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मानक रूप \(ax^2+bx+c=0\) से \(a=2\), \(b=-4\) और \(c=-3\) हैं। इसलिए \(D=b^2-4ac=(-4)^2-4(2)(-3)=16+24=40\)। ऋणात्मक \(c\) के कारण \(-4ac\) का मान धनात्मक हो जाता है। परीक्षा-युक्ति: पहले \(a,b,c\) के चिह्न सही पहचानें; केवल \(b^2=16\) लेना गलत है। / In the standard form \(ax^2+bx+c=0\), we have \(a=2\), \(b=-4\), and \(c=-3\). Thus, \(D=b^2-4ac=(-4)^2-4(2)(-3)=16+24=40\). Since \(c\) is negative, the term \(-4ac\) becomes positive. Exam tip: identify the signs of \(a\), \(b\), and \(c\) before substituting; taking only \(b^2=16\) is incorrect.
पहचान \((a-b)^2=a^2-2ab+b^2\) का प्रयोग करने पर \(4x^2-12x+9=(2x-3)^2\) मिलता है। इसलिए दिया गया समीकरण \((2x-3)^2=0\) है। विकल्प B में मध्य पद धनात्मक होता, जबकि यहाँ \(-12x\) है। परीक्षा में पहले पहले और अंतिम पदों के वर्गमूल लेकर मध्य पद का मिलान करें। / Using the identity \((a-b)^2=a^2-2ab+b^2\), we get \(4x^2-12x+9=(2x-3)^2\). Hence the equation becomes \((2x-3)^2=0\). In option B, the middle term would be positive, whereas the given middle term is \(-12x\). In exams, take the square roots of the first and last terms and then verify the middle term.
दिए गए समीकरण को इस प्रकार लिखें: \(x^2+6x+9=8\), अर्थात \((x+3)^2=8\)। इसलिए \(x+3=\pm\sqrt{8}=\pm2\sqrt{2}\), अतः \(x=-3\pm2\sqrt{2}\)। विकल्प D में \(\sqrt{8}\) को गलत रूप से \(\sqrt{2}\) माना गया है। परीक्षा-युक्ति: पूर्ण वर्ग बनाते समय \(x\) के गुणांक के आधे का वर्ग जोड़ें। / Rewrite the equation as \(x^2+6x+9=8\), so \((x+3)^2=8\). Thus, \(x+3=\pm\sqrt{8}=\pm2\sqrt{2}\), giving \(x=-3\pm2\sqrt{2}\). Option D misses the factor 2 while simplifying \(\sqrt{8}\). Exam tip: to complete the square, add the square of half the coefficient of \(x\).
\((x+5)^2=x^2+2(5)x+5^2=x^2+10x+25\)। इसकी तुलना \(x^2+10x+k\) से करने पर \(k=25\) मिलता है। विकल्प 5, वर्ग के अंदर का स्थिरांक है, जबकि \(k\) उसका वर्ग यानी 25 है। परीक्षा-युक्ति: \((x+a)^2=x^2+2ax+a^2\) में अंतिम पद \(a^2\) होता है। / \((x+5)^2=x^2+2(5)x+5^2=x^2+10x+25\). Comparing this with \(x^2+10x+k\) gives \(k=25\). The distractor 5 is the constant inside the bracket, whereas \(k\) is its square. Exam tip: in \((x+a)^2=x^2+2ax+a^2\), the constant term is \(a^2\).
दोनों पक्षों को 12 से भाग देने पर \(x^2=9\) प्राप्त होता है। इसलिए \(x=\pm\sqrt{9}=\pm3\), अर्थात् \(x=3\) और \(x=-3\)। केवल \(x=3\) लिखना अधूरा है क्योंकि ऋणात्मक मान का वर्ग भी 9 होता है। परीक्षा में वर्गमूल लेते समय दोनों धनात्मक और ऋणात्मक मान अवश्य लिखें। / Dividing both sides by 12 gives \(x^2=9\). Therefore, \(x=\pm\sqrt{9}=\pm3\), so the two solutions are \(x=3\) and \(x=-3\). Writing only \(x=3\) is incomplete because the square of \(-3\) is also 9. In exams, remember to include both the positive and negative square roots.
