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(A) में (5) तत्व हैं, इसलिए घात समुच्चय में \(2^5=32\) तत्व होंगे। परीक्षा में पहले मूल समुच्चय के तत्व गिनें। / Set (A) has (5) elements, so its power set has \(2^5=32\) elements. In exams, first count the elements of the original set.
(3) को रखना निश्चित है और बाकी (1,5) चुने या छोड़े जा सकते हैं। इसलिए संख्या \(2^2=4\) होगी। / Keeping (3) is fixed and the remaining (1,5) may be chosen or not chosen. So the number is \(2^2=4\).
(A') में (U) के वे तत्व आते हैं जो (A) में नहीं हैं। इसलिए (1,4,6,8) सही पूरक हैं। / (A') contains the elements of (U) that are not in (A). Therefore (1,4,6,8) form the correct complement.
कुल उपसमुच्चय (128) हैं और उचित उपसमुच्चय में पूरा समुच्चय नहीं गिना जाता। इसलिए संख्या (128-1=127) होगी। / There are (128) total subsets, and a proper subset does not include the whole set itself. So the number is (128-1=127).
(b) स्वयं (A) का तत्व नहीं है, बल्कि ({b}) तत्व है। इसलिए ({a,b}), (A) का उपसमुच्चय नहीं है। / (b) itself is not an element of (A); ({b}) is an element. So ({a,b}) is not a subset of (A).
घात समुच्चय का तत्व हमेशा मूल समुच्चय का उपसमुच्चय होता है। ({p,q}) में केवल (A) के तत्व हैं, इसलिए यह सही है। / An element of a power set is always a subset of the original set. ({p,q}) contains only elements of (A), so it is correct.
समझना आसान है: \(U\) में नेचुरल नंबर्स 1 से 15 तक हैं, अतः \(n(U)=15\). \(A\) के सदस्यों को लिखें: \(A=\{5,10,15\}\), इसलिए \(n(A)=3\). परिशिष्ट (complement) \(A'\) का आकार \(n(A')=n(U)-n(A)=15-3=12\). क्यों विकल्प C (10) गलत है: कभी-कभी छात्र 5 के और गुणज (जैसे 20,25) भी गिन लेते हैं या गलत तौर पर मान लेते हैं कि \(n(A)=5\), तब वे 15-5=10 निकाल लेते हैं — यह गलत कवायद है क्योंकि हमें केवल \(U\) के भीतर के गुणज गिनने हैं। परीक्षा टिप: पहले \(U\) के तत्वों की संख्या तय करें, फिर \(A\) के तत्व सीधे लिखें और घटा दें। / Compute sizes directly: \(U\) contains natural numbers 1 through 15, so \(n(U)=15\). List multiples of 5 within \(U\): \(A=\{5,10,15\}\), thus \(n(A)=3\). Therefore \(n(A')=n(U)-n(A)=15-3=12\). Why option C (10) is wrong: a common mistake is to count multiples beyond 15 or assume there are five multiples of 5, leading to 15-5=10; only multiples ≤15 count. Exam tip: explicitly list elements of \(A\) when the universal set is small to avoid counting errors.
(3) स्वयं (A) का तत्व नहीं है, बल्कि ({3}) तत्व है। इसलिए ({1,3}) (A) का उपसमुच्चय नहीं है। / (3) itself is not an element of (A); ({3}) is an element. So ({1,3}) is not a subset of (A).
रिक्त समुच्चय में (0) तत्व हैं, इसलिए (\mathcal{P}\(\varnothing\)) में \(2^0=1\) तत्व होता है। याद रखें कि \(\varnothing\) भी एक उपसमुच्चय है। / The empty set has (0) elements, so (\mathcal{P}\(\varnothing\)) has \(2^0=1\) element. Remember that \(\varnothing\) is also a subset.
