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B. (a) एक पूर्ण वर्ग नहीं है/(a) is not a perfect square
Explanation
Simple Explanation
यदि (a) पूर्ण वर्ग नहीं है तो \(\sqrt{a}\) अपरिमेय हो सकता है। परीक्षा में पहले पूर्ण वर्ग पहचानें। / If (a) is not a perfect square then \(\sqrt{a}\) can be irrational. In exams first identify perfect squares.
रिया अपरिमेय संख्याओं के बारे में दो कथन देती है:
कथन I: दो अपरिमेय संख्याओं का योग हमेशा अपरिमेय होता है।
कथन II: किसी शून्येतर परिमेय संख्या और एक अपरिमेय संख्या का गुणनफल हमेशा अपरिमेय होता है।
कौन-सा विकल्प सही है?
B. केवल कथन II सही है/Only statement II is correct
Explanation
Simple Explanation
कथन I गलत है, क्योंकि \(\sqrt{2}+(-\sqrt{2})=0\), जो परिमेय है। कथन II सही है: यदि \(q\times x\) परिमेय हो, तो \(x=(q\times x)/q\) परिमेय होगा, जो विरोधाभास है। परीक्षा में ‘हमेशा’ वाले कथनों के लिए प्रतिउदाहरण जाँचें। / Statement I is false because \(\sqrt{2}+(-\sqrt{2})=0\), which is rational. Statement II is true: if \(q\times x\) were rational, then \(x=(q\times x)/q\) would be rational, a contradiction. Exam tip: test “always” statements with a counterexample.
B. असमाप्त और अनावर्ती दशमलव प्रसार/A non-terminating, non-repeating decimal expansion
Explanation
Simple Explanation
अपरिमेय संख्या का दशमलव प्रसार न कभी समाप्त होता है और न ही किसी निश्चित क्रम में दोहराता है। जैसे, \(\sqrt{2}=1.414213\ldots\) है। आवर्ती दशमलव परिमेय होता है। परीक्षा में ‘असमाप्त-अनावर्ती’ को अपरिमेय का संकेत मानें। / An irrational number has a decimal expansion that neither ends nor repeats in a fixed pattern. For example, \(\sqrt{2}=1.414213\ldots\). A repeating non-terminating decimal is rational. Exam tip: link “non-terminating, non-repeating” with irrational numbers.
(13) पूर्ण वर्ग नहीं है, इसलिए \( \sqrt{13} \) अपरिमेय है। अपरिमेय संख्या \( \frac{p}{q} \) के रूप में नहीं लिखी जाती। / (13) is not a perfect square, so \( \sqrt{13} \) is irrational. An irrational number cannot be written as \( \frac{p}{q} \).
दोनों \(\sqrt{2}\) और \(-\sqrt{2}\) अपरिमेय हैं, पर उनका योग \(0\) है, जो परिमेय है। इसलिए “हमेशा” वाला दावा गलत है। परीक्षा में ऐसे दावों को एक प्रतिउदाहरण से जाँचें। / Both \(\sqrt{2}\) and \(-\sqrt{2}\) are irrational, but their sum is \(0\), a rational number. Hence, the word “always” makes the claim false. Exam tip: one counterexample disproves a universal statement.
(8) पूर्ण वर्ग नहीं है, इसलिए \( \sqrt{8} \) अपरिमेय है। वर्गमूल में अंदर की संख्या पूर्ण वर्ग है या नहीं, यह देखें। / (8) is not a perfect square, so \( \sqrt{8} \) is irrational. Check whether the number under the radical is a perfect square.
(15) पूर्ण वर्ग नहीं है, इसलिए \( \sqrt{15} \) अपरिमेय है। आवर्ती दशमलव को अपरिमेय न मानें। / (15) is not a perfect square, so \( \sqrt{15} \) is irrational. Do not treat recurring decimals as irrational.
