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समान आधार वाली घातों का गुणन करने पर घातांक जुड़ते हैं, इसलिए \(a^m\times a^n=a^{m+n}\) सही है। विकल्प B में घातांकों का गुणन गलत है; गुणन घातांक पर घात लेने की स्थिति में होता है: \((a^m)^n=a^{mn}\)। विकल्प D भी इसी कारण गलत है। परीक्षा टिप: समान आधारों के गुणन में घातांक जोड़ें, जबकि घात की घात में घातांकों को गुणा करें। / When powers with the same base are multiplied, their exponents are added; hence \(a^m\times a^n=a^{m+n}\) is correct. Option B incorrectly multiplies the exponents. Exponents are multiplied when a power is raised to another power: \((a^m)^n=a^{mn}\), so option D is also incorrect. Exam tip: add exponents for multiplication of like bases, but multiply them for a power of a power.
क्योंकि \(243=3^5\), इसलिए समान आधार होने पर घात बराबर होंगे: \(2x-1=5\)। अतः \(2x=6\) और \(x=3\)। इसलिए सही विकल्प B है। परीक्षा-युक्ति: पहले संख्या को दिए गए आधार की घात के रूप में लिखें, फिर घातों की तुलना करें। / Since \(243=3^5\), equal bases have equal exponents, so \(2x-1=5\). Thus, \(2x=6\) and \(x=3\). Therefore, option B is correct. Exam tip: Express the given number as a power of the same base before comparing exponents.
घात के घात पर नियम के अनुसार
\((3^2)^3=3^{2\times3}=3^6\)। समान आधारों के भाग में घात घटाते हैं, इसलिए
\(3^6\div3^4=3^{6-4}=3^2=9\)। अतः सही उत्तर 9 है। परीक्षा-युक्ति: पहले घातों को सरल करें, फिर समान आधारों के भाग में घात घटाएँ। / Using the power-of-a-power rule, \((3^2)^3=3^{2\times3}=3^6\). For division with the same base, subtract the exponents: \(3^6\div3^4=3^{6-4}=3^2=9\). Therefore, the correct answer is 9. Exam tip: simplify the nested power first, then subtract exponents when dividing like bases.
समान आधार वाली घातों के भाग के नियम के अनुसार, \(\frac{a^m}{a^n}=a^{m-n}\)। इसलिए \(\frac{5^8}{5^3}=5^{8-3}=5^5\), अतः सही उत्तर विकल्प C है। विकल्प A में घात घटाने के बजाय 6 लिया गया है, जबकि विकल्प D का मान \(25^3=5^6\) होता है। परीक्षा में समान आधार होने पर घातों को घटाना याद रखें। / For division of powers with the same base, use \(\frac{a^m}{a^n}=a^{m-n}\). Thus, \(\frac{5^8}{5^3}=5^{8-3}=5^5\), so option C is correct. In option A, the exponent has been incorrectly taken as 6, while \(25^3=5^6\), making option D incorrect as well. In an exam, remember to subtract exponents only when the bases are the same.
घात की घात के नियम के अनुसार
\((a^m)^n=a^{mn}\)। इसलिए
\((2^4)^3=2^{4\times3}=2^{12}\)। अतः सही उत्तर विकल्प A है। ध्यान रखें कि इस नियम में घातों को जोड़ा नहीं, बल्कि गुणा किया जाता है; इसलिए विकल्प B \(2^7\) गलत है। / Using the power-of-a-power rule, \((a^m)^n=a^{mn}\). Therefore, \((2^4)^3=2^{4\times3}=2^{12}\), so option A is correct. Remember that the exponents are multiplied, not added; hence \(2^7\) in option B is incorrect.
समान आधार वाली घातों के गुणन में घातांक जुड़ते हैं: \(7^x \times 7^2=7^{x+2}\)। इसलिए \(x+2=9\), अतः \(x=7\) और सही विकल्प C है। परीक्षा-युक्ति: समान आधार होने पर \(a^m\times a^n=a^{m+n}\) का नियम लगाएँ; घातांकों को गुणा न करें। / When powers with the same base are multiplied, their exponents are added: \(7^x \times 7^2=7^{x+2}\). Hence, \(x+2=9\), so \(x=7\), making option C correct. Exam tip: use \(a^m\times a^n=a^{m+n}\) for equal bases; do not multiply the exponents.
