Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है
\(a_{11}=4\times11^2+2\times11-3=503\) है। पहले वर्ग निकालकर फिर बाकी क्रियाएँ करें। / \(a_{11}=4\times11^2+2\times11-3=503\). Exam tip: square first and then complete the remaining operations.
अंतर (12,18,24,30) हैं इसलिए अगला अंतर (36) होगा। (93+36=129) सही है। / The differences are (12,18,24,30), so the next difference is (36). Thus (93+36=129).
पद (5,13,32,73,158) नहीं बल्कि \(a_5=158\) होता है। इसलिए दिए गए विकल्पों में सही उत्तर नहीं है। / The terms are (5,13,32,73,158), so \(a_5=158\). Therefore none of the given options is correct.
अंतर (9,15,21,27) हैं इसलिए अगला अंतर (33) होगा। (76+33=109) सही है। / The differences are (9,15,21,27), so the next difference is (33). Hence (76+33=109).
\(a_{14}=3\times14^2+14+2=604\) है। वर्ग निकालने के बाद गुणा और जोड़ करें। / \(a_{14}=3\times14^2+14+2=604\). Exam tip: square first, then multiply and add.
\(2\times13^2+5\times13=403\) है इसलिए यह (13)वाँ पद है। पद पहचानने के लिए विकल्पों को सूत्र में रखें। / \(2\times13^2+5\times13=403\), so it is the (13)th term. Exam tip: substitute the options into the formula.
अंतर (-4,-9,-14,-19) हैं इसलिए अगला अंतर (-24) होगा। (104-24=80) सही है। / The differences are (-4,-9,-14,-19), so the next difference is (-24). Thus (104-24=80).
(49) के बाद (2) से गुणा होगा इसलिए \(49\times2=98\) है। वैकल्पिक क्रिया में अगली क्रिया पहचानें। / After (49), multiplication by (2) is applied, so \(49\times2=98\). Exam tip: identify the next operation in alternating-operation sequences.
पद (3,7,18,45,91) मिलते हैं इसलिए \(a_5=91\) है। पुनरावर्ती नियम में \(n^2\) हर चरण बदलता है। / The terms are (3,7,18,45,91), so \(a_5=91\). Exam tip: \(n^2\) changes at each recursive step.
\(a_8=-19\) और \(a_9=21\) इसलिए योग (2) है। चिह्न बदलने वाले अनुक्रम में सम-विषम क्रमांक देखें। / \(a_8=-19\) and \(a_9=21\), so the sum is (2). Exam tip: track even and odd positions in sign-changing sequences.
सामान्य पद \(\frac{2n+1}{3n+1}\) है इसलिए (9)वाँ पद \(\frac{19}{28}\) है। अंश और हर का पैटर्न अलग देखें। / The general term is \(\frac{2n+1}{3n+1}\), so the (9)th term is \(\frac{19}{28}\). Exam tip: observe numerator and denominator patterns separately.
\(a_8=576\) और \(a_6=252\) इसलिए अंतर (324) नहीं बल्कि (336) है। गणना में घन और वर्ग दोनों ध्यान से निकालें। / \(a_8=576\) and \(a_6=252\), so the difference is (324), not (336). Recheck cube and square calculations carefully.
अगला अंतर (36) होगा इसलिए (59+36=95) है। वर्ग अंतरों को पहचानना समय बचाता है। / The next difference is (36), so (59+36=95). Exam tip: recognizing square differences saves time.
\(a_9=370\) और \(a_{10}=461\) है इसलिए (9) पद (400) से छोटे हैं। सीमा के पास के पद अवश्य जाँचें। / \(a_9=370\) and \(a_{10}=461\), so (9) terms are less than (400). Exam tip: always check terms near the boundary.
(221-25=196) और (196-30=166) है। घटते क्रम में ऋणात्मक अंतर ध्यान से लगाएँ। / (221-25=196) and (196-30=166). Exam tip: apply negative differences carefully in decreasing sequences.
\(a_{18}=\frac{18^2+18}{2}=\frac{342}{2}=171\) है। भिन्न में पहले अंश सरल करें। / \(a_{18}=\frac{18^2+18}{2}=\frac{342}{2}=171\). Exam tip: simplify the numerator first in fractions.
यह घनों का अनुक्रम है इसलिए \(a_{10}-a_9=10^3-9^3=271\) है। घन पदों में पद संख्या का घन लें। / This is a cube sequence, so \(a_{10}-a_9=10^3-9^3=271\). Exam tip: cube the term position in cube sequences.
\(a_5=2\times5!+1=2\times120+1=241\) है। पहले फैक्टोरियल निकालें फिर गुणा करें। / \(a_5=2\times5!+1=2\times120+1=241\). Exam tip: calculate the factorial first and then multiply.
\(a_8=384\) और \(a_9=768\) है इसलिए पहला बड़ा पद (9)वाँ है। सीमा के दोनों ओर के पद जाँचें। / \(a_8=384\) and \(a_9=768\), so the first greater term is the (9)th. Exam tip: check terms on both sides of the boundary.
