Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है
(10) और (25) का समान गुणनखंड (5) है। दोनों को (5) से भाग देने पर \( \frac{2}{5} \) मिलता है। / The common factor of (10) and (25) is (5). Dividing both by (5) gives \( \frac{2}{5} \).
(x) के स्थान पर (3) रखने पर \(2\times3+5=11\) मिलता है। परीक्षा में पहले प्रतिस्थापन करें फिर गणना करें। / Substituting (3) for (x) gives \(2\times3+5=11\). Exam tip: substitute first and then calculate.
A. जिसे \( \frac{p}{q} \) के रूप में लिखा जा सके जहाँ \(q \neq 0\)/Can be written as \( \frac{p}{q} \) where \(q \neq 0\)
Explanation
Simple Explanation
परिमेय संख्या \( \frac{p}{q} \) के रूप में लिखी जाती है जहाँ हर शून्य नहीं होता। परीक्षा में हर को हमेशा जाँचें। / A rational number can be written as \( \frac{p}{q} \) where the denominator is not zero. Always check the denominator in exams.
\( \frac{3}{5} \) में अंश और हर पूर्णांक हैं तथा हर शून्य नहीं है। इसलिए यह परिमेय संख्या है। / In \( \frac{3}{5} \), numerator and denominator are integers and the denominator is not zero. So it is rational.
\( \frac{-7}{4} \) दो पूर्णांकों का अनुपात है और हर शून्य नहीं है। वर्गमूल वाली दी गई संख्याएँ सरल परिमेय रूप में नहीं हैं। / \( \frac{-7}{4} \) is a ratio of two integers with non-zero denominator. The given square-root numbers are not in simple rational form.
(0) को \( \frac{0}{q} \) लिखा जा सकता है जहाँ \(q \neq 0\)। हर में शून्य कभी न रखें। / (0) can be written as \( \frac{0}{q} \) where \(q \neq 0\). Never put zero in the denominator.
(6) और (8) दोनों को (2) से भाग देने पर \( \frac{3}{4} \) मिलता है। सरलतम रूप में समान गुणनखंड हटाएँ। / Dividing both (6) and (8) by (2) gives \( \frac{3}{4} \). Remove common factors for simplest form.
मानक रूप में हर धनात्मक और अंश-हर सहाभाज्य होते हैं। \( \frac{-9}{12}=\frac{-3}{4} \) सही है। / In standard form the denominator is positive and numerator and denominator are coprime. \( \frac{-9}{12}=\frac{-3}{4} \) is correct.
\( \frac{2}{3} \) को (4) से गुणा करने पर \( \frac{8}{12} \) मिलता है। तुल्य भिन्न में अंश और हर को समान संख्या से गुणा करें। / Multiplying \( \frac{2}{3} \) by (4) gives \( \frac{8}{12} \). For equivalent fractions multiply numerator and denominator by the same number.
किसी संख्या का योज्य प्रतिलोम वही संख्या विपरीत चिह्न के साथ होता है। दोनों का योग (0) होता है। / The additive inverse has the same value with the opposite sign. Their sum is (0).
गुणात्मक प्रतिलोम में अंश और हर बदल जाते हैं और चिह्न वही रहता है। गुणनफल (1) होना चाहिए। / In the multiplicative inverse numerator and denominator are interchanged and the sign remains. The product should be (1).
समान हर (6) लेने पर \( \frac{3}{6}+\frac{2}{6}=\frac{5}{6} \) मिलता है। भिन्न जोड़ते समय लघुत्तम समापवर्त्य लें। / Taking common denominator (6), \( \frac{3}{6}+\frac{2}{6}=\frac{5}{6} \). Use LCM while adding fractions.
हर समान है इसलिए अंश घटाएँ। \( \frac{7}{10}-\frac{2}{10}=\frac{5}{10}=\frac{1}{2} \)। / The denominators are same, so subtract the numerators. \( \frac{7}{10}-\frac{2}{10}=\frac{5}{10}=\frac{1}{2} \).
भाग को दूसरे भिन्न के प्रतिलोम से गुणा में बदलें। \( \frac{5}{6}\times\frac{3}{10}=\frac{1}{4} \)। / Change division into multiplication by the reciprocal of the second fraction. \( \frac{5}{6}\times\frac{3}{10}=\frac{1}{4} \).
हर समान है इसलिए बड़े अंश वाला भिन्न बड़ा होगा। यहाँ (5) बड़ा है। / The denominators are same, so the fraction with greater numerator is greater. Here (5) is greater.
