यहाँ \\(a=2, b=-7, c=1\\) हैं, इसलिए \\(D=(-7)^2-4(2)(1)=49-8=41\\)। विकल्प B में केवल \\(b^2=49\\) लिया गया है और \\(4ac\\) घटाया नहीं गया। परीक्षा में पहले \\(a,b,c\\) पहचानकर सूत्र में उनके चिह्नों सहित मान रखें। / For a quadratic equation \\(ax^2+bx+c=0\\), the discriminant is \\(D=b^2-4ac\\). Here, \\(a=2, b=-7, c=1\\), so \\(D=(-7)^2-4(2)(1)=49-8=41\\). Option B results from taking only \\(b^2=49\\) and not subtracting \\(4ac\\). In an exam, identify \\(a,b,c\\) first and substitute their signed values carefully.
द्विघात समीकरण का मानक रूप ax² + bx + c = 0 होता है। दिए गए समीकरण में 7x को बाईं ओर लाने पर उसका चिह्न बदलकर −7x हो जाता है: 2x² − 7x + 1 = 0। इसलिए विकल्प A सही है। ध्यान रखें कि किसी पद को समीकरण के दूसरी ओर ले जाने पर उसका चिह्न बदल जाता है। / The standard form of a quadratic equation is ax² + bx + c = 0. Moving 7x to the left changes its sign to −7x, giving 2x² − 7x + 1 = 0. Therefore, option A is correct. Exam tip: the sign of a term changes whenever it is transposed to the other side of the equation.
पहचान \(a^2-2ab+b^2=(a-b)^2\) का प्रयोग करने पर \(25x^2-20x+4=(5x)^2-2(5x)(2)+2^2=(5x-2)^2\) मिलता है। इसलिए सही पूर्ण वर्ग रूप \((5x-2)^2=0\) है। विकल्प B में मध्य पद \(+20x\) होता, जबकि विकल्प C और D में पहला पद क्रमशः \(625x^2\) और \(x^2\) बनता है। परीक्षा-टिप: पूर्ण वर्ग पहचान में मध्य पद का चिन्ह अवश्य जाँचें। / Using the identity \(a^2-2ab+b^2=(a-b)^2\), we get \(25x^2-20x+4=(5x)^2-2(5x)(2)+2^2=(5x-2)^2\). Hence, the correct perfect-square form is \((5x-2)^2=0\). In option B, the middle term would be \(+20x\), while options C and D have incorrect leading terms, \(625x^2\) and \(x^2\), respectively. Exam tip: Always check the sign and coefficient of the middle term when applying a perfect-square identity.
मानक रूप \(ax^2+bx+c=0 \) से (a=3,b=-6,c=-2 ) मिलते हैं। इसलिए (D=b-2-4ac=(-6)2-4(3)(-2)=36+24=60 )। ध्यान रखें कि (c ) ऋणात्मक होने पर (-4ac ) का मान धनात्मक हो जाता है; इसी कारण 36 में 24 जोड़ा जाता है। / Comparing the equation with \(ax^2+bx+c=0 \), we get (a=3,b=-6,c=-2 ). Thus, (D=b-2-4ac=(-6)2-4(3)(-2)=36+24=60 ). Since (c ) is negative, the term (-4ac ) becomes positive, so 24 must be added to 36 rather than subtracted. Exam tip: identify (a,b,c ) with their signs before applying the formula.
दिए गए समीकरण को \(x^2-8x+16=1\) लिखने पर \((x-4)^2=1\) मिलता है। अतः \(x-4=\pm1\), इसलिए \(x=5\) या \(x=3\)। विकल्प C में मूलों का योग सही है, लेकिन उनका गुणनफल \(7\) है, जबकि आवश्यक गुणनफल \(15\) होना चाहिए। परीक्षा में पूर्ण वर्ग विधि में \(\pm\) से दोनों मूल अवश्य निकालें। / Rearranging the equation gives \(x^2-8x+16=1\), so \((x-4)^2=1\). Therefore, \(x-4=\pm1\), which gives \(x=5\) or \(x=3\). In option C, the sum of the roots is correct, but their product is \(7\), not the required \(15\). In exams, remember to consider both signs of \(\pm\) when completing the square.
दिए गए व्यंजक का गुणनखंडन करें: \\(2x^2-3x-2=(2x+1)(x-2)\\)। अतः \\(2x+1=0\\) से \\(x=-\frac{1}{2}\\) और \\(x-2=0\\) से \\(x=2\\) प्राप्त होता है। इसलिए विकल्प A सही है। परीक्षा-युक्ति: गुणनखंडों को शून्य के बराबर करके मूल निकालें और दोनों मूलों को मूल समीकरण में रखकर जाँच लें। / Factorise the expression as \\(2x^2-3x-2=(2x+1)(x-2)\\). Thus, \\(2x+1=0\\) gives \\(x=-\frac{1}{2}\\), and \\(x-2=0\\) gives \\(x=2\\). Therefore, option A is correct. Exam tip: Set each factor equal to zero and verify both roots in the original equation; option B has the signs reversed and is therefore incorrect.
\((5x+1)(x+1)=5x^2+5x+x+1=5x^2+6x+1\), इसलिए विकल्प A सही है। विकल्प D का विस्तार \(5x^2+11x+6\) होता है, इसलिए वह सही नहीं है। परीक्षा में गुणनखंडों को वापस गुणा करके मूल द्विघात से मिलान करें। / \((5x+1)(x+1)=5x^2+5x+x+1=5x^2+6x+1\), so option A is correct. Option D expands to \(5x^2+11x+6\), so it does not match the given equation. In an exam, multiply the factors back to verify them.
