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पुनरावर्ती नियम में प्रत्येक पद के लिए उसी पद का सूचकांक लेना होता है। \(a_2=2(3)+2+1=9\), \(a_3=2(9)+3+1=22\), और \(a_4=2(22)+4+1=49\)। अतः सही उत्तर \(49\) है। \(46\) जैसा उत्तर प्रायः \(n+1\) वाले भाग में सूचकांक गलत रखने से मिलता है। परीक्षा टिप: हर चरण में \(n\) का नया मान लिखकर ही गणना करें। / In a recursive rule, use the index of the term currently being found. \(a_2=2(3)+2+1=9\), \(a_3=2(9)+3+1=22\), and \(a_4=2(22)+4+1=49\). Therefore, the correct answer is \(49\). An answer such as \(46\) can result from using an incorrect value of the index in the \(n+1\) part. Exam tip: write the new value of \(n\) at every step before calculating.
\(b_2=16\), \(b_3=45\) और \(b_4=131\) मिलता है। परीक्षा में गुणा और घटाव दोनों ध्यान से करें। / We get \(b_2=16\), \(b_3=45\), and \(b_4=131\). In exams, handle both multiplication and subtraction carefully.
पुनरावर्ती नियम के अनुसार प्रत्येक नया पद पिछले पद के दोगुने और उससे पहले वाले पद के योग के बराबर है। अतः \(c_3=2(3)+1=7\), \(c_4=2(7)+3=17\), और \(c_5=2(17)+7=41\)। इसलिए सही उत्तर 41 है। 39 जैसा निकट विकल्प तब मिल सकता है जब पिछले दो पदों में गलत पद लिया जाए। परीक्षा टिप: हर चरण में पिछले दो सही पद लिखकर ही अगला पद निकालें। / By the recursive rule, each new term equals twice the preceding term plus the term before it. Thus, \(c_3=2(3)+1=7\), \(c_4=2(7)+3=17\), and \(c_5=2(17)+7=41\). Therefore, the correct answer is 41. A close distractor such as 39 can result from using an incorrect previous term. Exam tip: write the two preceding terms at every step before calculating the next one.
पुनरावर्ती नियम से पीछे चलें: \(d_4=d_3+8\), \(d_3=d_2+6\) और \(d_2=d_1+4\)। अतः \(d_4=d_1+4+6+8=d_1+18\)। चूँकि \(d_4=25\), इसलिए \(d_1=25-18=7\)। विकल्प 8 लेने पर \(d_4=26\) आता, इसलिए वह सही नहीं है। परीक्षा टिप: किसी पुनरावर्ती अनुक्रम में दिया गया बाद का पद हो तो नियम को क्रमशः पीछे की ओर लागू करें। / Work backward using the recursive rule: \(d_4=d_3+8\), \(d_3=d_2+6\), and \(d_2=d_1+4\). Hence, \(d_4=d_1+4+6+8=d_1+18\). Since \(d_4=25\), \(d_1=25-18=7\). If \(d_1=8\), then \(d_4\) would be 26, not 25. Exam tip: when a later term is given in a recursive sequence, apply the rule step by step backward.
B. नियम \(e_n=2e_{n-1}+1\)/Rule \(e_n=2e_{n-1}+1\)
Explanation
Simple Explanation
हर नया पद पिछले पद के दोगुने में (1) जोड़ने से मिलता है। परीक्षा में नियम को दो पदों पर जाँचें। / Each new term is obtained by doubling the previous term and adding (1). In exams, test the rule on two terms.
\(f_2=8\), \(f_3=5\), \(f_4=1\) और \(f_5=-4\) है। परीक्षा में शून्य से नीचे जाने वाला पहला पद देखें। / \(f_2=8\), \(f_3=5\), \(f_4=1\), and \(f_5=-4\). In exams, find the first term that goes below zero.
क्रमशः (3), (5), (7), (9) जोड़ने पर \(g_5=26\) मिलता है। परीक्षा में जोड़ी गई राशियों को अलग लिखें। / Adding (3), (5), (7), and (9) gives \(g_5=26\). In exams, write the added quantities separately.
पुनरावर्ती नियम में प्रत्येक पद निकालने के लिए उसके सूचकांक से पिछले पद का गुणा किया जाता है। अतः \(h_2=2\times3=6\), \(h_3=3\times6=18\), और \(h_4=4\times18=72\)। इसलिए सही उत्तर 72 है। 64 जैसे विकल्प में नियम के अनुसार क्रमशः 2, 3 और 4 से गुणा नहीं किया गया है। परीक्षा में \(h_4\) तक पहुँचने के लिए \(n=2,3,4\) के चरण अलग-अलग लिखें। / Under the recursive rule, each term is found by multiplying the previous term by its index. Thus, \(h_2=2\times3=6\), \(h_3=3\times6=18\), and \(h_4=4\times18=72\). Therefore, 72 is correct. An option such as 64 does not follow the required successive multiplications by 2, 3, and 4. Exam tip: write the steps for \(n=2,3,4\) separately to avoid using the wrong index.
