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A. अलग आगतों के अलग निर्गत होते हैं/Different inputs have different outputs
Step 1
Concept
In a one-one function, two different inputs cannot have the same output.
Step 2
Why this answer is correct
So different inputs must give different outputs.
Step 3
Exam Tip
To test one-one, assume (f(a)=f(b)) and show (a=b). चरण 1: एकैकी फलन में दो अलग आगत एक ही निर्गत नहीं दे सकते। चरण 2: इसलिए अलग आगतों के अलग निर्गत होना जरूरी है। चरण 3: परीक्षा में एकैकी जाँचने के लिए (f(a)=f(b)) मानकर (a=b) दिखाएँ।
Both give the output (5), so the function is not one-one.
Step 3
Exam Tip
In a one-one function, equal outputs must come from equal inputs. चरण 1: यहाँ (2) और (3) अलग आगत हैं। चरण 2: दोनों का निर्गत (5) है इसलिए एकैकीपन टूट जाता है। चरण 3: एकैकी फलन में समान निर्गत मिलने पर आगत भी समान होना चाहिए।
A linear function (ax+b) is one-one when \(a\neq0\). चरण 1: मान लें (f(a)=f(b))। चरण 2: (2a+1=2b+1) से (a=b) मिलता है। चरण 3: रैखिक फलन (ax+b) में \(a\neq0\) हो तो फलन एकैकी होता है।
This is a constant function because its value is (7) for every (x).
Step 2
Why this answer is correct
(f(1)=7) and (f(2)=7), although \(1\neq2\).
Step 3
Exam Tip
A constant function on a larger domain is not one-one. चरण 1: यह स्थिर फलन है क्योंकि हर (x) पर मान (7) है। चरण 2: (f(1)=7) और (f(2)=7) मिलते हैं जबकि \(1\neq2\)। चरण 3: स्थिर फलन बड़े प्रांत पर एकैकी नहीं होता।
In a modulus function, (x) and (-x) can give the same value.
Step 2
Why this answer is correct
(f(2)=2) and (f(-2)=2), although \(2\neq-2\).
Step 3
Exam Tip
For modulus functions, check opposite-sign inputs. चरण 1: मापांक में (x) और (-x) का मान समान हो सकता है। चरण 2: (f(2)=2) और (f(-2)=2) जबकि \(2\neq-2\)। चरण 3: मापांक फलन में एकैकीपन जाँचते समय विपरीत चिन्ह वाले आगत देखें।
As (x) increases, \(e^x\) also increases, so two different inputs cannot give the same output.
Step 3
Exam Tip
Increasing functions are usually easy to test for one-one. चरण 1: \(e^x\) बढ़ने वाला फलन है। चरण 2: (x) बढ़ाने पर \(e^x\) का मान भी बढ़ता है इसलिए दो अलग आगत समान निर्गत नहीं देते। चरण 3: बढ़ते फलन सामान्यतः एकैकी जाँच में सरल होते हैं।
\(\log x\) is increasing on its domain (\(0,\infty\)).
Step 2
Why this answer is correct
Different positive inputs give different logarithmic values.
Step 3
Exam Tip
For logarithmic functions, remember that the domain contains positive numbers only. चरण 1: \(\log x\) अपने प्रांत (\(0,\infty\)) पर बढ़ने वाला फलन है। चरण 2: अलग धनात्मक आगतों पर \(\log x\) के अलग मान मिलते हैं। चरण 3: लघुगणक फलन में प्रांत हमेशा धनात्मक संख्याओं का होता है।
The condition (f(a)=f(b)\Rightarrow a=b) is the main test for one-one. चरण 1: (f(a)=f(b)) रखने पर (3a-5=3b-5) मिलता है। चरण 2: सरल करने पर (3a=3b) और फिर (a=b)। चरण 3: (f(a)=f(b)\Rightarrow a=b) एकैकी फलन की मुख्य जाँच है।
To show a function is not one-one, show equal outputs for different inputs.
