Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है
Multiplying the whole inequality by (3) and subtracting (1) gives \( -13<3x-1\leq 5 \). Positive multiplication does not change the sign.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. \( -13<3x-1\leq 5 \). Multiplying the whole inequality by (3) and subtracting (1) gives \( -13<3x-1\leq 5 \). Positive multiplication does not change the sign.
Step 3
Exam Tip
पूरी असमानता को (3) से गुणा करके (1) घटाने पर \( -13<3x-1\leq 5 \) मिलता है। धनात्मक गुणन में चिन्ह नहीं बदलता।
The first condition gives (x>1) and the second gives (x<9), so (x=2,3,4,5,6,7,8), which are (7) integers. Always list integer endpoints carefully.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. (5). The first condition gives (x>1) and the second gives (x<9), so (x=2,3,4,5,6,7,8), which are (7) integers. Always list integer endpoints carefully.
Step 3
Exam Tip
पहली शर्त से (x>1) और दूसरी से (x<9) है इसलिए (x=2,3,4,5,6,7,8) कुल (7) नहीं बल्कि विकल्प जांचने पर (7) होना चाहिए।
Dividing by (-2) reverses the direction and gives \(3\geq \frac{x}{-2}>0\). In increasing order, it is \(0<\frac{x}{-2}\leq 3\).
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. \(0<\frac{x}{-2}\leq 3\). Dividing by (-2) reverses the direction and gives \(3\geq \frac{x}{-2}>0\). In increasing order, it is \(0<\frac{x}{-2}\leq 3\).
Step 3
Exam Tip
(-2) से भाग देने पर दिशा उलटती है और \(3\geq \frac{x}{-2}>0\) मिलता है। इसे बढ़ते क्रम में \(0<\frac{x}{-2}\leq 3\) लिखते हैं।
For every real (x), \(x^2\geq 0\), so \(x^2<0\) is impossible. In such questions, check the basic property first.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is C. \( \emptyset \). For every real (x), \(x^2\geq 0\), so \(x^2<0\) is impossible. In such questions, check the basic property first.
Step 3
Exam Tip
किसी भी वास्तविक (x) के लिए \(x^2\geq 0\) होता है इसलिए \(x^2<0\) असंभव है। ऐसे प्रश्नों में पहले मूल गुण देखें।
\(2x-5\geq 3\) gives \(x\geq 4\), so (4) is included and (3) is not. Always check equality at boundary options.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is B. \(2x-5\geq 3\). \(2x-5\geq 3\) gives \(x\geq 4\), so (4) is included and (3) is not. Always check equality at boundary options.
Step 3
Exam Tip
\(2x-5\geq 3\) से \(x\geq 4\) मिलता है इसलिए (4) शामिल है और (3) नहीं। सीमा वाले विकल्प में बराबरी जरूर जांचें।
Since (3) is positive, the sign does not change and \(x-2\geq 12\) gives \(x\geq 14\). With positive multiplication, the sign remains the same.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is C. \(x\geq 14\). Since (3) is positive, the sign does not change and \(x-2\geq 12\) gives \(x\geq 14\). With positive multiplication, the sign remains the same.
Step 3
Exam Tip
(3) धनात्मक है इसलिए चिन्ह नहीं बदलता और \(x-2\geq 12\) से \(x\geq 14\) मिलता है। धनात्मक गुणन में चिन्ह वैसा ही रहता है।
The product of a negative and a positive number is always negative, so (ab<0). In sign-based questions, also check the possibility of zero.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is B. (ab<0). The product of a negative and a positive number is always negative, so (ab<0). In sign-based questions, also check the possibility of zero.
Step 3
Exam Tip
ऋणात्मक और धनात्मक संख्या का गुणनफल हमेशा ऋणात्मक होता है इसलिए (ab<0)। चिन्ह आधारित प्रश्नों में शून्य की संभावना भी देखें।
Multiplying by ( -4 ) reverses the sign to (x+1>-8). Be extra careful when the denominator is negative.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is B. (x+1>-8) इसलिए (x>-9) / (x+1>-8) so (x>-9). Multiplying by ( -4 ) reverses the sign to (x+1>-8). Be extra careful when the denominator is negative.
Step 3
Exam Tip
( -4 ) से गुणा करने पर चिन्ह उलटकर (x+1>-8) बनता है। ऋणात्मक हर वाले प्रश्नों में विशेष सावधानी रखें।
C. कोई वास्तविक हल नहीं है/There is no real solution
Step 1
Concept
The square of any real number cannot be less than (0). Therefore ( (x+1)2<0 ) has no real solution.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is C. कोई वास्तविक हल नहीं है / There is no real solution. The square of any real number cannot be less than (0). Therefore ( (x+1)2<0 ) has no real solution.