पुनरावर्ती नियम में प्रत्येक पद पिछले पद में वर्तमान सूचकांक का वर्ग जोड़कर मिलता है। इसलिए \(j_2=1+2^2=5\), \(j_3=5+3^2=14\), और \(j_4=14+4^2=30\)। अतः सही उत्तर 30 है। \(1^2\) को अलग से जोड़ना उचित नहीं है, क्योंकि \(j_1=1\) पहले से दिया हुआ प्रारम्भिक पद है। परीक्षा टिप: पुनरावर्ती अनुक्रम में आरम्भिक पद से क्रमशः अगले पद निकालें। / In the recursive rule, each term is obtained by adding the square of the current index to the preceding term. Thus, \(j_2=1+2^2=5\), \(j_3=5+3^2=14\), and \(j_4=14+4^2=30\). Therefore, the correct answer is 30. Adding \(1^2\) separately would be incorrect because \(j_1=1\) is already the given initial term. Exam tip: compute recursive sequences step by step from the initial term.
पुनरावर्ती नियम में प्रत्येक नया पद पिछले पद से निकाला जाता है। \(k_2=\frac{64}{2}+2=34\), \(k_3=\frac{34}{2}+3=20\), और \(k_4=\frac{20}{2}+4=14\)। इसलिए सही उत्तर \(14\) है। \(12\) जैसे विकल्प में अक्सर \(k_3\) से \(4\) जोड़ने से पहले 2 से भाग देने की प्रक्रिया छूट जाती है। परीक्षा टिप: हर चरण में पहले पिछले पद को 2 से भाग दें, फिर वर्तमान सूचकांक \(n\) जोड़ें। / In a recursive rule, each new term is calculated from the preceding term. \(k_2=\frac{64}{2}+2=34\), \(k_3=\frac{34}{2}+3=20\), and \(k_4=\frac{20}{2}+4=14\). Hence, the correct answer is \(14\). A choice such as \(12\) can result from missing the division by 2 before adding 4. Exam tip: at every step, first divide the previous term by 2 and then add the current index \(n\).
पुनरावर्ती नियम में प्रत्येक पद के लिए वर्तमान सूचकांक का मान रखा जाता है। अतः \(m_2=2+3(2)=8\), \(m_3=8+3(3)=17\) और \(m_4=17+3(4)=29\)। इसलिए सही उत्तर 29 है। 32 तब मिलता यदि अंतिम चरण में \(3n\) के स्थान पर कोई गलत वृद्धि जोड़ी जाए। परीक्षा टिप: \(m_1\) दिया हो तो अगला पद निकालते समय \(n=2\) से शुरुआत करें। / In the recursive rule, substitute the current index each time. Thus, \(m_2=2+3(2)=8\), \(m_3=8+3(3)=17\), and \(m_4=17+3(4)=29\). Therefore, 29 is correct. A value such as 32 would result from using an incorrect increment in the final step instead of \(3n\). Exam tip: when \(m_1\) is given, begin finding the next term with \(n=2\).
\(n_2=6\), \(n_3=3\) और \(n_4=-10\) है। परीक्षा में ऋणात्मक उत्तर आने पर भी गणना न छोड़ें। / \(n_2=6\), \(n_3=3\), and \(n_4=-10\). In exams, do not stop the calculation when a negative answer appears.
पुनरावर्ती नियम के अनुसार प्रत्येक नया पद पिछले पद में उससे दो स्थान पहले वाले पद का 3 गुना जोड़कर मिलता है। अतः \(r_3=2+3(1)=5\), \(r_4=5+3(2)=11\), और \(r_5=11+3(5)=26\)। इसलिए सही उत्तर 26 है। 23 जैसी संख्या तब मिल सकती है जब पिछले-दूसरे पद को सही ढंग से 3 से गुणा न किया जाए। परीक्षा टिप: पदों को क्रम से लिखकर हर चरण में \(r_{n-1}\) और \(r_{n-2}\) अलग-अलग पहचानें। / By the recursive rule, each new term equals the previous term plus 3 times the term two places before it. Thus, \(r_3=2+3(1)=5\), \(r_4=5+3(2)=11\), and \(r_5=11+3(5)=26\). Therefore, the correct answer is 26. A value such as 23 can result from not multiplying the second previous term by 3 correctly. Exam tip: list the terms in order and identify \(r_{n-1}\) and \(r_{n-2}\) separately at each step.
\(s_2=5\), \(s_3=2\), \(s_4=6\) और \(s_5=1\) है। परीक्षा में चिह्न बदलने वाले नियम को सावधानी से पढ़ें। / \(s_2=5\), \(s_3=2\), \(s_4=6\), and \(s_5=1\). In exams, read alternating-sign rules carefully.