समान आधार वाली घातों के भाग में घात घटाई जाती हैं: \(\frac{2^{-3}}{2^{-5}}=2^{-3-(-5)}=2^2\)। इसलिए सही उत्तर विकल्प B है। विकल्प C \(2^{-2}\) तब मिलता, जब घातों का क्रम उलटा घटाया जाता। परीक्षा-युक्ति: ऋणात्मक संख्या घटाते समय \(-(-5)=+5\) अवश्य लिखें। / When powers with the same base are divided, their exponents are subtracted: \(\frac{2^{-3}}{2^{-5}}=2^{-3-(-5)}=2^2\). Therefore, option B is correct. Option C, \(2^{-2}\), results from subtracting the exponents in the wrong order. Exam tip: write \(-(-5)=+5\) explicitly when simplifying negative exponents.
घातों का पहले मान निकालते हैं: 72 = 49 और 53 = 125। अतः 72 + 53 = 49 + 125 = 174, इसलिए सही विकल्प B है। परीक्षा में याद रखें कि जोड़ करने से पहले घातों की गणना की जाती है। / Evaluate the powers first: 72 = 49 and 53 = 125. Therefore, 72 + 53 = 49 + 125 = 174, so option B is correct. In an exam, remember that exponents are evaluated before addition.
दिए गए समीकरण में दोनों संख्याओं को आधार 3 के रूप में लिखें: \(9^x\)=\(3^2\)^x=3^{2x} और 27=33। इसलिए 3^{2x}=33, अतः 2x=3 और x=\(\frac{3}{2}\)। इसलिए सही विकल्प B है। परीक्षा-युक्ति: घातीय समीकरणों में आधार समान करके घातों की तुलना करें। / Express both numbers with base 3: \(9^x\)=\(3^2\)^x=3^{2x} and 27=33. Thus, 3^{2x}=33, so 2x=3 and x=\(\frac{3}{2}\). Therefore, option B is correct. Exam tip: In exponential equations, rewrite both sides with the same base and then equate the exponents.
पहले घातों का मान निकालें: \(12^2=144\) और \(8^2=64\)। इसलिए \(12^2-8^2=144-64=80\), अतः सही विकल्प C है। परीक्षा-युक्ति: ऐसे सवालों में ऋण चिह्न के कारण घटाव का क्रम सावधानी से जाँचें; इसे \((12-8)(12+8)=4\times20=80\) के रूप में भी हल किया जा सकता है। / Evaluate the powers first: \(12^2=144\) and \(8^2=64\). Therefore, \(12^2-8^2=144-64=80\), so option C is correct. Exam tip: Check the subtraction order carefully; the expression can also be solved using the difference of squares, \((12-8)(12+8)=4\times20=80\).
समान आधार वाली घातों के गुणन में घातांक जोड़े जाते हैं और भाग में घटाए जाते हैं: \(5^2 \times 5^3 \div 5^4 = 5^{2+3-4}=5^1=5\)। इसलिए सही उत्तर 5 है। विकल्प 25 में घातांक घटाने का नियम सही ढंग से लागू नहीं हुआ है। परीक्षा-युक्ति: समान आधार होने पर पहले सभी घातांकों को जोड़-घटाकर सरल करें। / For powers with the same base, exponents are added during multiplication and subtracted during division: \(5^2 \times 5^3 \div 5^4 = 5^{2+3-4}=5^1=5\). Therefore, the correct answer is 5. The value 25 results from applying the exponent rules incorrectly. Exam tip: When the bases are the same, combine the exponents before evaluating the power.
क्योंकि \(64=4^3\), इसलिए \(4^x=4^3\) से समान आधारों की घातें बराबर होंगी: \(x=3\)। परीक्षा में पहले दोनों संख्याओं को समान आधार की घात के रूप में लिखना सबसे सरल तरीका है। / Since \(64=4^3\), the equation becomes \(4^x=4^3\). With equal positive bases other than 1, their exponents are equal, so \(x=3\). In such questions, rewrite both sides with the same base before comparing exponents.
