Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है
B. लंबे ऐतिहासिक समय को दर्ज करने के लिए/To record long historical time
Explanation
Simple Explanation
लंबी गणना प्रणाली लंबी तिथियों और राजकीय घटनाओं को दर्ज करने में सहायक थी। परीक्षा में माया कालगणना को उन्नत मानें। / The Long Count system helped record long dates and royal events. For exams treat Maya chronology as advanced.
A. लंबी अवधि की तिथि गणना और खगोलीय समझ/Long-term date reckoning and astronomical understanding
Explanation
Simple Explanation
लांग काउंट कैलेंडर लंबी तिथि गणना के लिए प्रसिद्ध है। परीक्षा में इसे माया गणित और खगोल से जोड़ें। / The Long Count calendar is famous for long-term date reckoning. Link it with Maya mathematics and astronomy.
A. लंबी अवधि की तिथि गणना/Long-term date reckoning
Explanation
Simple Explanation
लांग काउंट कैलेंडर लंबी तिथि गणना में उपयोगी था। परीक्षा में इसे माया गणित और खगोल ज्ञान से जोड़ें। / The Long Count calendar was useful for long date reckoning. Link it with Maya mathematics and astronomy.
लांग काउंट कैलेंडर लंबी अवधि की तिथियों को दर्ज करने के लिए उपयोगी था। परीक्षा में इसे माया खगोल और गणना से जोड़ें। / The Long Count calendar was useful for recording long periods of dates. Link it with Maya astronomy and calculation.
A. लंबे समय की तिथियों को दर्ज करने के लिए/Recording long periods of dates
Explanation
Simple Explanation
लांग काउंट कैलेंडर लंबी तिथि गणना के लिए उपयोगी था। परीक्षा में इसे माया गणना और खगोल ज्ञान से जोड़ें। / The Long Count calendar was useful for long date reckoning. Connect it with Maya mathematics and astronomy.
A. वे संबद्ध आर्थिक संस्थाएं हैं मुख्य चार्टर अंग नहीं/They are affiliated economic institutions not principal Charter organs
Explanation
Simple Explanation
विश्व बैंक और आई एम एफ संयुक्त राष्ट्र प्रणाली से जुड़े आर्थिक संस्थान हैं पर छह प्रमुख अंग नहीं हैं। परीक्षा में संस्था प्रकार याद रखें। / The World Bank and IMF are economic institutions linked with the UN system but not principal organs. Exam tip: remember institution types.
लद्दाख का उच्च पठारी क्षेत्र ट्रांस-हिमालय से जुड़ा है। परीक्षा में इसे ठंडे मरुस्थलीय उच्च क्षेत्र के रूप में याद रखें। / The high plateau region of Ladakh is associated with the Trans-Himalaya. For exams, remember it as a cold desert highland.
लद्दाख का उच्च पठारी क्षेत्र ट्रांस-हिमालय से जुड़ा है। परीक्षा में इसे ठंडे मरुस्थलीय उच्च क्षेत्र के रूप में याद रखें। / The high plateau region of Ladakh is associated with the Trans-Himalaya. For exams, remember it as a cold desert highland.
लद्दाख का उच्च पठारी क्षेत्र ट्रांस-हिमालय से जुड़ा है। परीक्षा में इसे शुष्क और ऊंचे पर्वतीय मरुस्थल के रूप में याद रखें। / The high plateau region of Ladakh is associated with the Trans-Himalaya. For exams, remember it as a dry high mountain desert.
भाबर हिमालय की तलहटी में कंकड़ पत्थर वाले निक्षेपों का क्षेत्र है। परीक्षा में भाबर और तराई का क्रम याद रखें। / Bhabar is a belt of pebble deposits at the foothills of the Himalayas. For exams remember the order of Bhabar and Terai.