पुनरावर्ती नियम से क्रमशः \(t_2=x+2\), \(t_3=x+2+3\), \(t_4=x+2+3+4\) और \(t_5=x+2+3+4+5=x+14\) होगा। दिया है \(t_5=24\), अतः \(x+14=24\) और \(x=10\)। विकल्प 11 लेने पर \(t_5=25\) आता, इसलिए वह सही नहीं है। परीक्षा टिप: पुनरावर्ती श्रेणी में दिए गए पद तक हर जोड़ी गई संख्या लिखकर प्रथम पद का व्यंजक बनाइए। / Using the recursive rule, \(t_2=x+2\), \(t_3=x+2+3\), \(t_4=x+2+3+4\), and \(t_5=x+2+3+4+5=x+14\). Since \(t_5=24\), we get \(x+14=24\), so \(x=10\). If \(x=11\), then \(t_5=25\), so it is not correct. Exam tip: In a recursive sequence, list every added term up to the required term before solving for the first term.
सही नियम \(a_1=2\) और \(a_n=3a_{n-1}\) है, क्योंकि प्रत्येक पद अपने पिछले पद का 3 गुना है: \(2\times3=6\), \(6\times3=18\), और \(18\times3=54\)। विकल्प B से दूसरा पद 6 मिलता है, लेकिन अगला पद \(2\times6+2=14\) होगा, 18 नहीं। परीक्षा टिप: लगातार दो पदों का अनुपात समान हो तो गुणात्मक पुनरावर्ती नियम जाँचें। / The correct rule is \(a_1=2\) and \(a_n=3a_{n-1}\), because every term is three times the preceding term: \(2\times3=6\), \(6\times3=18\), and \(18\times3=54\). Option B gives the second term as 6, but its next term would be \(2\times6+2=14\), not 18. Exam tip: when ratios of consecutive terms are equal, check for a multiplicative recursive rule.
पुनरावर्ती नियम में प्रत्येक पद पाने के लिए पिछले पद को 2 से गुणा करके 1 घटाते हैं। अतः \(v_2=2(4)-1=7\), \(v_3=2(7)-1=13\), \(v_4=2(13)-1=25\) और \(v_5=2(25)-1=49\)। इसलिए सही उत्तर 49 है। 47 निकट का विकल्प हो सकता है, पर वह दिए गए नियम को लगातार लागू करने पर नहीं मिलता। परीक्षा टिप: हर चरण में पहले पिछले पद का दोगुना करें, फिर 1 घटाएँ। / In the recursive rule, multiply the preceding term by 2 and then subtract 1. Thus, \(v_2=2(4)-1=7\), \(v_3=2(7)-1=13\), \(v_4=2(13)-1=25\), and \(v_5=2(25)-1=49\). Therefore, the correct answer is 49. Although 47 is a close distractor, it is not obtained by applying the given rule successively. Exam tip: at each step, double the previous term before subtracting 1.
पुनरावर्ती नियम को क्रमशः लागू करें: \(w_2=0+2^1=2\), \(w_3=2+2^2=6\), \(w_4=6+2^3=14\) और \(w_5=14+2^4=30\)। इसलिए सही उत्तर 30 है। 28 तब मिलता यदि अंतिम वृद्धि को गलत लिया जाए। परीक्षा टिप: \(w_1\) से \(w_5\) तक जाने के लिए नियम चार बार लागू होता है। / Apply the recursive rule step by step: \(w_2=0+2^1=2\), \(w_3=2+2^2=6\), \(w_4=6+2^3=14\), and \(w_5=14+2^4=30\). Therefore, the correct answer is 30. A value such as 28 can result from using the final increment incorrectly. Exam tip: from \(w_1\) to \(w_5\), apply the rule four times.
पुनरावर्ती नियम में पहले पिछला पद ज्ञात करते हैं। \(x_2=2x_1+2^2=2(1)+4=6\)। फिर \(x_3=2x_2+3^2=2(6)+9=21\)। इसलिए सही उत्तर 21 है। 18 तब मिल सकता है जब \(x_2\) के स्थान पर गलती से \(x_1\) का उपयोग किया जाए। परीक्षा टिप: हर नए पद के लिए पहले ठीक पिछले पद को नियम में रखें। / In a recursive rule, first find the preceding term. \(x_2=2x_1+2^2=2(1)+4=6\). Then \(x_3=2x_2+3^2=2(6)+9=21\). Therefore, the correct answer is 21. A value such as 18 can result from incorrectly using \(x_1\) in place of \(x_2\). Exam tip: substitute the immediately preceding term at each step.
पुनरावर्ती नियम को क्रमशः लागू करें: \(y_2=7+1^2=8\), \(y_3=8+2^2=12\), \(y_4=12+3^2=21\) और \(y_5=21+4^2=37\)। इसलिए सही उत्तर 37 है। 39 जैसे विकल्प में वर्गों के योग या प्रारम्भिक पद को गलत जोड़ने की संभावना होती है। परीक्षा टिप: \(y_5\) के लिए वृद्धि पदों में \(1^2,2^2,3^2,4^2\) ही शामिल होंगे। / Apply the recursive rule step by step: \(y_2=7+1^2=8\), \(y_3=8+2^2=12\), \(y_4=12+3^2=21\), and \(y_5=21+4^2=37\). Therefore, the correct answer is 37. A value such as 39 can result from adding the squares or the initial term incorrectly. Exam tip: to find \(y_5\), include exactly the increments \(1^2,2^2,3^2,4^2\).