(\mathcal{P}\(\varnothing\)={\varnothing}) में (1) तत्व है। इसलिए उसके घात समुच्चय में \(2^1=2\) तत्व होंगे। / (\mathcal{P}\(\varnothing\)={\varnothing}) has (1) element. Therefore its power set has \(2^1=2\) elements.
समुच्चय का पूरक (A') उस सार्वत्रिक समुच्चय \(U\) के वे तत्व होते हैं जो \(A\) में नहीं हैं। इसे गणितीय रूप से \(A'=U\setminus A\) लिखा जाता है। यहाँ \(U=\{a,b,c,d,e\}\) और \(A=\{b,d\}\) होने से \(A'=\{a,c,e\}\)। विकल्प B गलत है क्योंकि वह मूल समुच्चय \(A\) ही है, विकल्प C गलत है क्योंकि वह पूरा सार्वत्रिक समुच्चय है न कि केवल \(A\) का पूरक, और विकल्प D गलत है क्योंकि पूरक खाली समुच्चय तभी होगा जब \(A=U\) हो। परीक्षा-सुझाव: पूरक निकालने के लिए सीधे उन तत्वों को छाँटें जो \(U\) में हैं पर \(A\) में नहीं। / The complement of a set \(A\) (denoted \(A'\)) consists of elements of the universal set \(U\) that are not in \(A\); i.e. \(A'=U\setminus A\). Here \(U=\{a,b,c,d,e\}\) and \(A=\{b,d\}\), so \(A'=\{a,c,e\}\). Option B is just the original set \(A\), option C is the entire universal set \(U\) (not the complement), and option D would be correct only if \(A=U\). Exam tip: list elements of \(U\) and cross out those in \(A\); remaining elements form \(A'\).
(A') में (2,4,6,8) हैं, इसलिए इसमें (4) तत्व हैं। पूरक हमेशा दिए गए सार्वत्रिक समुच्चय के सापेक्ष होता है। / (A') contains (2,4,6,8), so it has (4) elements. A complement is always taken with respect to the given universal set.
एक कक्षा के (40) विद्यार्थियों में (18) गणित क्लब में और (15) विज्ञान क्लब में हैं। यदि (6) विद्यार्थी दोनों क्लब में हैं, तो किसी भी क्लब में नहीं होने वाले विद्यार्थी कितने हैं?
(n\(A\cup B\)=18+15-6=27), इसलिए बाहर के विद्यार्थी (40-27=13) हैं। ऐसे प्रश्नों में सार्वत्रिक समुच्चय कुल विद्यार्थियों का होता है। / (n\(A\cup B\)=18+15-6=27), so students outside are (40-27=13). In such questions, the universal set is the total group.
डी मॉर्गन नियम के अनुसार (\(A\cup B\)'=A'\cap B')। संघ के पूरक में केवल वे तत्व आते हैं जो दोनों से बाहर हों। / By De Morgan's law, (\(A\cup B\)'=A'\cap B'). The complement of a union contains elements outside both sets.
किसी समुच्चय के पूरक का पूरक वही समुच्चय होता है। इसे द्वि-पूरक नियम कहते हैं। / The complement of the complement of a set is the set itself. This is called the double complement law.
यदि (A) का पूरक पूरा (U) है, तो (A) में कोई तत्व नहीं हो सकता। इसलिए \(A=\varnothing\) है। / If the complement of (A) is the whole (U), then (A) cannot contain any element. Hence \(A=\varnothing\).
पूरक का अर्थ है यूनिवर्सल समुच्चय के वे तत्व जो दिए हुए समुच्चय में नहीं हैं। संख्या माप (cardinality) के लिए सूत्र है \(n(A')=n(U)-n(A)\)। यहाँ \(n(U)=35\) और \(n(A)=12\) होने पर \(n(A')=35-12=23\)। विकल्प A (12) गलती से समुच्चय \(A\) की संख्या है, और विकल्प C (35) यूनिवर्सल समुच्चय की कुल संख्या है — दोनों पूरक का मान नहीं देते। परीक्षा टिप: पूरक निकालने के लिए हमेशा कुल से दिए हुए समुच्चय की संख्या घटाएँ। / The complement consists of elements in the universal set that are not in \(A\). For cardinalities use \(n(A')=n(U)-n(A)\). With \(n(U)=35\) and \(n(A)=12\), we get \(n(A')=35-12=23\), so 23 is correct. Option A (12) is just \(n(A)\), not the complement; option C (35) is \(n(U)\), the total. Exam tip: always subtract the size of the given set from the size of the universal set to get the complement's size.