B. क्योंकि वहाँ जातीय संघर्ष, स्वतंत्रता की मांग और बड़ी शक्तियों की प्रतिस्पर्धा साथ-साथ मौजूद थी/Because ethnic conflicts, demands for freedom, and rivalry of great powers existed together
Step 1
Concept
बाल्कन में कई समूह अपने अलग राष्ट्र चाहते थे। / Many groups in the Balkans wanted their own nations.
Step 2
Why this answer is correct
बड़ी शक्तियां भी वहां प्रभाव बढ़ा रही थीं। / Great powers were also increasing influence there.
Step 3
Exam Tip
इसी कारण छोटा विवाद भी बड़े युद्ध का कारण बन सकता था। / So even a small dispute could lead to a major war.
कायमूर श्रेणी और भांडेर पठार विंध्य क्षेत्र से जुड़े हैं। परीक्षा में इन्हें मध्य भारत की भौतिक इकाइयों में रखें। / Kaimur Range and Bhander Plateau are associated with the Vindhyan region. For exams, place them among physical units of Central India.
कायमूर श्रेणी विंध्य क्षेत्र से जुड़ी है। परीक्षा में इसे मध्य और पूर्वी भारत की भौतिक इकाई के रूप में याद रखें। / The Kaimur Range is associated with the Vindhyan region. For exams, remember it as a physical unit of Central and Eastern India.
A. कर्नाटक के प्राचीन चट्टानी पठारी भाग के रूप में/As an old rocky plateau region of Karnataka
Explanation
Simple Explanation
धारवाड़ क्षेत्र दक्षिण भारत के प्राचीन चट्टानी पठारों से जुड़ा है। परीक्षा में इसे कर्नाटक पठार और खनिज क्षेत्र से याद रखें। / The Dharwar region is linked with old rocky plateaus of South India. For exams, remember it with Karnataka Plateau and mineral regions.
कायमूर और भांडेर विंध्य क्षेत्र से जुड़े भौतिक भाग हैं। परीक्षा में इन्हें मध्य भारत की पर्वतीय-पठारी इकाइयों में रखें। / Kaimur and Bhander are physical units associated with the Vindhyan region. For exams, place them among Central India’s mountain-plateau units.
A. यह कर्नाटक के प्राचीन चट्टानी पठारी भाग से जुड़ा है/It is associated with old rocky plateau parts of Karnataka
Explanation
Simple Explanation
धारवाड़ क्षेत्र दक्षिण भारत के प्राचीन चट्टानी पठारों से जुड़ा है। परीक्षा में इसे कर्नाटक पठार और खनिज क्षेत्र से याद रखें। / The Dharwar region is linked with old rocky plateaus of South India. For exams, remember it with Karnataka Plateau and mineral regions.
कायमूर श्रेणी और भांडेर पठार विंध्य क्षेत्र से जुड़े हैं। परीक्षा में इन्हें मध्य भारत की भौतिक इकाइयों में रखें। / Kaimur Range and Bhander Plateau are associated with the Vindhyan region. For exams, place them among the physical units of Central India.
भांडेर पठार विंध्य क्षेत्र के पठारी भाग से जुड़ा है। परीक्षा में इसे मध्य भारत के पठारों में याद रखें। / Bhander Plateau is associated with the plateau part of the Vindhyan region. For exams, remember it among the plateaus of Central India.
कायमूर श्रेणी विंध्य क्षेत्र से जुड़ी मानी जाती है। परीक्षा में इसे मध्य और पूर्वी भारत के पर्वतीय भाग में याद रखें। / Kaimur Range is considered associated with the Vindhyan region. For exams, remember it in the mountain region of Central and Eastern India.
रीवा पठार मध्य भारत के पठारी भाग से जुड़ा है। परीक्षा में इसे विंध्य क्षेत्र के आसपास याद रखें। / Rewa Plateau is associated with the plateau region of Central India. For exams, remember it around the Vindhyan region.
अमरकंटक पठार नर्मदा नदी के उद्गम क्षेत्र के रूप में प्रसिद्ध है। परीक्षा में इसे सोन नदी से भी जोड़कर याद रखें। / Amarkantak Plateau is famous as the source region of the Narmada River. For exams, also connect it with the Son River.
