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पुनरावर्ती नियम में प्रत्येक नया पद पिछले पद से निकाला जाता है। \(a_2=3(4)+1=13\), \(a_3=3(13)+2=41\), और \(a_4=3(41)+3=126\)। इसलिए सही उत्तर 126 है। 122 जैसा विकल्प तब मिल सकता है जब अंतिम चरण में \(+3\) जोड़ना भूल जाएँ। परीक्षा टिप: हर चरण में \(n\) का वही मान लें जो पिछले पद के उपसूचक में है। / In a recursive rule, each new term is calculated from the preceding term. \(a_2=3(4)+1=13\), \(a_3=3(13)+2=41\), and \(a_4=3(41)+3=126\). Therefore, the correct answer is 126. A value such as 122 can result from forgetting to add \(+3\) in the final step. Exam tip: at each step, use the value of \(n\) from the subscript of the preceding term.
पहले \(a_2=7\), फिर \(a_3=15\) और अंत में \(a_4=31\) मिलता है। परीक्षा में पुनरावर्ती नियम को क्रम से लागू करें। / First \(a_2=7\), then \(a_3=15\), and finally \(a_4=31\). In exams, apply the recursive rule step by step.
घटने वाले मान (3,8,15,24) हैं इसलिए \(a_5=100\) है। पहले सभी बदलते घटावों को अलग लिखें। / The subtracted values are (3,8,15,24), so \(a_5=100\). Exam tip: write all changing subtractions separately first.
पुनरावर्ती नियम में प्रत्येक नया पद पिछले पद तथा उससे पहले वाले पद के दोगुने के योग से मिलता है। इसलिए t_3=5+2(2)=9, t_4=9+2(5)=19 और t_5=19+2(9)=37। अतः सही उत्तर 37 है। 35 जैसा विकल्प तब आ सकता है जब पिछले दो पदों का क्रम या गुणांक 2 गलत लगा दिया जाए। परीक्षा टिप: हर नया पद निकालते समय t_{n-1} और t_{n-2} को अलग-अलग लिखकर मान रखें। / Under the recursive rule, each new term is the previous term plus twice the term before it. Thus, t_3=5+2(2)=9, t_4=9+2(5)=19, and t_5=19+2(9)=37. Therefore, 37 is correct. A value such as 35 can result from using the wrong earlier terms or missing the coefficient 2. Exam tip: write down t_{n-1} and t_{n-2} separately before substituting their values.
पद (2,5,16,47,142) हैं इसलिए \(a_5=142\) है। दोनों पिछले पदों पर सही गुणांक लगाएँ। / The terms are (2,5,16,47,142), so \(a_5=142\). Exam tip: apply the correct coefficient to each previous term.
पहले पुनरावर्ती नियम में \(n=3\) रखने पर \(a_3=3\times3-1+3=11\) मिलता है। फिर \(n=4\) रखने पर \(a_4=3\times11-3+4=34\) होगा। इसलिए सही उत्तर 34 है। 33 विकल्प तब मिलता है जब अंतिम \(+4\) को छोड़ दिया जाए। परीक्षा टिप: हर चरण में \(n\) का वर्तमान मान अलग से लिखकर प्रतिस्थापित करें। / First, substitute \(n=3\) in the recurrence: \(a_3=3\times3-1+3=11\). Then, for \(n=4\), \(a_4=3\times11-3+4=34\). Therefore, the correct answer is 34. The distractor 33 results from omitting the final \(+4\). Exam tip: write the current value of \(n\) separately at each step before substituting.
पद (7,13,28,53,110) हैं इसलिए \(a_5=110\) है। ((-1)^n) का चिह्न सम-विषम (n) से बदलता है। / The terms are (7,13,28,53,110), so \(a_5=110\). Exam tip: the sign of ((-1)^n) changes with even and odd (n).