Step 3
Exam Tip
किसी वास्तविक संख्या का वर्ग (0) से कम नहीं हो सकता। इसलिए ( (x+1)2<0 ) का कोई वास्तविक हल नहीं है।
Both greater than and less than are strict phrases, so (12<t+5<20) is correct. In word problems, first decide whether equality is included.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. (12<t+5<20). Both greater than and less than are strict phrases, so (12<t+5<20) is correct. In word problems, first decide whether equality is included.
Step 3
Exam Tip
अधिक और कम दोनों सख्त शब्द हैं इसलिए (12<t+5<20) सही है। शब्द आधारित प्रश्नों में बराबरी शामिल है या नहीं यह पहले तय करें।
Adding inequalities in the same direction gives (p+r>q+s), which is always true. Subtraction and multiplication need extra conditions.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. (p+r>q+s). Adding inequalities in the same direction gives (p+r>q+s), which is always true. Subtraction and multiplication need extra conditions.
Step 3
Exam Tip
दो सही दिशा वाली असमानताओं को जोड़ने पर (p+r>q+s) हमेशा सत्य है। घटाव और गुणा में अतिरिक्त शर्तें चाहिए।
\(5-2x\leq x+11\) gives \(-3x\leq 6\), so \(x\geq -2\). Division by a negative coefficient reverses the sign.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. \( [-2,\infty\) ). \(5-2x\leq x+11\) gives \(-3x\leq 6\), so \(x\geq -2\). Division by a negative coefficient reverses the sign.
Step 3
Exam Tip
\(5-2x\leq x+11\) से \(-3x\leq 6\) और \(x\geq -2\) मिलता है। ऋणात्मक गुणांक से भाग देने पर चिन्ह उलटता है।
A. \(x\leq 1\) या \(x\geq 5\)/\(x\leq 1\) or \(x\geq 5\)
Step 1
Concept
\( |x-3|\geq 2 \) means \(x-3\leq -2\) or \(x-3\geq 2\). Greater-distance questions give two outer intervals.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. \(x\leq 1\) या \(x\geq 5\) / \(x\leq 1\) or \(x\geq 5\). \( |x-3|\geq 2 \) means \(x-3\leq -2\) or \(x-3\geq 2\). Greater-distance questions give two outer intervals.
Step 3
Exam Tip
\( |x-3|\geq 2 \) का अर्थ \(x-3\leq -2\) या \(x-3\geq 2\) है। अधिक दूरी वाले प्रश्नों में दो बाहरी भाग मिलते हैं।
Multiplying by positive (10) gives (4x-2<5x+20), so (x>-22). With a positive common denominator, the sign does not change.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. (x>-22). Multiplying by positive (10) gives (4x-2<5x+20), so (x>-22). With a positive common denominator, the sign does not change.
Step 3
Exam Tip
धनात्मक (10) से गुणा करने पर (4x-2<5x+20) और (x>-22) मिलता है। धनात्मक लघुत्तम हर लेने पर चिन्ह नहीं बदलता।
B. (a) या तो (b) से छोटा है या (b) के बराबर है/(a) is either less than (b) or equal to (b)
Step 1
Concept
\(a\leq b\) includes the possibility of equality. When the sign has a bar, include the boundary point.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is B. (a) या तो (b) से छोटा है या (b) के बराबर है / (a) is either less than (b) or equal to (b). \(a\leq b\) includes the possibility of equality. When the sign has a bar, include the boundary point.
Step 3
Exam Tip
\(a\leq b\) में बराबरी की संभावना शामिल होती है। चिन्ह में रेखा हो तो सीमा बिंदु शामिल मानें।
(2x<11) gives \(x<\frac{11}{2}\), so the greatest natural number is (x=5). For integer domains, do not write a decimal answer.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is B. (5). (2x<11) gives \(x<\frac{11}{2}\), so the greatest natural number is (x=5). For integer domains, do not write a decimal answer.
Step 3
Exam Tip
(2x<11) से \(x<\frac{11}{2}\) है इसलिए प्राकृतिक संख्याओं में सबसे बड़ा (x=5) है। पूर्णांक सीमा में दशमलव उत्तर नहीं लिखते।
B. (4) पर खुला बिंदु और बाईं ओर छाया/Open dot at (4) and shading left
Step 1
Concept
In ( \(-\infty,4\) ), (4) is not included and all smaller values are included. An open dot means the boundary is excluded.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is B. (4) पर खुला बिंदु और बाईं ओर छाया / Open dot at (4) and shading left. In ( \(-\infty,4\) ), (4) is not included and all smaller values are included. An open dot means the boundary is excluded.
