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\(A\cup B\) में दोनों समुच्चयों के सभी अलग-अलग अवयव आते हैं। परीक्षा में दोहराए गए अवयव को केवल एक बार लिखें। / \(A\cup B\) contains all distinct elements of both sets. In exams, write repeated elements only once.
\(A\cap B\) में केवल वे अवयव आते हैं जो दोनों में समान हों। पहले समान अवयवों को पहचानना आसान तरीका है। / \(A\cap B\) contains only elements common to both sets. First identify common elements for quick solving.
(A-B) में (A) के वे अवयव आते हैं जो (B) में नहीं हैं। घटाने में क्रम बदलने से उत्तर बदल सकता है। / (A-B) contains elements of (A) that are not in (B). In set difference, changing order can change the answer.
\(P=\{1,2,3,4\}\) है, इसलिए \(P\cup Q={1,2,3,4,6}\) है। पहले set-builder form को roster form में बदलें। / \(P=\{1,2,3,4\}\), so \(P\cup Q={1,2,3,4,6}\). Convert set-builder form to roster form first.
दोनों समुच्चयों में कोई समान अवयव नहीं है, इसलिए \(A\cap B=\varnothing\) है। ऐसे समुच्चय असंयुक्त होते हैं। / There is no common element, so \(A\cap B=\varnothing\). Such sets are disjoint sets.
तीनों समुच्चयों में समान अवयव (3) और (5) हैं। \(A\cap B\cap C\) में केवल सभी में सामान्य अवयव आते हैं। / The elements common to all three sets are (3) and (5). \(A\cap B\cap C\) contains only elements common to every set.
(B) का हर अवयव (A) में है, इसलिए \(B-A=\varnothing\) है। यदि \(B\subset A\), तो (B-A) खाली हो सकता है। / Every element of (B) is in (A), so \(B-A=\varnothing\). If \(B\subset A\), then (B-A) may be empty.
\(A\cup B\) में (A) और (B) के सभी अलग-अलग अवयव आते हैं। (U) यहां केवल सार्वत्रिक समुच्चय की जानकारी देता है। / \(A\cup B\) contains all distinct elements of (A) and (B). (U) only gives the universal set here.
(A-B) में (A) से (B) के सामान्य अवयव हटाए जाते हैं। इसलिए (4) और (8) हटाकर ({2,6,10}) मिलता है। / In (A-B), common elements of (B) are removed from (A). Removing (4) and (8) gives ({2,6,10}).
खाली समुच्चय में कोई अवयव नहीं होता, इसलिए \(A\cup \varnothing=A\) है। यह संघ का पहचान गुण है। / The empty set has no elements, so \(A\cup \varnothing=A\). This is the identity property of union.
\(\varnothing\) में कोई अवयव नहीं है, इसलिए कोई सामान्य अवयव नहीं मिलेगा। अतः \(A\cap \varnothing=\varnothing\) है। / \(\varnothing\) has no element, so no common element can exist. Thus \(A\cap \varnothing=\varnothing\).
(A-A) में (A) के वे अवयव चाहिए जो (A) में न हों, जो संभव नहीं है। इसलिए \(A-A=\varnothing\) है। / (A-A) needs elements of (A) that are not in (A), which is impossible. So \(A-A=\varnothing\).
\(A=\{a,e,i,o,u\}\) और \(B\subseteq A\) है, इसलिए \(A\cup B=A\) है। बड़े समुच्चय में छोटे के अवयव पहले से शामिल होते हैं। / \(A=\{a,e,i,o,u\}\) and \(B\subseteq A\), so \(A\cup B=A\). The larger set already includes the smaller set's elements.
A. (A-B={0,1}) और (B-A={4,5})/(A-B={0,1}) and (B-A={4,5})
Explanation
Simple Explanation
(A-B) में (0,1) और (B-A) में (4,5) बचते हैं। समुच्चय अंतर सामान्यतः क्रमविनिमेय नहीं होता। / (0,1) remain in (A-B), and (4,5) remain in (B-A). Set difference is generally not commutative.
दोनों में मौजूद अवयव (1,4,16) हैं। (9) केवल (A) में है, इसलिए वह intersection में नहीं आएगा। / The elements present in both sets are (1,4,16). (9) is only in (A), so it will not be in the intersection.
संघ में दोनों समुच्चयों के सभी रंग एक बार लिए जाते हैं। (blue) दोहराया हुआ है, इसलिए एक बार लिखा जाएगा। / Union takes all colors from both sets once. (blue) is repeated, so it is written only once.