(18) के धनात्मक भाजक (1,2,3,6,9,18) हैं, इसलिए (n(A)=6)। अतः (n(\mathcal{P}(A))=26=64)। / The positive divisors of (18) are (1,2,3,6,9,18), so (n(A)=6). Hence (n(\mathcal{P}(A))=26=64).
एकल समुच्चय के उपसमुच्चय \(\varnothing\) और वही समुच्चय होते हैं। इसलिए (5) नहीं, बल्कि ({5}) घात समुच्चय का तत्व है। / The subsets of a singleton set are \(\varnothing\) and the set itself. So ({5}), not (5), is an element of the power set.
\(\{7\} \in \mathcal{P}(A)\) का अर्थ है कि \(\{7\}\subseteq A\)। यदि एक एकल तत्वों वाला सेट \(\{7\}\) \(A\) का उपसैट है, तो इसका मतलब है कि 7, \(A\) का सदस्य है, यानी \(7\in A\)। विकल्प B (\(\{7\}\in A\)) का अर्थ यह होगा कि \(A\) का एक तत्व स्वयं सेट \(\{7\}\) है — यह आवश्यक नहीं है। विकल्प C (\(A=\{7\}\)) बहुत अधिक कड़ा है — \(A\) में और भी तत्व हो सकते हैं। विकल्प D स्पष्ट रूप से विरोधाभासी है। परीक्षा युक्ति: पक्का करें कि आप 'तत्व' (\(\in\)) और 'उपसैट' (\(\subseteq\)) के बीच फर्क याद रखें; \(X\in\mathcal{P}(A)\) का अर्थ होता है \(X\subseteq A\)। / \(\{7\} \in \mathcal{P}(A)\) means \(\{7\}\subseteq A\). If the singleton \(\{7\}\) is a subset of \(A\), then the element 7 belongs to \(A\); hence \(7\in A\) is definitely true. Option B (\(\{7\}\in A\)) would mean the set \(\{7\}\) is itself an element of \(A\), which is not implied. Option C (\(A=\{7\}\)) is stronger — it claims no other elements are in \(A\). Option D contradicts the conclusion. Exam tip: clearly distinguish '\(x \in A\)' (element) from '{x} \subseteq A' (singleton subset); membership in the power set means subset, not element-of-A unless explicitly stated.
\(\varnothing\), \({\varnothing}\), और ({1}) सभी (A) के उपसमुच्चय हैं। इसलिए ये सभी (\mathcal{P}(A)) के तत्व हैं। / \(\varnothing\), \({\varnothing}\), and ({1}) are all subsets of (A). Therefore all of them are elements of (\mathcal{P}(A)).
हर समुच्चय का रिक्त समुच्चय और स्वयं वह समुच्चय उपसमुच्चय होते हैं। इसलिए दोनों हमेशा उसके घात समुच्चय में होते हैं। / The empty set and the set itself are subsets of every set. Therefore both are always in its power set.
कुल उपसमुच्चय \(2^3=8\) हैं। अरिक्त उचित उपसमुच्चयों के लिए \(\varnothing\) और (A) हटाने पर (6) बचते हैं। / Total subsets are \(2^3=8\). Removing \(\varnothing\) and (A) gives (6) non-empty proper subsets.
ठीक (2) तत्व वाले उपसमुच्चयों की संख्या \(\binom{4}{2}=6\) होती है। घात समुच्चय के अंदर उपसमुच्चयों को उनके आकार से भी गिना जा सकता है। / The number of subsets with exactly (2) elements is \(\binom{4}{2}=6\). Inside a power set, subsets can also be counted by their size.