ऋणात्मक घात का नियम है \\(a^{-n}=\\frac{1}{a^n}\\)। इसलिए \\(\left(\frac{1}{3}\right)^{-4}=\left(\frac{3}{1}\right)^4=3^4=81\\)। अतः सही उत्तर 81 है। ध्यान रखें कि ऋणात्मक घात आधार का व्युत्क्रम लेकर घात को धनात्मक बना देती है; इसी कारण \\(\frac{1}{81}\\) गलत है। परीक्षा-युक्ति: पहले भिन्न का व्युत्क्रम लें, फिर घात लगाएँ। / The negative-exponent law is \\(a^{-n}=\\frac{1}{a^n}\\)。 Thus, \\(\left(\frac{1}{3}\right)^{-4}=\left(\frac{3}{1}\right)^4=3^4=81\\)。 Therefore, 81 is correct. The value \\(\frac{1}{81}\\) is incorrect because it would result from applying the positive fourth power without taking the reciprocal. Exam tip: for a negative exponent, first invert the base and then apply the positive exponent.
घात के नियम के अनुसार, पहले 16 का चतुर्थमूल लें और फिर उसका घन करें: \(16^{3/4}=(16^{1/4})^3=2^3=8\)। इसलिए सही उत्तर विकल्प C है। विकल्प A केवल चतुर्थमूल \(16^{1/4}\) का मान है, जबकि घन करना भी आवश्यक है। परीक्षा-युक्ति: भिन्न घात \(a^{m/n}\) में पहले nवाँ मूल और फिर mवीं घात लें। / Using the law of fractional exponents, first take the fourth root of 16 and then cube the result: \(16^{3/4}=(16^{1/4})^3=2^3=8\). Therefore, option C is correct. Option A is only the fourth root \(16^{1/4}\), so it misses the cubing step. Exam tip: for \(a^{m/n}\), take the nth root first and then raise it to the mth power.
पहले घातों का मान निकालते हैं: 63 = 216 और 44 = 256। अब जोड़ने पर 216 + 256 = 472 प्राप्त होता है, इसलिए सही विकल्प C है। परीक्षा में जोड़ने से पहले प्रत्येक घात का मान अलग-अलग निकालने से गणना की त्रुटि कम होती है। / First evaluate the powers: 63 = 216 and 44 = 256. Adding them gives 216 + 256 = 472, so option C is correct. In an exam, calculate each power separately before performing the addition to avoid errors.
क्योंकि \(32=2^5\), इसलिए \(2^{x+1}=2^5\) में समान आधार होने पर घातों की तुलना करने से \(x+1=5\) मिलता है। अतः \(x=4\), इसलिए विकल्प B सही है। ध्यान रखें कि सीधे \(x=5\) लेना गलत होगा, क्योंकि घात \(x+1\) है। / Since \(32=2^5\), the equation becomes \(2^{x+1}=2^5\). With equal bases, compare the exponents: \(x+1=5\), giving \(x=4\). Therefore, option B is correct. Remember not to take \(x=5\) directly because the exponent is \(x+1\).
घातांक के अंतर के सूत्र का उपयोग करें: \(a^2-b^2=(a-b)(a+b)\)। यहां \(15^2-11^2=(15-11)(15+11)=4\times26=104\)। निकटतम विचलक \(94\) गलत है क्योंकि वह गलत घटाव या गलत वर्ग (जैसे \(121\) की जगह \(131\) मानने) का परिणाम हो सकता है; सही गणना के बाद परिणाम \(104\) ही आता है। परीक्षात्मक युक्ति: बड़े वर्ग घटाने के बजाय हमेशा \(a^2-b^2\) को \((a-b)(a+b)\) में बदलकर मस्तिष्कगणना तेज करें। / Use the difference of squares identity: \(a^2-b^2=(a-b)(a+b)\). Here \(15^2-11^2=(15-11)(15+11)=4\times26=104\). The closest distractor 94 is wrong — it would correspond to a subtraction or squaring error (for example misreading 121 as 131). Correct application of the identity gives 104. Exam tip: convert \(a^2-b^2\) to \((a-b)(a+b)\) to simplify mental calculation and avoid large subtractions.
हर में \(10=10^1\) लिखने पर \(10^2\times10^1=10^{2+1}=10^3\) मिलता है। अतः \(\frac{10^6}{10^3}=10^{6-3}=10^3\), इसलिए सही विकल्प B है। ध्यान रखें: समान आधारों के गुणन में घातें जोड़ी जाती हैं और भाग में घटाई जाती हैं। / Writing \(10=10^1\), the denominator becomes \(10^2\times10^1=10^{2+1}=10^3\). Therefore, \(\frac{10^6}{10^3}=10^{6-3}=10^3\), so option B is correct. Exam tip: for the same base, add exponents when multiplying and subtract them when dividing.