Step 2
Why this answer is correct
(f(1)=2) and (f(-1)=2), while \(1\neq-1\).
Step 3
Exam Tip
Finding only one value is not enough; compare two different inputs. चरण 1: एकैकी नहीं दिखाने के लिए अलग आगतों पर समान मान दिखाएँ। चरण 2: (f(1)=2) और (f(-1)=2) जबकि \(1\neq-1\)। चरण 3: केवल एक मान निकालना काफी नहीं होता, दो अलग आगतों की तुलना करें।
Adding (4) to different natural numbers gives different numbers.
Step 2
Why this answer is correct
If \(n_1+4=n_2+4\), then \(n_1=n_2\).
Step 3
Exam Tip
Adding the same number does not destroy one-one property. चरण 1: अलग प्राकृतिक संख्याओं में (4) जोड़ने पर अलग संख्याएँ मिलती हैं। चरण 2: यदि \(n_1+4=n_2+4\) तो \(n_1=n_2\)। चरण 3: समान संख्या जोड़ना एकैकीपन को नहीं तोड़ता।
Doubling different integers gives different results.
Step 2
Why this answer is correct
From \(2n_1=2n_2\), we get \(n_1=n_2\).
Step 3
Exam Tip
A linear rule with non-zero coefficient remains one-one. चरण 1: (2n) में अलग पूर्णांकों को दुगुना करने पर अलग परिणाम मिलते हैं। चरण 2: \(2n_1=2n_2\) से \(n_1=n_2\) मिलता है। चरण 3: गुणांक शून्य न हो तो ऐसा रैखिक फलन एकैकी रहता है।
(f(1)=1) and (f(-1)=1), so different inputs have the same output.
Step 3
Exam Tip
The square function is not one-one on all integers. चरण 1: पूर्णांकों में (1) और (-1) दोनों आते हैं। चरण 2: (f(1)=1) और (f(-1)=1) इसलिए अलग आगतों का समान निर्गत है। चरण 3: वर्ग फलन पूरे पूर्णांक समुच्चय पर एकैकी नहीं होता।
For finite sets, one-one can be checked quickly by listing the images. चरण 1: प्रांत के हर तत्व का एक ही प्रतिबिंब है। चरण 2: प्रतिबिंब (4,5,6) सभी अलग हैं। चरण 3: सीमित समुच्चय में प्रतिबिंबों की सूची देखकर एकैकीपन जल्दी जाँचा जा सकता है।
Both have image (4), so the function is not one-one.
Step 3
Exam Tip
For finite sets, repeated images mean the function is not one-one. चरण 1: (1) और (2) अलग तत्व हैं। चरण 2: दोनों का प्रतिबिंब (4) है इसलिए एकैकीपन नहीं है। चरण 3: सीमित समुच्चय में यदि कोई प्रतिबिंब दोहर जाए तो फलन एकैकी नहीं होता।
A one-one function needs a distinct image for each domain element.
Step 2
Why this answer is correct
Here (5) distinct images are needed, but the codomain has only (3) elements.
Step 3
Exam Tip
For a one-one function, the codomain must have at least as many elements as the domain. चरण 1: एकैकी फलन में प्रांत के हर तत्व को अलग प्रतिबिंब चाहिए। चरण 2: यहाँ (5) अलग प्रतिबिंब चाहिए लेकिन सहप्रांत में केवल (3) तत्व हैं। चरण 3: एकैकी फलन के लिए सहप्रांत में कम से कम प्रांत जितने तत्व होने चाहिए।
The codomain has (5) elements, so choosing (3) distinct images is possible.