A और B का परस्पर छेदन \(A\cap B\) उन अवयवों का समूह है जो दोनों सेटों में सामान्य रूप से आते हैं. यहाँ सामान्य अवयव \(3\) और \(5\) हैं, अतः \(A\cap B=\{3,5\}\). इसका क्रमांक \(n(A\cap B)=2\) है. विकल्प B (4) इसीलिए गलत है क्योंकि यह दोनों सेटों के कुल अवयव या योगफल को गिनने का भ्रम है; सही तरीका सामान्य अवयवों को ही गिनना है. परीक्षा सुझाव: सदैव पहले सामान्य अवयव लिखें, फिर उनकी संख्या लें। / The intersection \(A\cap B\) consists of elements common to both sets. Here the common elements are \(3\) and \(5\), so \(A\cap B=\{3,5\}\) and therefore \(n(A\cap B)=2\). Option B (4) is incorrect because it appears to count unrelated total elements rather than only the common ones. Exam tip: list common elements explicitly before counting to avoid mistakes.
\(A\cup B=B\cup A\) में क्रम बदलने पर संघ नहीं बदलता। यह संघ का क्रमविनिमेय गुण है। / In \(A\cup B=B\cup A\), changing the order does not change the union. This is the commutative property of union.
\(A\cap B=B\cap A\) में intersection का क्रम बदलने से परिणाम नहीं बदलता। इसे क्रमविनिमेय गुण कहते हैं। / In \(A\cap B=B\cap A\), changing the order of intersection does not change the result. This is called the commutative property.
किसी समुच्चय का अपने साथ प्रतिच्छेदन (intersection) हमेशा वही समुच्चय देता है — यह idempotent नियम है: \\((A\cap A = A)\\). इसलिए विकल्प \\((A)\\) सही है।
विकल्प \\((\\varnothing)\\) तब ही बराबर होगा जब \\(A=\\varnothing\\), जो सार्वभौमिक सत्य नहीं है। विकल्प \\((A^{c})\\) -- यह \\(A\\) का पूरक है और सामान्यतः \\(A \\neq A^{c}\\). विकल्प \\((A\\setminus B)\\) केवल तब \\(A\\) के बराबर होगा जब \\(B=\\varnothing\\); सामान्य स्थिति में यह अलग होगा।
परीक्षा सुझाव: याद रखें idempotent नियम — \\((A\cap A=A)\\) और \\((A\cup A=A)\\) — अक्सर सरल प्रश्नों में काम आता है। / The intersection of a set with itself returns the same set — this is the idempotent law: \\((A\cap A = A)\\). Hence \\((A)\\) is correct.
Option \\((\\varnothing)\\) equals \\((A)\\) only if \\(A=\\varnothing\\), not generally. Option \\((A^{c})\\) is the complement of \\(A\\) and generally \\(A \\neq A^{c}\\). Option \\((A\\setminus B)\\) equals \\(A\\) only when \\(B=\\varnothing\\); in typical cases it differs.
Exam tip: Memorize idempotent laws \\((A\cap A=A)\\) and \\((A\cup A=A)\\) — they are quick checks in set-operation questions.
पहले संयुक्त सेट निकालें: \(A\cup B=\{1,2,3,4\}\). अब इसका C के साथ इंटरसेक्शन लें: \(\{1,2,3,4\}\cap\{4,5\}=\{4\}\). इसलिए उत्तर \(\{4\}\) है. विकल्प \(\{3\}\) भ्रमित कर सकता है क्योंकि 3 तो \(A\cup B\) में है परंतु C में नहीं है, इसलिए इंटरसेक्शन में नहीं आता। परीक्षा-सुझाव: पहले \(\cup\) फिर \(\cap\) के नियम के अनुसार सेट्स क्रम से घटाकर देखें या वेन आरेख की मदद लें। / Compute the union first: \(A\cup B=\{1,2,3,4\}\). Then intersect with C: \(\{1,2,3,4\}\cap\{4,5\}=\{4\}\). Thus the result is \(\{4\}\). The distractor \(\{3\}\) is tempting because 3 belongs to \(A\cup B\) but 3 is not in C, so it cannot appear in the intersection. Exam tip: do the union step first, then intersect; drawing a quick Venn diagram often avoids such mistakes.
