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दो समुच्चयों के लिए मूल सूत्र है \(n(A\cup B)=n(A)+n(B)-n(A\cap B)\)। इसको पुनर्व्यवस्थित करने पर \(n(A\cap B)=n(A)+n(B)-n(A\cup B)\) मिलता है। इसलिए \(n(A\cap B)=20+15-28=7\)। विकल्प C (8) गणितीय गलती के कारण निकला प्रतीत होता है — सही संघ घटाकर प्राप्त उत्तर 7 है। परीक्षा टिप: तुरंत सूत्र याद रखें या एक साधारण वेन आरेख बनाकर संघ और कुल सदस्यगण गिनें। / For two sets use the identity \(n(A\cup B)=n(A)+n(B)-n(A\cap B)\). Rearranging gives \(n(A\cap B)=n(A)+n(B)-n(A\cup B)\). Substituting values: \(20+15-28=7\), so the intersection has 7 elements. Option C (8) is a close arithmetic distractor but incorrect; perform the subtraction carefully. Exam tip: memorize the formula or draw a simple Venn diagram to avoid sign errors.
केवल B का अर्थ है वह तत्व जो B में हैं लेकिन A में नहीं हैं। सेट अंतर (difference) द्वारा इसे \(B - A\) लिखा जाता है। विकल्प B (\(A - B\)) केवल A का हिस्सा दर्शाता है; विकल्प C (\(A \cap B\)) A और B का सम्मिलन है (दोनों में आने वाले), और विकल्प D (\(A' \cap B'\)) दोनों के बहिर्गम्य तत्वों (neither A nor B) को दर्शाता है। परीक्षा टिप: "केवल" का संकेत हमेशा सेट-अंतर (difference) है — पहले लिखो वह सेट जहाँ रहना है, फिर माइनस कर दो वह सेट जिससे बाहर रहना है। / "Only in B" means elements that belong to B but not to A. This is written using set difference as \(B - A\). Option B (\(A - B\)) denotes only A, option C (\(A \cap B\)) denotes the intersection (elements in both), and option D (\(A' \cap B'\)) denotes elements in neither A nor B. Exam tip: For "only" regions use the difference operator — write the set you want first, then subtract the set(s) you must exclude.
केवल \(A\) के अवयव वे हैं जो \(A\) में हैं लेकिन \(A\cap B\) में नहीं। इसलिए संख्या निकालने का नियम है: \(n(\text{only }A)=n(A)-n(A\cap B)\)। यहाँ \(n(\text{only }A)=18-6=12\)। विकल्प (A) का 6 गलत है क्योंकि वह केवल साझा भाग \(n(A\cap B)\) है, विकल्प (C) का 18 गलत है क्योंकि उसने साझा भाग घटाया नहीं, और विकल्प (D) असंभव है क्योंकि यह कुल \(A\) से अधिक है। परीक्षा टिप: वेंस आरेख बनाकर साझा भाग अलग दिखाएँ और कुल से साझा भाग घटाएँ। / Elements only in A are those in A but not in the intersection. Use the formula: \(n(\text{only }A)=n(A)-n(A\cap B)\). Here \(n(\text{only }A)=18-6=12\). Option A (6) is incorrect because it equals the intersection \(n(A\cap B)\), not the exclusive part; option C (18) is wrong because it ignores subtracting the common elements; option D (24) is impossible as it exceeds the total in A. Exam tip: sketch a Venn diagram and subtract the intersection from the total of A to avoid mistakes.
वेन आरेख में "केवल B" का मतलब है B के उन अवयवों की संख्या जो A में नहीं आते। यह संख्या निकलेगी \(n(B)-n(A\cap B)\)। यहां \(n(B)=14\) और \(n(A\cap B)=5\), अतः केवल B = \(14-5=9\)। विकल्प A (5) केवल समानांतर भाग है यानी A∩B; यह "केवल B" नहीं है। विकल्प C (14) B के सभी अवयव हैं जिनमें A∩B भी शामिल है, इसलिए गलत है। विकल्प D (19) संभव नहीं क्योंकि वह B की कुल संख्या से अधिक है। परीक्षा टिप: तुरंत वेन आरेख बनाकर बीच वाले (intersection) को घटा दें — यह सामान्य और तेज़ तरीका है। / "Only B" means elements in B but not in A, so compute \(n(B)-n(A\cap B)\). Given \(n(B)=14\) and \(n(A\cap B)=5\), only B = \(14-5=9\). Option A (5) represents the intersection itself, not the elements only in B. Option C (14) is the total elements of B including the intersection, so it is not "only B." Option D (19) is impossible because it exceeds the total number in B. Exam tip: draw a quick two-circle Venn diagram and subtract the intersection from the set's total to avoid mistakes.
केवल A में उपस्थित अवयवों की संख्या = \(n(A)-n(A\cap B)\). यहां \(n(A)=25\) और \(n(A\cap B)=10\) इसलिए केवल A = \(25-10=15\). विकल्प B (10) केवल साझा भाग है, यह केवल A का हिस्सा नहीं है; विकल्प A (8) और D (33) तर्कसंगत नहीं हैं (33 तो \(n(A)\) से भी बड़ी है)। परीक्षा-सुझाव: दो सेटों का वैन आरेख बनाकर "केवल A" और "साझा" भाग स्पष्ट रूप से लिखें। / Number only in A = \(n(A)-n(A\cap B)\). With \(n(A)=25\) and \(n(A\cap B)=10\), only A = \(25-10=15\). Option B (10) is the intersection (common elements), not the elements only in A. Options A (8) and D (33) are not derivable from the given data (33 exceeds \(n(A)\)). Exam tip: draw a two-set Venn diagram and label totals and intersection to read off the "only" regions directly.
केवल \(B\) में वे अवयव शामिल हैं जो \(A\) के साथ साझा नहीं होते। इसका मान \(n(B)-n(A\cap B)=22-7=15\) होगा, इसलिए सही उत्तर 15 है। नजदीकी गलत उत्तर 31 अक्सर इसलिये चुना जाता है क्योंकि छात्र \(n(A)+n(B)-n(A\cap B)=31\) लिखकर संघ \(A\cup B\) निकाल लेते हैं — पर प्रश्न 'केवल \(B\)' पूछ रहा है, न कि संघ। परीक्षा सुझाव: एक साधारण वेन आरेख बनाकर \(B\) का साझा भाग अलग कर दें और शेष को गिनें। / The elements only in B are those in B but not in A, so compute \(n(B)-n(A\cap B)=22-7=15\). Thus 15 is correct. A common error is calculating \(n(A)+n(B)-n(A\cap B)=31\), which gives the size of \(A\cup B\), not 'only B'. Draw a Venn diagram and subtract the intersection from B to avoid mistakes. Exam tip: always label the intersection first, then remove it from each circle to find 'only' counts.
एक कक्षा में 30 विद्यार्थी हैं। उनमें से 18 क्रिकेट खेलते हैं, 12 फुटबॉल खेलते हैं और 5 दोनों खेलते हैं। कम से कम एक खेल खेलने वाले कितने विद्यार्थी हैं?
दो सेटों के संयोग के लिए शामिल–निष्कासन सूत्र लागू करें: \(n(C\cup F)=n(C)+n(F)-n(C\cap F)\)। यहाँ \(18+12-5=25\)। इसलिए कम से कम एक खेल खेलने वाले विद्यार्थी 25 हैं। विकल्प B (30) गलती से केवल जोड़ने पर आता है और दोनों खेलने वालों को दो बार गिनता है; विकल्प C (35) वर्ग के कुल छात्रों से अधिक है इसलिए असंभव है; विकल्प D (5) केवल दोनों खेलने वालों की संख्या है। परीक्षा टिप: वेन आरेख बनाकर साझे भाग को स्पष्ट करें और शामिल–निष्कासन सूत्र का उपयोग करें। / Use the inclusion–exclusion formula for two sets: \(n(C\cup F)=n(C)+n(F)-n(C\cap F)\). Here \(18+12-5=25\), so 25 students play at least one game. Option B (30) comes from adding without subtracting the overlap (double counting); option C (35) exceeds the class size and is therefore impossible; option D (5) is only the number who play both games. Exam tip: draw a Venn diagram to visualize the overlap and then apply the formula.
एक सर्वे में कुल 35 व्यक्ति हैं। इनमें 16 लोग हिंदी पढ़ते हैं, 14 लोग अंग्रेजी पढ़ते हैं और 6 लोग दोनों भाषाएँ पढ़ते हैं। केवल हिंदी पढ़ने वाले कितने हैं?
केवल हिंदी पढ़ने वालों की संख्या = (कुल हिंदी पाठक) − (दोनों पढ़ने वाले)। यानी \(16-6=10\)। विकल्प A (6) त्रुटि है क्योंकि यह केवल समविभाजक (intersection) है, न कि केवल हिंदी वाले। विकल्प C (14) अंग्रेजी के कुल पाठकों के बराबर है और विकल्प D अनावश्यक बड़ा है। परीक्षा युक्ति: केवल A = A − (A∩B) का नियम याद रखें। / Number who read only Hindi = (total Hindi readers) − (both readers). So \(16-6=10\). Option A (6) confuses the intersection with “only Hindi”; option C (14) is the total English readers, not relevant; option D is not supported by the data. Exam tip: use Only A = A − (A∩B) for two-set Venn problems.
पहला कदम यह है कि समाविष्ट (intersection) क्षेत्र निकालें: समाविष्ट = \(n(A)-n(A\setminus B)=21-13=8\). फिर यूनियन के लिए सभी तीन क्षेत्र जोड़ें — केवल A, साझा (intersection) और केवल B: \(n(A\cup B)=13+8+10=31\). विकल्प C (34) गलत है क्योंकि वह संभवतः \(n(A)+n(A\setminus B)=21+13\) की गलती करके केवल A को दोबारा जोड़ने के कारण अधिक आ गया है। परीक्षा टिप: हमेशा Venn आरेख पर क्षेत्र चिन्हित करें और पहले साझा भाग निकालें (जैसे यहाँ \(n(A)-n(A\setminus B)\))। / Compute the intersection first: intersection = \(n(A)-n(A\setminus B)=21-13=8\). Then union is the sum of the three disjoint regions: only A + intersection + only B = \(13+8+10=31\). Option C (34) is wrong because it double-counts the elements of A (for example adding \(n(A)\) and the 'only A' count). Exam tip: draw a two-set Venn diagram and label the three regions; find the intersection by subtracting "only A" from \(n(A)\).
कुल सदस्यों की संख्या के लिए संघ का सूत्र है \(n(A\cup B)=n(A)+n(B)-n(A\cap B)\)। यहाँ \(n(A\cup B)=14+10-3=21\)। विकल्प C (24) तब प्राप्त होता यदि आप ओवरलैप (साझा भाग) को भूलकर सिर्फ जोड़ दें — यह गलत है क्योंकि साझा तत्वों को एक बार घटाना आवश्यक है। परीक्षा सुझाव: एक सरल वेन आरेख बनाकर साझा भाग को छाँटें; इससे जोड़ते/घटाते समय त्रुटि कम होगी। / Use the union formula \(n(A\cup B)=n(A)+n(B)-n(A\cap B)\). So \(n(A\cup B)=14+10-3=21\). Option C (24) would be the result of forgetting to subtract the overlap (i.e., just adding 14 and 10), which double-counts the common elements. Exam tip: draw a Venn diagram and label the overlap first — that helps avoid double counting when computing unions.
समुच्चयों के कार्डिनेलिटी के लिए सूत्र \(n(A\cup B)=n(A)+n(B)-n(A\cap B)\) है। इसे पुनर्व्यवस्थित कर के \(n(A\cap B)=n(A)+n(B)-n(A\cup B)\) मिलता है। यहाँ \(19+13-25=7\)। इसलिए उत्तर 7 है। विकल्प (5) तब गलत होगा जब संघ की मान को गलत तरीके से घटाया गया हो; विकल्प (12) तब आता है जब संघ को जोड़ दिया जाए बजाय घटाने के। परीक्षात्मक सुझाव: हमेशा Venn आरेख के साथ सूत्र याद रखें और यह जाँचें कि प्रतिच्छेद नकारात्मक न हो। / Use the identity \(n(A\cup B)=n(A)+n(B)-n(A\cap B)\). Rearranging gives \(n(A\cap B)=n(A)+n(B)-n(A\cup B)\). Substituting values: \(19+13-25=7\), so the intersection has 7 elements. Option 5 is wrong because it comes from an incorrect subtraction; option 12 is wrong because it would result from adding the union instead of subtracting. Exam tip: draw a simple two-circle Venn diagram and apply the formula; ensure the intersection count is non‑negative and not greater than either set size.
केवल \(A\) के अवयवों की संख्या निकालने के लिए \(A\) के कुल अवयवों में से \(A\cap B\) के अवयव घटाएँ। अतः केवल \(A\)=\(n(A)-n(A\cap B)=23-9=14\)। विकल्प (23) गलत है क्योंकि वह \(A\) के सभी अवयव हैं जिनमें साझा हिस्सा भी शामिल है; विकल्प (9) केवल साझा भाग है, न कि केवल \(A\)। परीक्षा-सूत्र: वेंन आरेख बनाकर कुल से साझा भाग घटाने से जल्दी हल करें। / Elements only in A = total in A minus those in the intersection, so only A = \(n(A)-n(A\cap B)=23-9=14\). Option 23 is wrong because it is the total in A including the shared part; option 9 is just the intersection. Exam tip: draw a Venn diagram and subtract the intersection from the set's total to get the exclusive part.
केवल B में उपस्थित अवयवों की संख्या निकालने का सिद्धांत सरल है: B के कुल अवयवों में से A∩B (अर्थात् जो दोनों में साझा हैं) घटाएँ। इसलिए केवल B = \(n(B)-n(A\cap B)=27-11=16\)। विकल्प C (27) गलत है क्योंकि इसमें A∩B भी सम्मिलित हैं; विकल्प A (11) गलत है क्योंकि वह केवल दोनों सेटों में साझा भाग की गिनती है; विकल्प D (38) असंभव है क्योंकि यह B के कुल 27 से अधिक है। परीक्षा-सुझाव: प्रश्न पढ़कर तुरंत Venn आरेख पर B और मध्यभाग (A∩B) चिह्नित करें और मध्य भाग घटाएँ। / The number only in B is found by subtracting the intersection from the total in B: only B = \(n(B)-n(A\cap B)=27-11=16\). Option C (27) is incorrect because it includes the intersection as well; option A (11) is just the intersection (elements in both A and B); option D (38) is impossible since it exceeds the total elements in B. Exam tip: sketch a two-set Venn diagram and subtract the overlap from B to get the 'only B' region quickly.
A. केवल A का वह भाग जो B में नहीं है/Only the part of A that is not in B
Explanation
Simple Explanation
\((A - B)\) का परिभाषा है: \(\{x\in A : x\notin B\}\)। इसलिए यह A के उन अवयवों का वह भाग है जो B में नहीं आते — यानी A का केवल बाहरी हिस्सा (intersection के बाहर)। विकल्प C (\((A\cap B)\)) गलत है क्योंकि वह केवल दोनों सेटों में सामान्य अवयव दिखाता है, जबकि \((A - B)\) में वे शामिल नहीं हैं। परीक्षा टिप: वेन आरेख पर A का बायाँ/बाहरी भाग देखना सीखें — वही \((A - B)\) है। / By definition \((A - B)=\{x\in A : x\notin B\}\). So it is the part of A consisting of elements not in B — the portion of A outside the intersection. Option C (\((A\cap B)\)) is incorrect because it denotes the common part of A and B, which is excluded from \((A - B)\). Exam tip: on a Venn diagram, mark A then remove the overlapping area with B — the remaining part of A is \((A - B)\).
\(B - A\) का अर्थ है वे सभी तत्त्व जो सेट \(B\) में हैं पर सेट \(A\) में नहीं हैं — अर्थात् \(B\) का वह भाग जो \(A\) के साथ ओवरलैप नहीं करता। इसलिए सही विकल्प केवल (B) वाला क्षेत्र है। सबसे घनिष्ठ विकर्षक \(A\cap B\) गलती से उस साझा भाग को दर्शाता है जो दोनों में आता है, जबकि \(B - A\) में वह शामिल नहीं होता। परिक्षा टिप: त्वरित रूप से वेन आरेख पर \(B\) को शेड करें और फिर \(A\) के ओवरलैप को मिटा दें — बचा हुआ भाग ही \(B - A\) है। / \(B - A\) means the elements that belong to set \(B\) but not to set \(A\); i.e. the part of \(B\) excluding the overlap with \(A\). Hence the correct region is Only (B). The closest distractor, \(A\cap B\), represents the common part of both sets and so is incorrect for a set-difference. Exam tip: Shade \(B\) and remove the intersection with \(A\); the remaining shaded area is \(B - A\).