एक निश्चित तत्व रखने के बाद बाकी (4) तत्व चुने या छोड़े जा सकते हैं। इसलिए संख्या \(2^4=16\) होगी। / After fixing one element, each of the remaining (4) elements may be chosen or not chosen. So the number is \(2^4=16\).
यदि किसी विशेष तत्व को शामिल न किया जाए तो बचे हुए तत्वों की संख्या 6−1=5 है। किसी सेट के n तत्वों के उपसमुच्चयों की संख्या \(2^n\) होती है, अतः यहाँ उपसमुच्चयों की संख्या \\(2^5=32\\) होगी। वैकल्पिक तर्क: कुल उपसमुच्चय \\(2^6=64\\) हैं और किसी दिए हुए तत्व को शामिल करने/नकरने के दो विकल्प होते हैं, इसलिए आधे यानी \\(2^5\\) ऐसे उपसमुच्चय होंगे जो उसे नहीं रखते। गलत विकल्पों का कारण: 64 कुल उपसमुच्चय हैं (इसलिए गलत), 63 गैर-खाली सभी उपसमुच्चयों का संख्या है (\(2^6-1\)), और 16 \(2^4\) होगा यदि सिर्फ 4 तत्व बचे होते — इसलिए वे भ्रामक हैं। परीक्षा-सुझाव: इस प्रकार के प्रश्नों के लिए सीधे सूत्र \(2^{n-1}\) याद रखें या पूरक गिनती (half of \(2^n\)) का प्रयोग करें। / If the particular element is excluded, 6−1=5 elements remain. A set with n elements has \(2^n\) subsets, so here the number is \(2^5=32\). Alternatively, of the total \(2^6=64\) subsets, exactly half will not contain the chosen element, giving \(2^5\). Why other options are wrong: 64 is the total number of subsets, 63 equals the number of non-empty subsets (\(2^6-1\)), and 16 equals \(2^4\) which would be the count if only 4 elements remained. Exam tip: use the formula \(2^{n-1}\) for “subsets not containing a given element” or reason by splitting presence/absence of that element.
किसी समुच्चय के परिपूरक की गणना का सूत्र है \(n(A')=n(U)-n(A)\)। यहाँ \(n(U)=60\) और \(n(A)=28\) हैं, अतः \(x=n(A')=60-28=32\)। विकल्प A (28) गलत है क्योंकि वह \(A\) का परिमाण है, न कि परिपूरक का। विकल्प C (60) गलत है — यह सर्वसमुच्चय \(U\) का कुल तत्व है, न कि परिपूरक का; विकल्प D (88) असंभव है क्योंकि किसी समुच्चय के परिपूरक के तत्वों की संख्या सर्वसमुच्चय के कुल से अधिक नहीं हो सकती। परीक्षा टिप: हमेशा याद रखें और तुरंत लागू करें \(n(A')=n(U)-n(A)\) और परिणामी संख्या \(\le n(U)\) होनी चाहिए। / Use the complement formula \(n(A')=n(U)-n(A)\). With \(n(U)=60\) and \(n(A)=28\), we get \(x=n(A')=60-28=32\). Option A (28) is just \(n(A)\), not the complement. Option C (60) is the total number in the universal set, not the complement count. Option D (88) is impossible because a complement cannot have more elements than the universal set. Exam tip: apply \(n(A')=n(U)-n(A)\) directly and check that the result is ≤ \(n(U)\).