\(2\times33-1=65\) है। पुनरावर्ती नियम में गुणा और घटाव का क्रम न बदलें। / \(2\times33-1=65\). Exam tip: do not change the order of multiplication and subtraction in recurrence rules.
\(a_7=\frac{21-1}{14+5}=\frac{20}{19}\) है। अंश और हर अलग-अलग सावधानी से निकालें। / \(a_7=\frac{21-1}{14+5}=\frac{20}{19}\). Exam tip: calculate numerator and denominator separately.
सम स्थानों पर \(5,10,20,40,80,\ldots\) हैं। (10)वाँ पद पाँचवाँ सम-स्थान पद है इसलिए (80) है। / Even positions are \(5,10,20,40,80,\ldots\). The (10)th term is the fifth even-position term, so it is (80).
पहले अंतर (4,7,12,19) हैं इसलिए अगला अंतर (28) होगा। (48+28=76) है। / The first differences are (4,7,12,19), so the next difference is (28). Therefore (48+28=76).
छठा पद (43) है और योग (3+7+13+21+31+43=118) नहीं बल्कि (118) है। विकल्पों में (118) सही है। / The sixth term is (43), and the sum is (3+7+13+21+31+43=118). Therefore (118) is correct.
छठा पद (43) है और योग (3+7+13+21+31+43=118) है। योग में सभी (6) पद शामिल करें। / The sixth term is (43), and the sum is (3+7+13+21+31+43=118). Exam tip: include all (6) terms in the sum.
(11(11+4)=165) इसलिए यह (11)वाँ पद है। गुणनफल वाले सूत्र में विकल्प सीधे रखें। / (11(11+4)=165), so it is the (11)th term. Exam tip: substitute options directly in product-form formulas.
\(\frac{1}{10^2}=\frac{1}{100}\) छोटा नहीं है और \(\frac{1}{11^2}<\frac{1}{100}\) है। इसलिए पहला पद (11)वाँ है। / \(\frac{1}{10^2}=\frac{1}{100}\) is not smaller, and \(\frac{1}{11^2}<\frac{1}{100}\). So the first term is the (11)th.
\(\frac{n}{2n-1}<\frac{3}{5}\) से (5n<6n-3) और (n>3) मिलता है। पहला पूर्णांक (4) है। / From \(\frac{n}{2n-1}<\frac{3}{5}\), (5n<6n-3), so (n>3). The first integer is (4).
पहले (5) पदों का योग (8+16+32+64+128=248) है। औसत \(\frac{248}{5}=49.6\) होगा। / The sum of the first (5) terms is (8+16+32+64+128=248). The average is \(\frac{248}{5}=49.6\).
\(a_{12}=71\) और \(a_{11}=67\) इसलिए अंतर (4) है। चिह्न बदलने वाले भाग को अलग जाँचें। / \(a_{12}=71\) and \(a_{11}=67\), so the difference is (4). Exam tip: check the sign-changing part separately.
(9) अंतरों का योग (104-41=63) है इसलिए अंतर (7) है। \(a_1=41-5\times7=6\) होगा। / The sum of (9) differences is (104-41=63), so the difference is (7). Thus \(a_1=41-5\times7=6\).
\(a_{12}=413\) और \(a_{13}=473\) है इसलिए योग (886) है। दोनों पद अलग-अलग निकालें। / \(a_{12}=413\) and \(a_{13}=473\), so the sum is (886). Exam tip: calculate both terms separately.
\(5\times2^{10}=5120\) है इसलिए यह (11)वाँ पद है। पहले पद से गिनते समय घात (n-1) होती है। / \(5\times2^{10}=5120\), so it is the (11)th term. Exam tip: from the first term, the exponent is (n-1).
\(3\times282+3=849\) है। पुनरावर्ती नियम में अंतिम पद पर नियम सीधे लगाएँ। / \(3\times282+3=849\). Exam tip: apply the recurrence rule directly to the last term.
\(a_6=426\) और \(a_4=124\) नहीं बल्कि \(a_4=124\) है। इसलिए सही अंतर (302) नहीं है। / \(a_6=426\) and \(a_4=124\). The correct difference is (302), so the listed options do not match.
\(a_6=2\times216-6=426\) और \(a_4=2\times64-4=124\) है। इसलिए अंतर (302) है। / \(a_6=2\times216-6=426\) and \(a_4=2\times64-4=124\). Therefore the difference is (302).
\(13^2+6\times13+5=252\) नहीं है इसलिए (13) गलत है। सही पद (12)वाँ है क्योंकि (144+72+5=221) भी नहीं है। / \(13^2+6\times13+5=252\), so (13) is not correct. (12) also gives (221), so the target value is inconsistent.
\(13^2+6\times13+5=252\) इसलिए यह (13)वाँ पद है। विकल्पों को सीधे सूत्र में रखकर जाँचें। / \(13^2+6\times13+5=252\), so it is the (13)th term. Exam tip: substitute options directly into the formula.
अगला अंतर (18) होगा इसलिए (47+18=65) है। अंतर के पैटर्न को अलग से लिखें। / The next difference is (18), so (47+18=65). Exam tip: write the difference pattern separately.