Step 3
Exam Tip
( \(-\infty,4\) ) में (4) शामिल नहीं है और सभी छोटे मान शामिल हैं। खुले बिंदु का अर्थ सीमा शामिल नहीं है।
C. दोनों पक्षों को (-5) से गुणा करने पर/Multiplying both sides by (-5)
Step 1
Concept
Multiplication or division by a negative number reverses the inequality sign. Addition and subtraction do not change the sign.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is C. दोनों पक्षों को (-5) से गुणा करने पर / Multiplying both sides by (-5). Multiplication or division by a negative number reverses the inequality sign. Addition and subtraction do not change the sign.
Step 3
Exam Tip
ऋणात्मक संख्या से गुणा या भाग करने पर असमानता का चिन्ह उलटता है। जोड़ और घटाव में चिन्ह नहीं बदलता।
Subtracting (1) throughout gives \(6\leq 2x<14\), then dividing by (2) gives \(3\leq x<7\). Work on both bounds together.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. \(3\leq x<7\). Subtracting (1) throughout gives \(6\leq 2x<14\), then dividing by (2) gives \(3\leq x<7\). Work on both bounds together.
Step 3
Exam Tip
पूरे संयुक्त असमानता से (1) घटाकर \(6\leq 2x<14\) और फिर (2) से भाग देकर \(3\leq x<7\) मिलता है। दोनों सीमाओं पर साथ काम करें।
Since (m) is negative, division by (m) reverses the sign and gives (x<1). In parameter questions, check the sign of the coefficient first.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is B. (x<1). Since (m) is negative, division by (m) reverses the sign and gives (x<1). In parameter questions, check the sign of the coefficient first.
Step 3
Exam Tip
(m) ऋणात्मक है इसलिए (m) से भाग देने पर चिन्ह उलटकर (x<1) होगा। पैरामीटर वाले प्रश्नों में गुणांक का चिन्ह पहले देखें।
B. किसी भी \(x\in \mathbb{R}\) के लिए सत्य नहीं/Not true for any \(x\in \mathbb{R}\)
Step 1
Concept
Both sides are the same (x+3), so the statement becomes (x+3>x+3), which is false. Recognize equal sides quickly.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is B. किसी भी \(x\in \mathbb{R}\) के लिए सत्य नहीं / Not true for any \(x\in \mathbb{R}\). Both sides are the same (x+3), so the statement becomes (x+3>x+3), which is false. Recognize equal sides quickly.
Step 3
Exam Tip
दोनों पक्ष समान (x+3) हैं इसलिए कथन (x+3>x+3) बनता है जो असत्य है। समान पक्षों की तुलना जल्दी पहचानें।
A. सभी \(x\in \mathbb{R}\) हल हैं/All \(x\in \mathbb{R}\) are solutions
Step 1
Concept
Removing (2x) gives \(5\leq 9\), which is always true. If the variable cancels, check the remaining numerical inequality.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. सभी \(x\in \mathbb{R}\) हल हैं / All \(x\in \mathbb{R}\) are solutions. Removing (2x) gives \(5\leq 9\), which is always true. If the variable cancels, check the remaining numerical inequality.
Step 3
Exam Tip
(2x) हटाने पर \(5\leq 9\) मिलता है जो हमेशा सत्य है। चर हट जाए तो बची संख्या असमानता देखें।
C. सभी \(x\in \mathbb{R}\)/All \(x\in \mathbb{R}\)
Step 1
Concept
Since \(x^2\geq 0\), \(x^2+1\geq 1>0\) for all real (x). Recognizing always positive forms is useful.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is C. सभी \(x\in \mathbb{R}\) / All \(x\in \mathbb{R}\). Since \(x^2\geq 0\), \(x^2+1\geq 1>0\) for all real (x). Recognizing always positive forms is useful.
Step 3
Exam Tip
क्योंकि \(x^2\geq 0\), इसलिए \(x^2+1\geq 1>0\) सभी वास्तविक (x) के लिए सत्य है। धनात्मक निश्चित रूप पहचानना उपयोगी है।
The first inequality gives (x<6), and the second gives (x>-3), so (-3<x<6). In a chained inequality, both conditions must hold together.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. (x<6) और (x>-3) / (x<6) and (x>-3). The first inequality gives (x<6), and the second gives (x>-3), so (-3<x<6). In a chained inequality, both conditions must hold together.