A. अपरिमेय; अनंत और अनावर्ती/Irrational; non-terminating and non-repeating
Explanation
Simple Explanation
1 के बीच शून्यों की संख्या 1, 2, 3, 4... बढ़ती जाती है, इसलिए दशमलव में कोई आवर्ती खंड नहीं बनता। यह अनंत-अनावर्ती दशमलव है, अतः अपरिमेय है। परीक्षा टिप: केवल अंकों के प्रकार से नहीं, आवर्तन से निर्णय करें। / The number of zeros between successive 1s increases as 1, 2, 3, 4..., so no repeating decimal block occurs. It is non-terminating and non-repeating, hence irrational. Exam tip: check repetition, not merely the digits used.
\( \sqrt{6} \) अपरिमेय है, इसलिए इसका दशमलव असांत अनावर्ती होगा। अपरिमेय संख्या का दशमलव न समाप्त होता है न दोहरता है। / \( \sqrt{6} \) is irrational, so its decimal is non-terminating non-recurring. An irrational decimal neither terminates nor repeats.
(50) पूर्ण वर्ग नहीं है, इसलिए \( \sqrt{50} \) अपरिमेय है। केवल पूर्ण वर्ग का वर्गमूल पूर्णांक होता है। / (50) is not a perfect square, so \( \sqrt{50} \) is irrational. Only the square root of a perfect square is an integer.
B. \( \sqrt{2} \) और \( \sqrt{3} \)/\( \sqrt{2} \) and \( \sqrt{3} \)
Explanation
Simple Explanation
(2) और (3) पूर्ण वर्ग नहीं हैं, इसलिए \( \sqrt{2} \) और \( \sqrt{3} \) अपरिमेय हैं। अपूर्ण वर्गों के वर्गमूल अपरिमेय होते हैं। / (2) and (3) are not perfect squares, so \( \sqrt{2} \) and \( \sqrt{3} \) are irrational. Square roots of non-perfect squares are irrational.
C. इसका दशमलव प्रसार अनंत अनावर्ती होता है।/Its decimal expansion is non-terminating and non-recurring.
Explanation
Simple Explanation
अपरिमेय संख्या का दशमलव प्रसार अनंत और अनावर्ती होता है, इसलिए विकल्प C सही है। सांत या अनंत आवर्ती दशमलव परिमेय होते हैं। परीक्षा में दशमलव के दोहराव को ध्यान से पहचानें। / An irrational number has a non-terminating, non-recurring decimal expansion, so option C is correct. Terminating or recurring decimals are rational numbers. Exam tip: check whether any digit pattern repeats.
\(0.333\ldots=\frac{1}{3}\), इसलिए इसका दशमलव प्रसार अनंत होते हुए भी आवर्ती है और संख्या परिमेय है। \(\sqrt{2}\) का दशमलव अनावर्ती है। परीक्षा में ‘अनंत’ के साथ ‘आवर्ती’ अवश्य जाँचें। / \(0.333\ldots=\frac{1}{3}\), so it is a rational number even though its decimal expansion never ends; it repeats. In contrast, \(\sqrt{2}\) has a non-terminating, non-repeating decimal. Exam tip: check whether the decimal repeats.
\( \sqrt{18} \) अपरिमेय है, इसलिए इसका दशमलव असांत अनावर्ती होगा। आवर्ती दशमलव परिमेय होते हैं। / \( \sqrt{18} \) is irrational, so its decimal expansion is non-terminating non-recurring. Recurring decimals are rational.
\( \sqrt{14} \) अपरिमेय है और हर अपरिमेय संख्या वास्तविक संख्या भी होती है। वास्तविक संख्याओं में परिमेय और अपरिमेय दोनों आते हैं। / \( \sqrt{14} \) is irrational, and every irrational number is also real. Real numbers include both rational and irrational numbers.
(27) पूर्ण वर्ग नहीं है, इसलिए \( \sqrt{27} \) अपरिमेय है। पूर्ण वर्गों और अपूर्ण वर्गों में फर्क करें। / (27) is not a perfect square, so \( \sqrt{27} \) is irrational. Distinguish perfect squares from non-perfect squares.