दिए गए समीकरण को 3 से भाग देने पर \(x^2=4\) प्राप्त होता है। अतः वर्गमूल लेने पर \(x=\pm\sqrt{4}=\pm2\), इसलिए दोनों मूल \(2\) और \(-2\) हैं। विकल्प B और C में से प्रत्येक केवल एक मूल दर्शाता है, जबकि द्विघात समीकरण के दोनों मूल लिखने आवश्यक हैं। परीक्षा-युक्ति: \(x^2=a\) से \(x=\pm\sqrt{a}\) लिखना न भूलें। / Dividing the equation by 3 gives \(x^2=4\). Taking square roots, \(x=\pm\sqrt{4}=\pm2\), so the two roots are 2 and −2. Options B and C show only one of the two roots, while option D results from an incorrect square-root calculation. Exam tip: whenever \(x^2=a\), write \(x=\pm\sqrt{a}\) to include both roots.
दिया गया समीकरण \\(x^2+4x-12=0\\) को \\(x^2+6x-2x-12=0\\) लिखकर \\( (x+6)(x-2)=0 \\) मिलता है। अतः \\(x=-6\\) या \\(x=2\\), इसलिए विकल्प A सही है। विकल्प B में दोनों मूलों के चिह्न गलत हैं। परीक्षा में गुणनखंडों का गुणनफल स्थिर पद \\(-12\\) और योग \\(4\\) होना चाहिए। / Factor the equation as \\(x^2+6x-2x-12=0\\), giving \\( (x+6)(x-2)=0 \\). Therefore, \\(x=-6\\) or \\(x=2\\), so option A is correct. In option B, the signs of both roots are incorrect. As an exam check, the roots should have sum \\(-4\\) and product \\(-12\\).
दिए गए मूलों से समीकरण के गुणनखंड \((x+3)(x+4)\) होंगे। विस्तार करने पर \(x^2+7x+12=0\) मिलता है, इसलिए \(p=7\) है। विकल्प B में मूलों का योग \(-7\) लिया गया है, जबकि \(p\) उसका ऋणात्मक होता है। परीक्षा-युक्ति: \(x^2+px+q=0\) में मूलों का योग \(-p\) होता है। / The factors corresponding to the roots are \((x+3)(x+4)\). Expanding gives \(x^2+7x+12=0\), so \(p=7\). Option B incorrectly uses the sum of the roots, \(-7\), whereas the coefficient is its negative. Exam tip: for \(x^2+px+q=0\), the sum of the roots is \(-p\).
दिए गए समीकरण को पूर्ण वर्ग के रूप में लिखें: \(x^2-12x+20=(x-6)^2-16=0\)। अतः \((x-6)^2=16\), इसलिए \(x-6=\pm4\) और \(x=2\) या \(x=10\)। विकल्प C में दिए गए मानों का योग 12 है, लेकिन उनका गुणनफल 32 है, जबकि मूलों का गुणनफल 20 होना चाहिए। परीक्षा-टिप: द्विघात समीकरण में \(\pm\) से प्राप्त दोनों मान अवश्य लिखें। / Write the equation by completing the square: \(x^2-12x+20=(x-6)^2-16=0\). Thus, \((x-6)^2=16\), so \(x-6=\pm4\), giving \(x=2\) or \(x=10\). The values in option C have sum 12 but product 32, whereas the product of the roots must be 20. Exam tip: always include both values obtained from \(\pm\) in a quadratic equation.
द्विघात समीकरण \(ax^2+bx+c=0\) के लिए विविक्तकर का सूत्र \(D=b^2-4ac\) है। यहाँ \(a=4\), \(b=-8\) और \(c=-1\), इसलिए \(D=(-8)^2-4(4)(-1)=64+16=80\)। विकल्प 48 में \(-4ac\) के स्थान पर गलत रूप से \(+4ac\) का प्रभाव लिया गया है। परीक्षा-युक्ति: जब \(c\) ऋणात्मक हो, तो \(-4ac\) का मान धनात्मक हो जाता है। / For a quadratic equation \(ax^2+bx+c=0\), the discriminant is \(D=b^2-4ac\). Here, \(a=4\), \(b=-8\), and \(c=-1\), so \(D=(-8)^2-4(4)(-1)=64+16=80\). The value 48 results from incorrectly treating the contribution of \(-4ac\) as negative. Exam tip: when \(c\) is negative, \(-4ac\) contributes a positive value.
पहचान \(a^2-2ab+b^2=(a-b)^2\) का प्रयोग करें। यहाँ \(9x^2=(3x)^2\), \(25=5^2\) और बीच का पद \(-30x=-2\cdot3x\cdot5\) है। इसलिए \(9x^2-30x+25=(3x-5)^2\), अतः सही रूप \((3x-5)^2=0\) है। विकल्प B में बीच का पद धनात्मक होता। परीक्षा में पहले पहले और अंतिम पदों के वर्गमूल लेकर बीच के पद का \(\pm2ab\) से मिलान करें। / Use the identity \(a^2-2ab+b^2=(a-b)^2\). Here, \(9x^2=(3x)^2\), \(25=5^2\), and the middle term is \(-30x=-2\cdot3x\cdot5\). Therefore, \(9x^2-30x+25=(3x-5)^2\), so the equation becomes \((3x-5)^2=0\). Option B would produce a positive middle term. In exams, take the square roots of the first and last terms and verify the middle term using \(\pm2ab\).