समीकरण के दोनों पक्षों को 12 से भाग देने पर \(\frac{12x^2}{12}=\frac{108}{12}\), इसलिए \(x^2=9\) प्राप्त होता है। आगे हल करने पर \(x=\pm3\) मिलता है। परीक्षा में किसी पद का गुणांक हटाने के लिए दोनों पक्षों पर समान संक्रिया करना याद रखें। / Dividing both sides of the equation by 12 gives \(\frac{12x^2}{12}=\frac{108}{12}\), so \(x^2=9\). Solving further gives \(x=\pm3\). In an exam, remember to perform the same operation on both sides of an equation.
पूर्ण वर्ग सूत्र (a+b)2=a-2+2ab+b-2 का उपयोग करें। यहाँ a=x और b=12 लेने पर (x+12)2=x-2+2(x)(12)+122=x-2+24x+144 मिलता है। इसलिए सही उत्तर A है। ध्यान रखें कि (x-12)2 में मध्य पद -24x होगा, इसलिए वह सही नहीं है। परीक्षा-युक्ति: स्थिर पद का वर्गमूल लेकर मध्य पद से उसका दोगुना गुणनफल जाँचें। / Use the perfect-square identity (a+b)2=a-2+2ab+b-2. Taking a=x and b=12 gives (x+12)2=x-2+2(x)(12)+122=x-2+24x+144. Therefore, option A is correct. Note that (x-12)2 would have the middle term -24x, so it is not correct. Exam tip: take the square root of the constant term and verify twice its product with the variable term.
\(x\) के गुणांक 24 का आधा 12 है। पूर्ण वर्ग बनाने के लिए उसके आधे का वर्ग जोड़ा जाता है: \(\left(\frac{24}{2}\right)^2=12^2=144\)। इसलिए दोनों पक्षों में 144 जोड़ा जाएगा। ध्यान रखें कि 12 आधा गुणांक है, जबकि जोड़ी जाने वाली संख्या 144 है। / The coefficient of \(x\) is 24, so its half is 12. To complete the square, we add the square of this half: \(\left(\frac{24}{2}\right)^2=12^2=144\). Therefore, 144 is added to both sides. Remember that 12 is the half of the coefficient, while 144 is the number added.
वर्गमूल लेने पर \\(x-4=\\pm 5\\) मिलता है। इसलिए \\(x-4=5\\) से \\(x=9\\), और \\(x-4=-5\\) से \\(x=-1\\) प्राप्त होता है। विकल्प B में 4 को सही ढंग से जोड़ने के बजाय गलत मान निकाले गए हैं। परीक्षा में वर्गमूल लेते समय हमेशा दोनों \\(\\pm\\) स्थितियाँ लिखें। / Taking square roots gives \\(x-4=\\pm 5\\). Thus, \\(x-4=5\\) gives \\(x=9\\), while \\(x-4=-5\\) gives \\(x=-1\\). Option B results from handling the addition of 4 incorrectly. In exams, remember to include both \\(\\pm\\) cases when taking a square root.
द्विघात समीकरण का गुणनखंड करने पर \\(3x^2-11x+6=(3x-2)(x-3)\\) मिलता है। अतः \\(3x-2=0\\) से \\(x=\frac{2}{3}\\) और \\(x-3=0\\) से \\(x=3\\) प्राप्त होता है। इसलिए विकल्प A सही है। विकल्प D में \\(\frac{2}{3}\\) के स्थान पर गलत रूप से \\(\frac{3}{2}\\) दिया गया है। परीक्षा में गुणनखंडों को शून्य के बराबर रखकर प्रत्येक मूल अलग-अलग निकालें। / Factoring the quadratic gives \\(3x^2-11x+6=(3x-2)(x-3)\\). Therefore, \\(3x-2=0\\) gives \\(x=\frac{2}{3}\\), and \\(x-3=0\\) gives \\(x=3\\). Hence, option A is correct. Option D incorrectly uses \\(\frac{3}{2}\\) instead of \\(\frac{2}{3}\\). In an exam, set each factor equal to zero and solve for the roots separately.