समझ: समष्टि \(U\) में प्राकृतिक संख्याएँ \(1\) से \(12\) तक हैं। \(A=\{x\in U:3\mid x\}\) से \(A=\{3,6,9,12\}\) मिलता है। पूरक \(A'\) का अर्थ है \(U\) में से \(A\) के तत्व हटा देना। इसलिए \(A'=U\setminus A=\{1,2,4,5,7,8,10,11\}\)। निकटवर्ती भ्रामक विकल्पों पर टिप्पणी: विकल्प D (सभी सम संख्याएँ) में \(6,12\) जैसे तत्व हैं जो \(A\) में भी हैं, इसलिए गलत है; विकल्प C (विषम संख्याएँ) में \(3,9\) शामिल हैं जो \(A\) में आते हैं, इसलिए गलत है। परीक्षा टिप: पहले \(|U|=12\) और \(|A|=4\) देखकर \(|A'|=8\) की जांच कर लें — यह उत्तर में आठ तत्व होने की पुष्टि करता है। / Concept: The universal set \(U\) contains natural numbers from 1 to 12. Since \(A=\{x\in U:3\mid x\}\), we have \(A=\{3,6,9,12\}\). The complement \(A'\) is the set of elements of \(U\) not in \(A\), i.e. \(A'=U\setminus A=\{1,2,4,5,7,8,10,11\}\). Why other choices fail: option A is just \(A\) itself; option D (even numbers) includes \(6,12\) which belong to \(A\), and option C (odd numbers) includes \(3,9\) which belong to \(A\). Exam tip: check sizes — \(|U|=12,|A|=4\) so \(|A'|=8\); ensure your complement has that many elements.
रिक्त समुच्चय में कोई तत्व नहीं होता, इसलिए (U) के सभी तत्व उसके पूरक में आते हैं। अतः \(\varnothing'=U\)। / The empty set has no elements, so all elements of (U) lie in its complement. Hence \(\varnothing'=U\).
कुल उपसमुच्चय \(2^3=8\) हैं और केवल \(\varnothing\) रिक्त है। इसलिए अरिक्त उपसमुच्चय (8-1=7) हैं। / Total subsets are \(2^3=8\), and only \(\varnothing\) is empty. So non-empty subsets are (8-1=7).
एक-तत्वीय उपसमुच्चय हर मूल तत्व से एक बनता है। (4) तत्वों से (4) singleton subsets बनेंगे। / A singleton subset is formed from each original element. From (4) elements, there will be (4) singleton subsets.
ठीक (3) तत्व चुनने के तरीके \(\binom{5}{3}=10\) हैं। ऐसे हर चयन से (\mathcal{P}(A)) का एक तत्व बनता है। / The number of ways to choose exactly (3) elements is \(\binom{5}{3}=10\). Each such choice is an element of (\mathcal{P}(A)).
दो तत्वों वाले समुच्चय के (4) उपसमुच्चय होते हैं। घात समुच्चय में तत्व उपसमुच्चय होते हैं, अकेले (0) और (1) नहीं। / A two-element set has (4) subsets. In a power set, the elements are subsets, not the single numbers (0) and (1).
पूरक निकालें: \(A'=U\setminus A=\{4,5,6\}\) और \(B'=U\setminus B=\{1,2,6\}\). अब दोनों का समाहार (intersection) \(A'\cap B'=\{6\}\) होगा। विकल्प B (\(\{4,5,6\}\)) केवल \(A'\) है, न कि दोनों पूरक का समाहार; विकल्प C (\(\{3\}\)) मूल सेटों का समाहार \(A\cap B\) दर्शाता है, न कि पूरक का। परीक्शा-सुझाव: पहले प्रत्येक सेट का पूरक लिखें, फिर उनके बीच समाहार लें — Venn आरेख से यह तेज़ी से सत्यापित होता है। / Compute complements first: \(A'=U\setminus A=\{4,5,6\}\) and \(B'=U\setminus B=\{1,2,6\}\). Their intersection is \(A'\cap B'=\{6\}\). Option B (\(\{4,5,6\}\)) is just \(A'\) and not the intersection; option C (\(\{3\}\)) is the intersection of \(A\) and \(B\), not of their complements. Exam tip: always form complements relative to the universal set, then take intersection (a quick Venn diagram helps avoid sign mistakes).