Step 3
Exam Tip
For finite sets, compare the number of elements first. चरण 1: एकैकी फलन के लिए (3) अलग प्रतिबिंब चाहिए। चरण 2: सहप्रांत में (5) तत्व हैं इसलिए (3) अलग प्रतिबिंब चुनना संभव है। चरण 3: सीमित समुच्चय में पहले तत्वों की संख्या की तुलना करें।
A negative coefficient does not destroy one-one property; the coefficient just must not be zero. चरण 1: (f(a)=f(b)) मानें। चरण 2: (-4a+9=-4b+9) से (a=b) मिलता है। चरण 3: ऋणात्मक गुणांक होने से एकैकीपन नहीं टूटता, गुणांक केवल शून्य नहीं होना चाहिए।
In a linear expression, if the coefficient of (x) is (0), the function becomes constant. चरण 1: (0x+6) का मान हर (x) के लिए (6) है। चरण 2: (f(1)=6) और (f(5)=6) जबकि \(1\neq5\)। चरण 3: रैखिक रूप में (x) का गुणांक (0) हो तो फलन स्थिर हो जाता है।
\(x^3\) is an increasing function on real numbers.
Step 2
Why this answer is correct
If \(a^3=b^3\), then (a=b).
Step 3
Exam Tip
The basic odd-power cubic function is one-one. चरण 1: \(x^3\) वास्तविक संख्याओं पर बढ़ने वाला फलन है। चरण 2: अगर \(a^3=b^3\) हो तो (a=b) होता है। चरण 3: विषम घात का सरल घन फलन एकैकी होता है।
Even-power functions are generally not one-one on the whole real domain. चरण 1: (1) और (-1) अलग वास्तविक संख्याएँ हैं। चरण 2: दोनों पर \(x^4\) का मान (1) आता है। चरण 3: सम घात वाले फलन पूरे वास्तविक प्रांत पर सामान्यतः एकैकी नहीं होते।
A. अलग आगतों पर अलग मान मिलते हैं/Different inputs give different values
Step 1
Concept
(f(4)=14) and (f(5)=15).
Step 2
Why this answer is correct
Different inputs give different values.
Step 3
Exam Tip
In such a linear function, adding the same number preserves order and one-one property. चरण 1: (f(4)=14) और (f(5)=15) हैं। चरण 2: अलग आगतों पर अलग मान मिल रहे हैं। चरण 3: ऐसे रैखिक फलन में समान संख्या जोड़ने से क्रम और एकैकीपन बना रहता है।
In a one-one function, different inputs have different images.
Step 2
Why this answer is correct
Since \(a_1\neq a_2\), we must have (f\(a_1\)\neq f\(a_2\)).
Step 3
Exam Tip
This is the direct meaning of one-one. चरण 1: एकैकी फलन में अलग आगतों के प्रतिबिंब अलग होते हैं। चरण 2: \(a_1\neq a_2\) दिया है इसलिए (f\(a_1\)\neq f\(a_2\)) होगा। चरण 3: यह एकैकी फलन की सीधी पहचान है।
The condition for one-one connects equal outputs to equal inputs.
Step 2
Why this answer is correct
If (f\(a_1\)=f\(a_2\)), then \(a_1=a_2\).
Step 3
Exam Tip
This is the most commonly used form in proofs. चरण 1: एकैकी फलन की शर्त समान निर्गत से समान आगत तक जाती है। चरण 2: (f\(a_1\)=f\(a_2\)) होने पर \(a_1=a_2\) होना चाहिए। चरण 3: यह प्रमाण लिखने में सबसे अधिक उपयोग होने वाला रूप है।
In finite functions, no repetition of images means the function is one-one. चरण 1: एकैकीपन के लिए सभी प्रतिबिंब अलग होने चाहिए। चरण 2: यहाँ चारों प्रतिबिंब अलग दिए गए हैं। चरण 3: सीमित फलनों में दोहराव न हो तो फलन एकैकी होता है।
Such repetition is not allowed in a one-one function.
Step 2
Why this answer is correct
If two different inputs have the same image, the condition fails.