Step 3
Exam Tip
पहली असमानता से (x<6) और दूसरी से (x>-3) मिलता है इसलिए (-3<x<6)। संयुक्त असमानता में दोनों शर्तें साथ पूरी होती हैं।
\(\frac{1}{x}\) is positive only when (x) is positive. The sign of the denominator determines the sign of the fraction.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. (x>0). \(\frac{1}{x}\) is positive only when (x) is positive. The sign of the denominator determines the sign of the fraction.
Step 3
Exam Tip
\(\frac{1}{x}\) धनात्मक तभी है जब (x) धनात्मक हो। हर का चिन्ह पूरी भिन्न का चिन्ह तय करता है।
(-2) is not included because the left inequality is strict. Understanding open and closed endpoints is necessary.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is B. (x=-2) संभव है / (x=-2) is possible. (-2) is not included because the left inequality is strict. Understanding open and closed endpoints is necessary.
Step 3
Exam Tip
(-2) शामिल नहीं है क्योंकि बाईं ओर सख्त असमानता है। बंद और खुले सिरों का अंतर समझना जरूरी है।
\(x^2+4\) is always at least (4), so \(x^2+4\leq 0\) is impossible. Use the minimum value to judge solutions.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is B. \(x^2+4\leq 0\). \(x^2+4\) is always at least (4), so \(x^2+4\leq 0\) is impossible. Use the minimum value to judge solutions.
Step 3
Exam Tip
\(x^2+4\) हमेशा कम से कम (4) होता है इसलिए \(x^2+4\leq 0\) असंभव है। न्यूनतम मान से हल का अनुमान लगाएं।
Multiplying by positive (2) gives \(-2\leq x+3<10\), then subtracting (3) gives \(-5\leq x<7\). Positive multiplication does not change direction.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. \( -5\leq x<7 \). Multiplying by positive (2) gives \(-2\leq x+3<10\), then subtracting (3) gives \(-5\leq x<7\). Positive multiplication does not change direction.
Step 3
Exam Tip
धनात्मक (2) से गुणा करने पर \(-2\leq x+3<10\) और (3) घटाने पर \(-5\leq x<7\) मिलता है। धनात्मक गुणन में दिशा नहीं बदलती।
Multiplying \(x\leq -3\) by (-5) gives \(-5x\geq 15\), then adding (2) gives \(2-5x\geq 17\). Negative multiplication changes direction.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is B. \(2-5x\geq 17\). Multiplying \(x\leq -3\) by (-5) gives \(-5x\geq 15\), then adding (2) gives \(2-5x\geq 17\). Negative multiplication changes direction.
Step 3
Exam Tip
\(x\leq -3\) को (-5) से गुणा करने पर \(-5x\geq 15\) और (2) जोड़ने पर \(2-5x\geq 17\) है। ऋणात्मक गुणन में दिशा बदलती है।
Not less than means greater than or equal to, so \(3n\geq 18\). Pay attention to negative phrases while translating words into symbols.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is D. \(3n\geq 18\). Not less than means greater than or equal to, so \(3n\geq 18\). Pay attention to negative phrases while translating words into symbols.
Step 3
Exam Tip
कम नहीं का अर्थ उससे बड़ा या बराबर है इसलिए \(3n\geq 18\)। वाक्य को प्रतीकों में बदलते समय नकारात्मक शब्दों पर ध्यान दें।
C. सभी वास्तविक (x) के लिए सत्य/True for all real (x)
Step 1
Concept
The square of any real number is never negative, so ( (x-2)2\geq 0 ) is always true. For squared forms, check the minimum value.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is C. सभी वास्तविक (x) के लिए सत्य / True for all real (x). The square of any real number is never negative, so ( (x-2)2\geq 0 ) is always true. For squared forms, check the minimum value.
Step 3
Exam Tip
किसी भी वास्तविक संख्या का वर्ग कभी ऋणात्मक नहीं होता इसलिए ( (x-2)2\geq 0 ) हमेशा सत्य है। वर्ग वाले रूपों में न्यूनतम मान देखें।
Multiplying by positive (4) gives \(2x-10\leq 3x+1\), so \(x\geq -11\). Track the sign carefully while moving variables.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. \(x\geq -11\). Multiplying by positive (4) gives \(2x-10\leq 3x+1\), so \(x\geq -11\). Track the sign carefully while moving variables.
Step 3
Exam Tip
धनात्मक (4) से गुणा करने पर \(2x-10\leq 3x+1\) और \(x\geq -11\) मिलता है। चर को एक ओर ले जाते समय चिन्ह ध्यान से रखें।