\((3x-2)(x-3)\) का विस्तार करने पर \(3x^2-9x-2x+6=3x^2-11x+6\) मिलता है, इसलिए विकल्प A सही है। विकल्प C का विस्तार \(3x^2-9x+6\) होता है, जिसमें \(x\) का गुणांक गलत है। परीक्षा में गुणनखंडों का विस्तार करके बीच वाले पद और अचर पद दोनों की जाँच करें। / Expanding \((3x-2)(x-3)\) gives \(3x^2-9x-2x+6=3x^2-11x+6\), so option A is correct. Option C expands to \(3x^2-9x+6\), whose coefficient of \(x\) is incorrect. In an exam, expand the factors to check both the middle term and the constant term.
वर्गमूल लेने पर \(x=\pm\sqrt{169}=\pm13\), इसलिए \(x=13\) और \(x=-13\) दोनों हल हैं। केवल \(x=13\) लिखना अधूरा है, क्योंकि धनात्मक और ऋणात्मक दोनों संख्याओं का वर्ग 169 होता है। परीक्षा में \(x^2=a\) के लिए दोनों मान \(x=\pm\sqrt{a}\) अवश्य लिखें। / Taking square roots gives \(x=\pm\sqrt{169}=\pm13\), so both \(x=13\) and \(x=-13\) are solutions. Writing only \(x=13\) is incomplete because both the positive and negative numbers have square 169. In an exam, remember to write both values as \(x=\pm\sqrt{a}\) when \(x^2=a\).
\(x^2+7x+10\) का गुणनखंड \((x+5)(x+2)\) है। अतः \((x+5)(x+2)=0\) से \(x=-5\) या \(x=-2\) प्राप्त होते हैं। विकल्प B में चिह्न गलत हैं; \(x+a=0\) होने पर \(x=-a\) होता है। परीक्षा-युक्ति: गुणनखंडों के स्थिर पदों का गुणनफल 10 और योग 7 होना चाहिए। / The factorisation of \(x^2+7x+10\) is \((x+5)(x+2)\). Therefore, \((x+5)(x+2)=0\) gives \(x=-5\) or \(x=-2\). Option B has the wrong signs; from \(x+a=0\), we get \(x=-a\). Exam tip: check that the constant terms multiply to 10 and add to 7.
मानक रूप \(ax^2+bx+c=0\) से \(a=1\), \(b=2\) और \(c=1\) हैं। इसलिए \(D=b^2-4ac=2^2-4(1)(1)=4-4=0\), अतः विकल्प A सही है। विकल्प D में केवल \(b^2=4\) लिया गया है और \(4ac\) घटाया नहीं गया। परीक्षा-टिप: \(D=0\) होने पर द्विघात समीकरण के दोनों मूल समान होते हैं। / In the standard form \(ax^2+bx+c=0\), \(a=1\), \(b=2\), and \(c=1\). Therefore, \(D=b^2-4ac=2^2-4(1)(1)=4-4=0\), so option A is correct. Option D results from taking only \(b^2=4\) and not subtracting \(4ac\). Exam tip: When \(D=0\), the quadratic equation has equal roots.
समीकरण को गुणनखंडित करने पर \(9x^2-27x=9x(x-3)=0\) मिलता है। शून्य गुणनफल नियम के अनुसार \(x=0\) या \(x-3=0\), अर्थात \(x=3\)। इसलिए मूल \(0\) और \(3\) हैं। विकल्प B में \(-3\) गलत है, क्योंकि \(x=3\) से ही दूसरा गुणनखंड शून्य होता है। परीक्षा में ऐसे प्रश्नों में पहले सामान्य गुणनखंड निकालकर शून्य गुणनफल नियम लगाएँ। / Factoring the equation gives \(9x^2-27x=9x(x-3)=0\). By the zero-product rule, \(x=0\) or \(x-3=0\), which gives \(x=3\). Therefore, the roots are \(0\) and \(3\). Option B is incorrect because the second root is positive \(3\), not \(-3\). In an exam, factor out the common term first and then apply the zero-product rule.