घात के घातांक नियम के अनुसार
\((a^m)^n=a^{mn}\)। इसलिए \((2^5)^2=2^{10}\)। समान आधारों के भाग में घातांकों को घटाते हैं: \(2^{10}\div2^8=2^{10-8}=2^2=4\)। अतः सही उत्तर 4 है। परीक्षा-युक्ति: पहले घात का घातांक गुणा करें, फिर भाग करते समय घातांक घटाएँ। / Using the power-of-a-power rule, \((a^m)^n=a^{mn}\), we get \((2^5)^2=2^{10}\). For division with the same base, subtract the exponents: \(2^{10}\div2^8=2^{10-8}=2^2=4\). Therefore, the correct answer is 4. Exam tip: multiply exponents in a power raised to another power, then subtract exponents when dividing like bases.
समान आधार वाली घातों के गुणन में घातें जुड़ती हैं: \(81^{1/2}\times81^{1/2}=81^{(1/2+1/2)}=81^1=81\)। विकल्प 9 केवल एक \(81^{1/2}\) का मान है, पूरे गुणनफल का नहीं। परीक्षा में समान आधार होने पर घातों को जोड़ने का नियम \(a^m\times a^n=a^{m+n}\) याद रखें। / When powers with the same base are multiplied, their exponents are added: \(81^{1/2}\times81^{1/2}=81^{(1/2+1/2)}=81^1=81\). The value 9 represents only one factor, \(81^{1/2}\), not the complete product. Exam tip: use the rule \(a^m\times a^n=a^{m+n}\) for equal bases.
क्योंकि 25 को 5 की घात के रूप में लिख सकते हैं: \(25=5^2\)। इसलिए \(25^x=(5^2)^x=5^{2x}\)। अब \(5^{2x}=5^6\) में समान आधार होने के कारण घात बराबर होंगी: \(2x=6\), अतः \(x=3\)। इसलिए सही विकल्प B है। परीक्षा-युक्ति: समान आधार वाली घातों में आधार समान होने पर घातों की तुलना करें। / Since 25 can be written as a power of 5, \(25=5^2\). Therefore, \(25^x=(5^2)^x=5^{2x}\). In \(5^{2x}=5^6\), the bases are equal, so the exponents must be equal: \(2x=6\), giving \(x=3\). Hence, option B is correct. Exam tip: When exponential expressions have the same base, equate their exponents.
पहले समान आधार लिखें: \(9^2=(3^2)^2=3^4\)। इसलिए \(3^6\div9^2=3^6\div3^4=3^{6-4}=3^2=9\)। अतः सही उत्तर C है। परीक्षा-युक्ति: समान आधार वाली घातों के भाग में घातांक घटाए जाते हैं। / Rewrite the denominator with the same base: \(9^2=(3^2)^2=3^4\). Therefore, \(3^6\div9^2=3^6\div3^4=3^{6-4}=3^2=9\). Hence, option C is correct. Exam tip: When powers with the same base are divided, subtract their exponents.
क्योंकि 16 = 24, इसलिए 162 = \(2^4\)2 = 28। अब समान आधार वाली घातों के भाग के नियम के अनुसार 28 ÷ 26 = 2^(8−6) = 22 = 4। अतः सही उत्तर 4 है। परीक्षा टिप: समान आधारों के भाग में घातों का घटाव किया जाता है। / Since 16 = 24, we get 162 = \(2^4\)2 = 28. Using the quotient rule for powers with the same base, 28 ÷ 26 = 2^(8−6) = 22 = 4. Therefore, the correct answer is 4. Exam tip: When dividing powers with the same base, subtract the exponents.
क्योंकि 8=23, इसलिए 8^x=\(2^3\)^x=2^{3x}। अतः 2^{3x}=2^{12} होने पर घात बराबर होंगे: 3x=12, इसलिए x=4। परीक्षा में अलग-अलग आधारों को समान आधार में बदलकर घातों की तुलना करें। / Since 8=23, we get 8^x=\(2^3\)^x=2^{3x}. Thus 2^{3x}=2^{12}, so the exponents are equal: 3x=12, giving x=4. Exam tip: rewrite powers with a common base before comparing their exponents.
समान आधार वाली घातों के गुणन में घातें जोड़ी जाती हैं और भाग देने पर घातें घटाई जाती हैं। इसलिए \(\frac{7^4\times7^{-2}}{7}=7^{4+(-2)-1}=7^1=7\)। अतः सही उत्तर विकल्प B है। ध्यान रखें कि हर में 7 को \(7^1\) लिखकर उसके घातांक को घटाना आसान होता है। / For powers with the same base, exponents are added during multiplication and subtracted during division. Thus, \(\frac{7^4\times7^{-2}}{7}=7^{4+(-2)-1}=7^1=7\). Therefore, option B is correct. Exam tip: write the denominator 7 as \(7^1\) before applying the laws of exponents.