\(A\cap B={b}\) है, इसलिए उसका पूरक (U) में (b) को छोड़कर बाकी तत्व हैं। अतः ({a,c,d}) सही है। / \(A\cap B={b}\), so its complement is all elements of (U) except (b). Hence ({a,c,d}) is correct.
किसी सेट X के पावर सेट का कार्डिनैलिटी नियम है \(n(\mathcal{P}(X))=2^{n(X)}\)। अतः \(n(\mathcal{P}(A))=2^{4}=16\) और \(n(\mathcal{P}(B))=2^{3}=8\)। इसलिए अनुपात \(16:8=2:1\) होगा। विकल्प B (4:3) गलत है क्योंकि वह मूल सेटों A और B का अनुपात \(4:3\) है, पावर सेटों का नहीं। परीक्षा-सुझाव: पावर सेट के लिए हमेशा \(2^{n}\) लागू करें और अंतिम अनुपात को सरलतम रूप में लिखें। / For any set X, the power-set cardinality is given by \(n(\mathcal{P}(X))=2^{n(X)}\). Thus \(n(\mathcal{P}(A))=2^{4}=16\) and \(n(\mathcal{P}(B))=2^{3}=8\). The ratio is \(16:8=2:1\). Option B (4:3) is incorrect because it represents the ratio of the original sets A and B, not their power sets. Exam tip: compute \(2^{n}\) for each set first, then simplify the resulting ratio by dividing by the greatest common divisor.
(LEVEL) के अलग-अलग अक्षर (L,E,V) हैं, इसलिए (n(A)=3)। अतः घात समुच्चय में \(2^3=8\) तत्व होंगे। / The distinct letters of (LEVEL) are (L,E,V), so (n(A)=3). Therefore the power set has \(2^3=8\) elements.
समुच्चय में दोहराए गए तत्व एक बार ही गिने जाते हैं, इसलिए \(A=\{1,2,3\}\)। इस कारण (n(\mathcal{P}(A))=23=8)। / Repeated elements are counted only once in a set, so \(A=\{1,2,3\}\). Hence (n(\mathcal{P}(A))=23=8).
(6) तत्वों में से (5) चुनने के तरीके \(\binom{6}{5}=6\) हैं। हर चयन घात समुच्चय का एक तत्व है। / The number of ways to choose (5) elements from (6) is \(\binom{6}{5}=6\). Each choice is one element of the power set.
किसी समुच्चय में कुल उपसमुच्चयों की संख्या अगर उसके तत्वों की संख्या n हो तो वह \,\(2^n\) होती है। यहाँ \(2^n=256\)। क्योंकि \(256=2^8\), इसलिए \(n=8\)। निकट के भ्रामक विकल्पों में से \(7\) के लिए \(2^7=128\) और \(9\) के लिए \(2^9=512\) होंगे, इसलिए वे सही नहीं हैं। परीक्षा-सुझाव: याद रखें कि उपसमुच्चयों की संख्या हमेशा \(2^n\) होती है और प्रमुख गुणांकों (powers of 2) से मिलान करके जल्दी उत्तर मिल जाता है। / If a set has n elements, the total number of subsets is given by \(2^n\). Here \(2^n=256\). Since \(256=2^8\), we get \(n=8\). Close distractors fail because \(2^7=128\) and \(2^9=512\), so 7 and 9 are incorrect. Exam tip: use the formula \(2^n\) and recognize powers of 2 (128, 256, 512...) to answer quickly.
यदि \(A\subseteq B\) है, तो (B) के बाहर के तत्व (A) के बाहर भी होंगे। इसलिए \(B'\subseteq A'\) होता है। / If \(A\subseteq B\), then every element outside (B) is also outside (A). Hence \(B'\subseteq A'\).