Step 3
Exam Tip
One counterexample is enough to disprove one-one. चरण 1: एकैकी फलन में ऐसा दोहराव नहीं होना चाहिए। चरण 2: दो अलग आगतों का समान प्रतिबिंब मिलने पर शर्त टूट जाती है। चरण 3: एक विरोधी उदाहरण एकैकीपन नकारने के लिए पर्याप्त है।
A. क्योंकि (5a=5b) से (a=b) मिलता है/Because (5a=5b) gives (a=b)
Step 1
Concept
Assuming (f(a)=f(b)) gives (5a=5b).
Step 2
Why this answer is correct
Dividing both sides by (5) gives (a=b).
Step 3
Exam Tip
Multiplication by a non-zero number preserves one-one property. चरण 1: (f(a)=f(b)) मानने पर (5a=5b) मिलता है। चरण 2: दोनों ओर (5) से भाग देने पर (a=b) है। चरण 3: शून्य से अलग गुणन एकैकीपन बनाए रखता है।
In modulus functions, points equally far from the center can give the same value. चरण 1: (f(2)=|2-3|=1) है। चरण 2: (f(4)=|4-3|=1) है जबकि \(2\neq4\)। चरण 3: मापांक में केंद्र से बराबर दूरी वाले दो बिंदु समान मान दे सकते हैं।
Restricting the domain can make a modulus function one-one. चरण 1: \(x\geq3\) पर (|x-3|=x-3) हो जाता है। चरण 2: (x-3) बढ़ने वाला रैखिक फलन है। चरण 3: प्रांत सीमित करने पर मापांक फलन एकैकी बन सकता है।
In a quadratic function, equal values can occur on both sides of the axis. चरण 1: (f(0)=0) है। चरण 2: (f(2)=4-4=0) है जबकि \(0\neq2\)। चरण 3: द्विघात फलन में धुरी के दोनों ओर समान मान मिल सकते हैं।
For \(x\geq1\), ((x-1)2) increases, so different (x) values give different outputs.
Step 3
Exam Tip
A quadratic function can be one-one on one side of its axis. चरण 1: (x-2-2x=(x-1)2-1) है। चरण 2: \(x\geq1\) पर ((x-1)2) बढ़ता है इसलिए अलग (x) पर अलग मान मिलते हैं। चरण 3: द्विघात फलन धुरी के एक ओर एकैकी हो सकता है।
A. (f(a)=f(b)) मानकर (a=b) सिद्ध करना/Assume (f(a)=f(b)) and prove (a=b)
Step 1
Concept
One-one property is about comparing inputs and outputs.
Step 2
Why this answer is correct
If (f(a)=f(b)) leads to (a=b), the function is one-one.
Step 3
Exam Tip
Finding only one function value is not a proof of one-one. चरण 1: एकैकीपन आगतों और निर्गतों की तुलना से जुड़ा है। चरण 2: (f(a)=f(b)) से (a=b) निकलता है तो फलन एकैकी है। चरण 3: केवल एक मान निकालना एकैकीपन का प्रमाण नहीं होता।
Adding (2) keeps different input values different.
Step 3
Exam Tip
Adding a constant to a one-one function does not change one-one property. चरण 1: \(x^3\) एक बढ़ने वाला फलन है। चरण 2: उसमें (2) जोड़ने से अलग आगतों के मान अलग ही रहते हैं। चरण 3: किसी एकैकी फलन में स्थिर संख्या जोड़ने से एकैकीपन नहीं बदलता।
\(x^3\) gives different values for different real inputs.
Step 2
Why this answer is correct
Multiplying by (2) and subtracting (1) does not change the equality pattern.