A. इसका दशमलव प्रसार असांत और अनावर्ती होता है/Its decimal expansion is non-terminating and non-repeating
Explanation
Simple Explanation
अपरिमेय संख्या को
p/q
, जहाँ
q \ne 0
, के रूप में नहीं लिखा जा सकता। इसलिए इसका दशमलव प्रसार असांत और अनावर्ती होता है; आवर्ती दशमलव परिमेय होता है। परीक्षा टिप: ‘अनावर्ती’ शब्द पहचानें। / An irrational number cannot be expressed as
p/q
, where
q \ne 0
. Hence, its decimal expansion is non-terminating and non-repeating; a repeating decimal is rational. Exam tip: look for “non-repeating.”
\(0.\overline{45}\) असांत आवर्ती दशमलव है, इसलिए परिमेय है। आवर्ती दशमलव को अपरिमेय न मानें। / \(0.\overline{45}\) is a non-terminating recurring decimal, so it is rational. Do not treat recurring decimals as irrational.
(32) पूर्ण वर्ग नहीं है, इसलिए \( \sqrt{32} \) अपरिमेय है। वर्गमूल देखते समय पूर्ण वर्ग जांचें। / (32) is not a perfect square, so \( \sqrt{32} \) is irrational. Check perfect squares when seeing a square root.
\( \sqrt{26} \) अपूर्ण वर्ग का वर्गमूल है, इसलिए अपरिमेय है। \( \frac{22}{7} \) परिमेय है, \( \pi \) नहीं। / \( \sqrt{26} \) is the square root of a non-perfect square, so it is irrational. \( \frac{22}{7} \) is rational, but \( \pi \) is not.
अपरिमेय संख्या का दशमलव विस्तार असांत अनावर्ती होता है। यह परीक्षा में सबसे महत्वपूर्ण पहचान है। / The decimal expansion of an irrational number is non-terminating non-recurring. This is a key exam identification.
\( \sqrt{0.09}=0.3 \) है और (0.3) परिमेय है। दशमलव वर्गों के वर्गमूल भी परिमेय हो सकते हैं। / \( \sqrt{0.09}=0.3 \), and (0.3) is rational. Square roots of decimal squares can also be rational.
\(0.4040040004\ldots\) में निश्चित दोहराव नहीं है। ऐसा दशमलव अपरिमेय संख्या को दर्शाता है। / \(0.4040040004\ldots\) has no fixed repetition. Such a decimal represents an irrational number.
A. असमाप्य और अनावर्ती/Non-terminating and non-repeating
Explanation
Simple Explanation
अपरिमेय संख्या का दशमलव प्रसार असमाप्य और अनावर्ती होता है, इसलिए A सही है। समाप्य या आवर्ती प्रसार परिमेय होता है। परीक्षा में ‘असमाप्य-अनावर्ती’ पहचान याद रखें। / An irrational number has a decimal expansion that neither ends nor repeats a fixed pattern, so A is correct. Terminating or repeating decimals are rational. Exam tip: remember “non-terminating, non-repeating.”
A. \( \sqrt{4} \) और \( \sqrt{7} \)/\( \sqrt{4} \) and \( \sqrt{7} \)
Explanation
Simple Explanation
\( \sqrt{4}=2 \) परिमेय है और \( \sqrt{7} \) अपरिमेय है। जोड़ी में दोनों संख्याओं का प्रकार अलग-अलग जांचें। / \( \sqrt{4}=2 \) is rational and \( \sqrt{7} \) is irrational. Check the type of both numbers in a pair.
\( \sqrt{5} \) लगभग (2) और (3) के बीच है और अपरिमेय है। अपूर्ण वर्ग का वर्गमूल अच्छा उदाहरण होता है। / \( \sqrt{5} \) lies approximately between (2) and (3) and is irrational. A square root of a non-perfect square is a good example.
परिमेय संख्या में अपरिमेय संख्या जोड़ने पर परिणाम अपरिमेय रहता है। (3) परिमेय है और \( \sqrt{2} \) अपरिमेय है। / Adding a rational number to an irrational number gives an irrational number. (3) is rational and \( \sqrt{2} \) is irrational.
गैर-शून्य परिमेय संख्या (5) को अपरिमेय \( \sqrt{3} \) से गुणा करने पर अपरिमेय संख्या मिलती है। गुणन में शून्य का मामला अलग होता है। / Multiplying non-zero rational (5) by irrational \( \sqrt{3} \) gives an irrational number. The zero case is different.