कटाव (intersection) का अर्थ उन तत्वों का समुच्चय है जो दोनों समुच्चयों में साझा हैं। \(A\) में \(1,2,3,4,5\) हैं और \(B\) में \(3,5,7\) हैं; सामान्य तत्व केवल \(3\) और \(5\) हैं, इसलिए \(A\cap B=\{3,5\}\)। विकल्प A (\(\{1,2,4\}\)) केवल \(A\) के अलग-अलग तत्व हैं, वे \(B\) में नहीं हैं; विकल्प C (\(\{7\}\)) केवल \(B\) का अनन्य तत्व है; विकल्प D पूरा योग (union) है, न कि कटाव। परीक्षा टिप: दोनों सेटों के तत्व एक-एक करके लिखकर सामान्य तत्वों की पहचान करें या छोटा वेन आरेख बनाएं। / Intersection means the elements common to both sets. \(A\) contains \(1,2,3,4,5\) and \(B\) contains \(3,5,7\); the common elements are only \(3\) and \(5\), so \(A\cap B=\{3,5\}\). Option A (\(\{1,2,4\}\)) lists elements only in \(A\), not common to \(B\); option C (\(\{7\}\)) is only in \(B\); option D is the union of the two sets, not the intersection. Exam tip: list members of both sets side by side or draw a small Venn diagram to spot common elements quickly.
"केवल A" का अर्थ है A \\ B — अर्थात् A में वे तत्व जो B में नहीं हैं। A और B का साझा भाग (intersection) {2,8} है, इसलिए उन्हें A से निकालने पर बचते हैं {4,6}। विकल्प B ({2,8}) केवल साझा तत्व हैं इसलिए गलत है; विकल्प C ({1,9}) केवल B के तत्व हैं; विकल्प D पूरा A है जबकि हमें A से B घटाना है। परीक्षा टिप: जल्दी पता करने के लिए वेंन आरेख में A के केवल बाएँ भाग को देखें या सीधे समुच्चयों का अंतर लें। / "Only A" means A \ B — the elements in A that are not in B. The common elements of A and B are {2,8}, so removing them from A leaves {4,6}. Option B ({2,8}) lists the intersection (not only A), option C ({1,9}) are elements only of B, and option D is the whole set A (not A \ B). Exam tip: Use a simple Venn diagram or compute the set difference A\B by removing common elements.
"केवल B" का अर्थ है B − A (या B में वे तत्व जो A में नहीं हैं)। B में {b, c, d, e} हैं; A के सामान्य तत्व c और e को निकालने पर केवल {b, d} बचते हैं। विकल्प A ({c, e}) गलती से B∩A यानी साझा तत्व दिखाता है, इसलिए वह गलत है। परीक्षा सुझाव: किसी भी समय "only B" माँगा जाए, सीधे B − A निकालें। / "Only B" means B − A (elements in B that are not in A). B contains {b, c, d, e}; removing the common elements c and e (which are in A) leaves {b, d}. Option A ({c, e}) corresponds to the intersection B∩A, not the only-B part, so it is incorrect. Exam tip: For "only B" questions compute B − A quickly by removing common elements.
समुच्चय (A) में उन तत्वों का योग आता है जो केवल A में हैं और जो A तथा B के सामान्य भाग में हैं। दिए गए अनुसार केवल A के क्षेत्र का आकार \(n(A - B)=10\) और साझा भाग का आकार \(n(A\cap B)=7\)। अतः \(n(A)=n(A - B)+n(A\cap B)=10+7=17\)। विकल्प (B) = 10 केवल \(A - B\) की गिनती है और साझा भाग को छोड़ देता है, इसलिए गलत है। विकल्प (A) और (D) व्यर्थ हैं (3 अमान्य गणना, 70 असंगत बड़ा मान)। परीक्षा-सुझाव: छोटा Venn आरेख बनाएं और हमेशा लिखें \(n(A)=n(A - B)+n(A\cap B)\)। / Set A consists of elements only in A plus those in the common part with B. Here \(n(A - B)=10\) and \(n(A\cap B)=7\), so \(n(A)=n(A - B)+n(A\cap B)=10+7=17\). Option B (10) counts only \(A - B\) and omits the intersection, so it is incorrect. Options A and D are implausible (3 is a wrong arithmetic result, 70 is inconsistent). Exam tip: draw a simple two-circle Venn diagram and use \(n(A)=n(A - B)+n(A\cap B)\) to avoid mistakes.
समुच्चय B के तत्व दो परस्पर-विषम भागों में विभाजित होते हैं: केवल B में होने वाले तत्व (\(B-A\)) और A तथा B दोनों में आने वाले तत्व (\(A\cap B\))। इसलिए कुल सदस्यता जोड़कर मिलेगी: \(n(B)=n(B-A)+n(A\cap B)=13+6=19\)। विकल्प 13 केवल \(B-A\) की संख्या है और पारस्परिक भाग \(A\cap B\) को छोड़ देता है, इसलिए वह गलत है। परीक्षा-सुझाव: वेंस आरेख पर परस्पर-विषम क्षेत्रों की पहचान कर उनकी संख्या जोड़ें — साझा और केवल-एक-समुच्चय के हिस्सों को अलग रखें। / Elements of set B split into two disjoint parts: those only in B (\(B-A\)) and those in both A and B (\(A\cap B\)). Thus add their cardinalities: \(n(B)=n(B-A)+n(A\cap B)=13+6=19\). Option 13 counts only \(B-A\) and omits the intersection, so it is incorrect. Exam tip: mark disjoint regions on a Venn diagram and sum their counts to find the total for a set.
कक्षा में 42 विद्यार्थी हैं। 24 विद्यार्थी गणित पसंद करते हैं, 18 विज्ञान पसंद करते हैं, और 7 विद्यार्थी दोनों विषय पसंद करते हैं। कम से कम एक विषय पसंद करने वाले कितने विद्यार्थी हैं?
दो सेटों के लिए संघ का नियम उपयोग करें: \(n(A\cup B)=n(A)+n(B)-n(A\cap B)\)। यहाँ \(24+18-7=35\) इसलिए कम से कम एक विषय पसंद करने वाले विद्यार्थियों की संख्या 35 है. विकल्प B (42) केवल 24 और 18 को जोड़कर दोनों को दोबारा गिनता है; विकल्प C (49) गलत है क्योंकि उसमें इंटरसेक्शन को जोड़ा गया है न कि घटाया गया; विकल्प D (7) केवल उन विद्यार्थियों को गिनता है जो दोनों विषय पसंद करते हैं। परीक्षा टिप: छोटे वेन-आरेख बनाकर पहले केवल एक-विशेष हिस्से की संख्या भरें और फिर संघ का सूत्र लगाकर परिणाम को कुल विद्यार्थियों से मिलान करें। / Apply the union formula for two sets: \(n(A\cup B)=n(A)+n(B)-n(A\cap B)\). Thus \(24+18-7=35\), so 35 students like at least one subject. Option B (42) is just 24+18 and double-counts the students who like both; option C (49) is wrong because it adds the intersection instead of subtracting it; option D (7) counts only those who like both subjects. Exam tip: draw a small Venn diagram, place the intersection first, then fill the exclusive parts and use the union formula; always check the answer does not exceed the class size.
एक सर्वेक्षण में 50 लोग शामिल थे; 28 लोग मोबाइल का उपयोग करते हैं, 20 लोग कंप्यूटर का उपयोग करते हैं, और 10 लोग दोनों का उपयोग करते हैं। कितने लोग किसी भी उपकरण का उपयोग नहीं करते?
इस प्रकार के प्रश्नों में 'कम से कम एक' उपयोग करने वालों की संख्या inclusion–exclusion सिद्धांत से निकाली जाती है: \(28+20-10=38\). यह 38 वे लोग हैं जो मोबाइल या कंप्यूटर या दोनों का उपयोग करते हैं। इसलिए जिन लोगों ने कोई भी उपकरण नहीं प्रयोग किया, उनकी संख्या कुल में से यह घटाकर है: \(50-38=12\). विकल्प C (38) गलत है क्योंकि वह 'कम से कम एक' करने वालों की संख्या है, न कि 'कोई नहीं'। विकल्प A (10) केवल दोनों उपयोग करने वालों की संख्या है, और विकल्प D (40) गलत तर्क (जैसे केवल 10 घटाने से) का परिणाम है. परीक्षा युक्ति: एक सरल वенн आरेख बनाकर पहले "केवल मोबाइल", "केवल कंप्यूटर" और "दोनों" हिस्से भरें — इससे त्रुटियाँ कम होती हैं। / Use the inclusion–exclusion idea: number using at least one = 28 + 20 − 10 = 38 (mobile or computer or both). So neither = total − at least one = 50 − 38 = 12. Option C (38) is the count of those using at least one, not those using neither. Option A (10) is only the number using both. Option D (40) comes from incorrect subtraction (e.g. 50 − 10) and is therefore wrong. Exam tip: draw a two-set Venn diagram and fill "only mobile", "only computer" and "both" to avoid sign mistakes.
समुच्चयों के योग के लिए सूत्र है \(n(A\cup B)=n(A)+n(B)-n(A\cap B)\)। चूँकि \(A\cap B=\varnothing\) है, इसलिए \(n(A\cap B)=0\)। अतः \(n(A\cup B)=15+18-0=33\)। विकल्प B और C केवल व्यक्तिगत समुच्चयों का आकार देते हैं, इसलिए वे गलत हैं; विकल्प A कोई तार्किक गणना नहीं दर्शाता। परीक्षा सुझाव: पहले हमेशा यूनियन का सामान्य सूत्र लिखें और इंटरसेक्शन की संख्या की जाँच करें। / Use the union formula \(n(A\cup B)=n(A)+n(B)-n(A\cap B)\). Since \(A\cap B=\varnothing\), \(n(A\cap B)=0\). Therefore \(n(A\cup B)=15+18-0=33\). Options B and C are the sizes of the individual sets (not the union) so they are incorrect; option A is not a valid result here. Exam tip: write the formula first and check whether the sets are disjoint (intersection zero).
यदि \(A\subseteq B\) है तो हर तत्व जो \(A\) में है वह \(B\) में भी होगा, अतः \(A\cup B=B\)। इसलिए \(n(A\cup B)=n(B)=26\). नजदीकी भ्रामक विकल्प \(35\) गलत है क्योंकि वह \(n(A)+n(B)=9+26\) का योग है — पर आदर्श सूत्र \(n(A\cup B)=n(A)+n(B)-n(A\cap B)\) है; यहाँ \(A\cap B=A\) होने पर ही घटाना जरूरी है और परिणाम \(26\) रहता है। परीक्षा सुझाव: जब दिया हो कि \(A\subseteq B\), तुरंत समझें कि \(A\cup B=B\)। / If \(A\subseteq B\), every element of \(A\) is already in \(B\), so \(A\cup B=B\). Hence \(n(A\cup B)=n(B)=26\). The tempting option 35 is wrong because it is just \(n(A)+n(B)=9+26\); the correct union formula is \(n(A\cup B)=n(A)+n(B)-n(A\cap B)\), and here \(A\cap B=A\) so subtracting gives \(26\). Exam tip: whenever you see \(A\subseteq B\), immediately conclude \(A\cup B=B\) to save time.
यदि \(A\subseteq B\) है तो हर तत्व जो A में है वह B में भी होगा, अतः \(A\cap B=A\)। इसलिए \(n(A\cap B)=n(A)=12\)। निकटतम विक्षेपक \(31\) है — यह \(n(B)\) है, पर \(A\cap B\) कभी भी \(n(A)\) से बड़ा नहीं हो सकता। \(19\) उस गलत धारणा का परिणाम हो सकता है कि कोई \(n(B)-n(A)\) करके intersection मान ले रहा है; \(43\) दोनों सेटों के cardinals का जोड़ है और गलत है। परीक्षा टिप: जब \(A\subseteq B\) हो तो तुरंत मान लें \(A\cap B=A\) और cardinalities बराबर होंगे। / If \(A\subseteq B\), every element of A is in B, so \(A\cap B=A\). Therefore \(n(A\cap B)=n(A)=12\). The closest distractor is 31 — that is \(n(B)\), but the intersection cannot exceed \(n(A)\). 19 might arise from wrongly computing \(n(B)-n(A)\), and 43 is the sum \(12+31\), both incorrect. Exam tip: for a subset relation use \(A\cap B=A\) immediately to get the cardinality.
A के कुल तत्व \(n(A)=20\) में से जो केवल A में हैं वे \(A\setminus B=13\) हैं। इसलिए साझा भाग (intersection) होगा \(n(A\cap B)=n(A)-n(A\setminus B)=20-13=7\)। विकल्प C (13) गलत है क्योंकि वह केवल A में मौजूद तत्वों की संख्या है, न कि दोनों में साझा तत्वों की। परीक्षा सुझाव: Venn आरेख बनाकर प्रत्येक क्षेत्र को नाम दे दें और सूत्र \(n(A)=n(A\setminus B)+n(A\cap B)\) याद रखें। / Out of the total \(n(A)=20\) elements of A, the elements only in A are \(A\setminus B=13\). Hence the intersection is \(n(A\cap B)=n(A)-n(A\setminus B)=20-13=7\). Option C (13) is incorrect because it counts elements exclusive to A, not the common ones. Exam tip: draw a Venn diagram, label the regions and use \(n(A)=n(A\setminus B)+n(A\cap B)\) to avoid sign errors.
B के कुल \(30\) अवयवों में से \(21\) केवल B में हैं (A में नहीं)। अतः जो अवयव दोनों में हैं वे बचे हुए होंगे: \(n(A\cap B)=30-21=9\). विकल्प A (7) गलत है क्योंकि वह \(n(A)-21\) निकालने पर मिलता, जो इस प्रश्न में अर्थहीन है — "केवल B" का अर्थ B का अनन्य भाग है, न कि A का। विकल्प C (21) केवल B के अनन्य अवयव हैं, पर वह साझा भाग नहीं हैं; विकल्प D (30) पूरा B है, न कि केवल साझा भाग। परीक्षा टिप: "only B" का अर्थ समझें — यह B के वे सदस्य हैं जो A में नहीं हैं; साझा भाग निकालने के लिए B का कुल घटाएँ। / Out of the total \(30\) elements of B, \(21\) are only in B (not in A). Therefore the elements common to A and B are the remainder: \(n(A\cap B)=30-21=9\). Option A (7) is wrong because it corresponds to subtracting 21 from \(n(A)\) (\(28-21\)), which misinterprets "only B"; option C (21) gives the only‑B elements (not the intersection); option D (30) is the whole set B, not the common part. Exam tip: carefully parse phrases like "only B" or "only A" — they denote exclusive elements of that set and are used to find the intersection by subtraction from the set's total.
यदि \(A = B\), तो दोनों सेट एक ही हैं। इसलिए \(A \cap B = A \cap A = A\)। विकल्प \(\varnothing\) तभी सही होगा जब सेट दोनों आपस में असंगत (disjoint) हों — यहाँ ऐसा नहीं है। \(U\) केवल तब सही होगा जब \(A = U\) अर्थात सेट यूनिवर्सल सेट के बराबर हो, जो सामान्यतः सत्य नहीं माना जा सकता। \(A'\) सेट \(A\) का पूरक है और \(A\) के बराबर नहीं होता। परीक्षा-टिप्स: पहचानें कि समान सेटों का परस्पर छेदन वही सेट देता है: \(X\cap X = X\)। / If \(A = B\), the two sets are identical, so \(A \cap B = A \cap A = A\). The choice \(\varnothing\) would be true only if the sets were disjoint, which is not the case here. \(U\) (the universal set) would be the intersection only if \(A = U\), which is not generally assumed. \(A'\) is the complement of \(A\) and is not equal to \(A\). Exam tip: remember the identity law \(X\cap X = X\) and \(X\cup X = X\) for quick answers.
यदि \(A = B\), तो दोनों समुच्चय समान हैं। संघ का गुण (idempotent law) कहता है कि \(A \cup A = A\)। इसलिए \(A \cup B = A\) होगा। विकल्प (C) \(A'\) और (D) \(U\setminus A\) दोनों A का पूर्णपूरक दर्शाते हैं और केवल तभी बराबर होते यदि विशेष परिस्थितियाँ (जैसे \(A=\varnothing\) या \(A=U\)) हों — सामान्यतः वे गलत हैं। विकल्प (B) खाली समुच्चय है, जो तब ही सही होगा जब \(A\) खाली हो, पर सामान्य मान के लिए यह गलत है. परीक्षा-सूत्र: समान समुच्चयों का संघ वही समुच्चय ही होता है (याद रखें: \(A\cup A=A\)). / If \(A = B\), the two sets are identical. The idempotent law of union gives \(A \cup A = A\), so \(A \cup B = A\). Option C (\(A'\)) and D (\(U\setminus A\)) denote the complement of A and are not equal to A in general (only in special cases). Option B (\(\varnothing\)) would be true only if \(A\) itself were empty. Exam tip: use set identities on Venn diagrams — identical sets union to themselves, i.e. \(A\cup A=A\).
समुच्चयों के संघ और छेदन के संबंध का सूत्र है \(n(A\cup B)=n(A)+n(B)-n(A\cap B)\)। इसमें दिए गए मान रखें: \(48=32+n(B)-10\)। इसका सरलीकरण करने पर \(48=22+n(B)\) इसलिए \(n(B)=26\)। नज़दीकी भ्रामक विकल्प \(38\) तब बनता है जब कोई केवल \(n(A\cup B)-n(A\cap B)=48-10\) कर ले — यह गलत है क्योंकि उस विधि में \(n(A)\) को शामिल करना भूल जाता है। परिक्षा-टिप: Venn आरेख बनाकर और फार्मूला \(n(A\cup B)=n(A)+n(B)-n(A\cap B)\) को फिर से लिखकर अज्ञात को अलग करें। / Use the union formula for two sets: \(n(A\cup B)=n(A)+n(B)-n(A\cap B)\). Substitute the given values: \(48=32+n(B)-10\). Simplifying gives \(48=22+n(B)\), so \(n(B)=26\). The common wrong result 38 comes from doing \(48-10\) only, which omits \(n(A)\). Exam tip: draw a Venn diagram and algebraically rearrange the union formula to solve for the unknown cardinality.