Step 3
Exam Tip
Linear transformations of a basic cubic function remain one-one. चरण 1: \(x^3\) अलग वास्तविक आगतों पर अलग मान देता है। चरण 2: (2) से गुणा और (1) घटाने पर समानता की प्रकृति नहीं बदलती। चरण 3: सरल घन फलन के रैखिक रूपांतरण भी एकैकी रहते हैं।
The perfect square form helps find two inputs with the same output. चरण 1: (x-2+4x+4=(x+2)2) है। चरण 2: (f(-1)=1) और (f(-3)=1) जबकि \(-1\neq-3\)। चरण 3: पूर्ण वर्ग रूप देखकर समान मान देने वाले दो आगत आसानी से मिलते हैं।
\(\sin 0=0\) and \(\sin \pi=0\), while \(0\neq\pi\).
Step 3
Exam Tip
Periodic functions are usually not one-one on the whole real domain. चरण 1: \(\sin x\) आवर्ती फलन है। चरण 2: \(\sin 0=0\) और \(\sin \pi=0\) जबकि \(0\neq\pi\)। चरण 3: पूरे वास्तविक प्रांत पर आवर्ती फलन अक्सर एकैकी नहीं होते।
In this interval, two different (x) values do not give the same sine value.
Step 3
Exam Tip
Trigonometric functions can be one-one on suitable restricted intervals. चरण 1: दिए गए अंतराल पर \(\sin x\) लगातार बढ़ता है। चरण 2: इस अंतराल में दो अलग (x) समान ज्या मान नहीं देते। चरण 3: त्रिकोणमितीय फलन उचित अंतराल पर एकैकी हो सकते हैं।
\(\cos 0=1\) and \(\cos 2\pi=1\), while \(0\neq2\pi\).
Step 3
Exam Tip
If different angles give the same value, the function is not one-one. चरण 1: \(\cos x\) आवर्ती फलन है। चरण 2: \(\cos 0=1\) और \(\cos 2\pi=1\) जबकि \(0\neq2\pi\)। चरण 3: समान मान वाले अलग कोण मिल जाएँ तो फलन एकैकी नहीं होता।
A decreasing function gives different outputs for different inputs.
Step 3
Exam Tip
Being strictly decreasing is also a strong sign of one-one property. चरण 1: \([0,\pi]\) पर \(\cos x\) घटने वाला फलन है। चरण 2: घटने वाला फलन अलग आगतों पर अलग मान देता है। चरण 3: घटता हुआ होना भी एकैकीपन की मजबूत पहचान है।
In a one-one function, two different elements cannot have the same image.
Step 2
Why this answer is correct
Therefore selected images are not repeated.
Step 3
Exam Tip
Counting one-one functions uses the idea of permutations. चरण 1: एकैकी फलन में दो अलग तत्वों को एक ही प्रतिबिंब नहीं मिल सकता। चरण 2: इसलिए चुने गए प्रतिबिंब दोहराए नहीं जाते। चरण 3: एकैकी फलनों की गिनती में क्रमचय का विचार आता है।
The second element has (3) remaining choices because repetition is not allowed.
Step 3
Exam Tip
Total one-one functions are \(4\cdot3=12\). चरण 1: पहले तत्व के लिए (4) चुनाव हैं। चरण 2: दूसरे तत्व के लिए दोहराव न होने से (3) चुनाव बचते हैं। चरण 3: कुल एकैकी फलन \(4\cdot3=12\) होंगे।
The total number is \(3\cdot2\cdot1=6\). चरण 1: पहले तत्व के लिए (3) चुनाव हैं। चरण 2: फिर (2) और फिर (1) चुनाव बचता है। चरण 3: कुल संख्या \(3\cdot2\cdot1=6\) है।
The codomain has only (2) elements, so this is impossible.
Step 3
Exam Tip
If the domain is larger than the codomain, the number of one-one functions may be zero. चरण 1: एकैकी फलन के लिए (4) अलग प्रतिबिंब चाहिए। चरण 2: सहप्रांत में केवल (2) तत्व हैं इसलिए यह संभव नहीं है। चरण 3: प्रांत बड़ा और सहप्रांत छोटा हो तो एकैकी फलनों की संख्या शून्य हो सकती है।
A. प्रांत के तत्वों जितनी/Equal to the number of elements in the domain
Step 1
Concept
In a one-one function, each domain element has a distinct image.
