यदि \(A=\{1,2,3,4\}\) है, तो \(\mathcal{P}(A)\) में कितने उपसमुच्चय ऐसे हैं जिनमें 1 शामिल हो पर 4 न हो?

Correct Answer: B. 4. Explanation: यहाँ 1 को शामिल करना और 4 को बाहर रखना निश्चित है। शेष दो तत्व 2 और 3 के लिए प्रत्येक के दो-दो विकल्प हैं (शामिल या नहीं): कुल विकल्प = \(2^2=4\)। इसलिए उत्तर 4 है। विकल्प 8 इसलिए गलत है क्योंकि वह तीन स्वतंत्र निर्णय मानकर \(2^3=8\) गिनता है (अर्थात् 4 को स्वतंत्र मानना) — जो यहाँ लागू नहीं है। परीक्षा टिप: पहले फिक्स किए गए तत्व तय कर लें, फिर शेष मुक्त तत्वों पर \(2^{\text{#free elements}}\) लागू करें। / Include 1 and exclude 4 are fixed choices. The remaining elements 2 and 3 are free, each can be either present or absent, giving \(2^2=4\) possible subsets. Thus the correct count is 4. Option 8 is a common mistake (it counts \(2^3\), treating 4 as free). Exam tip: fix required/included or excluded elements first, then use \(2^{\text{number of remaining elements}}\) to count subsets.