पुनरावर्ती नियम में क्रमशः n=1,2,3,4 रखने पर जोड़े जाने वाले मान 3, 8, 17 और 32 मिलते हैं। अतः a_2=9, a_3=17, a_4=34 और a_5=34+32=66। इसलिए सही उत्तर 66 है। 69 अंतिम चरण में गलत जोड़ करने से मिल सकता है। परीक्षा टिप: प्रत्येक चरण में पहले 2^n और n-2 अलग-अलग निकालकर जोड़ें। / Using n=1, 2, 3 and 4 in the recursive rule, the added values are 3, 8, 17 and 32 respectively. Thus, a_2=9, a_3=17, a_4=34, and a_5=34+32=66. Therefore, the correct answer is 66. The value 69 can result from an incorrect addition in the final step. Exam tip: calculate 2^n and n-2 separately at each step before adding them.
घटने वाले मान (4,11,30) हैं इसलिए \(a_4=155\) है। \(3^n+n\) को पहले पूरा निकालें। / The subtracted values are (4,11,30), so \(a_4=155\). Exam tip: first calculate the full value of \(3^n+n\).
पुनरावृत्ति नियम में क्रमशः n=1,2,3,4 रखने पर जोड़े जाने वाले पद हैं: \(1!+1=2\), \(2!+2=4\), \(3!+3=9\) और \(4!+4=28\)। अतः \(a_2=7\), \(a_3=11\), \(a_4=20\) तथा \(a_5=20+28=48\)। इसलिए सही उत्तर 48 है। 50 जैसे विकल्प में किसी चरण का योग गलत होने की संभावना होती है। परीक्षा टिप: \(a_5\) तक पहुँचने के लिए नियम में \(n=1\) से \(4\) तक के मान ही रखें। / Substitute n=1, 2, 3, and 4 in the recursive rule. The added values are \(1!+1=2\), \(2!+2=4\), \(3!+3=9\), and \(4!+4=28\). Hence, \(a_2=7\), \(a_3=11\), \(a_4=20\), and \(a_5=20+28=48\). Therefore, 48 is correct. A value such as 50 results from an incorrect addition in one of the steps. Exam tip: to find \(a_5\), apply the rule only for \(n=1\) through \(4\).
पुनरावर्ती नियम में क्रमशः n=1,2,3,4 रखने पर घटाई जाने वाली राशियाँ 3, 6, 12 और 32 मिलती हैं। अतः a_2=90-3=87, a_3=87-6=81, a_4=81-12=69 और a_5=69-32=37। इसलिए सही उत्तर 37 है। 34 तब मिलता यदि अंतिम घटाव में त्रुटि हो; n=4 पर 4!=24 होता है, 6 नहीं। परीक्षा टिप: a_5 निकालने के लिए नियम को n=1 से n=4 तक ही लागू करें। / Substituting n=1, 2, 3, and 4 into the recursive rule gives the subtracted values 3, 6, 12, and 32. Thus, a_2=90-3=87, a_3=87-6=81, a_4=81-12=69, and a_5=69-32=37. Therefore, 37 is correct. The value 34 can result from an error in the final subtraction; for n=4, 4!=24, not 6. Exam tip: to find a_5, apply the rule only from n=1 through n=4.
पुनरावर्ती नियम में पहले n=1 रखने पर a_2=4a_1-(1+1)=4×3-2=10 मिलता है। फिर n=2 रखने पर a_3=4a_2-(2+1)=4×10-3=37। इसलिए सही विकल्प 37 है। 39 तब मिलता यदि दूसरे चरण में 3 घटाने के बजाय 1 घटा दिया जाए। परीक्षा टिप: प्रत्येक नए पद के लिए n का वर्तमान मान अलग से लिखकर ही प्रतिस्थापित करें। / Using n=1 in the recursive rule, a_2=4a_1-(1+1)=4×3-2=10. Then, using n=2, a_3=4a_2-(2+1)=4×10-3=37. Hence, 37 is the correct option. The value 39 would result from incorrectly subtracting 1 instead of 3 in the second step. Exam tip: write the current value of n before substituting it at each step.
पहले n=3 रखने पर a_3=6+2(2)+32=19 मिलता है। फिर n=4 रखने पर a_4=19+2(6)+42=19+12+16=47 होगा। इसलिए सही विकल्प 47 है। केवल पिछले पद को लेने पर उत्तर गलत होगा, क्योंकि नियम में a_{n-2} का दोगुना और n-2 दोनों भी जोड़ने होते हैं। परीक्षा टिप: प्रत्येक चरण में n का सही मान रखकर सभी पद अलग-अलग लिखें। / First, put n=3: a_3=6+2(2)+32=19. Then, for n=4, a_4=19+2(6)+42=19+12+16=47. Therefore, 47 is correct. Using only the previous term gives an incorrect result because the rule also includes twice a_{n-2} and n-2. Exam tip: substitute the correct value of n at each step and write every term separately.