Step 2
Why this answer is correct
Therefore the range has as many elements as the domain.
Step 3
Exam Tip
This fact is very useful in counting problems on finite sets. चरण 1: एकैकी फलन में प्रांत के हर तत्व का अलग प्रतिबिंब होता है। चरण 2: इसलिए परास में उतने ही तत्व होंगे जितने प्रांत में हैं। चरण 3: यह बात सीमित समुच्चयों की गिनती में बहुत उपयोगी है।
\(\frac{a+1}{2}=\frac{b+1}{2}\) gives (a+1=b+1), so (a=b).
Step 3
Exam Tip
A fixed denominator does not break one-one property. चरण 1: (f(a)=f(b)) मानें। चरण 2: \(\frac{a+1}{2}=\frac{b+1}{2}\) से (a+1=b+1) और (a=b) मिलता है। चरण 3: हर में स्थिर संख्या होने से एकैकीपन नहीं टूटता।
From (f(a)=f(b)), we get \(\frac{1}{a}=\frac{1}{b}\).
Step 2
Why this answer is correct
Since \(a\neq0\) and \(b\neq0\), this gives (a=b).
Step 3
Exam Tip
The reciprocal function is one-one on its proper domain. चरण 1: (f(a)=f(b)) से \(\frac{1}{a}=\frac{1}{b}\) मिलता है। चरण 2: \(a\neq0\) और \(b\neq0\) होने से (a=b) निष्कर्ष मिलता है। चरण 3: व्युत्क्रम फलन अपने उचित प्रांत पर एकैकी होता है।
A quadratic function is generally not one-one on the whole real domain. चरण 1: (x-2+2x+5=(x+1)2+4) है। चरण 2: (f(0)=5) और (f(-2)=5) जबकि \(0\neq-2\)। चरण 3: द्विघात फलन पूरे वास्तविक प्रांत पर सामान्यतः एकैकी नहीं होता।
On one side of its axis, a quadratic function can be one-one. चरण 1: (f(x)=(x+1)2+4) है। चरण 2: \(x\geq-1\) पर ((x+1)2) बढ़ता है। चरण 3: धुरी के एक ओर द्विघात फलन एकैकी हो सकता है।
(f(x)=x+1) is linear and the coefficient of (x) is \(1\neq0\).
Step 2
Why this answer is correct
The other options can give equal outputs for different inputs or are constant.
Step 3
Exam Tip
In easy questions, identify linear and constant functions first. चरण 1: (f(x)=x+1) रैखिक है और (x) का गुणांक \(1\neq0\) है। चरण 2: बाकी विकल्पों में अलग आगत समान मान दे सकते हैं या फलन स्थिर है। चरण 3: आसान प्रश्नों में पहले रैखिक और स्थिर फलनों को पहचानें।
A linear function is one-one when the coefficient of (x) is not zero. चरण 1: (f(a)=f(b)) मानने पर (6-2a=6-2b) मिलता है। चरण 2: सरल करने पर (-2a=-2b) इसलिए (a=b)। चरण 3: रैखिक फलन में (x) का गुणांक शून्य न हो तो फलन एकैकी होता है।
Each element of the domain has exactly one image, so it is a function.
Step 2
Why this answer is correct
But both (2) and (4) have image (7).
Step 3
Exam Tip
In a finite set, repeated images mean the function is not one-one. चरण 1: प्रांत के हर तत्व का ठीक एक प्रतिबिंब है इसलिए यह फलन है। चरण 2: लेकिन (2) और (4) दोनों का प्रतिबिंब (7) है। चरण 3: सीमित समुच्चय में कोई प्रतिबिंब दोहर जाए तो फलन एकैकी नहीं होता।
