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A. निष्कर्ष सही है, क्योंकि \(64<70<81\)।/The conclusion is correct, because \(64<70<81\).
Explanation
Simple Explanation
नीलम का निष्कर्ष सही है। \(8^2=64\) और \(9^2=81\) हैं। चूँकि \(64<70<81\), इसलिए वर्गमूल लेने पर \(8<\sqrt{70}<9\) प्राप्त होता है। विकल्प B गलत है, क्योंकि 70, \(7^2=49\) और \(8^2=64\) के बीच नहीं है। परीक्षा टिप: किसी वर्गमूल का स्थान ज्ञात करने के लिए उसके निकटवर्ती क्रमागत पूर्ण वर्गों की तुलना करें। / Neelam’s conclusion is correct. We have \(8^2=64\) and \(9^2=81\). Since \(64<70<81\), taking square roots gives \(8<\sqrt{70}<9\). Option B is incorrect because 70 does not lie between \(7^2=49\) and \(8^2=64\). Exam tip: locate a square root by comparing the number with consecutive perfect squares.
वर्गमूल सर्पिल में क्रमागत कर्ण \(\sqrt{2}, \sqrt{3}, \sqrt{4}, \ldots\) होते हैं। दिया गया नया कर्ण \(40=\sqrt{1600}\) है, इसलिए उससे ठीक पहले वाला कर्ण \(\sqrt{1599}\) होगा। \(\sqrt{1601}\) अगला कर्ण होता, जबकि \(\sqrt{1598}\) उससे एक चरण पहले का कर्ण है। परीक्षा टिप: पूर्ण संख्या को वर्गमूल के रूप में लिखने के लिए उसे \(\sqrt{n^2}\) के रूप में बदलें। / In a square root spiral, the successive hypotenuses are \(\sqrt{2}, \sqrt{3}, \sqrt{4}, \ldots\). Since the new hypotenuse is \(40=\sqrt{1600}\), the hypotenuse immediately before it is \(\sqrt{1599}\). \(\sqrt{1601}\) would be the next hypotenuse, while \(\sqrt{1598}\) is one step earlier. Exam tip: To place a whole number in this sequence, write it as \(\sqrt{n^2}\).
\(44^2=1936\) और \(45^2=2025\) हैं। क्योंकि \(1936<2023<2025\), इसलिए धनात्मक वर्गमूल लेने पर \(44<\sqrt{2023}<45\) प्राप्त होता है। \(43\) और \(44\) वाला अंतराल सही नहीं है, क्योंकि \(44^2\), 2023 से छोटा है। परीक्षा टिप: किसी वर्गमूल का अंतराल ज्ञात करने के लिए उसके निकट के दो क्रमागत पूर्ण वर्गों की तुलना करें। / We have \(44^2=1936\) and \(45^2=2025\). Since \(1936<2023<2025\), taking positive square roots gives \(44<\sqrt{2023}<45\). The interval between 43 and 44 is not correct because \(44^2\) is still less than 2023. Exam tip: To locate a square root, compare the number with consecutive perfect squares.
वर्गमूल सर्पिल में सीधे लंबाइयाँ नहीं जोड़ी जातीं। सही विधि पाइथागोरस प्रमेय से वर्गों का योग लेना है। / Lengths are not added directly in a square root spiral. The correct method is to add squares using Pythagoras theorem.
पाइथागोरस से \((\sqrt{n})^2+7^2=n+49\) होगा। नई लंब बदलने से सामान्य क्रम बदल जाता है। / By Pythagoras, \((\sqrt{n})^2+7^2=n+49\). Changing the perpendicular changes the usual sequence.
D. \(\sqrt{1225}\), ठीक (35) पर/\(\sqrt{1225}\), exactly at (35)
Explanation
Simple Explanation
नया कर्ण \(\sqrt{1225}\) है। क्योंकि \(\sqrt{1225}=35\), यह ठीक (35) पर स्थित होगा। / The new hypotenuse is \(\sqrt{1225}\). Since \(\sqrt{1225}=35\), it will be located exactly at (35).
B. \(\sqrt{528}\) 22 और 23 के बीच है, जबकि \(\sqrt{530}\) 23 और 24 के बीच है/\(\sqrt{528}\) lies between 22 and 23, whereas \(\sqrt{530}\) lies between 23 and 24
Explanation
Simple Explanation
क्योंकि \(22^2=484\) और \(23^2=529\) हैं तथा \(484<528<529\), इसलिए \(22<\sqrt{528}<23\)। इसी प्रकार \(23^2=529\) और \(24^2=576\) के बीच \(530\) आता है, अतः \(23<\sqrt{530}<24\)। इसलिए विकल्प B सही है। विकल्प C निकट का भ्रम पैदा कर सकता है, पर \(528<529\) होने से \(\sqrt{528}\), 23 से कम है। परीक्षा टिप: किसी वर्गमूल की स्थिति ज्ञात करने के लिए उसके आसपास के क्रमागत पूर्ण वर्गों की तुलना करें। / Since \(22^2=484\) and \(23^2=529\), and \(484<528<529\), we get \(22<\sqrt{528}<23\). Similarly, \(530\) lies between \(23^2=529\) and \(24^2=576\), so \(23<\sqrt{530}<24\). Hence, option B is correct. Option C may seem close, but \(528<529\) means that \(\sqrt{528}\) is less than 23. Exam tip: locate a square root by comparing the number with consecutive perfect squares.