पद (5,11,23,47,95) हैं इसलिए \(a_5=95\) है। गुणा और घटाव का क्रम सही रखें। / The terms are (5,11,23,47,95), so \(a_5=95\). Exam tip: keep the order of multiplication and subtraction correct.
पुनरावर्ती नियम में क्रमशः n=1,2,3 रखें। a_2=8+1(1+2)+21=13, a_3=13+2(2+2)+22=25 और a_4=25+3(3+2)+23=48। इसलिए सही उत्तर 48 है। 45 जैसा विकल्प तब मिल सकता है जब अंतिम चरण में 23=8 को गलत गिना जाए। परीक्षा टिप: a_4 निकालने के लिए नियम को a_1 से शुरू करके तीन बार लागू करें। / Apply the recursive rule successively for n=1, 2, and 3. We get a_2=8+1(1+2)+21=13, a_3=13+2(2+2)+22=25, and a_4=25+3(3+2)+23=48. Hence, 48 is correct. A value such as 45 may result from incorrectly evaluating 23 in the final step. Exam tip: to find a_4 from a_1, apply the rule exactly three times.
घटने वाले मान (5,12,23) हैं इसलिए \(a_4=140\) है। घटाने से पहले पूरा मान निकालें। / The subtracted values are (5,12,23), so \(a_4=140\). Exam tip: calculate the full value before subtracting.
पद (9,19,42) हैं इसलिए \(a_3=42\) है। पहले पिछले पद को दोगुना करें फिर (3n-2) जोड़ें। / The terms are (9,19,42), so \(a_3=42\). Exam tip: double the previous term first and then add (3n-2).
पुनरावर्ती नियम में पहले \(n=1\) रखकर \(a_2\) निकालते हैं: \(a_2=\frac{30}{3}+2(1)^2=10+2=12\)। फिर \(n=2\) रखने पर \(a_3=\frac{12}{3}+2(2)^2=4+8=12\)। इसलिए सही उत्तर 12 है। 14 प्राप्त हो सकता है यदि \(2n^2\) पद की गणना गलत की जाए। परीक्षा टिप: प्रत्येक अगला पद निकालते समय नियम में \(n\) का सही क्रमांक रखें। / Use the recursive rule first with \(n=1\) to find \(a_2\): \(a_2=\frac{30}{3}+2(1)^2=10+2=12\). Then use \(n=2\): \(a_3=\frac{12}{3}+2(2)^2=4+8=12\). Therefore, the correct answer is 12. A value such as 14 can result from evaluating the \(2n^2\) term incorrectly. Exam tip: substitute the correct value of \(n\) at every step of a recursive sequence.
पहले n=1 रखने पर a_2=5+3(5)+12=21 मिलता है। फिर n=2 रखने पर a_3=21+3(5)+22=40। इसलिए सही उत्तर 40 है। 3a_1 का मान हर चरण में 15 ही रहता है; केवल n-2 का मान बदलता है। परीक्षा टिप: पुनरावर्ती नियम में वांछित पद तक एक-एक करके पिछले पद का उपयोग करें। / First, put n=1: a_2=5+3(5)+12=21. Then put n=2: a_3=21+3(5)+22=40. Therefore, the correct answer is 40. The term 3a_1 remains 15 at every step; only n-2 changes. Exam tip: In a recursive rule, calculate each preceding term step by step until the required term is reached.
पद (2,4,15,31,61) हैं इसलिए \(a_5=61\) है। पिछले दो पदों के साथ वर्तमान (3n) जोड़ें। / The terms are (2,4,15,31,61), so \(a_5=61\). Exam tip: add current (3n) with the previous two terms.