यह सेट-डिफरेंस की समस्या है: केवल A वाले तत्व खोजने के लिए A से B के सामान्य तत्व हटा दें। A और B के सामान्य तत्व 5 और 7 हैं, उन्हें निकालने पर बचता है {1,3,9}। विकल्प B ({5,7}) A∩B है — यह केवल A नहीं है; विकल्प C और D क्रमशः केवल B का तत्व और A∪B हैं, इसलिए गलत हैं। परीक्षा टिप: केवल A के लिए हमेशा A−B लें यानी A में से B के सभी तत्व हटाएँ। / This is a set-difference question: to get elements only in A remove the common elements of B from A. The common elements are 5 and 7; removing them leaves {1,3,9}. Option B ({5,7}) is A∩B (the intersection), not A−B; option C is an element only of B, and option D is A∪B (the union). Exam tip: compute A−B directly — cross out elements that appear in B from A.
"केवल \(A\)" का अर्थ है तत्व \(A\) में हों और \(B\) में न हों। इसे सेट के रूप में \(A\cap B'\) लिखा जाता है (यह वही क्षेत्र है जो केवल A के अंतर्गत है और B के बाहर है)। विकल्प A (\(A\cap B\)) गलत है क्योंकि वह केवल उन तत्वों को दर्शाता है जो दोनों सेट \(A\) और \(B\) में हैं। विकल्प C (\(A'\cap B\)) और विकल्प D (\(A\cup B'\)) भी गलत हैं — C तो बिल्कुल बाहर के क्षेत्र का प्रतिनिधित्व करता है और D में \(B'\) के कारण A के बाहर के भी कई तत्व शामिल हो जाते हैं। परीक्षा-टिप: याद रखें कि \(A\setminus B= A\cap B'\)। / "Only \(A\)" means elements that are in \(A\) but not in \(B\). In set notation this is \(A\cap B'\), which represents the part of A outside B. Option A (\(A\cap B\)) is wrong because it denotes elements common to both A and B. Option C (\(A'\cap B\)) refers to elements outside A and inside B, and option D (\(A\cup B'\)) includes many elements outside A (because of \(B'\)), so both are incorrect. Exam tip: use \(A\setminus B= A\cap B'\) to convert "A but not B" statements into set notation.
केवल \(A\) के अवयव कुल \(A\) में से संयुक्त भाग \(A\cap B\) घटाकर मिलते हैं: केवल \(A)=n(A)-n(A\cap B)=44-18=26\). विकल्प 18 केवल साझा भाग है, जो "केवल A" नहीं है; विकल्प 44 पूरी सेट A का आकार है जिसमें साझा भाग भी शामिल है। परिक्षा सुझाव: एक सरल वेन-आरेख बनाकर पहले संयुक्त क्षेत्र पर अंक लगाएँ और फिर उसे कुल A से घटाएँ। / Elements only in A = n(A) − n(A∩B) = 44 − 18 = 26. So only A has 26 elements. Option 18 is the intersection (shared part), not "only A"; option 44 is the total size of A including the shared part; 62 is impossible here. Exam tip: draw a Venn diagram, label n(A) and n(A∩B), then subtract the intersection from A to get the "only A" region.
'केवल \(B\)' का अर्थ है वह भाग जो \(B\) में है पर \(A\) में नहीं है। इसे सेट-समिकरण में लिखने का मानक रूप \(A' \cap B\) है (यह वही है जो \(B - A\) भी दर्शाता है)। इसलिए विकल्प C सही है।
नज़दीकी चुनौतियाँ: विकल्प A (\(A - B\)) केवल \(A\) का वह भाग दर्शाता है जो \(B\) में नहीं है — यह 'केवल A' है, इसलिए गलत। विकल्प B (\(A \cap B\)) दोनों सेटों का साझा भाग है, न कि केवल \(B\)। विकल्प D (\(A \cup B\)) दोनों में से किसी में भी आने वाले तत्व हैं, जो भी बढ़ा-चढ़ाकर दिखाता है।
परीक्षा टिप: वेंन आरेख पर छायांकन करके देखें — 'केवल B' वह हिस्सा है जो B के अंदर है और A के ओवरलैप के बाहर। इससे तुरंत \(A' \cap B\) पहचान में आ जाता है। / 'Only B' means elements are in \(B\) and not in \(A\). The standard set expression for this is \(A' \cap B\), which is equivalent to \(B - A\). Hence option C is correct.
Why other options are wrong: Option A (\(A - B\)) represents elements only in \(A\), not in \(B\). Option B (\(A \cap B\)) is the common part of both sets, not 'only B'. Option D (\(A \cup B\)) includes elements of either set, so it is too large.
Exam tip: Shade the Venn diagram — the region inside \(B\) but outside \(A\) clearly shows \(A' \cap B\).
समुच्चयों के लिए समावेशन-अποहार नियम है: \(n(A\cup B)=n(A)+n(B)-n(A\cap B)\)। यहाँ \(n(A\cup B)=31+22-9=44\)। विकल्प (B) — 53 — तब आना चाहिए यदि दोनो समुच्चय का कोई साझा भाग न हो (यानी \(n(A\cap B)=0\)) इसलिए गलत है। परीक्षा सुझाव: प्रश्न देखते ही छोटा वेन चित्र बनाकर साझा भाग अलग दिखाएँ और सूत्र लागू करें। / Use the inclusion–exclusion formula: \(n(A\cup B)=n(A)+n(B)-n(A\cap B)\). So \(n(A\cup B)=31+22-9=44\). Option B (53) would be the sum 31+22 and would be correct only if the intersection were zero, so it is incorrect. Exam tip: sketch a two-circle Venn diagram to identify the overlap and apply the formula to avoid double counting.
सूत्र है \(n(A\cup B)=n(A)+n(B)-n(A\cap B)\). इसे \(n(A\cap B)\) के लिए व्यवस्थित करने पर \(n(A\cap B)=n(A)+n(B)-n(A\cup B)\)। इसलिए \(n(A\cap B)=28+19-39=8\)। विकल्प C (11) गलत है — यह किसी गलत गणना या संघ की मान में त्रुटि करने पर आ सकता है। परीक्षा टिप: संघ-इंटरसेक्शन का सूत्र रट्टा रखें और सीधे दिए गए मानों को सूत्र में लगाएँ। / Use the identity \(n(A\cup B)=n(A)+n(B)-n(A\cap B)\). Rearranging gives \(n(A\cap B)=n(A)+n(B)-n(A\cup B)\). Substituting: \(28+19-39=8\). Choice C (11) is a result of a miscalculation or using an incorrect union value. Exam tip: memorize the union formula and plug values carefully to avoid arithmetic mistakes.
केवल \(A\) के अवयव वे होते हैं जो \(A\) में हैं पर \(B\) में नहीं। इसका मान \(n(A)-n(A\cap B)\) है। यहाँ \(35-12=23\)। विकल्प (12) केवल साझा भाग है, न कि केवल \(A\)। विकल्प (35) पूरा \(A\) है जिसमें साझा भाग भी शामिल है। परीक्षा टिप: प्रश्न पर छोटा Venn-आकृति बनाकर प्रत्येक क्षेत्र के लिए दी गयी संख्याएँ लिख लें। / Elements only in A are those in A but not in B, so compute \(n(A)-n(A\cap B)\). Here \(35-12=23\). Option 12 is just the intersection, not the ‘only A’ part; 35 is the total of A including the intersection; 47 is impossible given the totals. Exam tip: draw a small Venn diagram and subtract the intersection from the total of A to avoid errors.
कोर विचार: किसी सेट \(B\) के केवल (only) क्षेत्र में आने वाले अवयवों की संख्या वह है जो \(B\) में हैं पर \(A\) और \(B\) के साझा (intersection) भाग में नहीं हैं। इसे निकालने का सूत्र: केवल \(B\)=\(n(B)-n(A\cap B)\)। यहाँ \(n(B)=41\) और \(n(A\cap B)=17\) होने पर केवल \(B\)=\(41-17=24\)। सबसे निकटवर्ती ग़लत विकल्पों का कारण: 17 (विकल्प A) केवल सम्मिलित भाग की संख्या है, न कि केवल \(B\) का; 41 (विकल्प C) पूरे \(B\) की कुल संख्या है जिसमें साझा भाग भी शामिल है; 58 (विकल्प D) अर्थहीन जोड़ है। परीक्षा सुझाव: हल करने से पहले छोटा वенн-चित्र बनाकर तीन क्षेत्र (केवल A, केवल B, A∩B) ले लें और उनकी संख्याएँ लिखें। / Core idea: Elements only in B are those in B but not in A, so only-B = \(n(B)-n(A\cap B)\). With \(n(B)=41\) and \(n(A\cap B)=17\), only-B = \(41-17=24\), so option 24 is correct. Why other options are wrong: 17 is the intersection count (not only B); 41 is the total in B including the overlap; 58 is an incorrect sum. Exam tip: sketch a two-circle Venn diagram and label total B and the overlap, then subtract overlap from B to get the only-B region.
समुह A के तत्व दो भागों में आते हैं: केवल A में आने वाले तत्व (A−B) और दोनों में साझा होने वाले तत्व \(A\cap B\)। अतः कुल तत्वों की संख्या \(n(A)=n(A-B)+n(A\cap B)=16+11=27\)। विकल्प B (16) केवल उन तत्वों की संख्या है जो सिर्फ A में हैं और इसलिए पूरा A नहीं दर्शाता — यही कारण है कि वह गलत है। परीक्षा‑टिप: पहले "केवल A" और "साझा" भाग अलग‑अलग गिनें और फिर जोड़ें। / Elements of set A split into two parts: those only in A, i.e. \(A-B\), and those in the common part \(A\cap B\). Therefore \(n(A)=n(A-B)+n(A\cap B)=16+11=27\). Option B (16) counts only the elements exclusive to A, not the shared ones, so it is incorrect. Exam tip: always separate exclusive and common regions in a Venn diagram, then add their counts.
समूह B को दो असंगत भागों में बाँटा जा सकता है: वह भाग जो केवल B में है (B−A) और वह साझा भाग \(A\cap B\)। इसलिए फार्मूला है: \(n(B)=n(B-A)+n(A\cap B)\)। यहाँ \(n(B)=21+13=34\) इसलिए सही उत्तर 34 है। निकटभ्रम (option B = 21) गलत है क्योंकि यह केवल \(B-A\) की गिनती है और साझा भाग को नहीं जोड़ता। अन्य विकल्प (8, 273) भी अर्थपूर्ण रूप से मेल नहीं खाते। परीक्षा सुझाव: किसी भी सेट की कुल संख्या पूछे जाने पर उसे असंगत (disjoint) हिस्सों में बाँट कर जोड़ें — यही तेज और सुरक्षित तरीका है। / Set B splits into two disjoint parts: the elements only in B (B−A) and the common part \(A\cap B\). Hence the identity is \(n(B)=n(B-A)+n(A\cap B)\). Here \(n(B)=21+13=34\), so 34 is correct. The closest distractor 21 is incorrect because it counts only \(B-A\) and omits the common elements. Options 8 and 273 are not consistent with the given data. Exam tip: always partition a set into disjoint regions (only-in, common, only-in-other) before adding counts.
छोटा सिद्धांत: किसी दो समूहों का परस्पर छेदक (intersection) वे तत्व होते हैं जो दोनों समूहों में एक साथ मौजूद हों। यहाँ \(A\) और \(B\) में सामान्य तत्व केवल \(3\) और \(5\) हैं, इसलिए \(A\cap B=\{3,5\}\)। विकल्प B (\(\{2,7,11\}\)) में केवल उन तत्वों का उल्लेख है जो केवल \(A\) में हैं (यानी \(A\setminus B\)) — इसलिए वह गलत है। परीक्षा टिप: इंटरसेक्शन खोजने के लिए दोनों सेटों को पारस्परिक रूप से देखें और केवल वही तत्व लिखें जो दोनों में मौजूद हों। / Core idea: the intersection of two sets consists of elements present in both sets. Here the common elements of \(A\) and \(B\) are 3 and 5, so \(A\cap B=\{3,5\}\). Option B (\(\{2,7,11\}\)) lists elements that are only in \(A\) (i.e. \(A\setminus B\)), so it is incorrect. Exam tip: scan each element of one set and check if it also appears in the other; list only those that appear in both.
“केवल A” का अर्थ है A B यानी A में मौजूद वे तत्व जो B में नहीं हैं। A = {4,6,8,10} और B = {6,10,12} में सामान्य तत्व 6 और 10 हैं, इन्हें हटा देने पर केवल A में {4,8} बचता है। विकल्प B ({6,10}) A ∩ B (संयुक्त तत्व) है और इसलिए गलत है; विकल्प C केवल B का खास तत्व है; विकल्प D पूरी समेकित संख्या集合 है और प्रश्न से मेल नहीं खाती। परीक्षा-टिप: ऐसे प्रश्नों में शीघ्रता से A - B निकालें या एक छोटा वेन्न आरेख बनाएं। / “Only A” means A \ B, the elements that are in A but not in B. With A = {4,6,8,10} and B = {6,10,12}, the common elements 6 and 10 are removed, leaving {4,8} as A \ B. Option B ({6,10}) is the intersection A ∩ B and therefore incorrect; option C ({12}) is an element only of B; option D is the union of the sets and not asked for. Exam tip: compute A - B directly or sketch a small Venn diagram to avoid sign errors.
"केवल B" का अर्थ है B में होने वाले पर A में न होने वाले तत्व — यानी हम निकालते हैं \(B - A\)। B में {q,r,s,t} हैं और A में {p,q,r} हैं। सामान्य तत्व {q,r} हैं, इसलिए केवल B में बचे हुए तत्व {s,t} होंगे। विकल्प B ({q,r}) गलत है क्योंकि वे दोनों A और B दोनों में आते हैं; विकल्प A और D भी सही नहीं हैं। परीक्षा टिप: केवल B खोजने के लिए Venn आरेख बनाकर मध्य भाग (A∩B) हटाएँ या सीधे \(B - A\) निकालें। / "Only B" means elements in B that are not in A, i.e. compute \(B - A\). B = {q,r,s,t} and A = {p,q,r}, so the common elements are {q,r} and the remaining elements in B are {s,t}. Thus {s,t} is correct. Option B ({q,r}) is incorrect because those elements lie in A∩B, not only in B; A and D are also incorrect. Exam tip: draw a two-set Venn diagram or compute \(B - A\) directly to avoid mistakes.
संघ (union) में दोनों समुच्चयों के सभी अलग‑अलग सदस्य सम्मिलित होते हैं। यहाँ \(A=\{1,2,3,4\}\) और \(B=\{3,4,5,6\}\) हैं; दोनों को मिलाने पर अलग‑अलग सदस्य \(\{1,2,3,4,5,6\}\) बनते हैं, इसलिए उत्तर D सही है। विकल्प A केवल साझा सदस्य \(\{3,4\}\) दिखाता है — यह वास्तव में \(A\cap B\) (intersection) है, न कि संघ। परीक्षा सुझाव: किसी भी संघ या सम्मिलन में तत्वों को लिखते समय एक ही तत्व को केवल एक बार ही लिखें। / The union of two sets contains all distinct elements from both sets. Here \(A=\{1,2,3,4\}\) and \(B=\{3,4,5,6\}\); combining them gives the distinct elements \(\{1,2,3,4,5,6\}\), so option D is correct. Option A lists only the common elements \(\{3,4\}\), which is the intersection \(A\cap B\), not the union. Exam tip: when forming a union, list each element once and check for duplicates between sets.
एक सर्वे में 90 व्यक्तियों को शामिल किया गया। उनमें से 46 लोग रेडियो सुनते हैं, 38 लोग पॉडकास्ट सुनते हैं, और 16 लोग दोनों सुनते हैं। कितने लोग किसी भी तरह नहीं सुनते?
यह समस्या समावेशन-अपवर्जन (inclusion–exclusion) सिद्धांत पर आधारित है। कम से कम एक सुनने वालों की संख्या
\( |R\cup P|=|R|+|P|-|R\cap P|=46+38-16=68\) है। कुल 90 में से जो कम से कम एक सुनते हैं 68 हैं, इसलिए कोई भी नहीं सुनने वाले = \(90-68=22\)। निकटतम ग़लत विकल्प 68 है — वह वास्तव में "कम से कम एक" सुनने वालों की संख्या है, पर प्रश्न ने "किसी भी तरह नहीं" पूछ रखा है। परीक्षा सुझाव: प्रश्न जल्दी हल करने के लिए एक साधारण Venn आरेख बनाकर समावेशन-अपवर्जन सूत्र लिखें। / This uses the inclusion–exclusion principle. Number who listen to at least one is
\(|R\cup P|=|R|+|P|-|R\cap P|=46+38-16=68\). Out of 90 people, those who listen to neither = \(90-68=22\). The closest distractor 68 is the count for "at least one", not "neither", so it is incorrect for this question. Exam tip: draw a quick Venn diagram and apply the formula \(|A\cup B|=|A|+|B|-|A\cap B|\) to avoid double counting.