अमरकंटक पठार नर्मदा नदी के उद्गम क्षेत्र के रूप में प्रसिद्ध है। परीक्षा में इसे सोन और नर्मदा दोनों से भी जोड़कर याद करें। / The Amarkantak Plateau is famous as the source region of the Narmada River. For exams, also connect it with both Son and Narmada.
लूनी नदी पश्चिमी राजस्थान के शुष्क क्षेत्र से जुड़ी है। परीक्षा में लूनी को थार मरुस्थल के पास याद रखें। / Luni River is associated with the dry region of western Rajasthan. For exams remember Luni near the Thar Desert.
A. भूमिगत जल का सतह के पास आना/Groundwater coming near the surface
Explanation
Simple Explanation
तराई में भाबर से आया जल सतह के पास मिलता है। परीक्षा में भाबर और तराई का अंतर याद रखें। / In Terai water from Bhabar appears near the surface. For exams remember the difference between Bhabar and Terai.
A. भूमिगत जल सतह के पास आ जाता है/Groundwater comes near the surface
Explanation
Simple Explanation
तराई में पानी सतह के पास होने से नम और दलदली दशाएं बनती हैं। परीक्षा में तराई को भाबर के दक्षिण में याद रखें। / In Terai water remains near the surface creating moist and marshy conditions. For exams remember Terai south of Bhabar.
B. तराई नम दलदली और जल से भरपूर है/Terai is moist marshy and water rich
Explanation
Simple Explanation
तराई भाबर के दक्षिण में नम और दलदली क्षेत्र है। परीक्षा में भाबर कंकड़ वाला और तराई नम याद रखें। / Terai is a moist and marshy belt south of Bhabar. For exams remember Bhabar as pebbly and Terai as moist.
तराई भाबर के दक्षिण में स्थित नम और दलदली क्षेत्र है। परीक्षा में भाबर और तराई का क्रम याद रखें। / Terai is a moist and marshy region south of Bhabar. For exams remember the order of Bhabar and Terai.
भाबर के दक्षिण में तराई क्षेत्र पाया जाता है। परीक्षा में भाबर के बाद तराई का क्रम याद रखें। / The Terai region is found south of Bhabar. For exams remember Terai comes after Bhabar.
थार मरुस्थल शुष्क और रेतीला क्षेत्र है। परीक्षा में राजस्थान और कम वर्षा याद रखें। / The Thar Desert is a dry and sandy region. For exams remember Rajasthan and low rainfall.
तराई भाबर के दक्षिण में स्थित नम और दलदली क्षेत्र है। परीक्षा में तराई को कृषि और वन से जोड़ें। / Terai is a moist and marshy belt south of Bhabar. For exams connect Terai with agriculture and forests.
A. ऐतिहासिक अंगूर उत्पादन और तहखाना संस्कृति/Historic viticulture and cellar culture
Explanation
Simple Explanation
टोकाज क्षेत्र हंगरी की पारंपरिक वाइन उत्पादन संस्कृति से जुड़ा है। परीक्षा में उत्पादन परिदृश्य याद रखें। / Tokaj region is linked with Hungary's traditional wine production culture. For exams remember production landscape.
माया क्षेत्र मेसोअमेरिका में था जो उत्तरी अमेरिका के हिस्से में आता है। परीक्षा में इसे मध्य अमेरिका क्षेत्र से जोड़ें। / The Maya region was in Mesoamerica, part of North America. In exams, link it with Central America.
A. भाषा प्रशासन शिक्षा रोजगार और सांस्कृतिक सम्मान से जुड़ी थी/Language was linked with administration education employment and cultural respect
Explanation
Simple Explanation
भाषा नीति अवसर और पहचान दोनों को प्रभावित करती है। परीक्षा में सांस्कृतिक राष्ट्र निर्माण याद रखें। / Language policy affects both opportunity and identity. For exams remember cultural nation building.