\(x^2-121=0\) को \(x^2-11^2=0\) लिखकर \((x-11)(x+11)=0\) मिलता है। अतः \(x=11\) या \(x=-11\), अर्थात् \(x=\pm 11\)। विकल्प B गलत है क्योंकि 121, \(x\) का नहीं बल्कि \(x^2\) का मान बनता है। परीक्षा में \(121=11^2\) पहचानकर वर्गों के अंतर का उपयोग करें। / Rewrite \(x^2-121=0\) as \(x^2-11^2=0\). Then \((x-11)(x+11)=0\), so \(x=11\) or \(x=-11\), that is, \(x=\pm 11\). Option B is incorrect because 121 is the value of \(x^2\), not of \(x\). In an exam, recognize \(121=11^2\) and use the difference-of-squares method.
मानक रूप \(ax^2+bx+c=0\) से \(a=4\) और \(c=3\) हैं। इसलिए \(ac=4\times3=12\)। विकल्प 13, \(b\) का मान है, जबकि 3 केवल \(c\) का मान है। परीक्षा में मध्य पद विभाजन से पहले \(ac\) अवश्य निकालें। / Comparing the equation with the standard form \(ax^2+bx+c=0\), we get \(a=4\) and \(c=3\). Therefore, \(ac=4\times3=12\). The value 13 is \(b\), while 3 is only \(c\). Exam tip: find \(ac\) before splitting the middle term.
समीकरण को गुणनखंडित करने पर \(4x^2+28x=4x(x+7)=0\) मिलता है। शून्य गुणनफल नियम के अनुसार \(4x=0\) से \(x=0\) और \(x+7=0\) से \(x=-7\) प्राप्त होता है। इसलिए विकल्प A सही है। विकल्प B में \(-7\) का चिह्न गलत है। परीक्षा में सामान्य गुणक निकालने के बाद दोनों गुणनखंडों को शून्य के बराबर अवश्य रखें। / Factoring the equation gives \(4x^2+28x=4x(x+7)=0\). By the zero-product property, \(4x=0\) gives \(x=0\), and \(x+7=0\) gives \(x=-7\). Therefore, option A is correct. In option B, the sign of \(-7\) is incorrect. In an exam, remember to set both factors equal to zero after factoring.
\((a+b)^2=a^2+2ab+b^2\) के अनुसार \((x+9)^2=x^2+18x+81\), क्योंकि \(2\times 9=18\) और \(9^2=81\)। इसलिए सही रूप \((x+9)^2=0\) है। \((x-9)^2\) में मध्य पद \(-18x\) होता है। परीक्षा-युक्ति: पूर्ण वर्ग पहचानते समय स्थिर पद के वर्गमूल और मध्य पद के गुणांक का मिलान करें। / Using \((a+b)^2=a^2+2ab+b^2\), we get \((x+9)^2=x^2+18x+81\), since \(2\times 9=18\) and \(9^2=81\). Therefore, the correct form is \((x+9)^2=0\). The closest distractor, \((x-9)^2\), has the middle term \(-18x\), not \(+18x\). Exam tip: for a perfect square, compare the square root of the constant term with half the coefficient of \(x\).
वर्गमूल विधि से \(x^2=144\) लेने पर \(x=\pm\sqrt{144}=\pm12\) प्राप्त होता है। इसलिए दोनों हल \(x=12\) और \(x=-12\) हैं। विकल्प B और C में केवल एक-एक हल दिया गया है, जबकि विकल्प D में \(\sqrt{144}\) का मान गलत है। परीक्षा में किसी धनात्मक संख्या का वर्गमूल लेते समय \(\pm\) चिह्न लगाना न भूलें। / Taking square roots on both sides of \(x^2=144\) gives \(x=\pm\sqrt{144}=\pm12\). Thus, the two solutions are \(x=12\) and \(x=-12\). Options B and C give only one solution each, while option D uses an incorrect value for \(\sqrt{144}\). Exam tip: when solving \(x^2=a\) for positive \(a\), remember both roots, \(x=\pm\sqrt{a}\).