घात के नियम के अनुसार, \(64^{2/3}=(\sqrt[3]{64})^2\)। चूँकि \(\sqrt[3]{64}=4\), इसलिए \(4^2=16\)। अतः सही उत्तर विकल्प B है। विकल्प A में केवल घनमूल लिया गया है, वर्ग नहीं किया गया। परीक्षा-युक्ति: \(a^{m/n}\) में पहले \(n\)वाँ मूल लेकर फिर \(m\)वीं घात करना सुविधाजनक होता है। / Using the rule for fractional exponents, \(64^{2/3}=(\sqrt[3]{64})^2\). Since \(\sqrt[3]{64}=4\), we get \(4^2=16\). Therefore, option B is correct. Option A is only the cube root and does not include the required squaring. Exam tip: For \(a^{m/n}\), it is often easiest to take the \(n\)th root first and then raise the result to the \(m\)th power.
क्योंकि 125 को 5 की घात के रूप में लिखने पर \(125=5^3\) मिलता है। अतः \(5^{2x}=5^3\), इसलिए समान आधारों की घातें बराबर होंगी: \(2x=3\)। इससे \(x=\frac{3}{2}\) प्राप्त होता है। परीक्षा-युक्ति: समान आधार होने पर घातों की तुलना सीधे की जा सकती है। / Writing 125 as a power of 5 gives \(125=5^3\). Therefore, \(5^{2x}=5^3\), and since the bases are equal, their exponents must be equal: \(2x=3\). Hence, \(x=\frac{3}{2}\). Exam tip: When powers have the same base, equate their exponents directly.
अंश में \(3^4\) सार्व गुणनखंड लेने पर \(3^5-3^4=3^4(3-1)=2\cdot3^4\) मिलता है। इसलिए \(\frac{3^5-3^4}{3^4}=\frac{2\cdot3^4}{3^4}=2\)। अतः सही विकल्प B है। ध्यान रखें कि समान आधार की घातों में \(3^5=3\cdot3^4\) लिखना इस सरलीकरण को सीधे स्पष्ट करता है; विकल्प 1 केवल \(3^5-3^4\) को गलत ढंग से रद्द करने पर मिल सकता है। / Factor out \(3^4\) from the numerator: \(3^5-3^4=3^4(3-1)=2\cdot3^4\). Therefore, \(\frac{3^5-3^4}{3^4}=\frac{2\cdot3^4}{3^4}=2\), so option B is correct. Exam tip: rewrite \(3^5\) as \(3\cdot3^4\) before cancelling; cancelling terms across a subtraction would incorrectly give option 1.
यहाँ दोनों संख्याओं का वर्ग लेकर जोड़ा जाएगा: \(14^2=196\) और \(6^2=36\)। इसलिए \(14^2+6^2=196+36=232\), अतः सही विकल्प B है। ध्यान रखें कि घात का मान निकालने के बाद ही जोड़ करें; 242 निकट distractor है, पर वह सही वर्गों का योग नहीं है। / Square each number first and then add: \(14^2=196\) and \(6^2=36\). Therefore, \(14^2+6^2=196+36=232\), so option B is correct. Exam tip: evaluate the exponents before performing the addition; 242 is a close distractor but is not the sum of the correct squares.
27 और 9 को आधार 3 की घातों के रूप में लिखें: \(27=3^3\) और \(9=3^2\)। इसलिए \(27^x=9\) से \((3^3)^x=3^2\), अर्थात् \(3^{3x}=3^2\)। समान आधार होने पर घात बराबर होंगे, इसलिए \(3x=2\) और \(x=\frac{2}{3}\)। अतः विकल्प A सही है। विकल्प B \(\frac{3}{2}\) घातों की तुलना उलटी करने पर मिलता है। परीक्षा-युक्ति: समान आधार बनाकर घातों की तुलना करें। / Express both numbers as powers of 3: \(27=3^3\) and \(9=3^2\). Thus, \(27^x=9\) becomes \((3^3)^x=3^2\), so \(3^{3x}=3^2\). Since the bases are equal, their exponents must be equal: \(3x=2\), giving \(x=\frac{2}{3}\). Therefore, option A is correct. Option B, \(\frac{3}{2}\), results from reversing the comparison of the exponents. Exam tip: Rewrite both sides with the same base before comparing exponents.