किसी क्लब में 74 सदस्य हैं। उनमें से 29 सदस्य गायन में हैं, 33 सदस्य चित्रकला में हैं और 12 सदस्य दोनों गतिविधियों में हैं। केवल चित्रकला में कितने सदस्य हैं?
केवल चित्रकला में वह सदस्य आते हैं जो कुल चित्रकला वाले (33) में से दोनों गतिविधियों वाले (12) नहीं हैं। इसलिए केवल चित्रकला = \(33-12=21\)। विकल्प C (33) गलत है क्योंकि इसमें दोनों का हिस्सा भी शामिल है; विकल्प A (12) केवल दोनों का साझा भाग है, और विकल्प D (50) किसी गलत जोड़-घट के परिणाम जैसा है। परीक्षा संकेत: वेंन-डायग्राम या inclusion–exclusion का सरल नियम याद रखें — किसी एक सेट के सिर्फ सदस्य = कुल सेट − सामान्य भाग। / Members only in painting are the painting total minus those in both: only painting = \(33-12=21\). Option C (33) is wrong because it still counts those in both; option A (12) gives only the intersection, not the painting-only count; option D (50) arises from an incorrect addition. Exam tip: use a Venn diagram or the inclusion–exclusion idea — subtract the overlap from the set total to get the 'only' members.
कोर विचार: यदि दो समुच्चय असंबंधित (disjoint) हैं यानी \(A\cap B=\varnothing\), तो उनका यूनियन का तत्वों की संख्या सीधे जोड़कर मिलती है: \(n(A\cup B)=n(A)+n(B)\). यहाँ \(n(A\cup B)=24+37=61\), इसलिए सही उत्तर 61 है। निकटतम भ्रामक विकल्प 37 और 24 इसलिए गलत हैं क्योंकि वे केवल एक-एक समुच्चय के आकार हैं, यूनियन का कुल नहीं। विकल्प 13 भी गलत है (कोई उपयुक्त गणितीय सम्बन्ध नहीं देता)। परीक्षा संकेत: पहले हमेशा जाँच लें कि क्या \(A\cap B=\varnothing\) सत्य है — तभी आप सीधे जोड़ सकते हैं। / Core idea: For disjoint sets (\(A\cap B=\varnothing\)), the number of elements in the union is the sum of the sizes: \(n(A\cup B)=n(A)+n(B)\). Thus \(n(A\cup B)=24+37=61\), so 61 is correct. The distractors 24 and 37 are sizes of individual sets, not the union; 13 is not supported by the given data. Exam tip: always verify disjointness (\(A\cap B=\varnothing\)) before applying the sum rule.
यदि \(A\subseteq B\) है तो हर तत्व जो A में है वह B में भी होगा, अतः \(A\cup B=B\) होगा। सामान्य सूत्र \(n(A\cup B)=n(A)+n(B)-n(A\cap B)\) से, क्योंकि \(A\cap B=A\) और \(n(A)=18\), प्राप्त होता है \(18+46-18=46\)। इसलिए सही उत्तर 46 है। विकल्प B (28) गलत है — यह वास्तव में \(n(B)-n(A)=46-18=28\), यानी सेट \(B\setminus A\) का पदार्थ है, न कि संघ का। परीक्षा-टिप: यदि बताया गया हो कि किसी सेट का subset है, तो उसके संघ की गणना करते समय संघ सीधे बड़े सेट के बराबर माना जा सकता है; अन्यथा हमेशा सूत्र का उपयोग करें। / If \(A\subseteq B\), every element of A is in B, so \(A\cup B=B\). Using the formula \(n(A\cup B)=n(A)+n(B)-n(A\cap B)\) and noting \(A\cap B=A\) with \(n(A)=18\), we get \(18+46-18=46\). Thus the correct answer is 46. Option B (28) is incorrect — 28 equals \(n(B)-n(A)=46-18\), which is the size of \(B\setminus A\), not the union. Exam tip: when one set is a subset of the other, the union equals the larger set; otherwise apply the inclusion–exclusion formula carefully.
यदि \(A\subseteq B\) है तो प्रत्येक तत्व जो \(A\) में है वह \(B\) में भी होगा, अतः \(A\cap B=A\) होगा। इसलिए \(n(A\cap B)=n(A)=15\)। विकल्प C (52) गलत है क्योंकि वह \(B\) का सभाग है, न कि समावेशी छेद। विकल्प B (37) संभव भ्रम है (52−15=37) पर वह अंतर का मान है न कि प्रतिच्छेद। विकल्प D (67) असंभव है क्योंकि किसी भाग का प्रभुता कुल समुच्चय \(B\) से अधिक नहीं हो सकती। परीक्षा-tip: यदि \(A\subseteq B\) हो तो हमेशा \(A\cap B=A\) और \(A\cup B=B\)। / If \(A\subseteq B\), every element of \(A\) is in \(B\), so \(A\cap B=A\). Therefore \(n(A\cap B)=n(A)=15\). Option C (52) is incorrect because it gives \(n(B)\), not the intersection. Option B (37) might come from subtracting (52−15) but that gives a difference, not the intersection. Option D (67) is impossible as a subset cannot have more elements than the superset. Exam tip: remember that if \(A\subseteq B\) then \(A\cap B=A\) and \(A\cup B=B\).
परिभाषा के अनुसार \(A- B=\{x\mid x\in A\;\text{और}\;x\notin B\\}=A\cap B^{c}\). यदि \(A=B\), तो \(A\cap B^{c}=A\cap A^{c}=\varnothing\)। इसलिए A − B शून्य संच (\(\varnothing\)) के बराबर होगा। सबसे निकट भ्रामक विकल्प A गलत है क्योंकि केवल तभी A−B=A होगा जब B शून्य संच हो; विकल्प B गलत है क्योंकि A−B सदैव A का उपसमुच्चय होता है न कि B; विकल्प D (U) गलत है क्योंकि अंतर व्यापक संच U तभी बन सकता है जब A=U और B=\(\varnothing\)। परीक्षा-टिप: अंतर के लिए पहचान लागू करें — \(A-B=A\cap B^{c}\)। / By definition \(A-B=\{x\mid x\in A\;\text{and}\;x\notin B\}=A\cap B^{c}\). If \(A=B\), then \(A\cap B^{c}=A\cap A^{c}=\varnothing\). Hence A−B equals the empty set \(\varnothing\). Closest distractor A is incorrect because A−B would equal A only if B were empty; B is incorrect because A−B is a subset of A, not generally equal to B; D (U) is wrong unless A=U and B=\(\varnothing\). Exam tip: Use the identity \(A-B=A\cap B^{c}\) or test with element membership to decide set differences quickly.
केवल A के तत्त्व वे हैं जो A में हैं पर A\cap B में नहीं — इसलिए केवल A = \(n(A)-n(A\cap B)=24-6=18\)। इसी प्रकार केवल B = \(n(B)-n(A\cap B)=20-6=14\)। इसलिए दोनों का योग = \(18+14=32\)। विकल्प C (38) गलती से कुल अलग तत्त्वों (union) का मान है \(n(A)+n(B)-n(A\cap B)=24+20-6=38\), जो कि इंटरसेक्शन को केवल एक बार गिनता है; पर प्रश्न सिर्फ "केवल" वाले हिस्से पूछ रहा है। परीक्षा-सुझाव: "केवल" का मतलब हमेशा इंटरसेक्शन निकालना होता है — प्रत्येक सेट से \(n(A\cap B)\) घटाएँ। / Elements only in A are those in A but not in A\cap B: only A = \(n(A)-n(A\cap B)=24-6=18\). Only B = \(n(B)-n(A\cap B)=20-6=14\). Combined = \(18+14=32\). Option C (38) corresponds to the union \(n(A)+n(B)-n(A\cap B)=38\), which counts intersection once and is not the same as "only" regions. Exam tip: "only" means exclude the intersection — subtract \(n(A\cap B)\) from each set before adding.
कुल सेट A को दो भागों में बाँटा जा सकता है: केवल A \(A\setminus B\) और A\cap B। अतः \(n(A)=n(A\cap B)+n(A\setminus B)\)। दिया है \(n(A)=45\) और \(n(A\setminus B)=19\)। इसलिए \(n(A\cap B)=45-19=26\)। विकल्प (19) गलत है क्योंकि वह केवल A का भाग है न कि साझा भाग; (38) B का कुल आकार है, और (64) दोनों का योग है जो अर्थहीन है। परीक्षा टिप: किसी सेट के कुल अवयवों को केवल-भाग और साझा-भाग में विभाजित कर के शीघ्रता से शेष पाएं। / Set A is partitioned into the elements only in A and the elements in A\cap B. So \(n(A)=n(A\cap B)+n(A\setminus B)\). Given \(n(A)=45\) and \(n(A\setminus B)=19\), we get \(n(A\cap B)=45-19=26\). Option 19 is the "only A" count, not the intersection; 38 is the size of B; 64 is the (incorrect) sum. Exam tip: Split A into "only A" and "A\cap B" to compute the intersection quickly.
कुल \(B\) के तत्व \(n(B)=50\) हैं। इनमें से केवल \(B\) वाले (यानी \(A\) में नहीं आने वाले) 28 दिए हैं। इसलिए जो बचते हैं वे संयुक्त (common) भाग यानी \(A\cap B\) के तत्व हैं: \(n(A\cap B)=50-28=22\). निकटवर्ती भ्रामक विकल्पों में \(28\) गलत है क्योंकि वह केवल-\(B\) की संख्या है न कि परस्पर मिलन; \(11\) तब आएगा यदि गलती से \(n(A)\) से केवल-\(B\) घटाया जाए (39-28), जो यहाँ तर्कसंगत नहीं है। परीक्षा टिप: एक साधारण वेन्न आरेख बनाकर "केवल B" और "A∩B" क्षेत्र चिन्हित कर लें — यह अक्सर ग़लत घटाव रोकेगा। / Total elements in \(B\) are \(n(B)=50\). Out of these, 28 are only in \(B\) (not in \(A\)). The remainder must lie in the intersection, so \(n(A\cap B)=50-28=22\). The option 28 is the count of only-\(B\), not the intersection; 11 would result from incorrectly doing \(39-28\). Exam tip: draw a simple Venn diagram and label "only B" and "A∩B" to avoid subtraction mistakes.
समूहों का संघ-इकाई सूत्र है \(n(A\cup B)=n(A)+n(B)-n(A\cap B)\)। दिया गया है \(69=n(A\cup B)=42+n(B)-18\)। इसे हल करने पर \(n(B)=69-42+18=45\) मिलता है। विकल्प A (27) तब आता है जब कोई \(n(A\cap B)\) को भूलकर सिर्फ \(69-42\) कर दे। विकल्प C और D स्पष्ट रूप से गलत हैं क्योंकि वे सूत्र का गलत उपयोग दर्शाते हैं। परीक्षा टिप: संघ के सूत्र को याद रखें और अज्ञात को अलग करते समय अंक सही चिन्हों के साथ जोड़ें/घटाएँ। / Use the union formula \(n(A\cup B)=n(A)+n(B)-n(A\cap B)\). Substitute the given values: \(69=42+n(B)-18\). Solving gives \(n(B)=69-42+18=45\). Option A (27) is a common mistake from doing \(69-42\) and forgetting to add back the intersection. Options C and D result from incorrect application of the formula. Exam tip: always write the union formula first and then isolate the unknown, taking care with the signs for the intersection term.
\(A\cup B\) में दोनों समुच्चयों के सभी अलग-अलग अवयव आते हैं। परीक्षा में दोहराए गए अवयव को केवल एक बार लिखें। / \(A\cup B\) contains all distinct elements of both sets. In exams, write repeated elements only once.
\(A\cap B\) में केवल वे अवयव आते हैं जो दोनों में समान हों। पहले समान अवयवों को पहचानना आसान तरीका है। / \(A\cap B\) contains only elements common to both sets. First identify common elements for quick solving.
(A-B) में (A) के वे अवयव आते हैं जो (B) में नहीं हैं। घटाने में क्रम बदलने से उत्तर बदल सकता है। / (A-B) contains elements of (A) that are not in (B). In set difference, changing order can change the answer.
\(P=\{1,2,3,4\}\) है, इसलिए \(P\cup Q={1,2,3,4,6}\) है। पहले set-builder form को roster form में बदलें। / \(P=\{1,2,3,4\}\), so \(P\cup Q={1,2,3,4,6}\). Convert set-builder form to roster form first.
दोनों समुच्चयों में कोई समान अवयव नहीं है, इसलिए \(A\cap B=\varnothing\) है। ऐसे समुच्चय असंयुक्त होते हैं। / There is no common element, so \(A\cap B=\varnothing\). Such sets are disjoint sets.
तीनों समुच्चयों में समान अवयव (3) और (5) हैं। \(A\cap B\cap C\) में केवल सभी में सामान्य अवयव आते हैं। / The elements common to all three sets are (3) and (5). \(A\cap B\cap C\) contains only elements common to every set.
(B) का हर अवयव (A) में है, इसलिए \(B-A=\varnothing\) है। यदि \(B\subset A\), तो (B-A) खाली हो सकता है। / Every element of (B) is in (A), so \(B-A=\varnothing\). If \(B\subset A\), then (B-A) may be empty.
\(A\cup B\) में (A) और (B) के सभी अलग-अलग अवयव आते हैं। (U) यहां केवल सार्वत्रिक समुच्चय की जानकारी देता है। / \(A\cup B\) contains all distinct elements of (A) and (B). (U) only gives the universal set here.
(A-B) में (A) से (B) के सामान्य अवयव हटाए जाते हैं। इसलिए (4) और (8) हटाकर ({2,6,10}) मिलता है। / In (A-B), common elements of (B) are removed from (A). Removing (4) and (8) gives ({2,6,10}).
खाली समुच्चय में कोई अवयव नहीं होता, इसलिए \(A\cup \varnothing=A\) है। यह संघ का पहचान गुण है। / The empty set has no elements, so \(A\cup \varnothing=A\). This is the identity property of union.
\(\varnothing\) में कोई अवयव नहीं है, इसलिए कोई सामान्य अवयव नहीं मिलेगा। अतः \(A\cap \varnothing=\varnothing\) है। / \(\varnothing\) has no element, so no common element can exist. Thus \(A\cap \varnothing=\varnothing\).
(A-A) में (A) के वे अवयव चाहिए जो (A) में न हों, जो संभव नहीं है। इसलिए \(A-A=\varnothing\) है। / (A-A) needs elements of (A) that are not in (A), which is impossible. So \(A-A=\varnothing\).
\(A=\{a,e,i,o,u\}\) और \(B\subseteq A\) है, इसलिए \(A\cup B=A\) है। बड़े समुच्चय में छोटे के अवयव पहले से शामिल होते हैं। / \(A=\{a,e,i,o,u\}\) and \(B\subseteq A\), so \(A\cup B=A\). The larger set already includes the smaller set's elements.
A. (A-B={0,1}) और (B-A={4,5})/(A-B={0,1}) and (B-A={4,5})
Explanation
Simple Explanation
(A-B) में (0,1) और (B-A) में (4,5) बचते हैं। समुच्चय अंतर सामान्यतः क्रमविनिमेय नहीं होता। / (0,1) remain in (A-B), and (4,5) remain in (B-A). Set difference is generally not commutative.
दोनों में मौजूद अवयव (1,4,16) हैं। (9) केवल (A) में है, इसलिए वह intersection में नहीं आएगा। / The elements present in both sets are (1,4,16). (9) is only in (A), so it will not be in the intersection.
संघ में दोनों समुच्चयों के सभी रंग एक बार लिए जाते हैं। (blue) दोहराया हुआ है, इसलिए एक बार लिखा जाएगा। / Union takes all colors from both sets once. (blue) is repeated, so it is written only once.
A और B का परस्पर छेदन \(A\cap B\) उन अवयवों का समूह है जो दोनों सेटों में सामान्य रूप से आते हैं. यहाँ सामान्य अवयव \(3\) और \(5\) हैं, अतः \(A\cap B=\{3,5\}\). इसका क्रमांक \(n(A\cap B)=2\) है. विकल्प B (4) इसीलिए गलत है क्योंकि यह दोनों सेटों के कुल अवयव या योगफल को गिनने का भ्रम है; सही तरीका सामान्य अवयवों को ही गिनना है. परीक्षा सुझाव: सदैव पहले सामान्य अवयव लिखें, फिर उनकी संख्या लें। / The intersection \(A\cap B\) consists of elements common to both sets. Here the common elements are \(3\) and \(5\), so \(A\cap B=\{3,5\}\) and therefore \(n(A\cap B)=2\). Option B (4) is incorrect because it appears to count unrelated total elements rather than only the common ones. Exam tip: list common elements explicitly before counting to avoid mistakes.
\(A\cup B=B\cup A\) में क्रम बदलने पर संघ नहीं बदलता। यह संघ का क्रमविनिमेय गुण है। / In \(A\cup B=B\cup A\), changing the order does not change the union. This is the commutative property of union.