वर्गमूल सर्पिल में \(\sqrt{1520}\) के बाद अगला कर्ण \(\sqrt{1521}\) होगा। क्योंकि \(1521=39^2\), इसलिए \(\sqrt{1521}=39\) है। \(38\) गलत है क्योंकि \(38^2=1444\), जबकि \(40^2=1600\) होता है। परीक्षा टिप: किसी वर्गमूल के पूर्णांक होने की जाँच के लिए उसके निकट के पूर्ण वर्गों की तुलना करें। / In a square root spiral, the hypotenuse after \(\sqrt{1520}\) is \(\sqrt{1521}\). Since \(1521=39^2\), we get \(\sqrt{1521}=39\). \(38\) is incorrect because \(38^2=1444\), while \(40^2=1600\). Exam tip: To check whether a square root is an integer, compare the number with nearby perfect squares.
यदि (k)वाँ कर्ण \(\sqrt{k}\) है, तो \(\sqrt{144}\) (144)वाँ कर्ण है। \(\sqrt{144}=12\) होता है। / If the (k)-th hypotenuse is \(\sqrt{k}\), then \(\sqrt{144}\) is the (144)-th hypotenuse. Also, \(\sqrt{144}=12\).
\((\sqrt{389})^2+1^2=390\) है। इसलिए \(\sqrt{390}\) के लिए पिछला कर्ण \(\sqrt{389}\) होगा। / \((\sqrt{389})^2+1^2=390\). So the previous hypotenuse for \(\sqrt{390}\) is \(\sqrt{389}\).
वर्गमूल सर्पिल में प्रत्येक नया कर्ण क्रमशः \(\sqrt{1}, \sqrt{2}, \sqrt{3}\) आदि के रूप में एक-एक बढ़ता है। इसलिए \(\sqrt{1295}\) के बाद अगला कर्ण \(\sqrt{1296}\) होगा। क्योंकि \(1296=36^2\), अतः \(\sqrt{1296}=36\) है। \(\sqrt{1297}\) अगला नहीं, उसके बाद का कर्ण होगा। परीक्षा टिप: क्रमागत कर्णों के अंदर की संख्या हमेशा 1 से बढ़ती है; फिर जाँचें कि वह संख्या पूर्ण वर्ग है या नहीं। / In a square root spiral, successive hypotenuses are \(\sqrt{1}, \sqrt{2}, \sqrt{3}\), and so on, with the number under the root increasing by 1 each time. Therefore, the hypotenuse after \(\sqrt{1295}\) is \(\sqrt{1296}\). Since \(1296=36^2\), \(\sqrt{1296}=36\). \(\sqrt{1297}\) comes one step later, not immediately after \(\sqrt{1295}\). Exam tip: increase the radicand by 1 first, then check whether it is a perfect square.
\(25^2=625\) तथा \(26^2=676\) हैं। क्योंकि \(625<675<676\), इसलिए \(25^2<675<26^2\) सही असमानता है और \(\sqrt{675}\), 25 तथा 26 के बीच स्थित होगा। विकल्प A गलत है क्योंकि \(675\), \(25^2=625\) से बड़ा है। परीक्षा टिप: किसी वर्गमूल का स्थान ज्ञात करने के लिए दिए गए संख्या के दोनों ओर के क्रमागत पूर्ण वर्गों की तुलना करें। / \(25^2=625\) and \(26^2=676\). Since \(625<675<676\), the correct inequality is \(25^2<675<26^2\), so \(\sqrt{675}\) lies between 25 and 26. Option A is incorrect because 675 is greater than \(25^2=625\). Exam tip: To locate a square root, compare the number with consecutive perfect squares.
वर्गमूल सर्पिल में \(\sqrt{n}\) के बाद अगला कर्ण \(\sqrt{n+1}\) होता है। दिया है कि यह कर्ण \(52\) है, इसलिए \(\sqrt{n+1}=52\)। दोनों पक्षों का वर्ग करने पर \(n+1=52^2=2704\) मिलता है। अतः \(n=2703\)। \(2704\) लेने पर कर्ण \(\sqrt{2705}\) होगा, इसलिए वह सही नहीं है। परीक्षा टिप: ऐसे प्रश्नों में कर्ण के वर्ग को पहले निकालें, फिर ‘बाद’ वाले अगले पद के कारण 1 घटाएँ। / In a square root spiral, the hypotenuse after \(\sqrt{n}\) is \(\sqrt{n+1}\). Since this hypotenuse is \(52\), \(\sqrt{n+1}=52\). Squaring gives \(n+1=52^2=2704\), so \(n=2703\). Taking \(2704\) would make the next hypotenuse \(\sqrt{2705}\), so it is not correct. Exam tip: square the given hypotenuse first, then subtract 1 because the question refers to the next term.
C. \(\sqrt{18}\rightarrow\sqrt{19}\rightarrow\sqrt{20}\rightarrow\sqrt{21}\rightarrow\sqrt{22}\)
Explanation
Simple Explanation
सर्पिल में कर्ण क्रमिक रूप से एक-एक बढ़ते हैं। सामान्य निर्माण में बीच के चरण नहीं छोड़े जाते। / Hypotenuses increase one by one in the spiral. In the usual construction, intermediate steps are not skipped.