B. 2014 में दो और 2024 में पांच नाम थे/2014 had two names and 2024 had five names
Explanation
Simple Explanation
2014 में दो प्राप्तकर्ता थे जबकि 2024 में पांच नाम घोषित हुए। परीक्षा में हाल के वर्षों की संख्या याद रखें। / There were two recipients in 2014 while five names were announced in 2024. Remember the counts of recent years.
2024 में पांच व्यक्तियों के नाम भारत रत्न के लिए घोषित हुए। परीक्षा में 2024 की संख्या विशेष रूप से याद रखें। / In 2024 five persons were announced for the Bharat Ratna. Remember the 2024 count especially.
2024 में पांच व्यक्तियों के नाम घोषित हुए जो इस सूची में सबसे बड़ा समूह है। परीक्षा में 2024 की संख्या विशेष रूप से याद रखें। / In 2024 five names were announced making it the largest group in this list. Remember the 2024 count especially.
2019 में तीन और 2024 में पांच व्यक्तियों को भारत रत्न मिला या घोषित किया गया। परीक्षा में हाल के वर्षों की संख्या याद रखें। / In 2019 three persons and in 2024 five persons received or were announced for the Bharat Ratna. Remember the recent year counts.
यहाँ (D=4(a+4)2-4\(a^2+8a+20\)=-16<0) है। इसलिए वास्तविक मूलों की संख्या (0) है। / Here (D=4(a+4)2-4\(a^2+8a+20\)=-16<0). So the number of real roots is (0).
किसी भी वास्तविक (t) के लिए \(t^2+4>0\), इसलिए (D<0) है। अतः वास्तविक मूल (0) होंगे। / For any real (t), \(t^2+4>0\), so (D<0). Hence the number of real roots is (0).
इसमें (D=-19<0) है इसलिए कोई वास्तविक मूल नहीं है। (D<0) दिखते ही वास्तविक मूल (0) लिखें। / Here (D=-19<0), so there is no real root. When (D<0), write (0) real roots.
क्योंकि (D=-16<0) है इसलिए वास्तविक मूल (0) हैं। परीक्षा में (D<0) दिखते ही यही निष्कर्ष लिखें। / Because (D=-16<0), the number of real roots is (0). In exams write this conclusion as soon as (D<0) appears.
(D=0) होने पर दोनों मूल समान होते हैं इसलिए अलग वास्तविक मूल (1) होता है। समान और भिन्न में अंतर याद रखें। / When (D=0), both roots are equal, so there is (1) different real root. Remember the difference between equal and distinct.
(D=0) पर दोनों मूल समान होते हैं, इसलिए अलग-अलग वास्तविक मूलों की संख्या (1) है। ध्यान रखें मूल दो बार दोहरता है। / At (D=0), both roots are equal, so the number of distinct real roots is (1). Remember the root is repeated.
(-12), (4), (15) पर फलन मान (0) है। टिप: (p(-2)=6) को शून्यक न मानें। / The function value is (0) at (-12), (4), and (15). Tip: do not treat (p(-2)=6) as a zero.
वास्तविक शून्यक (x)-अक्ष कटानों से गिने जाते हैं, (y)-अक्ष कटान से नहीं। टिप: ((0,25)) शून्यक नहीं बताता। / Real zeroes are counted from (x)-axis intersections, not from the (y)-axis intercept. Tip: ((0,25)) does not show a zero.
(-10), (3), (12) पर फलन मान (0) है। टिप: (p(-1)=4) को शून्यक न मानें। / The function value is (0) at (-10), (3), and (12). Tip: do not treat (p(-1)=4) as a zero.
वास्तविक शून्यक (x)-अक्ष कटानों से गिने जाते हैं, (y)-अक्ष कटान से नहीं। टिप: ((0,-20)) शून्यक नहीं बताता। / Real zeroes are counted from (x)-axis intersections, not from the (y)-axis intercept. Tip: ((0,-20)) does not show a zero.