पुनरावर्ती नियम में पहले \(n=3\) रखें: \(a_3=2(5)+2+3^2=21\)। फिर \(n=4\) रखने पर \(a_4=2(21)+5+4^2=42+5+16=63\) प्राप्त होता है। 66 तब मिल सकता है जब \(a_3\) की गणना में गलती हो जाए। परीक्षा टिप: प्रत्येक पद के लिए वर्तमान \(n\) का वर्ग अलग से जोड़ना न भूलें। / First substitute \(n=3\) in the recursive rule: \(a_3=2(5)+2+3^2=21\). Then, for \(n=4\), \(a_4=2(21)+5+4^2=42+5+16=63\). A value such as 66 can result from an error while calculating \(a_3\). Exam tip: always add the square of the current value of \(n\) separately.
पुनरावर्ती नियम में पहले a_1=3 रखें: a_2=32-2(3)+4=9-6+4=7। अब a_2=7 रखने पर a_3=72-2(7)+4=49-14+4=39। इसलिए सही उत्तर 39 है। 42 जैसे विकल्प में गणना की त्रुटि हो सकती है। परीक्षा टिप: a_3 ज्ञात करने के लिए नियम को क्रमशः पहले a_1 और फिर a_2 पर लागू करें। / Apply the recursive rule first to a_1=3: a_2=32-2(3)+4=9-6+4=7. Then use a_2=7: a_3=72-2(7)+4=49-14+4=39. Therefore, the correct answer is 39. A value such as 42 results from an arithmetic error. Exam tip: to find a_3, apply the rule successively to a_1 and then to a_2.
पुनरावर्ती नियम में \(n=1\) रखने पर \(a_2=a_1^2-a_1+2\) मिलता है। अतः \(a_2=4^2-4+2=16-4+2=14\)। विकल्प 12 तब मिल सकता है जब \(4^2\) का मान या अंतिम जोड़ गलत किया जाए। परीक्षा टिप: \(a_2\) ज्ञात करने के लिए नियम में हमेशा \(a_1\) का मान रखें। / Putting \(n=1\) in the recursive rule gives \(a_2=a_1^2-a_1+2\). Therefore, \(a_2=4^2-4+2=16-4+2=14\). Option 12 can result from an error in evaluating \(4^2\) or in the final addition. Exam tip: to find \(a_2\), substitute the value of \(a_1\) into the rule.
(79-13=66) और \(66\div6=11\) चरण हैं इसलिए पद संख्या (12) है। चरणों में (1) जोड़कर पद संख्या मिलती है। / (79-13=66), and \(66\div6=11\) steps, so the term number is (12). Exam tip: add (1) to the number of steps.
\(a_{12}\) के लिए (9) को (11) बार जोड़ा जाता है इसलिए \(a_{12}=107\) है। पद संख्या से एक कम बार नियम लगता है। / For \(a_{12}\), (9) is added (11) times, so \(a_{12}=107\). Exam tip: the rule is applied one less time than the term number.
पुनरावर्ती नियम से पहले आवश्यक पद ज्ञात करें: \(a_2=2(4)+9=17\), \(a_3=2(17)+9=43\) और \(a_4=2(43)+9=95\)। अतः \(a_4-a_2=95-17=78\)। इसलिए विकल्प D सही है। \(a_3\) को अंतिम पद मान लेना एक सामान्य गलती है। परीक्षा टिप: पुनरावर्ती श्रेणी में प्रश्न में माँगे गए दोनों पदों तक क्रमशः पहुँचें। / Use the recursive rule to find the required terms: \(a_2=2(4)+9=17\), \(a_3=2(17)+9=43\), and \(a_4=2(43)+9=95\). Therefore, \(a_4-a_2=95-17=78\), so option D is correct. A common error is to stop at \(a_3\) instead of calculating the required fourth term. Exam tip: in a recursive sequence, generate terms step by step until both requested terms are obtained.
पुनरावर्ती नियम में हर नया पद पिछले दो पदों के योग में 7 जोड़कर मिलता है। इसलिए \(a_3=3+9+7=19\), \(a_4=9+19+7=35\), और \(a_5=19+35+7=61\)। अतः सही उत्तर 61 है। 54 केवल \(19+35\) है; इसमें नियम का \(+7\) छूट गया है। परीक्षा टिप: प्रत्येक नया पद निकालते समय पिछले दो पद और स्थिर संख्या 7, तीनों को अवश्य जोड़ें। / The recursive rule adds the previous two terms and 7. Thus, \(a_3=3+9+7=19\), \(a_4=9+19+7=35\), and \(a_5=19+35+7=61\). Therefore, the correct answer is 61. The option 54 is only \(19+35\), so it misses the required \(+7\). Exam tip: at every step, include both previous terms and the constant 7.