A. पूर्ण वर्ग का वर्गमूल/Square root of a perfect square
Explanation
Simple Explanation
पूर्ण वर्ग का वर्गमूल पूर्णांक होता है, इसलिए परिमेय होता है। जैसे \( \sqrt{64}=8 \)। / The square root of a perfect square is an integer, so it is rational. For example, \( \sqrt{64}=8 \).
\( \sqrt{20} \) अपरिमेय है और सभी अपरिमेय संख्याएं वास्तविक होती हैं। वास्तविक लेकिन परिमेय नहीं होने का अर्थ अपरिमेय है। / \( \sqrt{20} \) is irrational and all irrational numbers are real. Real but not rational means irrational.
\( \sqrt{3} \) अपरिमेय है, इसलिए इसका दशमलव असांत अनावर्ती होता है। अपरिमेय संख्या का दशमलव कभी आवर्ती नहीं होता। / \( \sqrt{3} \) is irrational, so its decimal is non-terminating non-recurring. The decimal of an irrational number is never recurring.
A. \( \sqrt{6} \), \( \sqrt{10} \), \( \sqrt{11} \)
Explanation
Simple Explanation
(6), (10) और (11) पूर्ण वर्ग नहीं हैं, इसलिए तीनों वर्गमूल अपरिमेय हैं। सभी संख्याओं को अलग-अलग जांचें। / (6), (10), and (11) are not perfect squares, so all three square roots are irrational. Check each number separately.
\( \sqrt{2}\times\sqrt{2}=2 \) है, इसलिए परिमेय है। दो अपरिमेय संख्याओं का गुणन हमेशा अपरिमेय नहीं होता। / \( \sqrt{2}\times\sqrt{2}=2 \), so it is rational. The product of two irrational numbers is not always irrational.
\(28=4\times7\), इसलिए \( \sqrt{28}=2\sqrt{7} \) है। वर्गमूल सरल करने में पूर्ण वर्ग अलग करें। / \(28=4\times7\), so \( \sqrt{28}=2\sqrt{7} \). Separate perfect-square factors while simplifying square roots.
\(18=9\times2\), इसलिए \( \sqrt{18}=3\sqrt{2} \) है। पूर्ण वर्ग (9) को वर्गमूल से बाहर निकालें। / \(18=9\times2\), so \( \sqrt{18}=3\sqrt{2} \). Take the perfect square (9) out of the radical.
(2) परिमेय है और \( \sqrt{5} \) अपरिमेय है, इसलिए योग अपरिमेय है। परिमेय में अपरिमेय जोड़ने से अपरिमेय मिलता है। / (2) is rational and \( \sqrt{5} \) is irrational, so the sum is irrational. Adding rational and irrational gives irrational.
समान पद जोड़ने पर \( \sqrt{2}+\sqrt{2}=2\sqrt{2} \) होता है। समान वर्गमूलों को बीजीय पदों की तरह जोड़ें। / Adding like terms gives \( \sqrt{2}+\sqrt{2}=2\sqrt{2} \). Add like radicals like algebraic terms.
A. \(\sqrt{49}\) परिमेय है, क्योंकि \(\sqrt{49}=7\)/\(\sqrt{49}\) is rational because \(\sqrt{49}=7\)
Explanation
Simple Explanation
\(49=7\times7\), अतः \(\sqrt{49}=7=7/1\), जो परिमेय है। केवल वर्गमूल-चिह्न से संख्या अपरिमेय नहीं होती। परीक्षा में पहले जाँचें कि संख्या पूर्ण वर्ग है। / Since \(49=7\times7\), \(\sqrt{49}=7=7/1\), so it is rational. A radical sign alone does not make a number irrational. In exams, first check whether the radicand is a perfect square.
\(12=4\times3\), इसलिए \( \sqrt{12}=2\sqrt{3} \) है। वर्गमूल में पूर्ण वर्ग को बाहर निकालें। / \(12=4\times3\), so \( \sqrt{12}=2\sqrt{3} \). Take the perfect-square factor out of the radical.