सबसे पहले प्रतिच्छेद लें: \(A\cap B=\{2,4\}\)। अब इसका संघ \(C\) के साथ लें: \(\{2,4\}\cup\{1,2,6\}=\{1,2,4,6\}\)। विकल्प B केवल \(A\cap B\) है, विकल्प C केवल \(C\) है, और विकल्प D में अनावश्यक रूप से 3 शामिल है। परीक्षा टिप: पहले \(\cap\) (intersection) निकालें, फिर \(\cup\) (union) लगाएँ और कदम-दर-कदम लिखें। / Compute the intersection first: \(A\cap B=\{2,4\}\). Now take union with \(C\): \(\{2,4\}\cup\{1,2,6\}=\{1,2,4,6\}\). Option B is only the intersection, option C is just set \(C\), and option D incorrectly includes 3. Exam tip: evaluate intersections before unions and write each intermediate set to avoid mistakes.
पहलें अंतर निकालें: \(A-B\) का अर्थ है A के वे तत्व जो B में नहीं हैं, इसलिए \(A-B=\{2,6\}\). अब इसका सम्मिलन (union) C के साथ लें: \(\{2,6\}\cup\{8,10\}=\{2,6,8,10\}\). इसलिए सही उत्तर \{2,6,8,10\} है। सबसे नजदीकी भ्रमित करने वाला विकल्प D (\{2,4,6,8,10\}) इसलिए गलत है क्योंकि इसमें 4 शामिल किया गया है जबकि 4 को B में होने के कारण A-B में नहीं होना चाहिए; विकल्प C (\{4,8\}) भी गलत है क्योंकि उसमें 2 और 6 नहीं हैं। परीक्षा टिप: पहले अंतर/घटाव (difference) या इंटरसेक्शन निकालें, फिर यूनियन करें—इससे ग़लतियाँ कम होंगी। / Compute the difference first: \(A-B\) contains elements of A not in B, so \(A-B=\{2,6\}\). Now take the union with C: \(\{2,6\}\cup\{8,10\}=\{2,6,8,10\}\). Hence the correct set is {2,6,8,10}. The closest distractor {2,4,6,8,10} is wrong because it incorrectly keeps 4 (4 is in B so it should be removed in A-B); {4,8} misses 2 and 6. Exam tip: do difference/intersection steps before union to avoid missing or extra elements.
पहले \(A-B\) निकालें: \(A-B=\{1,3,4\}\) क्योंकि 2 और 5 को B से हटा दिया गया है। अब \((A-B)\cap C\) में \(\{1,3,4\}\) और \(\{5,6\}\) का समापवर्तक देखें — कोई सामान्य अवयव नहीं है, अतः परिणाम खाली सेट \(\varnothing\) है। निकटवर्ती भ्रामक विकल्प \(\{5\}\) इसलिए गलत है क्योंकि 5 को पहले ही A से घटा दिया गया था। परीक्षा टिप: पहले अंतर (difference) निकालें, फिर प्राप्त सेट का इंटरसेक्शन लें। / Compute \(A-B\) first: \(A-B=\{1,3,4\}\) because elements 2 and 5 are removed. Now take the intersection with \(C=\{5,6\}\). There is no common element, so the result is the empty set \(\varnothing\). The closest distractor \(\{5\}\) is incorrect because 5 is not in \(A-B\). Exam tip: perform set difference before intersection to avoid mistakes.
\(A\cup B={1,2,3,4}\) और \(A\cap B={2,3}\) है। दिए गए विकल्पों में (1) union में है लेकिन intersection में नहीं है। / \(A\cup B={1,2,3,4}\) and \(A\cap B={2,3}\). Among the options, (1) is in the union but not in the intersection.
यदि \(A - B = \varnothing\) है तो इसका अर्थ है कि A का कोई भी तत्त्व ऐसा नहीं है जो B में न हो। अर्थात् हर \(x\in A\) के लिए \(x\in B\) सत्य है। यही परिभाषा है कि \(A \subseteq B\)। विकल्प B गलत है क्योंकि वह B के हर तत्त्व का A में होने का दावा करता है, जो दिए हुए कथन से निष्पन्न नहीं होता। विकल्प C और D भी गलत हैं: C (विसंगति) तभी सच होगी जब A और B में कोई साझा तत्त्व न हो — पर मूल कथन ऐसा नहीं कहता; D (एकीकरण खाली) तभी होगा जब दोनों सेट खाली हों, जो साबित नहीं हुआ। परीक्षा-सुझाव: तत्व-आधारित तर्क अपनाएँ — किसी सामान्य \(x\in A\) को लेकर दिखाएँ कि \(x\in B\)। / If \(A - B = \varnothing\), no element of A lies outside B; equivalently every \(x\in A\) is also in B. That is precisely \(A \subseteq B\). Option B is incorrect because it would require every element of B to be in A, which is not implied. Option C (\(A\cap B=\varnothing\)) is not implied — A and B may share elements. Option D (\(A\cup B=\varnothing\)) would force both sets empty, which is not given. Exam tip: use an element-wise argument — assume \(x\in A\) and prove \(x\in B\).