\(A\cap B=B\cap A\) में intersection का क्रम बदलने से परिणाम नहीं बदलता। इसे क्रमविनिमेय गुण कहते हैं। / In \(A\cap B=B\cap A\), changing the order of intersection does not change the result. This is called the commutative property.
किसी समुच्चय का अपने साथ प्रतिच्छेदन (intersection) हमेशा वही समुच्चय देता है — यह idempotent नियम है: \\((A\cap A = A)\\). इसलिए विकल्प \\((A)\\) सही है।
विकल्प \\((\\varnothing)\\) तब ही बराबर होगा जब \\(A=\\varnothing\\), जो सार्वभौमिक सत्य नहीं है। विकल्प \\((A^{c})\\) -- यह \\(A\\) का पूरक है और सामान्यतः \\(A \\neq A^{c}\\). विकल्प \\((A\\setminus B)\\) केवल तब \\(A\\) के बराबर होगा जब \\(B=\\varnothing\\); सामान्य स्थिति में यह अलग होगा।
परीक्षा सुझाव: याद रखें idempotent नियम — \\((A\cap A=A)\\) और \\((A\cup A=A)\\) — अक्सर सरल प्रश्नों में काम आता है। / The intersection of a set with itself returns the same set — this is the idempotent law: \\((A\cap A = A)\\). Hence \\((A)\\) is correct.
Option \\((\\varnothing)\\) equals \\((A)\\) only if \\(A=\\varnothing\\), not generally. Option \\((A^{c})\\) is the complement of \\(A\\) and generally \\(A \\neq A^{c}\\). Option \\((A\\setminus B)\\) equals \\(A\\) only when \\(B=\\varnothing\\); in typical cases it differs.
Exam tip: Memorize idempotent laws \\((A\cap A=A)\\) and \\((A\cup A=A)\\) — they are quick checks in set-operation questions.
पहले संयुक्त सेट निकालें: \(A\cup B=\{1,2,3,4\}\). अब इसका C के साथ इंटरसेक्शन लें: \(\{1,2,3,4\}\cap\{4,5\}=\{4\}\). इसलिए उत्तर \(\{4\}\) है. विकल्प \(\{3\}\) भ्रमित कर सकता है क्योंकि 3 तो \(A\cup B\) में है परंतु C में नहीं है, इसलिए इंटरसेक्शन में नहीं आता। परीक्षा-सुझाव: पहले \(\cup\) फिर \(\cap\) के नियम के अनुसार सेट्स क्रम से घटाकर देखें या वेन आरेख की मदद लें। / Compute the union first: \(A\cup B=\{1,2,3,4\}\). Then intersect with C: \(\{1,2,3,4\}\cap\{4,5\}=\{4\}\). Thus the result is \(\{4\}\). The distractor \(\{3\}\) is tempting because 3 belongs to \(A\cup B\) but 3 is not in C, so it cannot appear in the intersection. Exam tip: do the union step first, then intersect; drawing a quick Venn diagram often avoids such mistakes.
सबसे पहले प्रतिच्छेद लें: \(A\cap B=\{2,4\}\)। अब इसका संघ \(C\) के साथ लें: \(\{2,4\}\cup\{1,2,6\}=\{1,2,4,6\}\)। विकल्प B केवल \(A\cap B\) है, विकल्प C केवल \(C\) है, और विकल्प D में अनावश्यक रूप से 3 शामिल है। परीक्षा टिप: पहले \(\cap\) (intersection) निकालें, फिर \(\cup\) (union) लगाएँ और कदम-दर-कदम लिखें। / Compute the intersection first: \(A\cap B=\{2,4\}\). Now take union with \(C\): \(\{2,4\}\cup\{1,2,6\}=\{1,2,4,6\}\). Option B is only the intersection, option C is just set \(C\), and option D incorrectly includes 3. Exam tip: evaluate intersections before unions and write each intermediate set to avoid mistakes.
पहलें अंतर निकालें: \(A-B\) का अर्थ है A के वे तत्व जो B में नहीं हैं, इसलिए \(A-B=\{2,6\}\). अब इसका सम्मिलन (union) C के साथ लें: \(\{2,6\}\cup\{8,10\}=\{2,6,8,10\}\). इसलिए सही उत्तर \{2,6,8,10\} है। सबसे नजदीकी भ्रमित करने वाला विकल्प D (\{2,4,6,8,10\}) इसलिए गलत है क्योंकि इसमें 4 शामिल किया गया है जबकि 4 को B में होने के कारण A-B में नहीं होना चाहिए; विकल्प C (\{4,8\}) भी गलत है क्योंकि उसमें 2 और 6 नहीं हैं। परीक्षा टिप: पहले अंतर/घटाव (difference) या इंटरसेक्शन निकालें, फिर यूनियन करें—इससे ग़लतियाँ कम होंगी। / Compute the difference first: \(A-B\) contains elements of A not in B, so \(A-B=\{2,6\}\). Now take the union with C: \(\{2,6\}\cup\{8,10\}=\{2,6,8,10\}\). Hence the correct set is {2,6,8,10}. The closest distractor {2,4,6,8,10} is wrong because it incorrectly keeps 4 (4 is in B so it should be removed in A-B); {4,8} misses 2 and 6. Exam tip: do difference/intersection steps before union to avoid missing or extra elements.
पहले \(A-B\) निकालें: \(A-B=\{1,3,4\}\) क्योंकि 2 और 5 को B से हटा दिया गया है। अब \((A-B)\cap C\) में \(\{1,3,4\}\) और \(\{5,6\}\) का समापवर्तक देखें — कोई सामान्य अवयव नहीं है, अतः परिणाम खाली सेट \(\varnothing\) है। निकटवर्ती भ्रामक विकल्प \(\{5\}\) इसलिए गलत है क्योंकि 5 को पहले ही A से घटा दिया गया था। परीक्षा टिप: पहले अंतर (difference) निकालें, फिर प्राप्त सेट का इंटरसेक्शन लें। / Compute \(A-B\) first: \(A-B=\{1,3,4\}\) because elements 2 and 5 are removed. Now take the intersection with \(C=\{5,6\}\). There is no common element, so the result is the empty set \(\varnothing\). The closest distractor \(\{5\}\) is incorrect because 5 is not in \(A-B\). Exam tip: perform set difference before intersection to avoid mistakes.
\(A\cup B={1,2,3,4}\) और \(A\cap B={2,3}\) है। दिए गए विकल्पों में (1) union में है लेकिन intersection में नहीं है। / \(A\cup B={1,2,3,4}\) and \(A\cap B={2,3}\). Among the options, (1) is in the union but not in the intersection.
यदि \(A - B = \varnothing\) है तो इसका अर्थ है कि A का कोई भी तत्त्व ऐसा नहीं है जो B में न हो। अर्थात् हर \(x\in A\) के लिए \(x\in B\) सत्य है। यही परिभाषा है कि \(A \subseteq B\)। विकल्प B गलत है क्योंकि वह B के हर तत्त्व का A में होने का दावा करता है, जो दिए हुए कथन से निष्पन्न नहीं होता। विकल्प C और D भी गलत हैं: C (विसंगति) तभी सच होगी जब A और B में कोई साझा तत्त्व न हो — पर मूल कथन ऐसा नहीं कहता; D (एकीकरण खाली) तभी होगा जब दोनों सेट खाली हों, जो साबित नहीं हुआ। परीक्षा-सुझाव: तत्व-आधारित तर्क अपनाएँ — किसी सामान्य \(x\in A\) को लेकर दिखाएँ कि \(x\in B\)। / If \(A - B = \varnothing\), no element of A lies outside B; equivalently every \(x\in A\) is also in B. That is precisely \(A \subseteq B\). Option B is incorrect because it would require every element of B to be in A, which is not implied. Option C (\(A\cap B=\varnothing\)) is not implied — A and B may share elements. Option D (\(A\cup B=\varnothing\)) would force both sets empty, which is not given. Exam tip: use an element-wise argument — assume \(x\in A\) and prove \(x\in B\).
समूह अंतर (difference) \(A-B\) से तात्पर्य है वे सभी तत्व जो \(A\) में हैं पर \(B\) में नहीं। \(B\) के तत्व \(2\) और \(4\) \(A\) में भी हैं, इसलिए उन्हें \(A\) से हटाना है; \(6\) \(A\) में नहीं है, अतः उसे शामिल नहीं करना। इसलिए \(C=\{1,3,5\}\)। नजदीकी भ्रामक विकल्पों की जाँच: विकल्प (B) केवल \(B\) के सामान्य तत्व दिखाता है (यह \(A\) से घटाने का परिणाम नहीं है); विकल्प (D) में \(A\) को बिना घटाए दे रखा गया है। परीक्षा सुझाव: प्रत्येक तत्व पर जाएँ और देखें क्या वह \(B\) में है — अगर हाँ, तो उसे निकाल दें। / The set difference \(A-B\) consists of elements that are in \(A\) but not in \(B\). Elements 2 and 4 are in both \(A\) and \(B\), so they are removed from \(A\); 6 is not in \(A\), so it is not included. Thus \(C=\{1,3,5\}\). Why distractors are wrong: option (B) lists elements of \(B\), not the difference; option (D) leaves \(A\) unchanged (forgetting to subtract). Exam tip: to compute \(A-B\), scan elements of \(A\) and discard those that also appear in \(B\).
कक्षा में क्रिकेट खेलने वाले छात्रों का समुच्चय \(C=\{Amit,Ravi,Sita\}\) और फुटबॉल खेलने वाले छात्रों का समुच्चय \(F=\{Ravi,Neha\}\) है। दोनों खेल कौन-कौन से छात्र खेलते हैं?
दो सेटों में एक साथ आने वाले सदस्य समुच्च्य के विच्छेद (intersection) \(C\cap F\) में होते हैं। यहाँ दोनों समुच्चयों में केवल "Ravi" सामान्य है, अतः \(C\cap F=\{Ravi\}\)। विकल्प B ({Amit, Sita}) गलत है क्योंकि Amit और Sita केवल क्रिकेट खेलने वाले हैं; विकल्प C ({Neha}) गलत है क्योंकि Neha केवल फुटबॉल में है; विकल्प D पूरे छात्रों का संघ है, जो दोनों खेल खेलने का गलत उत्तर है। परीक्षा-सुझाव: किसी भी दो समुच्चयों में सामान्य तत्व खोजने के लिए उनका संघ नहीं, बल्कि अंतर (intersection) लें। / Members common to both sets are given by the intersection \(C\cap F\). Here the only common name is Ravi, so \(C\cap F=\{Ravi\}\). Option B ({Amit, Sita}) is wrong because Amit and Sita belong only to the cricket set; option C ({Neha}) is wrong because Neha belongs only to the football set; option D is the union of both sets, not the intersection. Exam tip: to find who plays both games, compute the intersection \(C\cap F\).
एक पुस्तकालय में हिंदी पुस्तकें \(H=\{h_1,h_2,h_3\}\) और अंग्रेज़ी पुस्तकें \(E=\{h_3,e_1,e_2\}\) रखी हुई हैं। "कम से कम एक श्रेणी" में आने वाली पुस्तकों का समुच्चय कौन-सा है?
"कम से कम एक श्रेणी" का अर्थ संघ (union) है — वे सभी सदस्य जो कम से कम किसी एक समुच्चय में मौजूद हों। \(H\cup E\) में दोनों समुच्चयों के सभी अलग-अलग तत्व लिए जाते हैं; यहाँ \(h_3\) दोनों में है पर संघ में एक बार ही लिखते हैं, इसलिए \(H\cup E=\{h_1,h_2,h_3,e_1,e_2\}\)। विकल्प B (छेदन) केवल दोनों में सामान्य तत्व देता है, इसलिए गलत है। विकल्प C और D क्रमशः केवल H में लेकिन E में नहीं और केवल E में लेकिन H में नहीं वाले तत्व देते हैं, जो "कम से कम एक" की परिभाषा पूरी नहीं करते। परीक्षा-सुझाव: किसी भी संघ/छेदन/छेदान की पहचान करते समय पहले सामान्य और अनन्य तत्व अलग कर लें और फिर क्रम से समुच्चय बनाएं। / "At least one category" means the union of the sets — every element that appears in H or in E (or both). Compute \(H\cup E\) by listing distinct elements from both sets; since \(h_3\) appears in both, it is included only once, giving \(H\cup E=\{h_1,h_2,h_3,e_1,e_2\}\). Option B is the intersection (elements common to both) and thus not the required set. Options C and D are set differences (elements only in H or only in E), which do not represent "at least one". Exam tip: when asked for union, combine all unique elements; when asked for intersection or difference, apply the corresponding membership test first.
पहला चरण दोनों संख्याओं के गुणनखंड लिखना है: \(12\) के गुणनखंड \(\{1,2,3,4,6,12\}\) और \(18\) के गुणनखंड \(\{1,2,3,6,9,18\}\) हैं। दोनों सेटों का परस्पर छेद (common elements) \(\{1,2,3,6\}\) है। इसलिए \(A\cap B=\{1,2,3,6\}\)। परीक्षा टिप: पहले प्रत्येक संख्या के सभी गुणनखंड लिखें और फिर सामान्य (common) तत्व ही निकालें। / List factors of each number: factors of 12 are \(\{1,2,3,4,6,12\}\) and factors of 18 are \(\{1,2,3,6,9,18\}\). The common elements are \(\{1,2,3,6\}\), so \(A\cap B=\{1,2,3,6\}\). Exam tip: write factor lists first, then pick the common elements for the intersection.
\(A=\{1,2,5,10\}\) और \(B=\{1,3,5,15\}\) है। संघ में सभी अलग-अलग अवयव ({1,2,3,5,10,15}) होंगे। / \(A=\{1,2,5,10\}\) and \(B=\{1,3,5,15\}\). The union contains all distinct elements ({1,2,3,5,10,15}).
पहला कदम \(B\cup C\) निकालना है: \(B\cup C=\{2,4,5,6,8\}\)। फिर इसे \(A\) के साथ इंटरसेक्ट करें: \(A\cap (B\cup C)=\{1,2,5,7\}\cap\{2,4,5,6,8\}=\{2,5\}\)। विकल्प (C) गलत है क्योंकि वह \(B\cup C\) (यूनियन) का सेट है, न कि इंटरसेक्शन; विकल्प (B) में दिए गए तत्व \(A\) के हैं पर वे \(B\cup C\) में नहीं आते। परीक्षा सुझाव: पहले यूनियन और फिर इंटरसेक्शन निकालें — क्रम स्पष्ट रखें और दोनों सेटों के सामान्य तत्व ही लें। / Compute the union first: \(B\cup C=\{2,4,5,6,8\}\). Now intersect with \(A\): \(A\cap(B\cup C)=\{1,2,5,7\}\cap\{2,4,5,6,8\}=\{2,5\}\). Option C is incorrect because it lists the union \(B\cup C\), not the intersection; option B lists elements of \(A\) that are not in \(B\cup C\). Exam tip: always perform the union or intersection inside parentheses first, then intersect with the outer set — this avoids order mistakes.
पहले \(B\cup C=\{20,30,50,60\}\) पाएँ। अब \(A\) में से उन तत्वों को हटाएँ जो संयुक्त सेट में हैं: \(A- (B\cup C)=\{10,20,30,40\}-\{20,30,50,60\}=\{10,40\}\)। विकल्प B (\{20,30\}) केवल संयुक्त सेट के सदस्य हैं इसलिए यह गलत है। परीक्षा टिप: पहले यूनियन निकालें और फिर सदस्यता देखकर घटाएँ। / Compute the union first: \(B\cup C=\{20,30,50,60\}\). Subtract these from \(A\): \(A-(B\cup C)=\{10,20,30,40\}-\{20,30,50,60\}=\{10,40\}\). Option B (\{20,30\}) lists elements removed from \(A\), not the remaining ones, so it is incorrect. Exam tip: always form the union then remove its elements from the given set to avoid errors.
\(A\cup B\) में दोनों समुच्चयों के सभी अलग-अलग अवयव आते हैं। परीक्षा में दोहराए गए अवयव एक बार ही लिखें। / \(A\cup B\) contains all distinct elements of both sets. In exams, write repeated elements only once.
\(A\cap B\) में केवल वे अवयव आते हैं जो दोनों में समान हों। समान अवयव पहचानना सबसे पहला कदम है। / \(A\cap B\) contains only elements common to both sets. First identify the common elements carefully.
(A-B) में (A) के वे अवयव आते हैं जो (B) में नहीं हैं। अंतर निकालते समय पहले (B) के समान अवयव हटाएं। / (A-B) contains elements of (A) that are not in (B). While finding difference, remove the common elements from (A).
(B-A) में (B) के वे अवयव रहते हैं जो (A) में नहीं हैं। (A-B) और (B-A) अलग हो सकते हैं। / (B-A) keeps elements of (B) that are not in (A). Remember that (A-B) and (B-A) may be different.
यहां \(A=\{2,4,6,8\}\) है और केवल (2) दोनों में है। पहले समुच्चय को सूची रूप में लिखना उपयोगी है। / Here \(A=\{2,4,6,8\}\), and only (2) is common. Converting set-builder form to roster form helps.
दोनों समुच्चयों में कोई समान अवयव नहीं है इसलिए प्रतिच्छेद \( \varnothing \) है। असंयुक्त समुच्चयों का प्रतिच्छेद रिक्त होता है। / There is no common element, so the intersection is \( \varnothing \). Disjoint sets always have an empty intersection.