B. \(\sqrt{440}\), \(20\) और \(21\) के बीच है तथा \(\sqrt{442}\), \(21\) और \(22\) के बीच है/\(\sqrt{440}\) lies between \(20\) and \(21\), and \(\sqrt{442}\) lies between \(21\) and \(22\)
Explanation
Simple Explanation
क्योंकि \(20^2=400\) और \(21^2=441\) हैं तथा \(400<440<441\), इसलिए \(20<\sqrt{440}<21\)। इसी प्रकार \(21^2=441\) और \(22^2=484\) तथा \(441<442<484\), इसलिए \(21<\sqrt{442}<22\)। अतः विकल्प B सही है। विकल्प C और D में दोनों वर्गमूलों को एक ही अंतराल में रखा गया है, जो गलत है। परीक्षा टिप: किसी वर्गमूल का स्थान ज्ञात करने के लिए उसके निकटतम पूर्ण वर्गों की तुलना करें। / Since \(20^2=400\) and \(21^2=441\), and \(400<440<441\), we get \(20<\sqrt{440}<21\). Similarly, \(21^2=441\) and \(22^2=484\), and \(441<442<484\), so \(21<\sqrt{442}<22\). Therefore, option B is correct. Options C and D incorrectly place both square roots in the same interval. Exam tip: locate a square root by comparing the number with the nearest perfect squares.
A. अगला कर्ण \(\sqrt{625}=25\) है और \(\sqrt{626}\) (25) और (26) के बीच है/The next hypotenuse is \(\sqrt{625}=25\), and \(\sqrt{626}\) lies between (25) and (26)
Explanation
Simple Explanation
\(\sqrt{624}\) के बाद \(\sqrt{625}=25\) बनता है। \(25^2<626<26^2\), इसलिए \(\sqrt{626}\) (25) और (26) के बीच है। / After \(\sqrt{624}\), \(\sqrt{625}=25\) is formed. Since \(25^2<626<26^2\), \(\sqrt{626}\) lies between (25) and (26).
C. \(\sqrt{2499}\), \(49\) और \(50\) के बीच है तथा \(\sqrt{2500}=50\) है/\(\sqrt{2499}\) lies between \(49\) and \(50\), and \(\sqrt{2500}=50\)
Explanation
Simple Explanation
क्योंकि \(49^2=2401\), \(2499\) से छोटा है और \(50^2=2500\), \(2499\) से बड़ा है, इसलिए \(49<\sqrt{2499}<50\)। दूसरी ओर, \(2500=50^2\) होने से \(\sqrt{2500}=50\) है। अतः विकल्प C सही है। विकल्प A में \(\sqrt{2499}\) को गलत रूप से \(50\) कहा गया है; यह \(50\) से थोड़ा कम है। परीक्षा टिप: किसी संख्या के वर्गमूल का अनुमान लगाने के लिए उसके निकटतम पूर्ण वर्गों की तुलना करें। / Since \(49^2=2401\) is less than \(2499\), while \(50^2=2500\) is greater than \(2499\), we get \(49<\sqrt{2499}<50\). On the other hand, \(2500=50^2\), so \(\sqrt{2500}=50\). Hence, option C is correct. Option A incorrectly states that \(\sqrt{2499}=50\); it is slightly less than \(50\). Exam tip: compare a number with nearby perfect squares to locate its square root.
अगला कर्ण \(\sqrt{256}\) होगा और \(\sqrt{256}=16\) है। पूर्ण वर्ग पर कर्ण पूर्ण संख्या बनता है। / The next hypotenuse is \(\sqrt{256}\), and \(\sqrt{256}=16\). At a perfect square, the hypotenuse becomes a whole number.
\(48^2=2304\) और \(49^2=2401\) हैं। क्योंकि \(2304<2400<2401\), इसलिए धनात्मक वर्गमूल लेने पर \(48<\sqrt{2400}<49\) प्राप्त होता है। \(49\) से कम होने का कारण यह है कि \(2400<49^2\) है। परीक्षा टिप: किसी संख्या के वर्गमूल का अंतराल ज्ञात करने के लिए उसके निकटवर्ती पूर्ण वर्गों की तुलना करें। / \(48^2=2304\) and \(49^2=2401\). Since \(2304<2400<2401\), taking positive square roots gives \(48<\sqrt{2400}<49\). It is less than \(49\) because \(2400<49^2\). Exam tip: To locate a square root, compare the number with consecutive perfect squares.
वर्गमूल सर्पिल में \(\sqrt{3480}\) के बाद अगला कर्ण \(\sqrt{3481}\) होगा। क्योंकि \(3481=59^2\), इसलिए \(\sqrt{3481}=59\) है। \(58^2=3364\) और \(60^2=3600\), अतः वे सही नहीं हैं। परीक्षा टिप: निकट की पूर्ण संख्याओं के वर्ग जाँचकर पूर्ण वर्ग को जल्दी पहचानें। / In a square root spiral, the hypotenuse after \(\sqrt{3480}\) is \(\sqrt{3481}\). Since \(3481=59^2\), \(\sqrt{3481}=59\). Also, \(58^2=3364\) and \(60^2=3600\), so neither is correct. Exam tip: check the squares of nearby integers to identify a perfect square quickly.