समूह अंतर (difference) \(A-B\) से तात्पर्य है वे सभी तत्व जो \(A\) में हैं पर \(B\) में नहीं। \(B\) के तत्व \(2\) और \(4\) \(A\) में भी हैं, इसलिए उन्हें \(A\) से हटाना है; \(6\) \(A\) में नहीं है, अतः उसे शामिल नहीं करना। इसलिए \(C=\{1,3,5\}\)। नजदीकी भ्रामक विकल्पों की जाँच: विकल्प (B) केवल \(B\) के सामान्य तत्व दिखाता है (यह \(A\) से घटाने का परिणाम नहीं है); विकल्प (D) में \(A\) को बिना घटाए दे रखा गया है। परीक्षा सुझाव: प्रत्येक तत्व पर जाएँ और देखें क्या वह \(B\) में है — अगर हाँ, तो उसे निकाल दें। / The set difference \(A-B\) consists of elements that are in \(A\) but not in \(B\). Elements 2 and 4 are in both \(A\) and \(B\), so they are removed from \(A\); 6 is not in \(A\), so it is not included. Thus \(C=\{1,3,5\}\). Why distractors are wrong: option (B) lists elements of \(B\), not the difference; option (D) leaves \(A\) unchanged (forgetting to subtract). Exam tip: to compute \(A-B\), scan elements of \(A\) and discard those that also appear in \(B\).
कक्षा में क्रिकेट खेलने वाले छात्रों का समुच्चय \(C=\{Amit,Ravi,Sita\}\) और फुटबॉल खेलने वाले छात्रों का समुच्चय \(F=\{Ravi,Neha\}\) है। दोनों खेल कौन-कौन से छात्र खेलते हैं?
दो सेटों में एक साथ आने वाले सदस्य समुच्च्य के विच्छेद (intersection) \(C\cap F\) में होते हैं। यहाँ दोनों समुच्चयों में केवल "Ravi" सामान्य है, अतः \(C\cap F=\{Ravi\}\)। विकल्प B ({Amit, Sita}) गलत है क्योंकि Amit और Sita केवल क्रिकेट खेलने वाले हैं; विकल्प C ({Neha}) गलत है क्योंकि Neha केवल फुटबॉल में है; विकल्प D पूरे छात्रों का संघ है, जो दोनों खेल खेलने का गलत उत्तर है। परीक्षा-सुझाव: किसी भी दो समुच्चयों में सामान्य तत्व खोजने के लिए उनका संघ नहीं, बल्कि अंतर (intersection) लें। / Members common to both sets are given by the intersection \(C\cap F\). Here the only common name is Ravi, so \(C\cap F=\{Ravi\}\). Option B ({Amit, Sita}) is wrong because Amit and Sita belong only to the cricket set; option C ({Neha}) is wrong because Neha belongs only to the football set; option D is the union of both sets, not the intersection. Exam tip: to find who plays both games, compute the intersection \(C\cap F\).
एक पुस्तकालय में हिंदी पुस्तकें \(H=\{h_1,h_2,h_3\}\) और अंग्रेज़ी पुस्तकें \(E=\{h_3,e_1,e_2\}\) रखी हुई हैं। "कम से कम एक श्रेणी" में आने वाली पुस्तकों का समुच्चय कौन-सा है?