A के तत्व स्पष्ट रूप से \(A=\{-2,-1,0,1,2\}\) हैं, इसलिए \(n(A)=5\)। किसी भी सेट के पावर सेट की संख्यात्मक प्राप्ति के नियम के अनुसार \(n(\mathcal{P}(A))=2^{n(A)}\)। अतः \(n(\mathcal{P}(A))=2^5=32\)। विकल्प B (16) गलत है क्योंकि वह \(2^4\) होगा — यानी यदि किसी ने सेट में 4 तत्व गिने होते। विकल्प D (64) तब गलत है जब किसी ने ग़लत तरीके से 6 तत्व मान लिए (\(2^6\))। परीक्षा संकेत: तत्वों की संख्या तर्कसंगत तरीके से गिनें — पूर्णांक के लिए अंत-बिंदु गुणा नियम का प्रयोग करें (उपरि - निचली + 1)। / The elements of A are clearly \(A=\{-2,-1,0,1,2\}\), so \(n(A)=5\). The cardinality of a power set is given by \(n(\mathcal{P}(A))=2^{n(A)}\). Therefore \(n(\mathcal{P}(A))=2^5=32\). Option B (16) would correspond to \(2^4\), i.e. miscounting A as having 4 elements; option D (64) corresponds to \(2^6\), i.e. miscounting 6 elements. Quick exam tip: for integer ranges use (upper − lower + 1) to find the number of elements, then compute \(2^n\).
यहाँ 1 को शामिल करना और 4 को बाहर रखना निश्चित है। शेष दो तत्व 2 और 3 के लिए प्रत्येक के दो-दो विकल्प हैं (शामिल या नहीं): कुल विकल्प = \(2^2=4\)। इसलिए उत्तर 4 है। विकल्प 8 इसलिए गलत है क्योंकि वह तीन स्वतंत्र निर्णय मानकर \(2^3=8\) गिनता है (अर्थात् 4 को स्वतंत्र मानना) — जो यहाँ लागू नहीं है। परीक्षा टिप: पहले फिक्स किए गए तत्व तय कर लें, फिर शेष मुक्त तत्वों पर \(2^{\text{#free elements}}\) लागू करें। / Include 1 and exclude 4 are fixed choices. The remaining elements 2 and 3 are free, each can be either present or absent, giving \(2^2=4\) possible subsets. Thus the correct count is 4. Option 8 is a common mistake (it counts \(2^3\), treating 4 as free). Exam tip: fix required/included or excluded elements first, then use \(2^{\text{number of remaining elements}}\) to count subsets.
कम से कम (4) तत्व का अर्थ (4) या (5) तत्व है। संख्या \(\binom{5}{4}+\binom{5}{5}=5+1=6\) है। / At least (4) elements means (4) or (5) elements. The number is \(\binom{5}{4}+\binom{5}{5}=5+1=6\).
(2) और (5) को रखना निश्चित है, बाकी (4) तत्व स्वतंत्र हैं। इसलिए उपसमुच्चय \(2^4=16\) होंगे। / Keeping (2) and (5) is fixed, and the remaining (4) elements are free. Therefore the number of subsets is \(2^4=16\).
यदि हम 1 और 2 को हटाते हैं तो बचते हैं {3,4,5} — कुल 3 तत्व। किसी सेट के उपसमुच्चयों की संख्या =
\(2^{\text{(तत्त्वों की संख्या)}}\) इसलिए यहाँ \(2^3=8\) उपसमुच्चय होंगे। 16 (\(2^4\)) वाला विकल्प आम गलती है जब कोई एक ही तत्व हटाने या तत्वों की गिनती गलत कर लेता है। 4 (\(2^2\)) और 32 (\(2^5\)) भी गलत हैं — क्रमशः तभी मिलेंगे जब बचते हुए तत्त्व 2 या 5 माने जाएँ। परीक्षा सजेशन: पहले बचने वाले तत्वों की संख्या गिनें, फिर सीधे \(2^n\) लागू करें। / Removing 1 and 2 leaves {3,4,5}, which has 3 elements. Number of subsets = \(2^{\text{number of elements}}\), so \(2^3=8\). The option 16 (\(2^4\)) is a common mistake from miscounting elements (treating 4 remaining elements). Options 4 (\(2^2\)) and 32 (\(2^5\)) correspond to mistakenly using 2 or 5 elements respectively. Exam tip: always count the remaining elements after restrictions, then use \(2^n\).