(-9), (2), (6) पर फलन मान (0) है। टिप: (p(-4)=2) को शून्यक न मानें। / The function value is (0) at (-9), (2), and (6). Tip: do not treat (p(-4)=2) as a zero.
वास्तविक शून्यक (x)-अक्ष कटानों से गिने जाते हैं (y)-अक्ष कटान से नहीं। टिप: ((0,18)) शून्यक नहीं बताता। / Real zeroes are counted from (x)-axis intersections, not from the (y)-axis intercept. Tip: ((0,18)) does not show a zero.
(-7), (1), (4) पर फलन मान (0) है। टिप: (p(-3)=2) को शून्यक न मानें। / The function value is (0) at (-7), (1), and (4). Tip: do not treat (p(-3)=2) as a zero.
वास्तविक शून्यक (x)-अक्ष कटानों से गिने जाते हैं, (y)-अक्ष कटान से नहीं। टिप: ((0,-15)) शून्यक नहीं बताता। / Real zeroes are counted from (x)-axis intersections, not from the (y)-axis intercept. Tip: ((0,-15)) does not show a zero.
(-4), (2), (5) पर फलन मान (0) है। टिप: (p(0)=3) को शून्यक न मानें। / The function value is (0) at (-4), (2), and (5). Tip: do not treat (p(0)=3) as a zero.
वास्तविक शून्यक (x)-अक्ष कटानों से गिने जाते हैं, (y)-अक्ष कटान से नहीं। टिप: ((0,12)) शून्यक नहीं है। / Real zeroes are counted from (x)-axis intersections, not from the (y)-axis intercept. Tip: ((0,12)) is not a zero.
पाँच अलग वास्तविक शून्यकों के लिए घात कम से कम (5) होनी चाहिए। टिप: शून्यकों की संख्या घात से अधिक नहीं हो सकती। / For five distinct real zeroes the degree must be at least (5). Tip: the number of zeroes cannot exceed the degree.
तीन अलग (x)-मान तीन अलग (x)-अक्ष बिंदु देते हैं। टिप: (p(a)=0) से ((a,0)) मिलता है। / Three distinct (x)-values give three distinct (x)-axis points. Tip: (p(a)=0) gives ((a,0)).
हर अलग कटान या स्पर्श बिंदु एक अलग वास्तविक शून्यक देता है। टिप: अलग बिंदुओं को गिनें। / Each distinct crossing or touching point gives a distinct real zero. Tip: count distinct points.
चार अलग वास्तविक शून्यकों के लिए घात कम से कम (4) होना चाहिए। टिप: शून्यकों की संख्या घात से अधिक नहीं हो सकती। / For four distinct real zeroes, the degree must be at least (4). Tip: the number of zeroes cannot exceed the degree.
कटान केवल एक है इसलिए एक वास्तविक शून्यक है। टिप: घन बहुपद में अधिकतम तीन वास्तविक शून्यक हो सकते हैं, जरूरी नहीं कि तीन हों। / There is only one intersection, so there is one real zero. Tip: a cubic can have at most three real zeroes, not necessarily three.
तीन अलग (x)-मान तीन अलग (x)-अक्ष बिंदु देते हैं। टिप: अलग शून्यक अलग कटान बिंदु बनाते हैं। / Three distinct (x)-values give three distinct (x)-axis points. Tip: distinct zeroes make distinct intersection points.
घात (4) वाला बहुपद अधिकतम (4) वास्तविक शून्यक रख सकता है। टिप: वास्तविक शून्यकों की संख्या घात से अधिक नहीं होती। / A degree (4) polynomial can have at most (4) real zeroes. Tip: the number of real zeroes cannot exceed the degree.
वास्तविक शून्यक केवल (x)-अक्ष कटान से गिने जाते हैं। टिप: (y)-अक्ष कटान को शून्यक में न जोड़ें। / Real zeroes are counted only from (x)-axis intersections. Tip: do not add the (y)-axis intercept to zeroes.