क्योंकि \(A\subseteq B\), इसलिए \(A\cup B=B\) होगा। उपसमुच्चय वाले प्रश्नों में बड़ा समुच्चय संघ होता है। / Since \(A\subseteq B\), \(A\cup B=B\). In subset cases, the larger set is the union.
क्योंकि (A) के सभी अवयव (B) में हैं, इसलिए \(A\cap B=A\) है। उपसमुच्चय में प्रतिच्छेद छोटा समुच्चय होता है। / All elements of (A) are in (B), so \(A\cap B=A\). In subset cases, the smaller set is the intersection.
सेट अंतर A − B का अर्थ है वे तत्व जो A में हैं पर B में नहीं। A में से B के तत्व 2 और 4 को हटा देने पर बचे हुए तत्व {1,3,5} होते हैं। विकल्प A गलत है क्योंकि वह B के तत्व दिखा रहा है, विकल्प C गलत है क्योंकि उसने B के तत्व नहीं हटाए गए और विकल्प D गलत है क्योंकि अंतर खाली सेट नहीं है। परिक्षा टिप: A−B निकालने के लिए A के हर तत्व पर जांचें कि क्या वह B में है — अगर नहीं है तो उसे जोड़ें। / The set difference A − B consists of elements that are in A but not in B. Removing B's elements 2 and 4 from A = {1,2,3,4,5} leaves {1,3,5}, so option B is correct. Option A lists B itself, option C leaves A unchanged (didn't remove B), and option D (empty set) is wrong because some elements remain. Exam tip: To find A−B, cross out from A every element that appears in B; the leftovers form A−B.
दोनों समुच्चय समान हैं इसलिए (A) का कोई नया अवयव नहीं बचता। याद रखें \(A-A=\varnothing\) होता है। / The two sets are equal, so no element of (A) remains. Remember that \(A-A=\varnothing\).
रिक्त समुच्चय में कोई अवयव नहीं होता इसलिए \(A\cup \varnothing=A\) है। पहचान सूत्रों को याद रखना आसान अंक दिलाता है। / The empty set has no elements, so \(A\cup \varnothing=A\). Knowing identity rules helps in quick scoring.
\(\varnothing\) में कोई अवयव नहीं है, इसलिए कोई सामान्य अवयव नहीं होगा। हमेशा \(A\cap \varnothing=\varnothing\) होता है। / Since \(\varnothing\) has no element, there is no common element. Always \(A\cap \varnothing=\varnothing\).
(A-A) में (A) के वे अवयव चाहिए जो (A) में नहीं हैं, ऐसा कोई अवयव नहीं है। समान समुच्चय का अंतर रिक्त होता है। / (A-A) asks for elements of (A) not in (A), and none exist. Difference of a set from itself is empty.
सूत्र (n\(A\cup B\)=n(A)+n(B)-n\(A\cap B\)) से उत्तर (5+4-2=7) है। सामान्य भाग को एक बार घटाना जरूरी है। / Using (n\(A\cup B\)=n(A)+n(B)-n\(A\cap B\)), the answer is (5+4-2=7). Subtract the common part once.
सूत्र से (n\(A\cap B\)=7+8-12=3) होगा। संघ वाला सूत्र उल्टा लगाते समय चिन्ह सही रखें। / From the formula, (n\(A\cap B\)=7+8-12=3). Keep signs correct when using the union formula backward.
(A-B) में (A) से सामान्य (4) अवयव हटते हैं, इसलिए (10-4=6)। अंतर में केवल पहले समुच्चय की गिनती देखें। / In (A-B), the (4) common elements are removed from (A), so (10-4=6). For difference, count only from the first set.
\(B-A\) का अर्थ है वे तत्त्व जो \(B\) में हैं पर \(A\) में नहीं। यहाँ \(B\subseteq A\) है, अतः \(B\) के सभी तत्त्व \(A\) में भी हैं। इसलिए \(B-A\) में कोई तत्त्व शेष नहीं रहता और \(B-A=\varnothing\) होगा। विकल्प B (\(\{2,4,6\}\)) भ्रमित करने वाला है क्योंकि वह \(B\) का पूरा सेट है; पर अंतर केवल ऐसे तत्त्व देता है जो \(A\) में नहीं हैं — यहाँ ऐसे कोई तत्त्व नहीं हैं। परीक्षा-टिप: पहले हमेशा यह जाँचें कि क्या एक सेट दूसरे का उपसमुच्चय है; यदि \(B\subseteq A\) हो तो \(B-A\) शून्यसमुच्चय होगा। / \(B-A\) denotes elements of \(B\) that are not in \(A\). Since \(B\subseteq A\), every element of \(B\) is also in \(A\), so there are no elements left in \(B-A\) and \(B-A=\varnothing\). Option B (\(\{2,4,6\}\)) is a tempting distractor because it equals \(B\) itself, but the set-difference removes any elements that are also in \(A\); here that removes everything. Exam tip: check subset relations first—if \(B\subseteq A\), then \(B-A\) is always the empty set.
यहां \(A=\{1,2,3,4,5\}\) है, इसलिए संघ ({1,2,3,4,5,6}) है। प्राकृतिक संख्याओं को सूचीबद्ध करके हल करें। / Here \(A=\{1,2,3,4,5\}\), so the union is ({1,2,3,4,5,6}). List the natural numbers first.
किसी सेट A और B के लिए परिभाषा के अनुसार A − B उन अवयवों का सेट है जो A में हैं पर B में नहीं। यहाँ A के तत्व {0,1,2,3} में से 2 और 3 दोनों B में भी आते हैं, इसलिए इन्हें हटाने पर केवल {0,1} बचता है। विकल्प C ({2,3}) गलत है क्योंकि वह A ∩ B (A और B का समुच्चय) दर्शाता है, और विकल्प B ({4,5}) B − A को दिखाता। परीक्षा टिप: A − B निकालते समय हमेशा केवल A के तत्वों पर विचार करें और उन तत्वों को हटा दें जो B में भी हैं। / By definition A − B is the set of elements that belong to A but not to B. From A = {0,1,2,3}, the elements 2 and 3 are also in B, so removing them leaves {0,1}. Option C ({2,3}) is incorrect because it represents the common elements (A ∩ B), and option B ({4,5}) would be B − A, not A − B. Exam tip: when computing A − B, start with A and remove any element that is also in B.
तीनों समुच्चयों के सभी अलग-अलग अवयव लेने पर ({1,2,3,4,5}) मिलता है। संघ में पुनरावृत्ति नहीं लिखी जाती। / Taking all distinct elements from the three sets gives ({1,2,3,4,5}). Repetition is not written in a union.
(3) तीनों समुच्चयों में है, इसलिए \(A\cap B\cap C={3}\) है। तीन समुच्चयों में सामान्य अवयव को सभी में जांचें। / The element (3) is in all three sets, so \(A\cap B\cap C={3}\). Check common elements in every set.
पहले \(B\cup C\) निकालें: \(B\cup C=\{2,4\}\cup\{5,6\}=\{2,4,5,6\}\). अब \(A-(B\cup C)\) का मतलब है उन तत्वों को लें जो \(A\) में हैं लेकिन \(B\cup C\) में नहीं। \(A=\{1,2,3,4,5\}\) में से \(\{2,4,5,6\}\) हटा देने पर केवल \(\{1,3\}\) बचते हैं। इसलिए सही उत्तर \(\{1,3\}\) है. नज़दीकी विचलित विकल्प \(\{2,4,5,6\}\) (वही union) है — यह \(B\cup C\) है, पर सवाल में हमें \(A\) से यह घटाना है, न कि वही चुनना। परीक्षा सलाह: पहले union/intersection जैसा ऑपरेशन अलग से निकालकर लिख लें, फिर difference पर काम करें। / Compute \(B\cup C\) first: \(B\cup C=\{2,4\}\cup\{5,6\}=\{2,4,5,6\}\). \(A-(B\cup C)\) means elements in \(A\) but not in \(B\cup C\). From \(A=\{1,2,3,4,5\}\) remove \(\{2,4,5,6\}\); the remaining elements are \(\{1,3\}\). Thus \(\{1,3\}\) is correct. Closest distractor \(\{2,4,5,6\}\) is just the union itself, not the difference. Exam tip: write intermediate sets (union/intersection) on paper before performing the difference to avoid mistakes.
\(B\cup C={b,c,d,e}\) है और (A) से इसका सामान्य भाग ({b,c,d}) है। संयुक्त क्रियाओं में क्रम से हल करें। / \(B\cup C={b,c,d,e}\), and its common part with (A) is ({b,c,d}). Solve combined operations step by step.
पहले कोष्ठक के अंदर देखें: \(A\cap B=\{3,4\}\)। अब इसका संघ लें: \(\{3,4\}\cup C=\{3,4\}\cup\{4,5,6\}=\{3,4,5,6\}\)। विकल्प D सिर्फ़ intersection है इसलिए 5 और 6 गायब हैं; विकल्प B केवल 4 देता है; विकल्प C में 1 और 2 गैर‑आवश्यक हैं। परीक्षा टिप: पहले अंदर के ऑपरेशन (यहाँ \(\cap\)) करें, और जरूरत हो तो छोटा वेन चित्र बनाएं। / Compute the intersection first: \(A\cap B=\{3,4\}\). Then the union with \(C\) gives \(\{3,4\}\cup\{4,5,6\}=\{3,4,5,6\}\). Option D is only the intersection (missing 5 and 6); B contains only 4; C incorrectly includes 1 and 2. Exam tip: Evaluate parentheses/inner operations first (intersection before union) and sketch a quick Venn diagram if unsure.
B − A का अर्थ है वे सभी तत्व जो B में हैं पर A में नहीं। B = {1,2,3,4,5} है और A = {1,3,5} है; इसलिए B से 1, 3, 5 हटाने पर केवल {2,4} बचता है। विकल्प A गलत है क्योंकि वह A ही है, विकल्प C गलत है क्योंकि वह B पूरा है (किसी भी घटाव के बाद वही नहीं रह सकता), और विकल्प D गलत है क्योंकि B और A के बीच अंतर खाली सेट नहीं है। परीक्षा टिप: B−A निकालने के लिए B की सूची बनाकर A के तत्व उस सूची से काट दें या सरल वैन आरेख बनाएं। / B − A means the elements that belong to B but not to A. With B = {1,2,3,4,5} and A = {1,3,5}, removing 1, 3 and 5 from B leaves {2,4}. Option A is just the set A, option C is the whole set B (which would be wrong unless A were empty), and option D (the empty set) is incorrect because some elements of B are not in A. Exam tip: To find B−A, list elements of B and cross out those that appear in A or draw a simple Venn diagram.
\(A\cup B\)=\{1,2,3,4,5,6,8,10\} है, जिसमें कुल 8 अद्वितीय अवयव हैं। ध्यान रखें कि साझा अवयव \(2\) और \(4\) को दो बार नहीं गिनते, इसलिए कुल संख्या 10 नहीं बनती। विकल्प B (7) अक्सर तब होता है जब किसी एक तत्व (उदाहरण के लिए 10) को भूल लिया जाए। परीक्षा टिप: संघ निकालते समय दोनों सेटों के सभी अलग-अलग अवयवों की सूची बनाकर दुहराव हटा दें। / The union is \(A\cup B=\{1,2,3,4,5,6,8,10\}\), which contains 8 distinct elements. Do not count common elements (here 2 and 4) more than once; that is why the count is 8 rather than 10. Option B (7) would result from omitting one element (for example 10). Exam tip: write out all unique elements from both sets to find the union and then count them.
सामान्य अवयव (20) और (40) हैं, इसलिए संख्या (2) है। प्रतिच्छेद में केवल समान अवयव गिने जाते हैं। / The common elements are (20) and (40), so the number is (2). In intersection, count only common elements.
\(A=\{a,e,i,o,u\}\) है और (B) हटाने पर ({o,u}) बचता है। पहले वर्णनात्मक समुच्चय को सूची रूप में बदलें। / \(A=\{a,e,i,o,u\}\), and removing (B) leaves ({o,u}). First convert the descriptive set into roster form.
(8) समुच्चय (B) में है, इसलिए वह \(A\cup B\) में भी होगा। संघ में किसी भी एक समुच्चय का अवयव शामिल होता है। / (8) is in set (B), so it is also in \(A\cup B\). A union includes elements from either set.
(3) (A) में है लेकिन (B) में नहीं है, इसलिए \(3\in A-B\) है। अंतर में केवल पहले समुच्चय के बाहर वाले सामान्य अवयव हटते हैं। / (3) is in (A) but not in (B), so \(3\in A-B\). In difference, keep elements of the first set not in the second.
प्रतिच्छेद (intersection) का अर्थ है — दोनों समुच्चयों में समान तत्व। यहाँ \(A\) और \(B\) दोनों में केवल "नीला" मौजूद है, अतः \(A\cap B=\{\text{नीला}\}\)। विकल्प D गलत इसलिए है क्योंकि वह दोनों समुच्चयों का संयुक्त रूप (union) दिखाता है, न कि केवल समान तत्व। परीक्षा-टिप: प्रतिच्छेद निकालते समय प्रत्येक समुच्चय के सामान्य तत्वों को अलग से सूचीबद्ध करें ताकि किसी भी अतिरंजित वस्तु को शामिल न कर दें। / Intersection means the elements common to both sets. Here the only element present in both \(A\) and \(B\) is "blue", so \(A\cap B=\{\text{blue}\}\). Option D is incorrect because it lists all elements (a union-like set), not just the common ones. Exam tip: To find \(A\cap B\), scan each set and pick only elements that appear in both — avoid adding extra elements from either set alone.
संघ में सभी अलग-अलग नाम आते हैं, इसलिए ({cat,dog,cow,goat}) है। समान नाम (dog) को एक बार लिखें। / The union contains all distinct names, so it is ({cat,dog,cow,goat}). Write the repeated name (dog) only once.
A − B का अर्थ है A के वे सदस्य जो B में नहीं हैं। A के सदस्य 4 और 16 B में भी हैं, इसलिए इन्हें हटाने पर बचे तत्व {1,9} होते हैं। विकल्प B (={4,16}) वास्तव में A ∩ B (A और B का समुच्च्य) है; विकल्प C केवल B का अतिरिक्त सदस्य है और विकल्प D दोनों सेटों का संघ (A ∪ B) है। परीक्षा टिप: A − B लिखते समय हमेशा दूसरे सेट के सदस्यों को A से घटाएँ। / A − B means the elements of A that are not in B. Since 4 and 16 are in both A and B, they are removed from A, leaving {1,9}. Option B ({4,16}) is the intersection A ∩ B, option C ({25}) is an element only of B, and option D is the union A ∪ B. Exam tip: When finding A − B, cross out every element of A that also appears in B.
A−B का अर्थ है वे सभी तत्व जो A में हैं पर B में नहीं। यहाँ A और B के बीच कोई सामान्य तत्व नहीं है (वे असंयुक्त हैं), इसलिए B में कोई भी तत्व A से नहीं हटेगा। अतः A−B = A = {0,2,4,6}। निकटतम विचलन: विकल्प A (∅) तब होता जब A का हर तत्व B में मौजूद हो; यहाँ ऐसा नहीं है। परीक्षा टिप: A−B निकालते समय पहले A∩B चेक कर लें — यदि शून्य है तो A−B = A। / A−B means elements that are in A but not in B. Since A and B are disjoint (no common elements), nothing in A is removed, so A−B = A = {0,2,4,6}. Closest distractor: ∅ would be correct only if every element of A were in B, which is not the case. Exam tip: compute A∩B first; if it is empty then A−B equals A.
असंयुक्त समुच्चयों का संघ भी दोनों के सभी अवयवों का समुच्चय होता है। यहां उत्तर ({1,2,3,4,5}) है। / The union of disjoint sets contains all elements of both sets. Here the answer is ({1,2,3,4,5}).
(A-B={2,3}) और (B-A={6,7}) है, इसलिए संघ ({2,3,6,7}) है। यह सामान्य भाग हटाकर बचे भागों का संघ है। / (A-B={2,3}) and (B-A={6,7}), so the union is ({2,3,6,7}). This is the union of non-common parts.
पहला कदम: \(A\cup B=\{1,2,3,4,5,6\}\)। अब \((A\cup B)-A\) का अर्थ है उन तत्वों को निकालना जो \(A\) में हैं, इसलिए बचते हैं \(\{5,6\}\)। यह पहचानने योग्य है कि \((A\cup B)-A= B-A\)। सबसे नज़दीकी विचलित विकल्प \(\{3,4\}\) इसलिए गलत है क्योंकि ये तत्व दोनों सेटों में हैं और \(A\) को घटाने पर हटा दिए जाते हैं। परीक्षा सुझाव: तेज गणना के लिए पहचान याद रखें: \((X\cup Y)-X=Y-X\) या एक साधा वैन्न आरेख बनाएँ। / Compute the union first: \(A\cup B=\{1,2,3,4,5,6\}\). Removing all elements of \(A\) leaves \(\{5,6\}\). Equivalently \((A\cup B)-A= B-A\). The closest distractor \(\{3,4\}\) is wrong because those elements belong to \(A\) and are removed when subtracting \(A\). Exam tip: remember the identity \((X\cup Y)-X=Y-X\) or sketch a quick Venn diagram to avoid mistakes.