पुनरावर्ती नियम के अनुसार प्रत्येक नया पद अपने पहले के दो पदों के गुणन में 1 जोड़कर मिलता है। अतः z_3=3×2+1=7, z_4=7×3+1=22 और z_5=22×7+1=155। इसलिए सही उत्तर 155 है। 153 तब मिलता यदि अंतिम चरण में 1 जोड़ने का नियम भूल जाएँ। परीक्षा टिप: ऐसे प्रश्नों में पदों को क्रम से लिखते हुए हर चरण में दोनों पिछले पदों का उपयोग करें। / By the recursive rule, each new term is obtained by multiplying the previous two terms and adding 1. Thus, z_3=3×2+1=7, z_4=7×3+1=22, and z_5=22×7+1=155. Therefore, the correct answer is 155. A value such as 153 can result from forgetting the final “+1” in the rule. Exam tip: write each term in sequence and use both preceding terms at every step.
पुनरावर्ती नियम में प्रत्येक पद निकालने के लिए उसके पिछले पद का उपयोग होता है। \(A_2=2\times1+1=3\), \(A_3=3\times3+1=10\), और \(A_4=4\times10+1=41\)। इसलिए सही उत्तर 41 है। 37 जैसे विकल्प में \(A_4\) के लिए 4 से गुणा करने की प्रक्रिया सही ढंग से लागू नहीं होती। परीक्षा टिप: हर नए पद के लिए पहले \(n\) का मान लिखें, फिर पिछले पद को उससे गुणा करके 1 जोड़ें। / A recursive rule uses the preceding term to find each new term. \(A_2=2\times1+1=3\), \(A_3=3\times3+1=10\), and \(A_4=4\times10+1=41\). Hence, the correct answer is 41. An option such as 37 results from not applying the multiplication by 4 correctly while finding \(A_4\). Exam tip: write the value of \(n\) first, then multiply the previous term by it and add 1.
पुनरावृत्ति नियम में प्रत्येक पद पिछले पद में संबंधित घात जोड़कर मिलता है। इसलिए \(B_2=9+2^2=13\), \(B_3=13+2^3=21\) और \(B_4=21+2^4=37\)। अतः सही उत्तर सैंतीस है। 39 पाने के लिए घातों या जोड़ की शुरुआत गलत लेनी पड़ेगी। परीक्षा टिप: \(B_1\) दिया हो तो अगला पद निकालते समय नियम में \(n=2\) रखें। / In the recursive rule, each term is obtained by adding the relevant power to the preceding term. Thus, \(B_2=9+2^2=13\), \(B_3=13+2^3=21\), and \(B_4=21+2^4=37\). Therefore, 37 is correct. Getting 39 would result from using an incorrect exponent or starting the additions incorrectly. Exam tip: when \(B_1\) is given, use \(n=2\) in the rule to find the next term.
पुनरावर्ती नियम को क्रमशः लागू करें: \(C_2=5+2(2-1)=7\), \(C_3=7+3(3-1)=13\), और \(C_4=13+4(4-1)=25\)। इसलिए सही उत्तर \(25\) है। \(27\) जैसी निकटतम त्रुटि सामान्यतः \(4(4-1)=12\) को गलत जोड़ने से होती है। परीक्षा टिप: प्रत्येक पद के लिए पहले \(n(n-1)\) निकालें, फिर पिछले पद में जोड़ें। / Apply the recursive rule step by step: \(C_2=5+2(2-1)=7\), \(C_3=7+3(3-1)=13\), and \(C_4=13+4(4-1)=25\). Hence, the correct answer is \(25\). A close distractor such as \(27\) can result from adding \(4(4-1)=12\) incorrectly. Exam tip: calculate \(n(n-1)\) first for each term, then add it to the preceding term.
पुनरावर्ती नियम में प्रत्येक पद पिछले पद से निकाला जाता है। अतः \(D_2=2\times2+1=5\), \(D_3=2\times5+2=12\), और \(D_4=2\times12+3=27\)। इसलिए सही उत्तर 27 है। 25 जैसा उत्तर तब आ सकता है जब \(n-1\) वाले पद को गलत जोड़ा जाए। परीक्षा टिप: \(D_4\) निकालने के लिए पहले \(D_2\) और \(D_3\) क्रम से लिखें। / Each term is found from the previous term using the recursive rule. Thus, \(D_2=2\times2+1=5\), \(D_3=2\times5+2=12\), and \(D_4=2\times12+3=27\). Therefore, the correct answer is 27. An answer such as 25 can result from adding the \(n-1\) term incorrectly. Exam tip: To find \(D_4\), calculate \(D_2\) and \(D_3\) in order first.