A. \(\sqrt{143}\) 11 और 12 के बीच है तथा \(\sqrt{170}\) 13 और 14 के बीच है/\(\sqrt{143}\) lies between 11 and 12, and \(\sqrt{170}\) lies between 13 and 14.
Explanation
Simple Explanation
क्योंकि \(11^2=121\) और \(12^2=144\), इसलिए \(121<143<144\) तथा \(11<\sqrt{143}<12\)। इसी प्रकार \(13^2=169\) और \(14^2=196\) से \(169<170<196\), अतः \(13<\sqrt{170}<14\)। इसलिए विकल्प A सही है। विकल्प D में \(\sqrt{170}\) को गलत अंतराल में रखा गया है। परीक्षा टिप: किसी वर्गमूल का अंतराल ज्ञात करने के लिए उसके निकटतम पूर्ण वर्गों की तुलना करें। / Since \(11^2=121\) and \(12^2=144\), we get \(121<143<144\), so \(11<\sqrt{143}<12\). Similarly, \(13^2=169\) and \(14^2=196\) give \(169<170<196\), so \(13<\sqrt{170}<14\). Hence, option A is correct. Option D incorrectly places \(\sqrt{170}\) between 12 and 13. Exam tip: To locate a square root, compare the number with the nearest perfect squares.
पाइथागोरस प्रमेय में भुजाओं के वर्ग जुड़ते हैं। इसलिए नया कर्ण \(\sqrt{85}\) बनता है। / In Pythagoras theorem, the squares of sides are added. Therefore the new hypotenuse becomes \(\sqrt{85}\).
\(64^2=4096\) और \(65^2=4225\) हैं। क्योंकि \(4096<4224<4225\), इसलिए धनात्मक वर्गमूल लेने पर \(64<\sqrt{4224}<65\) प्राप्त होता है। \(65\) के निकट होने पर भी \(4224<65^2\) है, इसलिए वर्गमूल \(65\) से छोटा होगा। परीक्षा टिप: किसी संख्या के वर्गमूल का अंतराल ज्ञात करने के लिए उसके दोनों ओर के क्रमागत पूर्ण वर्गों की तुलना करें। / We have \(64^2=4096\) and \(65^2=4225\). Since \(4096<4224<4225\), taking positive square roots gives \(64<\sqrt{4224}<65\). Although 4224 is very close to \(4225\), it is still less than \(65^2\), so its square root is less than 65. Exam tip: To locate a square root, compare the number with consecutive perfect squares.
A. नया कर्ण \(\sqrt{1936}\) है और इसका मान \(44\) है/The new hypotenuse is \(\sqrt{1936}\) and its value is \(44\)
Explanation
Simple Explanation
वर्गमूल सर्पिल में प्रत्येक नया समकोण त्रिभुज पिछली कर्ण-लंबाई के साथ \(1\) इकाई वाली भुजा जोड़कर बनता है। इसलिए यदि पिछला कर्ण \(\sqrt{1935}\) है, तो नए कर्ण का वर्ग \(1935+1=1936\) होगा। अतः नया कर्ण \(\sqrt{1936}\) है। क्योंकि \(44^2=1936\), इसका मान \(44\) है। विकल्प B में मूलांक सही है, पर मान गलत है। परीक्षा टिप: ऐसे प्रश्नों में पहले मूलांक में \(1\) जोड़ें, फिर जाँचें कि वह पूर्ण वर्ग है या नहीं। / In a square root spiral, each new right triangle is formed by adding a unit side to the previous hypotenuse. Hence, if the previous hypotenuse is \(\sqrt{1935}\), the square of the new hypotenuse is \(1935+1=1936\). Therefore, the new hypotenuse is \(\sqrt{1936}\). Since \(44^2=1936\), its value is \(44\). Option B has the correct radicand but an incorrect value. Exam tip: first add \(1\) to the radicand, then check whether the result is a perfect square.
\(59^2=3481\) और \(60^2=3600\) हैं। क्योंकि \(3481<3599<3600\), इसलिए \(59<\sqrt{3599}<60\)। अतः वर्गमूल सर्पिल में इसका स्थान 59 और 60 के बीच होगा। निकटतम विकल्प \(60<\sqrt{3599}<61\) गलत है, क्योंकि 3599, \(60^2\) से छोटा है। परीक्षा टिप: किसी वर्गमूल का स्थान ज्ञात करने के लिए उसके आसपास के क्रमागत पूर्ण वर्गों की तुलना करें। / We have \(59^2=3481\) and \(60^2=3600\). Since \(3481<3599<3600\), it follows that \(59<\sqrt{3599}<60\). Therefore, its position on the square root spiral is between 59 and 60. The close distractor \(60<\sqrt{3599}<61\) is incorrect because 3599 is less than \(60^2\). Exam tip: locate a square root by comparing the number with consecutive perfect squares.
A. \(\sqrt{1520}\), 38 और 39 के बीच है तथा \(\sqrt{1522}\), 39 और 40 के बीच है/\(\sqrt{1520}\) lies between 38 and 39, while \(\sqrt{1522}\) lies between 39 and 40.