घात के नियम और संक्रियाओं के क्रम के अनुसार पहले घात निकालते हैं: \(3^2=9\)। फिर \(81\div 9=9\), इसलिए सही उत्तर विकल्प C है। विकल्प A (3) केवल आधार से भ्रमित होने पर मिल सकता है, जबकि विकल्प B में भाग देने की क्रिया नहीं की गई है। परीक्षा-टिप: ऐसी अभिव्यक्तियों में घात का मान पहले निकालें, फिर भाग करें। / According to the order of operations, evaluate the exponent first: \(3^2=9\). Then \(81\div 9=9\), so option C is correct. Option A (3) may result from confusing the base with the value of the expression, while option B ignores the division. Exam tip: In such expressions, calculate exponents before performing division.
क्योंकि \(4=2^2\), इसलिए \(4^5=(2^2)^5=2^{10}\)। अतः \(\frac{4^5}{2^8}=\frac{2^{10}}{2^8}=2^{10-8}=2^2=4\)। इसलिए सही विकल्प B है। ध्यान रखें कि समान आधारों को भाग देने पर घात घटाई जाती हैं; 8 लेना इस नियम को गलत ढंग से लागू करने पर हो सकता है। / Since \(4=2^2\), we have \(4^5=(2^2)^5=2^{10}\). Therefore, \(\frac{4^5}{2^8}=\frac{2^{10}}{2^8}=2^{10-8}=2^2=4\). Hence, option B is correct. Exam tip: when dividing powers with the same base, subtract the exponents; choosing 8 results from applying this rule incorrectly.
यहाँ \(9^{1/2}=\sqrt{9}=3\) और \(16^{1/2}=\sqrt{16}=4\) हैं। इसलिए ( (3+4)2=72=49 )। अतः सही उत्तर 49 है। परीक्षा-युक्ति: पहले घात 1/2 को वर्गमूल में बदलकर सरल करें, फिर प्राप्त योग का वर्ग करें। / Here, \(9^{1/2}=\sqrt{9}=3\) and \(16^{1/2}=\sqrt{16}=4\). Therefore, ((3+4)2=72=49). Hence, 49 is correct. Exam tip: convert an exponent of 1/2 into a square root first, simplify the terms, and then square their sum.
क्योंकि 16 को समान आधार के रूप में लिखने पर 16 = 24 होता है, इसलिए 2^{x-2} = 24। समान आधार वाली घातों के बराबर होने पर उनके घातांक बराबर होते हैं, अतः x - 2 = 4 और x = 6। इसलिए सही विकल्प C है। परीक्षा-युक्ति: पहले दोनों पक्षों को समान आधार की घात के रूप में लिखें। / Since 16 = 24, the equation becomes 2^{x-2} = 24. Powers with the same base are equal only when their exponents are equal, so x - 2 = 4 and x = 6. Therefore, option C is correct. Exam tip: Rewrite the number on the right as a power with the same base before comparing exponents.
पहले घातों का मान निकालते हैं: \(2^8=256\) और \(5^3=125\)। अतः \(2^8+5^3=256+125=381\), इसलिए सही उत्तर विकल्प B है। परीक्षा में पहले घातों की गणना करें और उसके बाद जोड़ या घटाव करें। / First evaluate the powers: \(2^8=256\) and \(5^3=125\). Therefore, \(2^8+5^3=256+125=381\), so option B is correct. In the exam, calculate the powers before performing addition or subtraction.
समान आधार 6 की घातों के नियम के अनुसार, पहले अंश में घातें जोड़कर और फिर हर की घात घटाकर कुल घात प्राप्त करें: \(3+(-1)-2=0\)। इसलिए \(6^0=1\), अतः सही उत्तर विकल्प B है। ध्यान रखें कि किसी भी अशून्य संख्या की शून्य घात 1 होती है। / Using the laws of exponents for the common base 6, add the exponents in the numerator and subtract the exponent in the denominator: \(3+(-1)-2=0\). Therefore, \(6^0=1\), so option B is correct. Remember that the zero power of any non-zero number is 1.