केवल एक (x)-अक्ष कटान दिख रहा है इसलिए एक वास्तविक शून्यक है। टिप: संख्या बिंदुओं की गिनती से आती है। / Only one (x)-axis intersection is visible so there is one real zero. Tip: the count comes from the number of points.
संख्याओं को (18m) और (18n) मानें, जहाँ (m) और (n) सहाभाज्य होंगे। / Let the numbers be (18m) and (18n), where (m) and (n) are coprime.
Step 2
Why this answer is correct
(18mn=6930), इसलिए \(mn=385=5\times7\times11\)। तीन अलग अभाज्य गुणनखंडों से (4) अव्यवस्थित सहाभाज्य जोड़े बनते हैं। / (18mn=6930), so \(mn=385=5\times7\times11\). Three distinct prime factors give (4) unordered coprime pairs.
Step 3
Exam Tip
जोड़े गिनते समय क्रम को दो बार न गिनें। / Do not count the reversed order again.
संख्याओं को (30m) और (30n) मानें, जहाँ (m) और (n) सहाभाज्य होंगे। / Let the numbers be (30m) and (30n), where (m) and (n) are coprime.
Step 2
Why this answer is correct
(30mn=2730), इसलिए \(mn=91=7\times13\); अव्यवस्थित सहाभाज्य जोड़े ((1,91)) और ((7,13)) हैं। / (30mn=2730), so \(mn=91=7\times13\); the unordered coprime pairs are ((1,91)) and ((7,13)).
Step 3
Exam Tip
जोड़ों की गिनती में उल्टे क्रम को अलग न गिनें। / Do not count reversed order as a new pair.
संख्याओं को (21m) और (21n) मानें, जहाँ (m) और (n) सहाभाज्य होंगे। / Let the numbers be (21m) and (21n), where (m) and (n) are coprime.
Step 2
Why this answer is correct
(21mn=2310), इसलिए \(mn=110=2\times5\times11\)। तीन अलग अभाज्य गुणनखंडों से (4) अव्यवस्थित सहाभाज्य जोड़े बनते हैं। / (21mn=2310), so \(mn=110=2\times5\times11\). Three distinct prime factors give (4) unordered coprime pairs.
Step 3
Exam Tip
जोड़े गिनते समय क्रम को दो बार न गिनें। / Do not count the reversed order again.
संख्याओं को (48m) और (48n) मानें, जहाँ (m) और (n) सहाभाज्य होंगे। / Let the numbers be (48m) and (48n), where (m) and (n) are coprime.
Step 2
Why this answer is correct
(48mn=2112), इसलिए \(mn=44=2^2\times11\); सहाभाज्य अव्यवस्थित जोड़े ((1,44)) और ((4,11)) हैं, इसलिए संख्या (2) है। / (48mn=2112), so \(mn=44=2^2\times11\); the unordered coprime pairs are ((1,44)) and ((4,11)), so the count is (2).
Step 3
Exam Tip
समान अभाज्य गुणनखंड दोनों भागों में न जाने दें। / Do not split the same prime factor into both parts.
संख्याओं को (42m) और (42n) मानें, जहाँ (m) और (n) सहाभाज्य होंगे। / Let the numbers be (42m) and (42n), where (m) and (n) are coprime.
Step 2
Why this answer is correct
(42mn=2772), इसलिए \(mn=66=2\times3\times11\)। तीन अलग अभाज्य गुणनखंडों को दो समूहों में बाँटने से (4) अव्यवस्थित जोड़े मिलते हैं। / (42mn=2772), so \(mn=66=2\times3\times11\). Splitting three distinct prime factors into two groups gives (4) unordered pairs.
Step 3
Exam Tip
जोड़ों की गिनती में यह जरूर देखें कि (m) और (n) सहाभाज्य रहें। / While counting pairs, make sure (m) and (n) remain coprime.
संख्याओं को (15m) और (15n) मानें, जहाँ (m) और (n) सहाभाज्य होंगे। / Let the numbers be (15m) and (15n), where (m) and (n) are coprime.