पुनरावर्ती नियम में प्रत्येक नया पद पिछले पद से निकाला जाता है। पहले, \(a_2=7\times2-4=10\)। फिर \(a_3=7\times10-4=66\)। इसलिए सही उत्तर 66 है। 62 जैसी संख्या तब मिल सकती है जब अंतिम चरण में गलत गुणा या घटाव किया जाए। परीक्षा टिप: \(a_3\) निकालने से पहले \(a_2\) अवश्य लिखें। / In a recursive rule, each new term is found from the preceding term. First, \(a_2=7\times2-4=10\). Then, \(a_3=7\times10-4=66\). Therefore, the correct answer is 66. A value such as 62 can result from an incorrect multiplication or subtraction in the final step. Exam tip: always write \(a_2\) before finding \(a_3\).
पुनरावर्ती नियम में प्रत्येक चरण पर वर्तमान पद में \(9n-4\) जोड़ा जाता है। \(n=1\) पर \(a_2=6+5=11\), \(n=2\) पर \(a_3=11+14=25\), और \(n=3\) पर \(a_4=25+23=48\)। इसलिए सही उत्तर 48 है। 45 जैसा विकल्प तब मिल सकता है जब बढ़ते हुए \(n\) के मानों का सही उपयोग न किया जाए। परीक्षा टिप: \(a_4\) निकालने के लिए नियम में क्रमशः \(n=1,2,3\) रखें। / The recursive rule adds \(9n-4\) to the current term at each step. For \(n=1\), \(a_2=6+5=11\); for \(n=2\), \(a_3=11+14=25\); and for \(n=3\), \(a_4=25+23=48\). Hence, 48 is correct. A choice such as 45 may result from not using the successive values of \(n\) correctly. Exam tip: to find \(a_4\), apply the rule successively with \(n=1,2,3\).
पुनरावर्ती नियम में क्रमशः \(n=1,2,3\) रखने पर घटाए जाने वाले मान \(13,20,27\) मिलते हैं। अतः \(a_2=210-13=197\), \(a_3=197-20=177\) और \(a_4=177-27=150\) होगा। इसलिए विकल्प A सही है। \(153\) जैसा निकट विकल्प किसी चरण में \(7n+6\) का गलत मान लेने से आ सकता है। परीक्षा टिप: \(a_4\) तक पहुँचने के लिए नियम को तीन बार लागू करें। / Apply the recursive rule successively for \(n=1,2,3\). The amounts subtracted are \(13,20,27\), so \(a_2=210-13=197\), \(a_3=197-20=177\), and \(a_4=177-27=150\). Hence, option A is correct. A nearby value such as \(153\) can result from calculating \(7n+6\) incorrectly in one step. Exam tip: to find \(a_4\) from \(a_1\), apply the rule three times.
पुनरावर्ती नियम से पहले तीसरा पद निकालें: \(a_3=5(3)-4(2)+3=10\)। अब \(a_4=5(10)-4(3)+3=50-12+3=41\)। इसलिए सही उत्तर 41 है। 44 निकट का विकल्प है, लेकिन वह \(-4a_{n-2}\) पद को सही ढंग से घटाने पर नहीं मिलता। परीक्षा टिप: प्रत्येक नए पद के लिए दोनों पिछले पदों के स्थान पर उनके सही मान लिखकर गणना करें। / First find the third term using the recursive rule: \(a_3=5(3)-4(2)+3=10\). Then, \(a_4=5(10)-4(3)+3=50-12+3=41\). Therefore, 41 is correct. The nearby distractor 44 can result from not subtracting the \(4a_{n-2}\) term correctly. Exam tip: substitute both previous terms carefully before simplifying.
कुल जोड़ (\frac{7(1+2+3+4)}{2}=35) है इसलिए \(a_5=42\) है। भिन्न जोड़ में कुल जोड़ पहले निकालें। / The total addition is (\frac{7(1+2+3+4)}{2}=35), so \(a_5=42\). Exam tip: find total fractional addition first.