घात के नियम
a^m को लागू करें:
\(6^2\)2=6^{2\times2}=64। इसलिए,
64\div62=6^{4-2}=62=36। अतः सही उत्तर 36 है। 1296, केवल 64 का मान है; भाग देने के बाद यह उत्तर नहीं रहता। परीक्षा-युक्ति: समान आधारों के भाग में घात घटाए जाते हैं। / Apply the exponent laws: \(6^2\)2=6^{2\times2}=64. Therefore, 64\div62=6^{4-2}=62=36. Hence, 36 is correct. The value 1296 is only 64, before dividing by 62. Exam tip: when powers with the same base are divided, subtract their exponents.
भिन्न घात के नियम के अनुसार,
\(125^{2/3}=(\sqrt[3]{125})^2\)। चूँकि \(\sqrt[3]{125}=5\), इसलिए \(5^2=25\)। अतः सही उत्तर विकल्प C है। परीक्षा-युक्ति: \(a^{m/n}\) में पहले \(n\)वाँ मूल और फिर \(m\)वीं घात लेना सुविधाजनक होता है। / Using the rule for fractional exponents, \(125^{2/3}=(\sqrt[3]{125})^2\). Since \(\sqrt[3]{125}=5\), the value is \(5^2=25\). Therefore, option C is correct. Exam tip: For \(a^{m/n}\), it is often easiest to take the \(n\)th root first and then raise the result to the \(m\)th power.
यहाँ 32 और 8 को समान आधार 2 की घातों के रूप में लिखें: \(32=2^5\) और \(8=2^3\)। इसलिए \((2^5)^x=2^3\), अर्थात् \(2^{5x}=2^3\)। समान आधार होने पर घातों की तुलना करने से \(5x=3\), अतः \(x=\frac{3}{5}\)। इसलिए विकल्प B सही है। परीक्षा-युक्ति: घातीय समीकरण हल करते समय दोनों पक्षों को समान आधार में बदलकर घातों की तुलना करें। / Express both numbers as powers of the same base: \(32=2^5\) and \(8=2^3\). Thus, \((2^5)^x=2^3\), giving \(2^{5x}=2^3\). Since the bases are equal, compare the exponents: \(5x=3\), so \(x=\frac{3}{5}\). Therefore, option B is correct. Exam tip: In exponential equations, rewrite both sides with the same base and then equate their exponents.
पहले दोनों घातों का मान निकालें: 11² = 121 और 8² = 64। इसलिए 11² + 8² = 121 + 64 = 185, अतः सही विकल्प B है। परीक्षा में जोड़ने से पहले प्रत्येक संख्या का वर्ग अलग-अलग निकालने पर गणना की त्रुटि कम होती है। / Evaluate the two powers first: 11² = 121 and 8² = 64. Therefore, 11² + 8² = 121 + 64 = 185, so option B is correct. In an exam, calculating each square separately before adding helps avoid arithmetic errors.
क्योंकि \(9=3^2\), इसलिए \(9^{-1}=3^{-2}\)। अब समान आधार वाली घातों के भाग का नियम \(a^m\div a^n=a^{m-n}\) लगाने पर \(3^{-2}\div3^{-4}=3^{-2-(-4)}=3^2=9\)। अतः सही विकल्प A है। परीक्षा में ऋणात्मक घातों का घटाव करते समय \(-(-4)=+4\) अवश्य ध्यान रखें। / Since \(9=3^2\), we have \(9^{-1}=3^{-2}\). Using the division law for powers with the same base, \(a^m\div a^n=a^{m-n}\), we get \(3^{-2}\div3^{-4}=3^{-2-(-4)}=3^2=9\). Therefore, option A is correct. In exams, take special care that subtracting \(-4\) becomes addition of 4.
क्योंकि 32 = 25, इसलिए 322 = \(2^5\)2 = 2^{10}। अतः 2^{10}\div27 = 2^{10-7} = 23 = 8। इसलिए सही विकल्प C है। परीक्षा-युक्ति: समान आधारों के भाग में घातों को घटाया जाता है। / Since 32 = 25, we get 322 = \(2^5\)2 = 2^{10}. Therefore, 2^{10}\div27 = 2^{10-7} = 23 = 8. Hence, option C is correct. Exam tip: When dividing powers with the same base, subtract their exponents.