\(48=16\times3\), इसलिए \( \sqrt{48}=4\sqrt{3} \) है। सबसे बड़ा पूर्ण वर्ग निकालने से उत्तर सरल मिलता है। / \(48=16\times3\), so \( \sqrt{48}=4\sqrt{3} \). Taking out the largest perfect square gives the simplest answer.
\( \sqrt{3}\times\sqrt{12}=\sqrt{36}=6 \) है, इसलिए परिमेय है। दो अपरिमेय संख्याओं का गुणन हमेशा अपरिमेय नहीं होता। / \( \sqrt{3}\times\sqrt{12}=\sqrt{36}=6 \), so it is rational. The product of two irrational numbers is not always irrational.
\(72=36\times2\), इसलिए \( \sqrt{72}=6\sqrt{2} \) है। पूर्ण वर्ग (36) को वर्गमूल से बाहर निकालें। / \(72=36\times2\), so \( \sqrt{72}=6\sqrt{2} \). Take the perfect square (36) out of the radical.
\( \sqrt{11} \) अपरिमेय है और उसका ऋणात्मक भी अपरिमेय रहता है। चिन्ह बदलने से संख्या का परिमेय-अपरिमेय प्रकार नहीं बदलता। / \( \sqrt{11} \) is irrational, and its negative remains irrational. Changing the sign does not change rational or irrational type.
A. यह परिमेय संख्या है, क्योंकि 27 का क्रम बार-बार दोहराता है।/It is a rational number because the block 27 repeats.
Explanation
Simple Explanation
आवर्ती दशमलव परिमेय होता है। यहाँ 27 बार-बार दोहराता है, इसलिए \(0.2727\ldots=\frac{27}{99}=\frac{3}{11}\) है। केवल अनंत होना अपरिमेयता नहीं है। परीक्षा में आवर्तन पहचानें। / A repeating decimal is rational. Here \(0.2727\ldots=\frac{27}{99}=\frac{3}{11}\), since 27 repeats. Non-termination alone does not make it irrational. Exam tip: first check for repetition.
\(1.01001000100001\ldots\) में निश्चित दोहराव नहीं है और यह समाप्त भी नहीं होता। ऐसा दशमलव अपरिमेय होता है। / \(1.01001000100001\ldots\) has no fixed repetition and does not terminate. Such a decimal is irrational.
\( \frac{1}{\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2} \) है, इसलिए यह अपरिमेय है। हर में अपरिमेय हो तो पहले सरल रूप सोचें। / \( \frac{1}{\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2} \), so it is irrational. If the denominator is irrational, first think of the simplified form.
परिमेय संख्या (4) में से अपरिमेय \( \sqrt{6} \) घटाने पर परिणाम अपरिमेय रहता है। परिमेय और अपरिमेय का योग या अंतर सामान्यतः अपरिमेय होता है। / Subtracting irrational \( \sqrt{6} \) from rational (4) gives an irrational number. The sum or difference of rational and irrational is generally irrational.
\(108=36\times3\), इसलिए \( \sqrt{108}=6\sqrt{3} \) है। वर्गमूल सरल करते समय सबसे बड़ा पूर्ण वर्ग निकालें। / \(108=36\times3\), so \( \sqrt{108}=6\sqrt{3} \). While simplifying radicals, take out the largest perfect square.
(9<13<16), इसलिए \(3<\sqrt{13}<4\) और (13) पूर्ण वर्ग नहीं है। इसलिए \( \sqrt{13} \) अपरिमेय है। / Since (9<13<16), \(3<\sqrt{13}<4\), and (13) is not a perfect square. Therefore, \( \sqrt{13} \) is irrational.
\( \sqrt{18}=3\sqrt{2} \), इसलिए \( \frac{\sqrt{18}}{3}=\sqrt{2} \) है। पहले वर्गमूल सरल करें और फिर समान गुणक काटें। / \( \sqrt{18}=3\sqrt{2} \), so \( \frac{\sqrt{18}}{3}=\sqrt{2} \). First simplify the radical and then cancel common factors.