पुनरावर्ती नियम में प्रत्येक नया पद उसके ठीक पहले के दो पदों के योग में 2 जोड़कर मिलता है। अतः E_3=1+4+2=7, E_4=4+7+2=13 और E_5=7+13+2=22। इसलिए सही उत्तर 22 है। 20 तब मिलता यदि अंतिम चरण में पिछले दो पदों का सही योग न लिया जाए। परीक्षा टिप: ऐसे प्रश्नों में E_3 से शुरू करके प्रत्येक पद क्रमवार लिखें। / In the recursive rule, each new term is obtained by adding 2 to the sum of the two immediately preceding terms. Thus, E_3=1+4+2=7, E_4=4+7+2=13, and E_5=7+13+2=22. Therefore, the correct answer is 22. The value 20 can result from not using the correct two previous terms in the final step. Exam tip: Write the terms one by one, starting from E_3.
\(F_2=17\), \(F_3=12\), \(F_4=5\) और \(F_5=-4\) है। परीक्षा में घटाई जाने वाली राशि (2n-1) समझें। / \(F_2=17\), \(F_3=12\), \(F_4=5\), and \(F_5=-4\). In exams, understand the subtracted amount as (2n-1).
पुनरावर्ती नियम में प्रत्येक नया पद पिछले पद से निकाला जाता है। अतः \(G_2=2+2(3)=8\), \(G_3=3+2(8)=19\), और \(G_4=4+2(19)=42\)। इसलिए सही उत्तर 42 है। 44 जैसा विकल्प तब मिल सकता है जब पिछले पद को गलत तरीके से लिया जाए। परीक्षा टिप: \(G_4\) निकालने के लिए पहले क्रम से \(G_2\) और \(G_3\) अवश्य ज्ञात करें। / In a recursive rule, each new term is found from the preceding term. Thus, \(G_2=2+2(3)=8\), \(G_3=3+2(8)=19\), and \(G_4=4+2(19)=42\). Therefore, the correct answer is 42. A value such as 44 can result from using an incorrect previous term. Exam tip: to find \(G_4\), calculate \(G_2\) and \(G_3\) in order first.
पुनरावर्ती नियम में प्रत्येक पद पिछले पद से निकाला जाता है। \(H_2=2+2(3)=8\), \(H_3=8+3(4)=20\), और \(H_4=20+4(5)=40\)। इसलिए सही उत्तर \(40\) है। \(38\) जैसा विकल्प तब मिल सकता है जब अंतिम चरण में \(4(5)\) के बजाय गलत वृद्धि जोड़ी जाए। परीक्षा टिप: \(H_1\) से शुरू करके \(n=2,3,4\) के लिए क्रमशः पद लिखें। / In a recursive rule, each term is found from the previous term. \(H_2=2+2(3)=8\), \(H_3=8+3(4)=20\), and \(H_4=20+4(5)=40\). Hence, the correct answer is \(40\). A value such as \(38\) can result from using an incorrect increase instead of \(4(5)\) in the final step. Exam tip: Start with \(H_1\) and calculate the terms successively for \(n=2,3,4\).
पुनरावर्ती नियम में प्रत्येक पद के लिए वर्तमान n का मान रखें: J_2=50-3(1)=47, J_3=47-3(2)=41, J_4=41-3(3)=32 और J_5=32-3(4)=20। इसलिए सही उत्तर 20 है। 23 तब मिल सकता है जब अंतिम चरण में 3(n-1) के स्थान पर केवल 3 घटा दिया जाए, जो नियम के अनुसार गलत है। परीक्षा टिप: J_1 से J_5 तक पहुँचने के लिए n=2,3,4,5 के चार चरण लिखें। / Apply the recursive rule using the current value of n: J_2=50-3(1)=47, J_3=47-3(2)=41, J_4=41-3(3)=32, and J_5=32-3(4)=20. Therefore, the correct answer is 20. The value 23 may result from subtracting only 3 in the last step instead of 3(n-1), which does not follow the rule. Exam tip: To move from J_1 to J_5, write the four steps for n=2,3,4,5.
\(K_3=3\), \(K_4=7\) और \(K_5=17\) है। परीक्षा में पिछले पद का दोगुना लेकर उससे पहले वाला पद जोड़ें। / \(K_3=3\), \(K_4=7\), and \(K_5=17\). In exams, double the previous term and add the term before it.
दिया है कि प्रत्येक नए पद के लिए पिछले पद में \(2n+1\) जोड़ा जाता है। अतः \(L_2=6+5=11\), \(L_3=11+7=18\), \(L_4=18+9=27\) और \(L_5=27+11=38\)। इसलिए सही उत्तर 38 है। 40 तब मिलता यदि किसी चरण में वृद्धि को गलत लिया जाए। परीक्षा टिप: पुनरावृत्ति संबंध में \(n\) का मान दूसरे पद से शुरू करके क्रमशः रखें। / Each new term is obtained by adding \(2n+1\) to the preceding term. Thus, \(L_2=6+5=11\), \(L_3=11+7=18\), \(L_4=18+9=27\), and \(L_5=27+11=38\). Therefore, 38 is correct. A value such as 40 results from using an incorrect increment at one of the steps. Exam tip: in a recursive rule, substitute consecutive values of \(n\), starting with the second term.