(\mathcal{P}(A)) में कुल (8) उपसमुच्चय हैं। उचित उपसमुच्चय के लिए केवल (A) को हटाते हैं, इसलिए (7) बचते हैं। / (\mathcal{P}(A)) has (8) total subsets. For proper subsets, only (A) itself is removed, so (7) remain.
पहले \(A\cup B\) निकालें: \(A\cup B=\{1,2,4,7,8\}\). अब समूहीय पूरक \((A\cup B)'\) का अर्थ है यूनिवर्सल सेट \(U\) में से \(A\cup B\) के सभी तत्वों को हटाना। अतः \(U\setminus (A\cup B)=\{3,5,6,9\}\). विकल्प B गलत है क्योंकि वह संघ (union) स्वयं है, विकल्प D गलत है क्योंकि उसमें 9 गायब है, और C गलत है क्योंकि यह केवल एक सामान्य तत्व नहीं बल्कि पूरक पूरा सेट होना चाहिए। परीक्षा टिप: पहले यूनियन निकालें, फिर यूनिवर्सल सेट से घटाव करें। / Compute the union first: \(A\cup B=\{1,2,4,7,8\}\). The complement \((A\cup B)'\) means all elements of the universal set \(U\) that are not in \(A\cup B\). So \(U\setminus (A\cup B)=\{3,5,6,9\}\). Option B is just the union itself (not the complement); option D misses 9; option C is only a single element and not the complement. Exam tip: find the union, then subtract it from the universal set to get the complement.
\(A\cup B={1,2,3,4}\), इसलिए इसमें (4) तत्व हैं। अतः उसके घात समुच्चय में \(2^4=16\) तत्व होंगे। / \(A\cup B={1,2,3,4}\), so it has (4) elements. Therefore its power set has \(2^4=16\) elements.
यदि \(U=\{x: x\in\mathbb{N},\, x\le 20\}\) और \(A\) वह समुच्चय है जिसमें वे सभी प्राकृतिक संख्याएँ हों जो 20 के धनात्मक भाजक हैं, तो \(n(A')\) कितना होगा?
20 के धनात्मक भाजक हैं 1, 2, 4, 5, 10, 20 — कुल 6। इसलिए \(n(A)=6\)। सार्वभौमिक समुच्चय \(U\) में 1 से 20 तक की 20 प्राकृतिक संख्याएँ हैं, यानी \(n(U)=20\)। पूरक का आकार \(n(A')=n(U)-n(A)=20-6=14\)। सबसे नज़दीकी भ्रामक विकल्प B (6) दरअसल \(A\) का आकार है न कि \(A'\) का; विकल्प A (4) और D (20) भी गलत अर्थ पर आधारित हैं (4 कुछ उप-भाजकों की गिनती है और 20 पूरे U का आकार है)। परीक्षा टिप: संख्याओं के भाजक गिनने के लिए पहले गुणनखंड निकालें — \(20=2^2\times5^1\) से भाजकों की संख्या \((2+1)(1+1)=6\) शीघ्र मिल जाती है। / The positive divisors of 20 are 1, 2, 4, 5, 10 and 20, so \(n(A)=6\). The universal set \(U\) contains the natural numbers 1 through 20, hence \(n(U)=20\). Therefore \(n(A')=n(U)-n(A)=20-6=14\). The closest distractor B (6) gives the size of A, not A'; A (4) and D (20) are incorrect interpretations (4 might arise from excluding 1 and 20, 20 is |U|). Exam tip: use prime factorization — \(20=2^2\times5^1\) so number of divisors is \((2+1)(1+1)=6\), then subtract from 20 for the complement size.