Step 2
Why this answer is correct
(15mn=420), इसलिए \(mn=28=2^2\times7\); सहाभाज्य अव्यवस्थित जोड़े ((1,28)) और ((4,7)) हैं, इसलिए संख्या (2) है। / (15mn=420), so \(mn=28=2^2\times7\); the unordered coprime pairs are ((1,28)) and ((4,7)), so the count is (2).
Step 3
Exam Tip
(m) और (n) में समान अभाज्य नहीं आना चाहिए। / (m) and (n) must not share a prime factor.
संख्याओं को (18m) और (18n) मानें, जहाँ (m) और (n) सहाभाज्य होंगे। / Let the numbers be (18m) and (18n), where (m) and (n) are coprime.
Step 2
Why this answer is correct
(18mn=1260), इसलिए \(mn=70=2\times5\times7\); इसके अव्यवस्थित सहाभाज्य जोड़े (4) बनते हैं। / (18mn=1260), so \(mn=70=2\times5\times7\); this gives (4) unordered coprime factor pairs.
Step 3
Exam Tip
वर्गमुक्त गुणनफल में अव्यवस्थित जोड़े गिनते समय अभाज्य गुणनखंडों को दो भागों में बाँटें। / For a square-free product, split prime factors into two groups to count unordered pairs.
यदि \(d=2^a\times3^b\times7^c\), तो \(d^2=2^{2a}\times3^{2b}\times7^{2c}\) होगा। / If \(d=2^a\times3^b\times7^c\), then \(d^2=2^{2a}\times3^{2b}\times7^{2c}\).
Step 2
Why this answer is correct
\(2a\le6\), \(2b\le2\), \(2c\le2\), इसलिए (a=0,1,2,3) चार तरीके, (b=0,1) दो तरीके, (c=0,1) दो तरीके। कुल \(4\times2\times2=16\)। / Conditions are \(2a\le6\), \(2b\le2\), \(2c\le2\), so choices are (4,2,2). Total (=16).
Step 3
Exam Tip
वर्ग विभाजन में घातों को दुगना करके सीमा लगाएं। / For square divisibility, double the exponents and compare.
(5) से विभाज्य गुणनखंड में (5) की घात कम से कम (1) होगी। / A factor divisible by (5) must have power of (5) at least (1).
Step 2
Why this answer is correct
(2) के लिए (4) तरीके, (3) के लिए (3) तरीके, और (5) के लिए (1,2,3,4) यानी (4) तरीके। कुल \(4\times3\times4=48\)। / Choices are (4) for (2), (3) for (3), and (4) for (5). Total \(=4\times3\times4=48\).
Step 3
Exam Tip
शर्त वाले अभाज्य की शून्य घात को शामिल न करें। / Do not include zero power for the required prime.
A. मध्य-पूर्वी प्रायद्वीपीय पठारी भाग/Central-eastern Peninsular plateau region
Explanation
Simple Explanation
बस्तर और दंडकारण्य मध्य-पूर्वी प्रायद्वीपीय पठारी भागों से जुड़े हैं। परीक्षा में इन्हें छत्तीसगढ़ ओडिशा और आंध्र क्षेत्र के संदर्भ में पढ़ें। / Bastar and Dandakaranya are linked with central-eastern peninsular plateau parts. For exams, study them in the context of Chhattisgarh, Odisha, and Andhra region.
A. वे उत्तर-पूर्व भारत के पूर्वांचल पर्वतीय तंत्र से जुड़ी हैं/They are linked with the Purvanchal mountain system of North-east India
Explanation
Simple Explanation
पटकाई और नागा पहाड़ियां उत्तर-पूर्व भारत की पूर्वांचल पहाड़ियों से जुड़ी हैं। परीक्षा में इन्हें भारत-म्यांमार दिशा के पर्वतीय क्षेत्र से जोड़ें। / Patkai and Naga Hills are associated with Purvanchal Hills of North-east India. For exams, connect them with the India-Myanmar direction mountain region.