पुनरावर्ती नियम में पहले पिछले पद का मान निकालते हैं। \(M_2=3M_1+2=3\times1+2=5\)। फिर \(M_3=3M_2+3=3\times5+3=18\)। अतः सही उत्तर 18 है। 16 जैसा उत्तर तब आ सकता है जब \(M_2\) या \(n\) का मान गलत रखा जाए। परीक्षा टिप: प्रत्येक चरण में वर्तमान सूचकांक \(n\) को अलग से जोड़ना न भूलें। / For a recursive rule, first calculate the preceding term. \(M_2=3M_1+2=3\times1+2=5\). Then \(M_3=3M_2+3=3\times5+3=18\). Therefore, 18 is correct. An answer such as 16 can result from using an incorrect value of \(M_2\) or of \(n\). Exam tip: remember to add the current index \(n\) at every step.
पुनरावर्ती नियम में प्रत्येक पद निकालने के लिए पिछले पद का उपयोग किया जाता है। \(R_2=2\times2+2=6\), \(R_3=3\times6+3=21\), और \(R_4=4\times21+4=88\)। इसलिए सही उत्तर 88 है। 82 प्राप्त हो सकता है यदि अंतिम चरण में \(4\) जोड़ने में त्रुटि हो जाए। परीक्षा टिप: हर चरण में वर्तमान \(n\) का मान बदलकर लगाइए। / A recursive rule uses the preceding term to obtain the next term. \(R_2=2\times2+2=6\), \(R_3=3\times6+3=21\), and \(R_4=4\times21+4=88\). Hence, 88 is correct. A value such as 82 can result from an error while adding \(4\) in the final step. Exam tip: substitute the current value of \(n\) separately at every step.
पुनरावर्ती नियम में प्रत्येक अगला पद पिछले पद में \(2^n+n\) जोड़कर मिलता है। \(O_2=4+2^2+2=10\), \(O_3=10+2^3+3=21\), और \(O_4=21+2^4+4=41\)। इसलिए सही उत्तर 41 है। 45 तब मिल सकता है जब \(2^4\) के साथ \(n=4\) जोड़ने के बजाय कोई अतिरिक्त 4 जोड़ दिया जाए। परीक्षा टिप: हर नए पद के लिए \(n\) का सही मान अलग से लिखकर घात ज्ञात करें। / Under the recursive rule, each new term is obtained by adding \(2^n+n\) to the previous term. \(O_2=4+2^2+2=10\), \(O_3=10+2^3+3=21\), and \(O_4=21+2^4+4=41\). Therefore, the correct answer is 41. A value such as 45 may result from incorrectly adding an extra 4 while finding the fourth term. Exam tip: write the value of \(n\) separately at every step before evaluating the power.
पुनरावर्ती नियम में क्रमशः n=2,3,4,5 रखने पर जोड़ 5, 9, 13 और 17 मिलते हैं। अतः P_2=8, P_3=17, P_4=30 और P_5=47। इसलिए सही उत्तर 47 है। 45 जैसा विकल्प अंतिम चरण में 17 के स्थान पर गलत जोड़ करने से मिल सकता है। परीक्षा टिप: पुनरावर्ती अनुक्रम में प्रत्येक पद को पिछले पद से क्रमवार निकालें। / Substituting n=2,3,4,5 in the recursive rule gives increments of 5, 9, 13, and 17. Thus, P_2=8, P_3=17, P_4=30, and P_5=47. Therefore, 47 is correct. A value such as 45 may result from an incorrect final increment. Exam tip: in a recursive sequence, calculate each term successively from the preceding term.
पुनरावर्ती नियम में प्रत्येक नया पद पिछले दो पदों से निकाला जाता है। Q_3=5+2(2)+3=12, फिर Q_4=12+2(5)+4=26 और Q_5=26+2(12)+5=55। इसलिए सही उत्तर 55 है। 57 जैसा विकल्प तब मिल सकता है जब 2Q_{n-2} या जोड़ने वाले n को गलत लिया जाए। परीक्षा टिप: हर चरण में n का मान 3, 4, 5 क्रम से लिखकर प्रतिस्थापित करें। / Each new term is obtained from the previous two terms using the recursive rule. Q_3=5+2(2)+3=12, then Q_4=12+2(5)+4=26, and Q_5=26+2(12)+5=55. Hence, the correct answer is 55. A value such as 57 can result from incorrectly handling 2Q_{n-2} or the added n. Exam tip: substitute n=3, 4, and 5 step by step.
पुनरावर्ती नियम में पहले पिछले पद से अगला पद निकालते हैं। R_2=R_12+2=12+2=3। फिर R_3=R_22+3=32+3=12। इसलिए सही उत्तर 12 है। 10 तब मिलता यदि R_2 का वर्ग लेने के बाद सही पद संख्या न जोड़ी जाए। परीक्षा टिप: हर चरण में n का नया मान लिखकर गणना करें। / In a recursive rule, first find each next term from the preceding term. R_2=R_12+2=12+2=3. Then R_3=R_22+3=32+3=12. Therefore, 12 is correct. A value such as 10 can result from not adding the correct term number after squaring R_2. Exam tip: write the new value of n at every step.