\((x-3)^2=x^2-6x+9\) होता है। दिए गए व्यंजक \(x^2-6x+k\) से तुलना करने पर \(k=9\) प्राप्त होता है। इसलिए सही विकल्प A है। परीक्षा-टिप: \((x-a)^2=x^2-2ax+a^2\) में स्थिर पद \(a^2\) होता है। / Expanding the perfect square gives \((x-3)^2=x^2-6x+9\). Comparing this with \(x^2-6x+k\), the constant term is \(k=9\). Therefore, option A is correct. Exam tip: in \((x-a)^2=x^2-2ax+a^2\), the constant term is \(a^2\).
दोनों पक्षों को 8 से भाग देने पर \(x^2=9\) मिलता है। इसलिए \(x=\pm\sqrt{9}=\pm3\), अर्थात् \(x=3\) और \(x=-3\) दोनों हल हैं। केवल \(x=3\) या केवल \(x=-3\) लिखना अधूरा है। परीक्षा में वर्गमूल लेते समय धनात्मक और ऋणात्मक दोनों मान अवश्य लिखें। / Dividing both sides by 8 gives \(x^2=9\). Therefore, \(x=\pm\sqrt{9}=\pm3\), so both \(x=3\) and \(x=-3\) are solutions. Writing only \(x=3\) or only \(x=-3\) is incomplete. Exam tip: remember to include both positive and negative values when taking the square root of a positive number.
समीकरण \(8x^2=72\) के दोनों पक्षों को 8 से भाग देने पर \(x^2=9\) प्राप्त होता है। इसके बाद वर्गमूल लेने पर \(x=\pm3\) मिलता है। विकल्प B में 72 को 8 से भाग नहीं दिया गया है, इसलिए वह सही नहीं है। परीक्षा में पहले \(x^2\) के गुणांक को हटाने के लिए दोनों पक्षों को उसी संख्या से भाग दें। / Dividing both sides of \(8x^2=72\) by 8 gives \(x^2=9\). Taking square roots then gives \(x=\pm3\). Option B is incorrect because 72 has not been divided by 8. In an exam, first remove the coefficient of \(x^2\) by performing the same operation on both sides.
\\((x+8)^2=x^2+2\cdot8x+8^2=x^2+16x+64\\) होता है, इसलिए सही उत्तर A है। विकल्प B में मध्य पद \\-16x\ आता है, जबकि दिए गए व्यंजक में \\(+16x\\) है। परीक्षा में पूर्ण वर्ग पहचानने के लिए स्थिर पद का वर्गमूल लेकर उसके दुगुने गुणनफल से मध्य पद जाँचें। / \\((x+8)^2=x^2+2\cdot8x+8^2=x^2+16x+64\\), so option A is correct. Option B would produce the middle term \\-16x\, not the given \\(+16x\\). In an exam, identify a perfect square by taking the square root of the constant term and checking whether twice that number gives the middle-term coefficient.
\(x\) के गुणांक 16 का आधा 8 है और उसका वर्ग \(8^2=64\) होता है। इसलिए दोनों पक्षों में 64 जोड़ने पर \(x^2+16x+64=(x+8)^2\) प्राप्त होता है। 8 केवल आधा गुणांक है, जोड़ने वाली संख्या नहीं। परीक्षा-युक्ति: \(x^2+bx\) को पूर्ण वर्ग बनाने के लिए \(\left(\frac{b}{2}\right)^2\) जोड़ें। / The coefficient of \(x\) is 16. Its half is 8, and the square of 8 is \(8^2=64\). Thus, adding 64 to both sides gives \(x^2+16x+64=(x+8)^2\). The number 8 is only half the coefficient, not the number to be added. Exam tip: For \(x^2+bx\), add \(\left(\frac{b}{2}\right)^2\) to complete the square.