B. उत्तर-पूर्व भारत की पहाड़ियां/Hills of North-east India
Explanation
Simple Explanation
बरैल मिश्मी अबोर और दाफला उत्तर-पूर्व भारत की पहाड़ी इकाइयों से जुड़े हैं। परीक्षा में इन्हें पूर्वांचल और अरुणाचल-असम क्षेत्र से जोड़ें। / Barail, Mishmi, Abor, and Dafla are associated with hill units of North-east India. For exams, connect them with Purvanchal and Arunachal-Assam region.
A. नर्मदा और सोन के उद्गम से संबंध/Relation with sources of Narmada and Son
Explanation
Simple Explanation
अमरकंटक नर्मदा और सोन जैसी नदियों के उद्गम से जुड़ा है। परीक्षा में इसे नदी उद्गम और जल-विभाजक क्षेत्र मानें। / Amarkantak is associated with the origins of rivers like Narmada and Son. For exams, treat it as a river source and watershed region.
काली मिट्टी और बेसाल्टिक चट्टानें दक्कन पठार के प्रमुख संकेत हैं। परीक्षा में कपास को दक्कन की काली मिट्टी से जोड़ें। / Black soil and basaltic rocks are major clues of the Deccan Plateau. For exams, connect cotton with Deccan black soil.
लद्दाख उच्च शुष्क और ठंडा पठार है जो ट्रांस-हिमालय से जुड़ा है। परीक्षा में इसे वर्षाछाया क्षेत्र मानें। / Ladakh is a high, dry, and cold plateau linked with the Trans-Himalaya. For exams, treat it as a rain-shadow region.
C. वे झारखंड और छोटा नागपुर से जुड़े पठारी-खनिज क्षेत्र हैं/They are plateau-mineral regions linked with Jharkhand and Chota Nagpur
Explanation
Simple Explanation
राजमहल और सिंहभूम पूर्वी भारत के पठारी और खनिज क्षेत्रों से जुड़े हैं। परीक्षा में इन्हें झारखंड क्षेत्र से जोड़ें। / Rajmahal and Singhbhum are linked with plateau and mineral regions of eastern India. For exams, connect them with the Jharkhand region.
A. कर्नाटक का पश्चिमी घाट क्षेत्र/Western Ghats region of Karnataka
Explanation
Simple Explanation
तीनों कर्नाटक के पश्चिमी घाट और पहाड़ी क्षेत्र से जुड़े हैं। परीक्षा में इन्हें कॉफी और जैव विविधता से जोड़ें। / All three are associated with the Western Ghats and hill region of Karnataka. For exams, connect them with coffee and biodiversity.
ऊटी दोडाबेट्टा और मुकुर्थी नीलगिरि पहाड़ियों से जुड़े नाम हैं। परीक्षा में नीलगिरि को दक्षिण भारत के घाट जंक्शन से जोड़ें। / Ooty, Doddabetta, and Mukurthi are names linked with the Nilgiri Hills. For exams, connect Nilgiri with the Ghats junction of South India.
A. दोनों सतपुड़ा क्षेत्र से जुड़े हैं/Both are associated with the Satpura region
Explanation
Simple Explanation
धूपगढ़ सतपुड़ा की प्रमुख चोटी है और पचमढ़ी इसी क्षेत्र का प्रसिद्ध स्थल है। परीक्षा में इन्हें मध्य प्रदेश से जोड़ें। / Dhupgarh is a major peak of Satpura and Pachmarhi is a famous place in the same region. For exams, connect them with Madhya Pradesh.
A. काराकोरम लद्दाख और जास्कर/Karakoram, Ladakh, and Zanskar
Explanation
Simple Explanation
काराकोरम लद्दाख और जास्कर ट्रांस-हिमालयी उच्च क्षेत्र से जुड़े हैं। परीक्षा में इन्हें हिमालय के पार के पर्वतों में रखें। / Karakoram, Ladakh, and Zanskar are linked with the high Trans-Himalayan region. For exams, place them among mountains beyond the Himalayas.