पुनरावर्ती नियम में प्रत्येक पद पिछले पद से निकाला जाता है। अतः \(S_2=100-2^2=96\), \(S_3=96-3^2=87\) और \(S_4=87-4^2=87-16=71\)। इसलिए सही उत्तर 71 है। 69 प्राप्त करना सामान्यतः चरणों में वर्गों को गलत लेने से हो सकता है। परीक्षा टिप: \(S_1\) से शुरू होने पर \(S_4\) निकालने के लिए \(2^2,3^2,4^2\) घटाइए; \(1^2\) नहीं। / The recursive rule gives each term from the preceding term. Thus, \(S_2=100-2^2=96\), \(S_3=96-3^2=87\), and \(S_4=87-4^2=87-16=71\). Therefore, 71 is correct. A value such as 69 can result from using incorrect squares in the steps. Exam tip: since the sequence starts at \(S_1\), subtract \(2^2,3^2\), and \(4^2\) to find \(S_4\), not \(1^2\).
पुनरावर्ती नियम में प्रत्येक पद निकालते समय उसी पद का सूचकांक n रखा जाता है। अतः \(T_2=3\times2-2=4\), \(T_3=4\times4-3=13\), और \(T_4=5\times13-4=61\)। इसलिए सही उत्तर \(61\) है। \(59\) जैसा निकट विकल्प सामान्यतः अंतिम चरण में 4 घटाने या 5 से गुणा करने में गलती से आ सकता है। परीक्षा टिप: \(T_4\) ज्ञात करने के लिए पहले क्रम से \(T_2\) और \(T_3\) अवश्य निकालें। / In the recursive rule, substitute the index n for each term being calculated. Thus, \(T_2=3\times2-2=4\), \(T_3=4\times4-3=13\), and \(T_4=5\times13-4=61\). Therefore, the correct answer is \(61\). A close option such as \(59\) can result from an error in multiplying by 5 or subtracting 4 in the final step. Exam tip: To find \(T_4\), calculate \(T_2\) and \(T_3\) in order first.
पुनरावर्ती परिभाषा में प्रारम्भिक पद और पिछले पद से अगला पद बनाने का नियम दोनों चाहिए। A में \(a_1\) दिया है; जैसे \(a_2=3+4=7\)। B में प्रारम्भिक पद नहीं है, जबकि D में \(a_2\) अनुपस्थित है। परीक्षा में प्रारम्भिक शर्त अवश्य जाँचें। / A recursive definition needs an initial term and a rule to generate each next term. In A, \(a_1\) is given, so \(a_2=3+4=7\). B lacks an initial term, while D also needs \(a_2\). Exam tip: always check that all required starting terms are provided.
पुनरावर्ती नियम से \(a_3=a_2+3(3)=a_2+9\) और \(a_4=a_3+3(4)=a_3+12\) होगा। अतः \(31=a_2+9+12=a_2+21\), इसलिए \(a_2=10\)। विकल्प 12 लेने पर \(a_4=33\) आता, इसलिए वह सही नहीं है। परीक्षा टिप: बाद का पद दिया हो तो पुनरावर्ती संबंध को पीछे की ओर खोलकर ज्ञात पद तक पहुँचें। / Using the recursive rule, \(a_3=a_2+3(3)=a_2+9\) and \(a_4=a_3+3(4)=a_3+12\). Hence, \(31=a_2+9+12=a_2+21\), so \(a_2=10\). If \(a_2=12\), then \(a_4\) would be 33, not 31. Exam tip: When a later term is given, expand the recurrence backwards to reach the required term.
पुनरावर्ती नियम से \(b_2=2b_1+2\) होगा। अतः \(b_3=2b_2+3=2(2b_1+2)+3=4b_1+7\)। दिया है \(b_3=19\), इसलिए \(4b_1+7=19\), जिससे \(b_1=3\) मिलता है। विकल्प 2 लेने पर \(b_3=15\) आता है, इसलिए वह सही नहीं है। परीक्षा टिप: दिए गए पद से पीछे जाते समय प्रत्येक चरण में उसी सूचकांक का मान जोड़ना न भूलें। / Using the recursive rule, \(b_2=2b_1+2\). Hence, \(b_3=2b_2+3=2(2b_1+2)+3=4b_1+7\). Since \(b_3=19\), we get \(4b_1+7=19\), so \(b_1=3\). If 2 is used instead, it gives \(b_3=15\), so it is not correct. Exam tip: while expanding a recurrence, do not forget to add the value of the index at each step.