Explanation
Simple Explanation
\(38^2=1444\), \(39^2=1521\) और \(40^2=1600\) हैं। क्योंकि \(1444<1520<1521\), इसलिए \(38<\sqrt{1520}<39\)। इसी प्रकार \(1521<1522<1600\), इसलिए \(39<\sqrt{1522}<40\)। अतः विकल्प A सही है। विकल्प B और C में दोनों वर्गमूलों को एक ही पूर्णांकों के बीच रखा गया है, जो सही नहीं है। परीक्षा टिप: किसी वर्गमूल का स्थान ज्ञात करने के लिए उसके निकटवर्ती पूर्ण वर्गों की तुलना करें। / We have \(38^2=1444\), \(39^2=1521\), and \(40^2=1600\). Since \(1444<1520<1521\), \(38<\sqrt{1520}<39\). Similarly, \(1521<1522<1600\), so \(39<\sqrt{1522}<40\). Therefore, option A is correct. Options B and C incorrectly place both square roots in the same interval. Exam tip: To locate a square root, compare the number with consecutive perfect squares.
पिछला कर्ण \(\sqrt{1368}\) है, इसलिए नया कर्ण \(\sqrt{1368+1}=\sqrt{1369}\) होगा। / The previous hypotenuse is \(\sqrt{1368}\), so the new hypotenuse is \(\sqrt{1368+1}=\sqrt{1369}\).
वर्गमूल सर्पिल में प्रत्येक नया कर्ण संबंधित संख्या का वर्गमूल होता है। क्योंकि \(1369=37\times37=37^2\), इसलिए \(\sqrt{1369}=37\) होगा। \(36\) गलत है क्योंकि \(36^2=1296\), जबकि \(38^2=1444\) होता है। परीक्षा टिप: किसी संख्या के पास के पूर्ण वर्गों को जाँचकर उसका वर्गमूल जल्दी पहचानें। / In a square root spiral, each new hypotenuse represents the square root of the corresponding number. Since \(1369=37\times37=37^2\), \(\sqrt{1369}=37\). Option 36 is incorrect because \(36^2=1296\), while \(38^2=1444\). Exam tip: check nearby perfect squares to identify a square root quickly.
वर्गमूल सर्पिल में यदि एक भुजा \(\sqrt{n}\) और दूसरी लंब भुजा 1 इकाई हो, तो नया कर्ण \(\sqrt{n+1}\) होता है। अतः \(\sqrt{3024}\) पर 1 इकाई लंब बनाने पर कर्ण \(\sqrt{3024+1}=\sqrt{3025}\) बनेगा। विकल्प \(\sqrt{3023}\) पिछली स्थिति को दर्शाता है, जबकि \(\sqrt{3026}\) अगली स्थिति होगी। परीक्षा टिप: प्रत्येक नए चरण में मूलांक में ठीक 1 की वृद्धि करें। / In a square root spiral, when one leg is \(\sqrt{n}\) and the perpendicular leg is 1 unit, the new hypotenuse is \(\sqrt{n+1}\). Therefore, drawing a 1-unit perpendicular on \(\sqrt{3024}\) gives \(\sqrt{3024+1}=\sqrt{3025}\). \(\sqrt{3023}\) represents the previous stage, while \(\sqrt{3026}\) would be the next stage. Exam tip: add exactly 1 to the radicand at each new step.
\(50^2=2500\) और \(51^2=2601\) हैं। क्योंकि \(2500<2600<2601\), इसलिए वर्गमूल लेने पर \(50<\sqrt{2600}<51\) प्राप्त होता है। \(\sqrt{2600}=51\) गलत है, क्योंकि \(51^2=2601\), न कि 2600। परीक्षा टिप: किसी संख्या के वर्गमूल का अंतराल ज्ञात करने के लिए उसके निकटतम पूर्ण वर्गों की तुलना करें। / \(50^2=2500\) and \(51^2=2601\). Since \(2500<2600<2601\), taking square roots gives \(50<\sqrt{2600}<51\). \(\sqrt{2600}=51\) is incorrect because \(51^2=2601\), not 2600. Exam tip: To find the interval of a square root, compare the number with the nearest perfect squares.
A. \(\sqrt{5}\) कर्ण की लंबाई कंपास में लेकर मूल बिंदु से चाप खींचना/Take the \(\sqrt{5}\) hypotenuse length in a compass and draw an arc from the origin
Explanation
Simple Explanation
जिस वर्गमूल को अंकित करना है, उसी कर्ण की लंबाई कंपास में ली जाती है। मूल बिंदु से चाप सही स्थान देता है। / The hypotenuse length of the square root to be marked is taken in the compass. An arc from the origin gives the correct location.
\(\sqrt{1799}\) पर (1) इकाई लंब बनाने से \(\sqrt{1800}\) बनता है। पिछला कर्ण एक कम संख्या का होता है। / Drawing a (1) unit perpendicular on \(\sqrt{1799}\) forms \(\sqrt{1800}\). The previous hypotenuse has one less number.
A. \(\sqrt{624}\) 24 और 25 के बीच है तथा \(\sqrt{729}=27\) है/\(\sqrt{624}\) lies between 24 and 25, and \(\sqrt{729}=27\)
Explanation
Simple Explanation
क्योंकि \(24^2=576\) और \(25^2=625\) हैं तथा \(576<624<625\), इसलिए \(24<\sqrt{624}<25\) होगा। दूसरी ओर, \(729=27^2\), अतः \(\sqrt{729}=27\) है। इसलिए विकल्प A सही है। विकल्प B में \(\sqrt{624}\) को 25 माना गया है, जबकि 624, 625 से 1 कम है; साथ ही \(\sqrt{729}\) परिमेय पूर्णांक है। परीक्षा टिप: किसी वर्गमूल का मान ज्ञात करने के लिए उसके आसपास के क्रमागत पूर्ण वर्गों की तुलना करें। / Since \(24^2=576\) and \(25^2=625\), and \(576<624<625\), we get \(24<\sqrt{624}<25\). On the other hand, \(729=27^2\), so \(\sqrt{729}=27\). Therefore, option A is correct. Option B is incorrect because 624 is one less than 625, so its square root cannot be 25; also, \(\sqrt{729}\) is a rational integer. Exam tip: Compare a number with consecutive perfect squares to locate its square root quickly.