कुल घटाव (\frac{7(1+2+3+4)}{2}=35) है इसलिए \(a_5=45\) है। भिन्न घटावों को पहले जोड़ें। / The total subtraction is (\frac{7(1+2+3+4)}{2}=35), so \(a_5=45\). Exam tip: add fractional subtractions first.
पुनरावर्ती नियम में प्रत्येक चरण पर वर्तमान सूचकांक n का प्रयोग होता है। अतः \(a_2=1\times4+5=9\), \(a_3=2\times9+5=23\) और \(a_4=3\times23+5=74\)। इसलिए सही उत्तर 74 है। 71 जैसे उत्तर में अंतिम चरण में गुणा या जोड़ की गणना गलत होती है। परीक्षा टिप: \(a_4\) निकालने के लिए नियम को क्रमशः \(n=1,2,3\) पर लागू करें। / In the recursive rule, use the current index n at each step. Thus, \(a_2=1\times4+5=9\), \(a_3=2\times9+5=23\), and \(a_4=3\times23+5=74\). Therefore, 74 is correct. An answer such as 71 results from an error in the multiplication or addition in the final step. Exam tip: to find \(a_4\), apply the rule successively for \(n=1,2,3\).
पुनरावर्ती नियम में हर चरण पर वर्तमान मान के लिए अलग-अलग n रखें। n=1 पर a_2=3×5−1=14, n=2 पर a_3=4×14−1=55, और n=3 पर a_4=5×55−1=274। इसलिए सही उत्तर 274 है। 280 जैसा विकल्प तब आ सकता है जब अंतिम चरण में 1 घटाना भूल जाएँ। परीक्षा टिप: a_4 निकालने के लिए नियम को क्रमशः n=1, 2 और 3 के लिए लागू करें। / Apply the recursive rule successively using the appropriate value of n at each step. For n=1, a_2=3×5−1=14; for n=2, a_3=4×14−1=55; and for n=3, a_4=5×55−1=274. Hence, the correct answer is 274. A value such as 280 results from forgetting to subtract 1 in the last step. Exam tip: to find a_4, apply the rule in order for n=1, 2, and 3.
इस अनुक्रम में प्रत्येक पद पिछले पद का 3 गुना करके उसमें 2 जोड़ने से मिलता है: \(3\times4+2=14\), \(3\times14+2=44\), तथा \(3\times44+2=134\)। साथ ही पहला पद \(a_1=4\) है। इसलिए सही पुनरावर्ती नियम \(a_1=4,\ a_{n+1}=3a_n+2\) है। विकल्प D में पहला अगला पद \(3\times4-2=10\) आएगा, जो 14 नहीं है। परीक्षा टिप: नियम को कम-से-कम दो क्रमागत पदों पर जाँचें। / Each term is obtained by multiplying the preceding term by 3 and then adding 2: \(3\times4+2=14\), \(3\times14+2=44\), and \(3\times44+2=134\). Also, the first term is \(a_1=4\). Therefore, the correct recursive rule is \(a_1=4,\ a_{n+1}=3a_n+2\). Under option D, the next term would be \(3\times4-2=10\), not 14. Exam tip: test a recursive rule using at least two consecutive terms.
जोड़ (5,8,11) हैं इसलिए (3n+2) जुड़ता है। पहला पद और बदलते जोड़ दोनों मिलाएँ। / The additions are (5,8,11), so (3n+2) is added. Exam tip: match both the first term and changing additions.
पद (5,6,10,19,35,60) हैं इसलिए (60) छठा पद है। वर्ग जोड़ते समय क्रमांक साथ लिखें। / The terms are (5,6,10,19,35,60), so (60) is the sixth term. Exam tip: write positions while adding squares.
जुड़ने वाले मान (3,6,14,40) हैं इसलिए \(a_5=68\) है। फैक्टोरियल और घात दोनों निकालें। / The added values are (3,6,14,40), so \(a_5=68\). Exam tip: calculate both the factorial and the power.