संघ ({a,b,c,d,e}) है और (B) हटाने पर ({a,b}) बचता है। यह (A-B) जैसा परिणाम देता है। / The union is ({a,b,c,d,e}), and removing (B) leaves ({a,b}). This gives the same result as (A-B).
पहला कदम \(A-B\) निकालना है, जहाँ हम \(A\) से वे तत्व हटा देते हैं जो \(B\) में भी हैं। इसलिए \(A-B=\{1,3,5\}\) होगा। अतः \(A\cap (A-B)\) का अर्थ है \(A\) और \(A-B\) के सामान्य तत्व; चूंकि \(A-B\) पहले से ही \(A\) का उपसमुच्चय है, प्रतिच्छेद वही सेट रहेगा: \(\{1,3,5\}\)। सबसे करीबी भ्रामक विकल्प \(\{2,4\}\) गलत है क्योंकि 2 और 4 को \(A-B\) में हटाया गया था। परीक्षा सुझाव: सामान्य नियम याद रखें — \(A-B\) हमेशा \(A\) का उपसमुच्चय होता है, इसलिए \(A\cap (A-B)=A-B\)। / Compute \(A-B\) first: remove elements of \(B\) from \(A\), so \(A-B=\{1,3,5\}\). The intersection \(A\cap (A-B)\) is the common elements of \(A\) and \(A-B\); since \(A-B\) is a subset of \(A\), the intersection equals \(A-B\), i.e. \(\{1,3,5\}\). Closest distractor \(\{2,4\}\) is wrong because 2 and 4 are removed when forming \(A-B\); \(\{6\}\) cannot appear because 6∉A, and \(\varnothing\) is wrong because there are remaining elements. Exam tip: remember the identity \(A\cap(A-B)=A-B\) because \(A-B\subseteq A\).
\(A\cup B\) में (A) के सभी अवयव हैं, इसलिए (A\cap \(A\cup B\)=A) है। इसे अवशोषण नियम कहते हैं। / \(A\cup B\) contains all elements of (A), so (A\cap \(A\cup B\)=A). This is called the absorption law.
सबसे पहले \(A\cap B=\{4\}\) क्योंकि 4 ही दोनों सेटों में सामान्य है। अब \(A\cup (A\cap B)=A\cup\{4\}\) होगा। चूँकि \(\{4\}\) पहले से ही \(A\) में है, इसलिए संघ करने पर पूरा \(A\) ही मिलता है, यानी \(\{2,4\}\)। यह अवशोषण नियम का सीधा उदहारण है: \(A\cup (A\cap B)=A\)। नज़दीकी भ्रम (\(\{4\}\)) गलत है क्योंकि वह केवल किसी भी सामान्य तत्व को दिखाता है, पर यूनियन से \(A\) के सभी तत्व बने रहते हैं। परीक्षा सुझाव: ऐसे प्रश्नों में पहले इंटरसेक्शन निकालें और फिर अवशोषण/डिस्ट्रीब्यूटिव नियमों को लागू करके सीधे सरल करें। / First compute \(A\cap B=\{4\}\) since 4 is the only common element. Then \(A\cup (A\cap B)=A\cup\{4\}\). Because \(\{4\}\) is already contained in \(A\), the union yields \(A\) itself, i.e. \(\{2,4\}\). This is an instance of the absorption law: \(A\cup (A\cap B)=A\). The closest distractor \(\{4\}\) is wrong because it gives only the intersection, not the result after union with \(A\). Exam tip: find the intersection first, then use absorption or distributive identities to simplify quickly.
(B) में से (C) का समान अवयव (2) हटता है, इसलिए ({4,6}) बचता है। तीसरा समुच्चय होने पर भी चुनी गई क्रिया पर ध्यान दें। / The common element (2) is removed from (B), so ({4,6}) remains. Even with three sets, focus on the asked operation.
एक कक्षा में (18) विद्यार्थी क्रिकेट खेलते हैं, (12) फुटबॉल खेलते हैं और (5) दोनों खेलते हैं। कम से कम एक खेल खेलने वाले विद्यार्थियों की संख्या क्या है?
कम से कम एक खेल (n\(A\cup B\)=18+12-5=25) होगा। दोनों खेलने वालों को दो बार गिनने से बचने के लिए घटाएं। / At least one game means (n\(A\cup B\)=18+12-5=25). Subtract those who play both to avoid double counting.
केवल गणित (=20-8=12) है। केवल वाले प्रश्न में संबंधित समुच्चय से सामान्य भाग घटाएं। / Only Mathematics is (20-8=12). For only-type questions, subtract the common part from the related set.
\(A\cup B\) में (A) और (B) के सभी अलग-अलग अवयव आते हैं। (U) केवल संदर्भ समुच्चय है, हर बार पूरा (U) उत्तर नहीं होता। / \(A\cup B\) contains all distinct elements of (A) and (B). (U) is only the universal set; the answer is not always the whole (U).
(A) से (B) का समान अवयव (b) हटता है और ({a,d}) बचता है। सार्वत्रिक समुच्चय दिए होने पर भी अंतर केवल दिए गए दो समुच्चयों से निकालें। / The common element (b) is removed from (A), leaving ({a,d}). Even when a universal set is given, find the difference only between the asked sets.
पहले (B-C={3,4}) है, फिर (A) के साथ सामान्य भाग ({3,4}) मिलता है। कोष्ठक वाली क्रिया हमेशा पहले करें। / First (B-C={3,4}), then the common part with (A) is ({3,4}). Always solve the operation inside brackets first.
संघ से समान भाग (5) और (11) हटाने पर ({1,2,8,9}) बचता है। यह सामान्य भाग को हटाकर अलग-अलग भाग देता है। / Removing the common elements (5) and (11) from the union leaves ({1,2,8,9}). This gives the non-common parts.
सूत्र से (n\(A\cap B\)=16+13-21=8) होगा। संघ के सूत्र में सामान्य भाग दो बार गिना जाता है, इसलिए उसे घटाया जाता है। / Using the formula, (n\(A\cap B\)=16+13-21=8). The common part is counted twice in the union formula, so it is subtracted.
एक सर्वेक्षण में 24 विद्यार्थियों ने हिंदी चुना, 18 विद्यार्थियों ने अंग्रेजी चुना और 10 विद्यार्थियों ने दोनों चुने। केवल अंग्रेजी चुनने वाले कितने विद्यार्थी हैं?
केवल अंग्रेजी वाले विद्यार्थी = (अंग्रेजी के कुल) − (दोनों का प्रतिच्छेद)। यहाँ यह होगा \(18-10=8\)। विकल्प B (10) गलत है क्योंकि वह दोनों भाषाएँ चुनने वालों की संख्या है, न कि केवल अंग्रेजी वालों की। विकल्प C (18) गलत है क्योंकि इसमें दोनों चुनने वाले भी शामिल हैं। विकल्प D (32) मान्य कुल नहीं बनता। परीक्षा टिप: Venn आरेख बनाकर सीधे किसी सेट से उसका प्रतिच्छेद घटा दें — यह गलती रोकता है। / Only-English = (total who chose English) − (those who chose both). So \(18-10=8\). Option B (10) is incorrect because it gives the number who chose both languages, not only English. Option C (18) is the total English count including those who chose both. Option D (32) is not consistent with the given counts. Exam tip: draw a Venn diagram and subtract the intersection from the set to get the “only” count.
\(A\cup B\) में दोनों समुच्चयों के सभी अलग-अलग अवयव आते हैं। दोहराए गए अवयवों को केवल एक बार लिखें। / \(A\cup B\) contains all distinct elements of both sets. Write repeated elements only once.
\(A\cap B\) में केवल वे अवयव आते हैं जो दोनों समुच्चयों में हों। सामान्य अवयवों को ध्यान से पहचानें। / \(A\cap B\) contains only elements present in both sets. Identify common elements carefully.
(A-B) में (A) के वे अवयव रहते हैं जो (B) में नहीं हैं। अंतर में हमेशा पहले समुच्चय से शुरुआत करें। / (A-B) keeps elements of (A) that are not in (B). Always start from the first set in difference.
(B-A) में (B) के (b) और (d) बचते हैं क्योंकि ये (A) में नहीं हैं। (A-B) और (B-A) को समान न मानें। / (B-A) leaves (b) and (d) because they are not in (A). Do not assume (A-B) and (B-A) are the same.
यहां \(A=\{1,2,3,4\}\) है और संघ में (B) के (5) और (6) भी जुड़ते हैं। पहले समुच्चय को सूची रूप में बदलें। / Here \(A=\{1,2,3,4\}\), and (5) and (6) from (B) are also included. First convert the set to roster form.
दोनों समुच्चयों में कोई समान अवयव नहीं है इसलिए \(A\cap B=\varnothing\) है। असंयुक्त समुच्चयों का प्रतिच्छेद रिक्त होता है। / There is no common element, so \(A\cap B=\varnothing\). Disjoint sets have an empty intersection.
A के सभी तत्व पहले से B में मौजूद हैं, यानी A ⊆ B। संघ (union) A ∪ B उन सभी तत्वों का समुच्चय है जो A या B में हों। चूँकि B में पहले से r, s, t, u हैं, इसलिए A ∪ B = B = {r, s, t, u}। विकल्प A गलत है क्योंकि वह केवल A को दर्शाता है; विकल्प B केवल B के अतिरिक्त तत्वों का एक हिस्सा है और विकल्प D शून्य समुच्चय है जो यहाँ लागू नहीं है। परीक्षा टिप: पहले देखें क्या एक समुच्चय दूसरे का उपसमुच्चय है — यदि हाँ, तो संघ बड़ा (super)set ही होगा। / All elements of A are already in B, so A ⊆ B. The union A ∪ B consists of all elements that are in A or in B. Since B contains r, s, t, u, the union equals B: {r, s, t, u}. Option A is just A (missing t,u); option B lists only t and u (not the full union); option D is the empty set and not applicable here. Exam tip: Check subset relations first — if A ⊆ B then A ∪ B = B, which quickly gives the answer.
समुच्चयों का प्रतिच्छेद (intersection) उन तत्वों का समुच्चय होता है जो दोनों समुच्चयों में सामान्य रूप से उपस्थित हों। यहाँ \(10\) और \(20\) दोनों ही \(A\) तथा \(B\) में हैं, इसलिए \(A\cap B=\{10,20\}\)। विकल्प (A) गलत है क्योंकि \(5\) और \(15\) \(B\) में नहीं हैं; विकल्प (C) गलत है क्योंकि वह \(A\) का पूरा समुच्चय है न कि केवल सामान्य तत्व; विकल्प (D) तब ही सही होता अगर कोई सामान्य तत्व न होते। परीक्षा-टिप: प्रतिच्छेद के लिए सीधे दोनों समुच्चयों में मौजूद सामान्य तत्व खोजें। / The intersection of two sets contains elements common to both sets. Here 10 and 20 appear in both \(A\) and \(B\), so \(A\cap B=\{10,20\}\). Option (A) is wrong because 5 and 15 are not in \(B\); (C) is incorrect because it lists all elements of \(A\), not just the common ones; (D) would be correct only if there were no common elements. Exam tip: to find \(A\cap B\), list elements present in both sets only.
रिक्त समुच्चय में कोई अवयव नहीं होता इसलिए \(A\cup \varnothing=A\) है। यह संघ का मूल पहचान सूत्र है। / The empty set has no element, so \(A\cup \varnothing=A\). This is a basic identity of union.
\(\varnothing\) में कोई अवयव नहीं है, इसलिए सामान्य अवयव भी नहीं होगा। हमेशा \(A\cap \varnothing=\varnothing\) होता है। / Since \(\varnothing\) has no element, there is no common element. Always \(A\cap \varnothing=\varnothing\).
\(\varnothing\) से कोई अवयव हटाने के लिए नहीं है, इसलिए \(A-\varnothing=A\) है। अंतर में हटाए जाने वाले समुच्चय को ध्यान से देखें। / There is no element in \(\varnothing\) to remove, so \(A-\varnothing=A\). In difference, check the removing set carefully.
\(\varnothing\) में पहले से कोई अवयव नहीं है, इसलिए कुछ भी नहीं बचेगा। याद रखें \(\varnothing-A=\varnothing\) होता है। / The empty set has no element from the start, so nothing remains. Remember \(\varnothing-A=\varnothing\).
(A-B={1,2}) और (B-A={5,6}), इसलिए संघ ({1,2,5,6}) है। यह सामान्य भाग को छोड़कर बचे भागों को दिखाता है। / (A-B={1,2}) and (B-A={5,6}), so the union is ({1,2,5,6}). It shows the parts outside the common part.
सूत्र (n\(A\cup B\)=n(A)+n(B)-n\(A\cap B\)) से (14+9-4=19) है। सामान्य भाग को एक बार घटाना जरूरी है। / Using (n\(A\cup B\)=n(A)+n(B)-n\(A\cap B\)), (14+9-4=19). The common part must be subtracted once.
समुच्चयों के लिए समावेशन-अपवाद सूत्र है: \(n(A\cup B)=n(A)+n(B)-n(A\cap B)\). इसे \(n(A\cap B)\) के लिये व्यवस्थित करें: \(n(A\cap B)=n(A)+n(B)-n(A\cup B)=12+11-20=3\). इसलिए उत्तर 3 है। नजदीकी गलती: विकल्प B (2) तब आ सकता है जब कोई गलती से संघ का मान एक अंक ज्यादा मान ले या जोड़-घटा में चूक हो। परीक्षा सुझाव: पहले सूत्र लिखें, फिर चरण-दर-चरण स्थानापन्न करके गणना करें ताकि चिन्हों और क्रम में भूल न हो। / Use the inclusion–exclusion formula: \(n(A\cup B)=n(A)+n(B)-n(A\cap B)\). Rearranging gives \(n(A\cap B)=n(A)+n(B)-n(A\cup B)=12+11-20=3\). Hence the correct value is 3. Closest distractor (2) could result from an arithmetic slip (e.g. subtracting 21 instead of 20). Exam tip: always write the formula first and then substitute values to avoid sign or order mistakes.
(A-B) में (A) से सामान्य (7) अवयव हटेंगे, इसलिए (18-7=11) है। केवल (A) से जुड़े अवयव गिनें। / In (A-B), the (7) common elements are removed from (A), so (18-7=11). Count only elements related to (A).
(B-A) के लिए (B) से सामान्य भाग हटेगा, इसलिए (15-6=9) है। अंतर में पहले समुच्चय की संख्या से घटाएं। / For (B-A), the common part is removed from (B), so (15-6=9). In difference, subtract from the first set.
\(A=\{2,3,4,5,6,7\}\) है और (4,6) हटाने पर ({2,3,5,7}) बचता है। पहले सीमा के अनुसार अवयव लिखें। / \(A=\{2,3,4,5,6,7\}\), and removing (4,6) gives ({2,3,5,7}). First list elements according to the bounds.
संघ ({0,1,2,3,4,5,6}) और प्रतिच्छेद ({2,3,4}) है। प्रतिच्छेद हटाने पर ({0,1,5,6}) मिलता है। / The union is ({0,1,2,3,4,5,6}) and the intersection is ({2,3,4}). Removing the intersection gives ({0,1,5,6}).
सही उत्तर \(A\cup B = B\cup A\) है। संघ (union) का परिभाषात्मक कारण यह है कि किसी भी तत्व \(x\) के लिये \(x\in A\cup B\) तभी और केवल तभी होता है जब \(x\in A\) या \(x\in B\) — यह शर्त सेटों के क्रम पर निर्भर नहीं करती, इसलिए संघ क्रमविनिमेय (commutative) होता है। निकटतम विकर्षक \(A-B=B-A\) सामान्यतः गलत है; उदाहरण के लिये \(A=\{1\},B=\{2\}\) पर \(A-B=\{1\}\) जबकि \(B-A=\{2\}\)। \(A\cap\varnothing=A\) भी गलत है क्योंकि \(A\cap\varnothing=\varnothing\) हमेशा शून्य समुच्चय देता है। तथा \(A\cup A=\varnothing\) गलत है क्योंकि \(A\cup A=A\)। परीक्षा‑टिप: किसी नियम की सत्यता जाँचने के लिये छोटे उदाहरण (जैसे एक‑तत्व वाले सेट) से काउंटर‑उदाहरण ढूँढें। / The correct answer is \(A\cup B = B\cup A\). By definition, for any element \(x\), \(x\in A\cup B\) iff \(x\in A\) or \(x\in B\); this condition is unchanged when we swap \(A\) and \(B\), so union is commutative. The closest distractor \(A-B=B-A\) is generally false — e.g. with \(A=\{1\},B=\{2\}\) we get \(A-B=\{1\}\) but \(B-A=\{2\}\). Also \(A\cap\varnothing=A\) is false because \(A\cap\varnothing=\varnothing\), and \(A\cup A=\varnothing\) is false since \(A\cup A=A\). Exam tip: verify set identities by element membership or simple concrete examples to find counterexamples quickly.
केवल (3) तीनों समुच्चयों में मौजूद है। तीन समुच्चयों के प्रतिच्छेद में अवयव सभी में होना चाहिए। / Only (3) is present in all three sets. In the intersection of three sets, the element must be in every set.