B. क्योंकि (\(\sqrt{16}\)2+12=17)/Because (\(\sqrt{16}\)2+12=17)
Explanation
Simple Explanation
\(\sqrt{16}\) पिछला कर्ण है और (1) नई लंब है। पाइथागोरस से कर्ण \(\sqrt{17}\) मिलता है। / \(\sqrt{16}\) is the previous hypotenuse and (1) is the new perpendicular. Pythagoras gives hypotenuse \(\sqrt{17}\).
वर्गमूल सर्पिल में प्रत्येक अगला कर्ण क्रमशः \(\sqrt{n}\) के रूप में बनता है। इसलिए \(\sqrt{2115}\) के बाद अगला कर्ण \(\sqrt{2116}\) होगा। क्योंकि \(2116=46^2\), अतः \(\sqrt{2116}=46\) एक पूर्णांक मान पर स्थित है। \(\sqrt{2117}\) उसके बाद वाला कर्ण होगा, इसलिए वह सही नहीं है। परीक्षा टिप: किसी संख्या के निकटतम पूर्ण वर्ग को पहचानकर ऐसे प्रश्न जल्दी हल करें। / In a square root spiral, successive hypotenuses are represented by \(\sqrt{n}\). Therefore, the hypotenuse after \(\sqrt{2115}\) is \(\sqrt{2116}\). Since \(2116=46^2\), we get \(\sqrt{2116}=46\), which is an integer value. \(\sqrt{2117}\) is the following hypotenuse, not the immediate next one. Exam tip: Identify nearby perfect squares to solve such questions quickly.
A. \(\sqrt{99}\) 9 और 10 के बीच है, जबकि \(\sqrt{101}\) 10 और 11 के बीच है/\(\sqrt{99}\) lies between 9 and 10, whereas \(\sqrt{101}\) lies between 10 and 11
Explanation
Simple Explanation
क्योंकि \(9^2=81<99<100=10^2\), इसलिए \(9<\sqrt{99}<10\)। इसी प्रकार, \(10^2=100<101<121=11^2\), इसलिए \(10<\sqrt{101}<11\)। अतः वर्गमूल सर्पिल में \(\sqrt{99}\) की स्थिति 10 से थोड़ी पहले और \(\sqrt{101}\) की स्थिति 10 से थोड़ी आगे होगी। विकल्प B गलत है क्योंकि \(\sqrt{101}>10\)। परीक्षा टिप: किसी वर्गमूल का स्थान ज्ञात करने के लिए उसके निकटतम पूर्ण वर्गों की तुलना करें। / Since \(9^2=81<99<100=10^2\), we get \(9<\sqrt{99}<10\). Similarly, \(10^2=100<101<121=11^2\), so \(10<\sqrt{101}<11\). Therefore, on the square root spiral, \(\sqrt{99}\) is just before 10 and \(\sqrt{101}\) is just beyond 10. Option B is incorrect because \(\sqrt{101}>10\). Exam tip: Locate a square root by comparing the number with the nearest perfect squares.
वर्गमूल सर्पिल में प्रत्येक नया कर्ण क्रमशः \(\sqrt{2}, \sqrt{3}, \sqrt{4}\) आदि होता है। इसलिए \(\sqrt{3968}\) के तुरंत बाद \(\sqrt{3969}\) बनेगा। क्योंकि \(63^2=3969\), अतः \(\sqrt{3969}=63\)। \(\sqrt{3970}\) अगला नहीं, बल्कि इसके बाद बनने वाला कर्ण है। परीक्षा टिप: किसी संख्या का वर्गमूल सरल करने से पहले जाँचें कि वह निकटवर्ती पूर्ण वर्ग है या नहीं। / In a square root spiral, the successive hypotenuses are \(\sqrt{2}, \sqrt{3}, \sqrt{4}\), and so on. Therefore, the hypotenuse immediately after \(\sqrt{3968}\) is \(\sqrt{3969}\). Since \(63^2=3969\), \(\sqrt{3969}=63\). \(\sqrt{3970}\) comes one step later, so it is not the required hypotenuse. Exam tip: Check whether the radicand is a perfect square before simplifying a square root.