घटने वाले मान (3,6,14,40) हैं इसलिए \(a_5=57\) है। पूरे घटावों का योग पहले निकालें। / The subtracted values are (3,6,14,40), so \(a_5=57\). Exam tip: find the sum of all subtractions first.
पुनरावर्ती नियम में क्रमशः \(n=1,2,3\) रखने पर \(a_2=2(4)-3=5\), \(a_3=2(5)+5=15\), और \(a_4=2(15)-7=23\) प्राप्त होता है। अतः सही उत्तर \(23\) है। \(25\) जैसा निकट विकल्प तब आ सकता है जब \((-1)^3=-1\) के कारण घटने वाले \(7\) के चिह्न पर ध्यान न दिया जाए। परीक्षा टिप: प्रत्येक चरण में पहले \((-1)^n\) का चिह्न निर्धारित करें, फिर मान प्रतिस्थापित करें। / Substituting \(n=1,2,3\) in the recursive rule gives \(a_2=2(4)-3=5\), \(a_3=2(5)+5=15\), and \(a_4=2(15)-7=23\). Therefore, the correct answer is \(23\). A nearby choice such as \(25\) can result from missing that \((-1)^3=-1\), so \(7\) must be subtracted. Exam tip: determine the sign of \((-1)^n\) before substituting each value of \(n\).
पुनरावर्ती नियम में पहले तीन चरण लें। n=1 पर, (a_2=50-(-1)1\(1^2+1\)=52)। n=2 पर, (a_3=52-(+1)\(2^2+1\)=47)। n=3 पर, (a_4=47-(-1)\(3^2+1\)=57)। अतः सही उत्तर 57 है। 60 जैसा उत्तर बाहरी ऋण चिह्न और (-1)^n के संयुक्त प्रभाव को गलत लेने पर आ सकता है। परीक्षा टिप: प्रत्येक चरण में n का मान रखकर पहले (-1)^n का चिह्न निर्धारित करें। / Apply the recursive rule for the first three steps. For n=1, (a_2=50-(-1)1\(1^2+1\)=52). For n=2, (a_3=52-(+1)\(2^2+1\)=47). For n=3, (a_4=47-(-1)\(3^2+1\)=57). Therefore, the correct answer is 57. A value such as 60 can result from mishandling the outer minus sign together with (-1)^n. Exam tip: substitute n step by step and determine the sign of (-1)^n before simplifying.
पुनरावर्ती नियम में क्रमशः n=3,4,5 रखने पर: a_3=2(5)+2+6=18, a_4=2(18)+5+8=49 तथा a_5=2(49)+18+10=126। अतः सही उत्तर 126 है। 118 जैसा विकल्प तब मिल सकता है जब 2n वाला पद गलत जोड़ा जाए। परीक्षा टिप: प्रत्येक नया पद निकालते समय n का वर्तमान मान ही 2n में रखें। / Using the recursive rule successively for n=3,4,5: a_3=2(5)+2+6=18, a_4=2(18)+5+8=49, and a_5=2(49)+18+10=126. Therefore, the correct answer is 126. A value such as 118 can result from adding the 2n term incorrectly. Exam tip: use the current value of n when calculating 2n at every step.
पुनरावर्ती नियम में हर चरण पर स्थिर मान \(a_1=6\) जोड़ा जाता है। \(n=1\) पर \(a_2=6+6+1(2)=14\), \(n=2\) पर \(a_3=14+6+2(3)=26\), और \(n=3\) पर \(a_4=26+6+3(4)=44\)। अतः सही उत्तर 44 है। 47 जैसा विकल्प तब मिल सकता है जब \(n(n+1)\) की गणना या पदों का क्रम गलत लिया जाए। परीक्षा टिप: \(a_4\) निकालने के लिए नियम में क्रमशः \(n=1,2,3\) रखें। / The recurrence adds the fixed first term \(a_1=6\) at every step. For \(n=1\), \(a_2=6+6+1(2)=14\); for \(n=2\), \(a_3=14+6+2(3)=26\); and for \(n=3\), \(a_4=26+6+3(4)=44\). Therefore, the correct answer is 44. A value such as 47 can result from incorrectly evaluating \(n(n+1)\) or using the wrong step number. Exam tip: to find \(a_4\), apply the rule successively with \(n=1,2,3\).