वर्गमूल लेने पर \\(x+3=\\pm4\\) प्राप्त होता है। इसलिए दो स्थितियाँ होंगी: \\(x+3=4\\), जिससे \\(x=1\\), और \\(x+3=-4\\), जिससे \\(x=-7\\)। अतः सही उत्तर A है। विकल्प B में दिए मान मूल समीकरण को संतुष्ट नहीं करते। परीक्षा में वर्गमूल लेते समय धनात्मक और ऋणात्मक, दोनों स्थितियाँ अवश्य लिखें। / Taking the square root gives \\(x+3=\\pm4\\). Thus, \\(x+3=4\\) gives \\(x=1\\), while \\(x+3=-4\\) gives \\(x=-7\\). Therefore, option A is correct. The values in option B do not satisfy the original equation. In an exam, remember to consider both the positive and negative square-root cases.
बहुपद का गुणनखंडन \(2x^2-7x+5=(2x-5)(x-1)\) है। अतः \((2x-5)(x-1)=0\) से \(x=\frac{5}{2}\) या \(x=1\) प्राप्त होते हैं। विकल्प D में दिए गए मूल समीकरण को संतुष्ट नहीं करते। परीक्षा में उत्तर जाँचने के लिए प्राप्त मूलों को मूल समीकरण में रखकर सत्यापित करें। / The factorisation is \(2x^2-7x+5=(2x-5)(x-1)\). Therefore, \((2x-5)(x-1)=0\) gives \(x=\frac{5}{2}\) or \(x=1\). The values in option D do not satisfy the original equation. As an exam tip, substitute the obtained roots back into the equation to verify them.
मध्य पद को \(-2x-5x\) में बाँटने पर \(2x^2-7x+5=2x^2-2x-5x+5=(2x-5)(x-1)\) प्राप्त होता है। इसलिए समीकरण का गुणनखंड रूप \((2x-5)(x-1)=0\) है। विकल्प C का विस्तार करने पर मध्य पद \(-11x\) आता है, इसलिए वह गलत है। परीक्षा में गुणनखंड चुनने के बाद उसका विस्तार करके मूल बहुपद अवश्य जाँचें। / Split the middle term as \(-2x-5x\): \(2x^2-7x+5=2x^2-2x-5x+5=(2x-5)(x-1)\). Hence, the factorised equation is \((2x-5)(x-1)=0\). Option C is incorrect because its expansion gives the middle term \(-11x\), not \(-7x\). As an exam tip, expand the factors once to verify the middle term and constant term.
वर्गमूल लेने पर \(x=\pm\sqrt{121}=\pm 11\), इसलिए \(x=11\) और \(x=-11\) दोनों हल हैं। केवल \(x=11\) लिखना अधूरा है, क्योंकि \((-11)^2\) भी 121 होता है; वहीं \(\pm121\) में मूल निकालने की प्रक्रिया गलत है। परीक्षा-युक्ति: \(x^2=a\) में, जब \(a>0\), दोनों वर्गमूल \(x=\pm\sqrt{a}\) अवश्य लिखें। / Taking square roots gives \(x=\pm\sqrt{121}=\pm 11\), so both \(x=11\) and \(x=-11\) are solutions. Writing only \(x=11\) is incomplete because \((-11)^2\) is also 121; \(\pm121\) results from not taking the square root. Exam tip: for \(x^2=a\) with \(a>0\), always write both roots as \(x=\pm\sqrt{a}\).
समीकरण को गुणनखंडित करने पर \(x^2+4x+3=(x+1)(x+3)\) मिलता है। इसलिए \((x+1)(x+3)=0\) से \(x=-1\) या \(x=-3\), अतः मूल \(\{-1,-3\}\) हैं। विकल्प B में चिह्न की गलती है; \(x+1=0\) से \(x=-1\) होता है। परीक्षा-युक्ति: प्रत्येक रैखिक गुणनखंड को शून्य के बराबर रखकर मूल निकालें। / Factoring gives \(x^2+4x+3=(x+1)(x+3)\). Thus, \((x+1)(x+3)=0\) implies \(x=-1\) or \(x=-3\), so the roots are \(\{-1,-3\}\). Option B has the signs reversed; \(x+1=0\) gives \(x=-1\). Exam tip: Set each linear factor equal to zero to find the roots.