A. \(\sqrt{3024}\), \(54\) और \(55\) के बीच है तथा \(\sqrt{3026}\), \(55\) और \(56\) के बीच है/\(\sqrt{3024}\) lies between \(54\) and \(55\), while \(\sqrt{3026}\) lies between \(55\) and \(56\)
Explanation
Simple Explanation
क्योंकि \(54^2=2916\), \(55^2=3025\) और \(56^2=3136\) हैं। अतः \(2916<3024<3025\), इसलिए \(54<\sqrt{3024}<55\)। इसी प्रकार \(3025<3026<3136\), इसलिए \(55<\sqrt{3026}<56\)। विकल्प B गलत है क्योंकि केवल \(\sqrt{3025}=55\) होता है। परीक्षा टिप: किसी संख्या के वर्गमूल का स्थान ज्ञात करने के लिए उसके निकटतम पूर्ण वर्गों की तुलना करें। / Since \(54^2=2916\), \(55^2=3025\), and \(56^2=3136\), we have \(2916<3024<3025\). Hence, \(54<\sqrt{3024}<55\). Similarly, \(3025<3026<3136\), so \(55<\sqrt{3026}<56\). Option B is incorrect because only \(\sqrt{3025}=55\). Exam tip: locate a square root by comparing the number with nearby perfect squares.
C. \((\sqrt{132})^2+1^2=133\), इसलिए नया कर्ण \(\sqrt{133}\)/\((\sqrt{132})^2+1^2=133\), so the new hypotenuse is \(\sqrt{133}\)
Explanation
Simple Explanation
वर्गमूल सर्पिल के प्रत्येक नए समकोण त्रिभुज में एक भुजा पिछले कर्ण के बराबर और दूसरी भुजा \(1\) होती है। इसलिए पाइथागोरस प्रमेय से नया कर्ण \(\sqrt{(\sqrt{132})^2+1^2}=\sqrt{132+1}=\sqrt{133}\) होगा। विकल्प B में \(132\) का वर्ग लिया गया है, जबकि पिछले कर्ण \(\sqrt{132}\) का वर्ग लेना चाहिए। परीक्षा टिप: पिछले कर्ण का वर्ग हमेशा मूलांक देता है; फिर उसमें \(1\) जोड़ें। / In each new right triangle of a square root spiral, one leg is the previous hypotenuse and the other leg is \(1\). By Pythagoras’ theorem, the new hypotenuse is \(\sqrt{(\sqrt{132})^2+1^2}=\sqrt{132+1}=\sqrt{133}\). Option B incorrectly squares \(132\); it is the previous hypotenuse \(\sqrt{132}\) that must be squared. Exam tip: square the previous hypotenuse to get the radicand, then add \(1\).
वर्गमूल सर्पिल में प्रत्येक नया कर्ण क्रमशः \(\sqrt{1},\sqrt{2},\sqrt{3}\) आदि होता है। इसलिए \(\sqrt{4623}\) के बाद अगला कर्ण \(\sqrt{4624}\) होगा। क्योंकि \(68^2=4624\), अतः इसका सटीक मान \(68\) है। विकल्प C निकट है, लेकिन \(4625\), \(68^2\) से बड़ा है; इसलिए उसका वर्गमूल 68 नहीं हो सकता। परीक्षा टिप: किसी संख्या का वर्गमूल पूर्णांक है या नहीं, यह जाँचने के लिए निकटवर्ती पूर्ण वर्गों की तुलना करें। / In a square root spiral, successive hypotenuses are \(\sqrt{1},\sqrt{2},\sqrt{3}\), and so on. Therefore, the hypotenuse after \(\sqrt{4623}\) is \(\sqrt{4624}\). Since \(68^2=4624\), its exact value is \(68\). Option C is close, but \(4625\) is greater than \(68^2\), so its square root cannot be 68. Exam tip: Compare a number with nearby perfect squares to check whether its square root is an integer.
A. अगला कर्ण \(\sqrt{49}=7\) है और \(\sqrt{50}\) (7) और (8) के बीच है/The next hypotenuse is \(\sqrt{49}=7\), and \(\sqrt{50}\) lies between (7) and (8)
Explanation
Simple Explanation
\(\sqrt{48}\) के बाद \(\sqrt{49}=7\) बनता है। \(7^2<50<8^2\), इसलिए \(\sqrt{50}\) (7) और (8) के बीच है। / After \(\sqrt{48}\), \(\sqrt{49}=7\) is formed. Since \(7^2<50<8^2\), \(\sqrt{50}\) lies between (7) and (8).
\(69^2=4761\) और \(70^2=4900\) हैं। (4899) इनके बीच है, इसलिए \(\sqrt{4899}\) (69) और (70) के बीच है। / \(69^2=4761\) and \(70^2=4900\). The number (4899) lies between them, so \(\sqrt{4899}\) lies between (69) and (70).
A. \(\sqrt{4096}=64\), अगला कर्ण \(\sqrt{4097}\)/\(\sqrt{4096}=64\), next hypotenuse \(\sqrt{4097}\)
Explanation
Simple Explanation
\(4096=64^2\) है, इसलिए \(\sqrt{4096}=64\) एक पूर्णांक है; यह अपरिमेय नहीं है। वर्गमूल सर्पिल में प्रत्येक नए चरण पर पिछले कर्ण के वर्ग में \(1\) जुड़ता है। अतः \(\sqrt{4096}\) के बाद अगला कर्ण \(\sqrt{4096+1}=\sqrt{4097}\) होगा, \(\sqrt{8192}\) नहीं। परीक्षा टिप: पहले जाँचें कि संख्या किसी पूर्ण वर्ग के बराबर है या नहीं, फिर अगले कर्ण के लिए मूलांक में \(1\) जोड़ें। / Since \(4096=64^2\), \(\sqrt{4096}=64\) is an integer, not an irrational number. In a square root spiral, each new step adds \(1\) to the square of the previous hypotenuse. Therefore, the hypotenuse after \(\sqrt{4096}\) is \(\sqrt{4096+1}=\sqrt{4097}\), not \(\sqrt{8192}\). Exam tip: first check whether the radicand is a perfect square, then add \(1\) to the radicand for the next hypotenuse.