\( \frac{1}{2}=\frac{4}{8} \) है इसलिए \( \frac{3}{8} \) छोटी है। तुलना के लिए समान हर बनाना उपयोगी है। / \( \frac{1}{2}=\frac{4}{8} \), so \( \frac{3}{8} \) is smaller. Making common denominators helps in comparison.
\( \frac{-1}{5} \) संख्या रेखा पर \( \frac{-2}{5} \) और \( \frac{1}{5} \) के बीच है। ऋणात्मक संख्याओं की दिशा ध्यान रखें। / \( \frac{-1}{5} \) lies between \( \frac{-2}{5} \) and \( \frac{1}{5} \) on the number line. Be careful with the direction of negative numbers.
\( \frac{1}{2}=\frac{2}{4} \) है जो \( \frac{1}{4} \) और \( \frac{3}{4} \) के बीच है। बीच की संख्या के लिए समान हर बनाइए। / \( \frac{1}{2}=\frac{2}{4} \), which lies between \( \frac{1}{4} \) and \( \frac{3}{4} \). Use common denominators to find a middle number.
हर शून्य होने पर भिन्न परिभाषित नहीं होती। परिमेय संख्या में हर हमेशा शून्य से अलग होना चाहिए। / A fraction is undefined when the denominator is zero. In a rational number the denominator must always be non-zero.
हर (1) लेकर किसी भी पूर्णांक को परिमेय संख्या लिखा जा सकता है। इसलिए \( -6=\frac{-6}{1} \)। / Any integer can be written as a rational number by taking denominator (1). Therefore \( -6=\frac{-6}{1} \).
A. हर पूर्णांक परिमेय संख्या है/Every integer is a rational number
Explanation
Simple Explanation
हर पूर्णांक \( \frac{p}{1} \) के रूप में लिखा जा सकता है। इसलिए हर पूर्णांक परिमेय है। / Every integer can be written as \( \frac{p}{1} \). Hence every integer is rational.
\(0.75=\frac{75}{100}=\frac{3}{4} \) है। समाप्त दशमलव हमेशा परिमेय होते हैं। / \(0.75=\frac{75}{100}=\frac{3}{4} \). Terminating decimals are always rational.
\(0.2=\frac{2}{10}=\frac{1}{5} \) है। दशमलव को (10) की घात वाले हर में बदलें। / \(0.2=\frac{2}{10}=\frac{1}{5} \). Convert decimals using denominators that are powers of (10).
समाप्त दशमलव को भिन्न में बदला जा सकता है। इसलिए वह परिमेय संख्या है। / A terminating decimal can be converted into a fraction. Therefore it is a rational number.
\(0.\overline{3}\) आवर्ती दशमलव है और इसका मान \( \frac{1}{3} \) है। आवर्ती दशमलव परिमेय होते हैं। / \(0.\overline{3}\) is a repeating decimal and equals \( \frac{1}{3} \). Repeating decimals are rational.
C. असमाप्त और अनावर्ती दशमलव/Non-terminating non-repeating decimal
Explanation
Simple Explanation
असमाप्त और अनावर्ती दशमलव परिमेय संख्या नहीं होता। परीक्षा में दशमलव का पैटर्न पहचानें। / A non-terminating non-repeating decimal is not rational. Identify the decimal pattern in exams.
\( \frac{2}{5}=\frac{4}{10}=0.4 \) है। हर को (10) या (100) में बदलना आसान तरीका है। / \( \frac{2}{5}=\frac{4}{10}=0.4 \). Changing denominator to (10) or (100) is an easy method.
\( \frac{1}{4}=0.25 \) है इसलिए \( \frac{-1}{4}=-0.25 \) होगा। चिह्न को अंत तक बनाए रखें। / \( \frac{1}{4}=0.25 \), so \( \frac{-1}{4}=-0.25 \). Keep the sign throughout the calculation.
हर (100) है इसलिए दशमलव में दो स्थान होंगे। \( \frac{11}{100}=0.11 \)। / The denominator is (100), so there will be two decimal places. \( \frac{11}{100}=0.11 \).
\( \frac{9}{10} \) का मान (1) से कम और (0) से अधिक है। इसलिए यह (0) और (1) के बीच है। / \( \frac{9}{10} \) is less than (1) and greater than (0). So it lies between (0) and (1).