D. \(c_2=6\) और \(c_3=15\)/\(c_2=6\) and \(c_3=15\)
Explanation
Simple Explanation
पुनरावर्ती नियम में \(n=2\) रखने पर \(c_2=c_1+2^2=2+4=6\) मिलता है। फिर \(n=3\) के लिए \(c_3=c_2+3^2=6+9=15\) होगा। इसलिए विकल्प D सही है। विकल्प C में \(c_2\) सही है, लेकिन \(c_3\) निकालते समय \(3^2=9\) सही ढंग से नहीं जोड़ा गया है। परीक्षा टिप: हर नया पद निकालने के लिए पिछले पद में वर्तमान सूचकांक का वर्ग जोड़ें। / Using the recursive rule with \(n=2\), \(c_2=c_1+2^2=2+4=6\). Then, for \(n=3\), \(c_3=c_2+3^2=6+9=15\). Therefore, option D is correct. In option C, \(c_2\) is correct, but \(3^2=9\) has not been added correctly to find \(c_3\). Exam tip: to obtain each new term, add the square of the current index to the previous term.
\(d_4=28\) और \(d_5=43\), इसलिए पहली बार (n=5) पर शर्त पूरी होती है। परीक्षा में सीमा पार करने वाला पहला पद चुनें। / \(d_4=28\) and \(d_5=43\), so the condition is first satisfied at (n=5). In exams, choose the first term that crosses the limit.
पुनरावर्ती नियम से क्रमशः \(e_2=2(3)+2=8\), \(e_3=2(8)+3=19\), \(e_4=2(19)+4=42\) और \(e_5=2(42)+5=89\) मिलता है। अतः \(e_5-e_4=89-42=47\)। विकल्प 49 तब नहीं मिलेगा, क्योंकि \(e_5\) ज्ञात करने में \(2e_4\) लेना आवश्यक है। परीक्षा टिप: पुनरावर्ती अनुक्रम में आवश्यक पदों को क्रम से लिखकर निकालें। / Using the recursive rule, \(e_2=2(3)+2=8\), \(e_3=2(8)+3=19\), \(e_4=2(19)+4=42\), and \(e_5=2(42)+5=89\). Therefore, \(e_5-e_4=89-42=47\). The value 49 does not result because finding \(e_5\) requires using \(2e_4\). Exam tip: In a recursive sequence, calculate the required terms one by one in order.
पहले चार पद (2), (6), (12), (20) हैं और योग (40) है। परीक्षा में योग पूछने पर सभी पद जोड़ें। / The first four terms are (2), (6), (12), and (20), and their sum is (40). In exams, add all terms when the sum is asked.
पुनरावर्ती नियम से \(g_2=3(1)-1=2\), \(g_3=3(2)-1=5\) और \(g_4=3(5)-1=14\) प्राप्त होता है। अतः \(g_4:g_3=14:5\), इसलिए विकल्प B सही है। \(12:5\) जैसे विकल्प गलत पदों के उपयोग से बन सकते हैं। परीक्षा टिप: आवश्यक पद तक क्रमवार मान निकालें और अनुपात में पदों का क्रम \(g_4:g_3\) ही रखें। / Using the recursive rule, \(g_2=3(1)-1=2\), \(g_3=3(2)-1=5\), and \(g_4=3(5)-1=14\). Hence, \(g_4:g_3=14:5\), so option B is correct. A ratio such as \(12:5\) results from using an incorrect term value. Exam tip: calculate the terms in order up to the required term and keep the ratio in the stated order \(g_4:g_3\).
पुनरावृत्ति नियम को क्रमशः लागू करें: \(h_3=2(7)-2+3=15\), \(h_4=2(15)-7+3=26\), और \(h_5=2(26)-15+3=40\)। इसलिए सही उत्तर 40 है। 38 जैसा उत्तर प्रायः पिछले दोनों पदों के चिन्ह या \(+3\) को गलत लेने से मिलता है। परीक्षा टिप: हर नए पद के लिए पहले \(h_{n-1}\) और फिर \(h_{n-2}\) लिखकर मान रखें। / Apply the recursive rule successively: \(h_3=2(7)-2+3=15\), \(h_4=2(15)-7+3=26\), and \(h_5=2(26)-15+3=40\). Therefore, the correct answer is 40. A value such as 38 can result from mishandling the signs of the previous terms or the \(+3\) term. Exam tip: before substituting, write down \(h_{n-1}\) and \(h_{n-2}\) separately for each new term.
पुनरावर्ती नियम में प्रत्येक पद निकालने के लिए उसके पिछले पद में उस n के लिए n-2-n जोड़ा जाता है। अतः p_2=1+\(2^2-2\)=3, p_3=3+\(3^2-3\)=9, p_4=9+\(4^2-4\)=21 और p_5=21+\(5^2-5\)=41। इसलिए सही उत्तर 41 है। 43 प्राप्त हो सकता है यदि पहले जोड़ 2 को गलती से अलग ढंग से जोड़ा जाए। परीक्षा टिप: p_5 निकालते समय n=2 से n=5 तक क्रमशः मान रखकर तालिका बनाएं। / In the recursive rule, add n-2-n to the preceding term for each value of n. Thus, p_2=1+\(2^2-2\)=3, p_3=3+\(3^2-3\)=9, p_4=9+\(4^2-4\)=21, and p_5=21+\(5^2-5\)=41. Therefore, the correct answer is 41. A value such as 43 can result from incorrectly handling the first increment, 2. Exam tip: To find p_5, list the successive values from n=2 to n=5 systematically.