"कम से कम एक श्रेणी" का अर्थ संघ (union) है — वे सभी सदस्य जो कम से कम किसी एक समुच्चय में मौजूद हों। \(H\cup E\) में दोनों समुच्चयों के सभी अलग-अलग तत्व लिए जाते हैं; यहाँ \(h_3\) दोनों में है पर संघ में एक बार ही लिखते हैं, इसलिए \(H\cup E=\{h_1,h_2,h_3,e_1,e_2\}\)। विकल्प B (छेदन) केवल दोनों में सामान्य तत्व देता है, इसलिए गलत है। विकल्प C और D क्रमशः केवल H में लेकिन E में नहीं और केवल E में लेकिन H में नहीं वाले तत्व देते हैं, जो "कम से कम एक" की परिभाषा पूरी नहीं करते। परीक्षा-सुझाव: किसी भी संघ/छेदन/छेदान की पहचान करते समय पहले सामान्य और अनन्य तत्व अलग कर लें और फिर क्रम से समुच्चय बनाएं। / "At least one category" means the union of the sets — every element that appears in H or in E (or both). Compute \(H\cup E\) by listing distinct elements from both sets; since \(h_3\) appears in both, it is included only once, giving \(H\cup E=\{h_1,h_2,h_3,e_1,e_2\}\). Option B is the intersection (elements common to both) and thus not the required set. Options C and D are set differences (elements only in H or only in E), which do not represent "at least one". Exam tip: when asked for union, combine all unique elements; when asked for intersection or difference, apply the corresponding membership test first.
पहला चरण दोनों संख्याओं के गुणनखंड लिखना है: \(12\) के गुणनखंड \(\{1,2,3,4,6,12\}\) और \(18\) के गुणनखंड \(\{1,2,3,6,9,18\}\) हैं। दोनों सेटों का परस्पर छेद (common elements) \(\{1,2,3,6\}\) है। इसलिए \(A\cap B=\{1,2,3,6\}\)। परीक्षा टिप: पहले प्रत्येक संख्या के सभी गुणनखंड लिखें और फिर सामान्य (common) तत्व ही निकालें। / List factors of each number: factors of 12 are \(\{1,2,3,4,6,12\}\) and factors of 18 are \(\{1,2,3,6,9,18\}\). The common elements are \(\{1,2,3,6\}\), so \(A\cap B=\{1,2,3,6\}\). Exam tip: write factor lists first, then pick the common elements for the intersection.
\(A=\{1,2,5,10\}\) और \(B=\{1,3,5,15\}\) है। संघ में सभी अलग-अलग अवयव ({1,2,3,5,10,15}) होंगे। / \(A=\{1,2,5,10\}\) and \(B=\{1,3,5,15\}\). The union contains all distinct elements ({1,2,3,5,10,15}).
पहला कदम \(B\cup C\) निकालना है: \(B\cup C=\{2,4,5,6,8\}\)। फिर इसे \(A\) के साथ इंटरसेक्ट करें: \(A\cap (B\cup C)=\{1,2,5,7\}\cap\{2,4,5,6,8\}=\{2,5\}\)। विकल्प (C) गलत है क्योंकि वह \(B\cup C\) (यूनियन) का सेट है, न कि इंटरसेक्शन; विकल्प (B) में दिए गए तत्व \(A\) के हैं पर वे \(B\cup C\) में नहीं आते। परीक्षा सुझाव: पहले यूनियन और फिर इंटरसेक्शन निकालें — क्रम स्पष्ट रखें और दोनों सेटों के सामान्य तत्व ही लें। / Compute the union first: \(B\cup C=\{2,4,5,6,8\}\). Now intersect with \(A\): \(A\cap(B\cup C)=\{1,2,5,7\}\cap\{2,4,5,6,8\}=\{2,5\}\). Option C is incorrect because it lists the union \(B\cup C\), not the intersection; option B lists elements of \(A\) that are not in \(B\cup C\). Exam tip: always perform the union or intersection inside parentheses first, then intersect with the outer set — this avoids order mistakes.
पहले \(B\cup C=\{20,30,50,60\}\) पाएँ। अब \(A\) में से उन तत्वों को हटाएँ जो संयुक्त सेट में हैं: \(A- (B\cup C)=\{10,20,30,40\}-\{20,30,50,60\}=\{10,40\}\)। विकल्प B (\{20,30\}) केवल संयुक्त सेट के सदस्य हैं इसलिए यह गलत है। परीक्षा टिप: पहले यूनियन निकालें और फिर सदस्यता देखकर घटाएँ। / Compute the union first: \(B\cup C=\{20,30,50,60\}\). Subtract these from \(A\): \(A-(B\cup C)=\{10,20,30,40\}-\{20,30,50,60\}=\{10,40\}\). Option B (\{20,30\}) lists elements removed from \(A\), not the remaining ones, so it is incorrect. Exam tip: always form the union then remove its elements from the given set to avoid errors.