\( \frac{-3}{2}=-1.5 \) है जो (-2) और (-1) के बीच आता है। ऋणात्मक दशमलव को संख्या रेखा पर सावधानी से रखें। / \( \frac{-3}{2}=-1.5 \), which lies between (-2) and (-1). Place negative decimals carefully on the number line.
परिमेय संख्याएँ योग के लिए संवृत होती हैं। दो परिमेय संख्याओं का योग भी परिमेय होता है। / Rational numbers are closed under addition. The sum of two rational numbers is also rational.
परिमेय संख्याएँ गुणन के लिए संवृत होती हैं। इसलिए गुणनफल परिमेय संख्या ही होगा। / Rational numbers are closed under multiplication. So their product will be rational.
किसी भी परिमेय संख्या में (0) जोड़ने पर वही संख्या मिलती है। इसलिए (0) योग का तत्समक अवयव है। / Adding (0) to any rational number gives the same number. Hence (0) is the additive identity.
किसी भी परिमेय संख्या को (1) से गुणा करने पर वही संख्या मिलती है। इसलिए (1) गुणन का तत्समक अवयव है। / Multiplying any rational number by (1) gives the same number. Hence (1) is the multiplicative identity.
हर को धनात्मक रखने के लिए ऋण चिह्न अंश में रखते हैं। \( \frac{8}{-12}=\frac{-2}{3} \)। / To keep the denominator positive, put the negative sign in the numerator. \( \frac{8}{-12}=\frac{-2}{3} \).
दो ऋण चिह्न मिलकर धनात्मक बनाते हैं। इसलिए \( \frac{-5}{-6}=\frac{5}{6} \)। / Two negative signs make a positive sign. Therefore \( \frac{-5}{-6}=\frac{5}{6} \).
भिन्न में ऊपर लिखी संख्या अंश होती है। \( \frac{4}{5} \) में अंश (4) है। / The number written on top in a fraction is the numerator. In \( \frac{4}{5} \), the numerator is (4).
भिन्न में नीचे लिखी संख्या हर होती है। \( \frac{13}{17} \) में हर (17) है। / The number written below in a fraction is the denominator. In \( \frac{13}{17} \), the denominator is (17).
शून्य को किसी भी शून्य से अलग संख्या से भाग देने पर मान (0) होता है। यहाँ हर (-9) है जो शून्य नहीं है। / Zero divided by any non-zero number is (0). Here the denominator (-9) is not zero.
\( \frac{2}{2}=1 \) और हर शून्य नहीं है। इसलिए यह (1) का परिमेय रूप है। / \( \frac{2}{2}=1 \) and the denominator is non-zero. So it is a rational form of (1).
\( \frac{6}{14} \) को (2) से भाग देने पर \( \frac{3}{7} \) मिलता है। इसलिए दोनों तुल्य हैं। / Dividing \( \frac{6}{14} \) by (2) gives \( \frac{3}{7} \). So both are equivalent.
हर समान है इसलिए अंश जोड़ें। \( \frac{2}{9}+\frac{1}{9}=\frac{3}{9} \)। / The denominators are same, so add the numerators. \( \frac{2}{9}+\frac{1}{9}=\frac{3}{9} \).
विपरीत चिह्न वाला रूप \( \frac{7}{3} \) है। यह \( \frac{-7}{3} \) का योज्य प्रतिलोम भी है। / The form with opposite sign is \( \frac{7}{3} \). It is also the additive inverse of \( \frac{-7}{3} \).
समान अंश में छोटा हर वाला भिन्न बड़ा होता है। इसलिए \( \frac{3}{4}>\frac{3}{5} \)। / With the same numerator, the fraction with the smaller denominator is greater. Hence \( \frac{3}{4}>\frac{3}{5} \).
ऋणात्मक संख्याओं में जो शून्य के अधिक निकट हो वह बड़ी होती है। \( \frac{-1}{6} \) शून्य के अधिक निकट है। / Among negative numbers, the one closer to zero is greater. \( \frac{-1}{6} \) is closer to zero.
हर (8) से (16) करने के लिए (2) से गुणा करें। इसलिए अंश \(5\times2=10\) होगा। / To change denominator (8) to (16), multiply by (2). So the numerator will be \(5\times2=10\).
मध्य मान \( \frac{\frac{2}{3}+\frac{4}{5}}{2}=\frac{11}{15} \) है। दो संख्याओं के बीच संख्या के लिए औसत ले सकते हैं। / The middle value is \( \frac{\frac{2}{3}+\frac{4}{5}}{2}=\frac{11}{15} \). You can take the average to find a number between two numbers.