परिचय: अंतर (difference) का अर्थ है A में से उन सभी तत्वों को हटाना जो B\cup C में आते हैं। पहले B\cup C ज्ञात करें: \(B\cup C=\{2,3,5,6,7\}\). अब A से इन तत्वों को निकालें: \(A-(B\cup C)=\{1,4\}\). क्यों अन्य विकल्प गलत हैं: विकल्प B वास्तव में B\cup C है, न कि A से उनका अंतर; विकल्प C ने किसी भी घटाव को नहीं किया (A को यथावत रखा गया है); विकल्प D का तत्व 7 A में नहीं है इसलिए उत्तर नहीं बनता। परीक्षा टिप: पहले यूनियन निकालें, फिर उससे A के तत्व घटाएं। / Concept: A−(B∪C) consists of elements of A that are not in B∪C. Compute the union first: \(B\cup C=\{2,3,5,6,7\}\). Remove these from A: \(A-(B\cup C)=\{1,4\}\). Why other choices are wrong: option B is the union B∪C itself, option C mistakenly leaves A unchanged (no subtraction), and option D lists 7 which is not in A. Exam tip: always form the union (or intersection) first, then apply the difference with A step by step.
\(B\cup C={b,d,e,f}\) है और इसका (A) से सामान्य भाग ({b,d}) है। संयुक्त क्रियाओं को क्रम से करें। / \(B\cup C={b,d,e,f}\), and its common part with (A) is ({b,d}). Do combined operations step by step.
\(A\cap B={3,5}\) है और (C) के साथ संघ ({3,5,7,11}) है। कोष्ठक वाली क्रिया पहले करें। / \(A\cap B={3,5}\), and its union with (C) is ({3,5,7,11}). Perform the operation inside brackets first.
संघ (union) में सभी विशिष्ट अवयव गिने जाते हैं। यहाँ \(|A|=4\) और \(|B|=5\)। सामान्य सूत्र \(|A\cup B|=|A|+|B|-|A\cap B|\) लागू करें। \(A\cap B=\{2,4\}\) है इसलिए \(|A\cap B|=2\)। अतः \(|A\cup B|=4+5-2=7\)। यदि सीधे सूची बनायें तो \(A\cup B=\{1,2,3,4,5,6,8\}\) जो 7 अवयव देता है। नज़दीकी भ्रम (option B = 6) तब होता है जब एक सामान्य अवयव की गिनती गलत तरीके से कम की जाए; इसलिए साझे तत्वों की गिनती ध्यान से करें। परीक्षा टिप: तुरंत सूची बनाने के साथ-साथ \(|A\cup B|=|A|+|B|-|A\cap B|\) का उपयोग कर सत्यापित कर लें। / Union counts all distinct elements. Here \(|A|=4\) and \(|B|=5\). Use the relation \(|A\cup B|=|A|+|B|-|A\cap B|\). Since \(A\cap B=\{2,4\}\), \(|A\cap B|=2\). Thus \(|A\cup B|=4+5-2=7\). Listing gives \(A\cup B=\{1,2,3,4,5,6,8\}\), seven elements. The closest distractor (6) arises if one overlap is missed or miscounted, so be careful counting common elements. Exam tip: either list unique elements or apply the formula to avoid double-counting.
सामान्य अवयव (24) और (48) हैं, इसलिए संख्या (2) है। प्रतिच्छेद में केवल समान अवयव गिने जाते हैं। / The common elements are (24) and (48), so the count is (2). In intersection, count only common elements.
सेट अन्तर (difference) \(A-B\) का अर्थ है वे तत्व जो \(A\) में हैं पर \(B\) में नहीं। \(A\) में मौजूद 8 और 64 \(B\) में भी हैं, इसलिए उन्हें निकाल देंगे। बचते हैं केवल 1 और 27, अतः \(A-B=\{1,27\}\)। विकल्प (B) वास्तव में \(A\cap B\) (सामान्य तत्व) है, विकल्प (C) में 125 केवल \(B\) में है न कि \(A\) में, और विकल्प (D) दोनों सेटों का योग (union) है — ये अंतर नहीं हैं। परीक्षा-सुझाव: हमेशा परिभाषा याद रखें — \(A-B=\{x\in A:\;x\notin B\}\) और हर तत्व के लिए सदस्यता जाँचें। / The set difference \(A-B\) contains elements that are in \(A\) but not in \(B\). Elements 8 and 64 are in both \(A\) and \(B\), so they are removed from \(A\), leaving \{1,27\}. Thus \(A-B=\{1,27\}\). Option B lists the common elements (\(A\cap B\)), option C lists an element only of \(B\) (125) which is not in \(A\), and option D is the union of both sets, not the difference. Exam tip: use the definition \(A-B=\{x\in A:\;x\notin B\}\) and check each element of \(A\) against \(B\).
दोनों समुच्चय असंयुक्त हैं, इसलिए (A) से कोई अवयव नहीं हटेगा। असंयुक्त समुच्चयों के लिए (A-B=A) होता है। / The two sets are disjoint, so no element is removed from (A). For disjoint sets, (A-B=A).
मूल विचार: प्रतिच्छेद (\(A\cap B\)) केवल वे अवयव हैं जो दोनों समुच्चयों में सामान्य हों। यहाँ \(A\) और \(B\) दोनों में केवल 'किताब' सामान्य है, अतः प्रतिच्छेद \(\{किताब\}\) होगा। विकल्प A (\{पेन, बैग\}) भ्रमित करने वाला है क्योंकि पेन और बैग \(B\) में नहीं हैं। परीक्षा सुझाव: प्रतिच्छेद निकालते समय केवल उन अवयवों को चुनें जो दोनों समुच्चयों में मौजूद हों — यूनियन से न मिलाएँ। / Core concept: The intersection \(A\cap B\) contains only elements common to both sets. Here only 'book' is present in both A and B, so the intersection is \(\{book\}\). Option A (\{pen, bag\}) is incorrect because pen and bag are not in B. Exam tip: When finding an intersection, list only elements that appear in both sets; do not confuse with union which combines all elements.
संघ में सभी अलग-अलग नाम आते हैं, इसलिए (lily) एक बार लिखा जाएगा। उत्तर ({rose,lily,lotus,jasmine}) है। / The union contains all distinct names, so (lily) is written once. The answer is ({rose,lily,lotus,jasmine}).
(A) से (east) और (west) हटाने पर (north) और (south) बचते हैं। अंतर में हटाए गए अवयव उत्तर में नहीं आते। / Removing (east) and (west) from (A) leaves (north) and (south). Removed elements do not appear in the difference.
(4) दोनों समुच्चयों में है, इसलिए वह \(A\cap B\) में है। प्रतिच्छेद के लिए अवयव दोनों में होना चाहिए। / (4) is in both sets, so it is in \(A\cap B\). For intersection, an element must be in both sets.
(6) समुच्चय (A) में है, इसलिए \(A\cup B\) में भी होगा। संघ में किसी भी एक समुच्चय का अवयव शामिल होता है। / (6) is in set (A), so it is also in \(A\cup B\). A union includes elements from either set.
(1) (A) में है लेकिन (B) में नहीं है, इसलिए \(1\in A-B\) है। अंतर में पहले समुच्चय के गैर-सामान्य अवयव रहते हैं। / (1) is in (A) but not in (B), so \(1\in A-B\). Difference keeps non-common elements of the first set.
\(A\cup B\) में (A) और (B) के सभी अलग-अलग अवयव हैं। (U) केवल सार्वत्रिक समुच्चय है, उत्तर हमेशा पूरा (U) नहीं होता। / \(A\cup B\) contains all distinct elements of (A) and (B). (U) is only the universal set; the answer is not always the whole (U).
दो समुच्चयों का प्रतिच्छेद उन तत्वों का समुच्चय होता है जो दोनों में सामान्य रूप से मौजूद हों। यहाँ \(A=\{a,c,e\}\) और \(B=\{b,c,e,f\}\) के सामान्य तत्व \(c\) एवं \(e\) हैं, अतः \(A\cap B=\{c,e\}\)। विकल्प C (\{b,f\}) गलत है क्योंकि \(b\) और \(f\) केवल \(B\) में हैं, \(A\) में नहीं। विकल्प D सार्वत्रिक समुच्चय है और उसमें ऐसे भी तत्व हैं जो दोनों में सामान्य नहीं हैं। परीक्षीय सुझाव: दोनों सेट साइड-बाय-साइड लिखकर सामान्य तत्वों को घेर लें या छोटा Venn आरेख बनाएं। / The intersection of two sets consists of elements present in both. Here \(A=\{a,c,e\}\) and \(B=\{b,c,e,f\}\) share the elements \(c\) and \(e\), so \(A\cap B=\{c,e\}\). Option C (\{b,f\}) is incorrect because \(b\) and \(f\) belong only to \(B\), not to \(A\). Option D lists the universal set which includes elements not common to both. Exam tip: list elements of each set side by side and circle the common ones or draw a small Venn diagram to spot the intersection quickly.
(A) से (B) का समान अवयव (20) हटता है और ({10,40}) बचता है। (U) दिए होने पर भी अंतर (A) और (B) से निकालें। / The common element (20) is removed from (A), leaving ({10,40}). Even when (U) is given, find the difference from (A) and (B).
पहला कदम है \(A-B\) निकालना: \(A-B=\{1,3\}\) क्योंकि 2 और 4 को B में होने के कारण A से निकाल दिया गया। चूँकि \(A-B\) सबसे पहले से ही A का उपसमुच्चय है, इसलिए उसका A के साथ प्रतिच्छेद वही सेट देगा: \(A\cap(A-B)=A-B=\{1,3\}\)। विकल्प B (\{2,4\}) गलत है क्योंकि ये तत्व A-B में नहीं बचे; विकल्प C (\{6\}) A में नहीं है; विकल्प D खाली सेट भी गलत है। परीक्षा टिप: पहले \(A-B\) निकालें, फिर उस परिणाम का A से प्रतिच्छेद लें — या सीधे पहचान लें कि \(A\cap(A-B)=A-B\)। / Compute \(A-B\) first: \(A-B=\{1,3\}\) since 2 and 4 are removed from A (they belong to B). Because \(A-B\) is already a subset of A, intersecting with A leaves it unchanged: \(A\cap(A-B)=A-B=\{1,3\}\). Option B (\{2,4\}) is incorrect because those elements were removed in the difference; option C (\{6\}) is not in A; option D \(\varnothing\\) is also wrong. Exam tip: do the set difference before intersecting, or use the identity \(A\cap(A-B)=A-B\).
\(A\cup B\) में (A) के सभी अवयव हैं, इसलिए प्रतिच्छेद (A) ही होगा। यह अवशोषण नियम का उदाहरण है। / \(A\cup B\) contains all elements of (A), so the intersection is (A) itself. This is an example of the absorption law.
पहला कदम है \(A\cap B\) निकालना: \(A\cap B=\{q,r\}\). यह उपसमुच्चय \(A\) का भाग है। संघ करने पर \(A\cup(A\cap B)=A\) ही रहता है। यह सेट के अवशोषण नियम \(A\cup(A\cap B)=A\) का सीधा अनुप्रयोग है। निकटतम विचलन करने वाला विकल्प C (\(\{p,q,r,s\}\)) गलत है क्योंकि \(s\) \(A\) में नहीं है और \(A\cap B\) में भी नहीं आता, अतः संघ में \(s\) नहीं जुड़ता। परीक्षा टिप: अवशोषण नियम याद रखें — यह अक्सर ऐसे प्रश्नों को तुरंत हल कर देता है। / Compute \(A\cap B\): \(A\cap B=\{q,r\}\). Since \(\{q,r\}\subseteq A\), the union \(A\cup(A\cap B)\) equals \(A\) by the absorption law \(A\cup(A\cap B)=A\). The closest distractor C (\(\{p,q,r,s\}\)) is wrong because element \(s\) is not in \(A\) and does not appear in \(A\cap B\), so it cannot appear in the union. Exam tip: recognize and apply the absorption identities to simplify such expressions quickly.
एक कक्षा में (22) विद्यार्थी चित्रकला पसंद करते हैं, (16) संगीत पसंद करते हैं और (6) दोनों पसंद करते हैं। कम से कम एक गतिविधि पसंद करने वाले कितने विद्यार्थी हैं?
कम से कम एक का अर्थ (n\(A\cup B\)) है, इसलिए (22+16-6=32) है। दोनों पसंद करने वालों को दो बार न गिनें। / At least one means (n\(A\cup B\)), so (22+16-6=32). Do not count those who like both twice.
एक समूह में 30 विद्यार्थी चाय पसंद करते हैं, 25 विद्यार्थी कॉफी पसंद करते हैं और 12 विद्यार्थी दोनों ही पसंद करते हैं। केवल चाय पसंद करने वालों की संख्या कितनी है?
केवल चाय पसंद करने वालों की संख्या = (चाय पसंद करने वाले कुल) − (दोनों पसंद करने वाले) = 30 − 12 = 18। विकल्प C (43) संयुक्त संख्या n(Tea ∪ Coffee) है = 30+25−12, विकल्प B (13) केवल कॉफी है = 25−12, और विकल्प D (55) सीधे जोड़ना है जो परस्पर छेड़छाड़ (intersection) को दो बार गिनता है। परीक्षा टिप: जल्दी करने के लिए सरल वेंन आरेख बनाएँ और केवल A के लिए n(A)−n(A∩B) का प्रयोग करें। / Number who like only tea = (total who like tea) − (who like both) = 30 − 12 = 18. Option C (43) is the union n(Tea ∪ Coffee) = 30+25−12, option B (13) equals only coffee = 25−12, and option D (55) is the naive sum that double-counts the intersection. Exam tip: draw a quick Venn diagram and use Only(A) = n(A) − n(A∩B).
केवल साइकिल (=14-9=5) है। केवल दूसरे समुच्चय के लिए दूसरे समुच्चय से सामान्य भाग घटाएं। / Only bicycle is (14-9=5). For only the second set, subtract the common part from the second set.
\(A=\{1,2,3,4,6,12\}\) है और (B) के साथ सामान्य भाग ({1,2,3}) है। गुणनखंड वाले समुच्चय को पहले लिखें। / \(A=\{1,2,3,4,6,12\}\), and the common part with (B) is ({1,2,3}). List the factor set first.
\(A=\{1,2,3,6,9,18\}\) है और (B) हटाने पर ({1,18}) बचता है। सूची रूप में बदलने से गलती कम होती है। / \(A=\{1,2,3,6,9,18\}\), and removing (B) leaves ({1,18}). Converting to roster form reduces mistakes.
पहले (A-B={1,4,6}) है और इसका (C) से सामान्य भाग ({4,6}) है। मिश्रित क्रियाओं में कोष्ठक पहले हल करें। / First (A-B={1,4,6}), and its common part with (C) is ({4,6}). In mixed operations, solve the bracket first.
पहले \(A\cup B={1,2,3,4,6,8}\) है, फिर (C) के साथ सामान्य भाग ({2,6}) मिलता है। मिश्रित क्रिया में कोष्ठक पहले हल करें। / First \(A\cup B={1,2,3,4,6,8}\), then the common part with (C) is ({2,6}). In mixed operations, solve the bracket first.
पहले \(B\cap C={4,6}\) है, फिर (A) से इन्हें हटाने पर ({1,2,3,5}) बचता है। अंतर में पहले समुच्चय से ही अवयव हटाएं। / First \(B\cap C={4,6}\), then removing these from (A) leaves ({1,2,3,5}). In difference, remove elements only from the first set.
एक पुस्तकालय में 35 विद्यार्थी कहानी की किताबें पढ़ते हैं, 20 विद्यार्थी कविता की किताबें पढ़ते हैं और 45 विद्यार्थी कम से कम एक प्रकार की किताब पढ़ते हैं। दोनों प्रकार की किताबें पढ़ने वाले कितने विद्यार्थी हैं?
सेट के मूल सूत्र से \(n(A\cap B)=n(A)+n(B)-n(A\cup B)\)। यहाँ \(n(A)=35,\; n(B)=20,\; n(A\cup B)=45\)। अत: \(n(A\cap B)=35+20-45=10\)। विकल्प 5 और 15 गलत हैं क्योंकि वे उपर्युक्त सूत्र के भिन्न (गलत) मान दर्शाते; 55 भी संभव नहीं क्योंकि वह केवल तब होगा जब कोई ओवरलैप न हो (लेकिन.union दी गई है)। परीक्षा सुझाव: "कम से कम एक" को हमेशा \(n(A\cup B)\) समझें और ऊपर का सूत्र याद रखें। / Use the set formula \(n(A\cap B)=n(A)+n(B)-n(A\cup B)\). Here \(n(A)=35, n(B)=20, n(A\cup B)=45\), so \(n(A\cap B)=35+20-45=10\). Options 5 and 15 are incorrect because they correspond to wrong arithmetic for the union value; 55 is impossible unless there is no overlap (which contradicts the given union of 45). Exam tip: interpret "at least one" as \(n(A\cup B)\) and apply the formula directly.
(A-B={3,9}) और (B-A={18,24}) हैं, जिनमें कोई समान अवयव नहीं है। इसलिए उनका प्रतिच्छेद \(\varnothing\) है। / (A-B={3,9}) and (B-A={18,24}), and they have no common element. Therefore their intersection is \(\varnothing\).