समान आधार वाली घातों के भाग में घात घटाए जाते हैं: \(\frac{2^{x+3}}{2^{x-1}}=2^{(x+3)-(x-1)}=2^4=16\)। इसलिए दिया गया समीकरण प्रत्येक वास्तविक \(x\) के लिए सत्य है और \(x\) का कोई एक निश्चित मान नहीं है। अतः सही विकल्प C है। परीक्षा-युक्ति: समान आधार वाली घातों के भाग में \(a^m/a^n=a^{m-n}\) का नियम लगाएँ; यहाँ \(x\) स्वतः कट जाता है। / For division of powers with the same base, subtract the exponents: \(\frac{2^{x+3}}{2^{x-1}}=2^{(x+3)-(x-1)}=2^4=16\). Thus, the given equation is true for every real value of \(x\), so there is no single fixed value of \(x\). Therefore, option C is correct. Exam tip: use \(a^m/a^n=a^{m-n}\) for powers with the same non-zero base; here, \(x\) cancels out.
समस्या को जल्दी हल करने के लिए अंतर-स्क्वायर का सूत्र प्रयोग करें: \(a^2-b^2=(a-b)(a+b)\). यहाँ \(19^2-15^2=(19-15)(19+15)=4\times34=136\). इसलिए उत्तर 136 है। अक्सर गलत उत्तर (जैसे 126) तब आता है जब किसी ने दूसरी संख्या का वर्ग गलत निकाला या घटाना भूल से गलत किया; 146 भी गलत है क्योंकि सही जोड़ \(19+15=34\) है न कि कोई अन्य मान। परीक्षा सुझाव: बड़े वर्गों को सीधे घटने के बजाय \(a^2-b^2\) का रूपांतरण कर लें — यह काम तेज और त्रुटि-रहित होता है। / Use the difference-of-squares identity: \(a^2-b^2=(a-b)(a+b)\). So \(19^2-15^2=(19-15)(19+15)=4\times34=136\). Thus the correct value is 136. Common mistakes: computing one square incorrectly (giving 126 on subtraction) or failing to add correctly; 146 is also incorrect because the correct sum is \(19+15=34\), not a larger value. Exam tip: convert differences of squares to a product to avoid large multiplications and reduce errors.
भिन्नात्मक घात के नियम के अनुसार \(a^{m/n}=(\sqrt[n]{a})^m\)। इसलिए \(\left(\frac{27}{8}\right)^{2/3}=\left(\sqrt[3]{\frac{27}{8}}\right)^2=\left(\frac{3}{2}\right)^2=\frac{9}{4}\)। अतः सही उत्तर विकल्प A है। विकल्प B केवल घनमूल का मान है, जबकि यहाँ उसका वर्ग भी करना है। परीक्षा-युक्ति: \(2/3\) जैसी घात में पहले हर 3 के अनुसार मूल और फिर अंश 2 के अनुसार घात लेना सुविधाजनक होता है। / Using the fractional exponent rule \(a^{m/n}=(\sqrt[n]{a})^m\), we get \(\left(\frac{27}{8}\right)^{2/3}=\left(\sqrt[3]{\frac{27}{8}}\right)^2=\left(\frac{3}{2}\right)^2=\frac{9}{4}\). Therefore, option A is correct. Option B is only the cube root, \(\frac{3}{2}\), and does not include the required square. Exam tip: for an exponent \(m/n\), take the \(n\)th root and then raise the result to the power \(m\).
4 और 64 को आधार 2 में लिखें: \(4^{x+1}=2^{2x+2}\) तथा \(64^{x-1}=2^{6x-6}\)। समान आधार होने के कारण घात बराबर होंगे: \(2x+2=6x-6\)। अतः \(8=4x\), इसलिए \(x=2\)। परीक्षा-टिप: समान आधारों वाली घातीय समीकरण में घातों को बराबर करके हल करें। / Express 4 and 64 as powers of 2: \(4^{x+1}=2^{2x+2}\) and \(64^{x-1}=2^{6x-6}\). Since the bases are equal, equate the exponents: \(2x+2=6x-6\). Thus, \(8=4x\), giving \(x=2\). Exam tip: When an exponential equation is reduced to the same base, equate the exponents.
पहले घातों का मान निकालते हैं: 35 = 243 और 44 = 256। इसलिए 35 + 44 = 243 + 256 = 499, अतः सही उत्तर विकल्प B है। परीक्षा में जोड़ करने से पहले प्रत्येक घात का मान अलग-अलग निकालना उपयोगी रहता है। / First evaluate the powers: 35 = 243 and 44 = 256. Therefore, 35 + 44 = 243 + 256 = 499, so option B is correct. In an exam, calculate each power separately before performing the addition to avoid arithmetic errors.