पुनरावर्ती नियम में क्रमशः \(n=1,2,3\) रखने पर वृद्धि \(3^2=9\), \(5^2=25\) और \(7^2=49\) मिलती है। अतः \(a_2=3+9=12\), \(a_3=12+25=37\) तथा \(a_4=37+49=86\)। इसलिए सही उत्तर 86 है। 83 तब मिलता यदि अंतिम वृद्धि गलत ली जाए। परीक्षा टिप: \(a_4\) ज्ञात करने के लिए \(a_1\) से तीन बार नियम लागू करें। / Substitute \(n=1,2,3\) in the recursive rule. The successive increments are \(3^2=9\), \(5^2=25\), and \(7^2=49\). Thus, \(a_2=3+9=12\), \(a_3=12+25=37\), and \(a_4=37+49=86\). Hence, 86 is correct. The value 83 would result from using an incorrect final increment. Exam tip: to find \(a_4\) from \(a_1\), apply the rule three times.
घटने वाले वर्ग (9,25,49) हैं इसलिए \(a_4=97\) है। पहले वर्गों का योग निकालना आसान है। / The subtracted squares are (9,25,49), so \(a_4=97\). Exam tip: finding the sum of squares first is easier.
पुनरावर्ती नियम में क्रमशः \(n=1,2,3,4\) रखने पर \(a_2=3+1^3=4\), \(a_3=4+2^3=12\), \(a_4=12+3^3=39\) और \(a_5=39+4^3=103\) मिलता है। इसलिए सही उत्तर \(103\) है। \(106\) तब मिलता यदि अंतिम चरण में \(4^3\) के स्थान पर कोई गलत वृद्धि जोड़ दी जाए। परीक्षा टिप: \(a_5\) तक पहुँचने के लिए वृद्धि के मान \(1^3\) से \(4^3\) तक ही जोड़ें। / Using the recursive rule successively for \(n=1,2,3,4\), we get \(a_2=3+1^3=4\), \(a_3=4+2^3=12\), \(a_4=12+3^3=39\), and \(a_5=39+4^3=103\). Hence, the correct answer is \(103\). The value \(106\) would result from using an incorrect final increment instead of \(4^3\). Exam tip: to find \(a_5\), add only the increments from \(1^3\) through \(4^3\).
पुनरावर्ती नियम में n=1,2,3,4 रखने पर क्रमशः 1, 8, 27 और 64 घटेंगे। अतः a_5=150-(1+8+27+64)=150-100=50। विकल्प 53 केवल पहले तीन घन घटाने पर मिलता है; इसमें 43 घटाना भी आवश्यक है। परीक्षा टिप: a_5 ज्ञात करने के लिए नियम को a_1 से a_5 तक चार बार लागू करें। / Using n=1, 2, 3 and 4, the terms decrease by 1, 8, 27 and 64 respectively. Thus, a_5=150-(1+8+27+64)=150-100=50. Option 53 results from subtracting only the first three cubes; 43 must also be subtracted. Exam tip: to find a_5 from a_1, apply the recursive rule four times.
\(2\times8+3=19\) और \(2\times19+8=46\) है। दो-पद नियम में दोनों शुरुआती पद सही होने चाहिए। / \(2\times8+3=19\) and \(2\times19+8=46\). Exam tip: both starting terms must be correct in a two-term rule.
पुनरावर्ती नियम में पहले a₃ ज्ञात करें: a₃ = a₂ + 3a₁ + 3 = 6 + 3×4 + 3 = 21। फिर a₄ = a₃ + 3a₂ + 4 = 21 + 3×6 + 4 = 43। इसलिए सही उत्तर 43 है। 46 जैसा विकल्प तब मिल सकता है जब पिछले पदों या n के मान को गलत रखा जाए। परीक्षा टिप: प्रत्येक नए पद के लिए n का वर्तमान मान ही जोड़ें। / Apply the recursive rule first for a₃: a₃ = a₂ + 3a₁ + 3 = 6 + 3×4 + 3 = 21. Then, a₄ = a₃ + 3a₂ + 4 = 21 + 3×6 + 4 = 43. Therefore, 43 is correct. A value such as 46 can result from using an incorrect previous term or index value. Exam tip: add the current value of n at every step.