\(\sqrt{3600}\) से पहले \(\sqrt{3599}\) आता है और \(3600=60^2\) है। इसलिए \(\sqrt{3600}=60\) होगा। / Before \(\sqrt{3600}\), \(\sqrt{3599}\) comes, and \(3600=60^2\). Therefore \(\sqrt{3600}=60\).
नया कर्ण \(\sqrt{8099+1}=\sqrt{8100}\) होगा। \(8100=90^2\), इसलिए सटीक मान (90) है। / The new hypotenuse is \(\sqrt{8099+1}=\sqrt{8100}\). Since \(8100=90^2\), the exact value is (90).
\(91^2=8281\) और \(92^2=8464\) हैं। क्योंकि \(8281<8463<8464\), इसलिए वर्गमूल लेने पर \(91<\sqrt{8463}<92\) प्राप्त होता है। \(92\) सही मान नहीं है, क्योंकि \(8463\), \(92^2=8464\) से 1 कम है। परीक्षा टिप: किसी वर्गमूल का अंतराल ज्ञात करने के लिए दिए गए संख्या के दोनों ओर के निकटतम पूर्ण वर्गों की तुलना करें। / \(91^2=8281\) and \(92^2=8464\). Since \(8281<8463<8464\), taking square roots gives \(91<\sqrt{8463}<92\). It cannot be \(92\), because \(8463\) is 1 less than \(92^2=8464\). Exam tip: To locate a square root, compare the number with the nearest perfect squares on either side.
वर्गमूल सर्पिल में क्रमिक कर्ण \(\sqrt{1}, \sqrt{2}, \sqrt{3},\dots\) के रूप में बढ़ते हैं। दिया गया नया कर्ण \(95\) है और \(95^2=9025\), अर्थात नया कर्ण \(\sqrt{9025}\) है। इसलिए उससे ठीक पहले का कर्ण \(\sqrt{9024}\) होगा। \(\sqrt{9025}\) नया कर्ण ही है, पिछला नहीं। परीक्षा टिप: पूर्ण वर्ग वाले कर्ण का वर्ग करके उसके अंदर की संख्या में 1 घटाएँ। / In a square root spiral, successive hypotenuses are \(\sqrt{1}, \sqrt{2}, \sqrt{3},\dots\). Since \(95^2=9025\), the new hypotenuse is \(\sqrt{9025}\). Therefore, the hypotenuse in the immediately previous step is \(\sqrt{9024}\). \(\sqrt{9025}\) represents the new hypotenuse itself, not the previous one. Exam tip: square the given perfect-square hypotenuse and subtract 1 to find the previous radicand.
A. \(\sqrt{9998}\) 99 और 100 के बीच है तथा \(\sqrt{10000}=100\) है/\(\sqrt{9998}\) lies between 99 and 100, and \(\sqrt{10000}=100\)
Explanation
Simple Explanation
क्योंकि \(99^2=9801\), \(9998\), \(10000=100^2\) से छोटा है, इसलिए \(99^2<9998<100^2\)। अतः \(99<\sqrt{9998}<100\), जबकि \(\sqrt{10000}=100\) है। इसलिए विकल्प A सही है। विकल्प B निकट लग सकता है, पर \(9998\), \(99^2\) से बड़ा है; इसलिए उसका वर्गमूल 99 नहीं है। परीक्षा टिप: किसी संख्या को दो क्रमागत पूर्ण वर्गों के बीच रखकर उसके वर्गमूल का स्थान तुरंत ज्ञात करें। / Since \(99^2=9801\), \(9998\) is less than \(10000=100^2\), we have \(99^2<9998<100^2\). Hence, \(99<\sqrt{9998}<100\), while \(\sqrt{10000}=100\). Therefore, option A is correct. Option B may seem close, but \(9998\) is greater than \(99^2\), so its square root cannot be 99. Exam tip: Place a number between two consecutive perfect squares to locate its square root quickly.
नया कर्ण \(\sqrt{9603+1}=\sqrt{9604}\) होगा। \(9604=98^2\), इसलिए सटीक मान (98) है। / The new hypotenuse is \(\sqrt{9603+1}=\sqrt{9604}\). Since \(9604=98^2\), the exact value is (98).
\(100^2=10000\) और \(101^2=10201\) हैं। क्योंकि \(10000<10199<10201\), धनात्मक संख्याओं के वर्गमूल लेने पर \(100<\sqrt{10199}<101\) मिलता है। विकल्प C गलत है, क्योंकि उसके लिए \(10199\) का मान \(101^2=10201\) से बड़ा होना चाहिए। परीक्षा टिप: किसी वर्गमूल का अंतराल ज्ञात करने के लिए उसके निकटतम क्रमागत पूर्ण वर्गों की तुलना करें। / We have \(100^2=10000\) and \(101^2=10201\). Since \(10000<10199<10201\), taking positive square roots gives \(100<\sqrt{10199}<101\). Option C is incorrect because it would require \(10199\) to be greater than \(101^2=10201\). Exam tip: To locate a square root, compare the number with consecutive perfect squares.
