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A. यह (A) से (B) में फलन है/It is a function from (A) to (B)
Explanation
Simple Explanation
हर \(x \in A\) की ठीक एक छवि है, इसलिए यह फलन है। परीक्षा में पहले प्रांत के हर अवयव को जांचें। / Each \(x \in A\) has exactly one image, so it is a function. In exams, first check every element of the domain.
A. क्योंकि (1) की दो अलग छवियां हैं/Because (1) has two different images
Explanation
Simple Explanation
फलन में किसी एक प्रथम अवयव की दो अलग छवियां नहीं हो सकतीं। परीक्षा में दोहराए गए प्रथम अवयव पर ध्यान दें। / In a function, one first element cannot have two different images. In exams, watch for repeated first elements.
फलन में प्रांत के प्रत्येक अवयव के लिए ठीक एक युग्म होता है। इसलिए युग्मों की संख्या (|A|) होती है। / A function has exactly one pair for every element of the domain. Hence the number of pairs is (|A|).
प्रांत के हर अवयव के लिए (B) में (4) विकल्प हैं, इसलिए कुल \(4^3\) फलन हैं। सूत्र याद रखें: \(|B|^{|A|}\)। / Each domain element has (4) choices in (B), so total functions are \(4^3\). Remember the formula: \(|B|^{|A|}\).
फलन के लिए (A) के हर अवयव को (B) की एक छवि मिलती है, इसलिए \(3^2\) फलन हैं। सभी संबंधों की संख्या से भ्रमित न हों। / For a function, each element of (A) gets one image in (B), so there are \(3^2\) functions. Do not confuse this with all relations.
दिए गए (x) मानों पर (f(x)) के मान ({3,0,-1,0,3}) हैं। अलग मानों का समुच्चय ही परिसर है। / For the given (x)-values, (f(x)) values are ({3,0,-1,0,3}). The set of distinct values is the range.
B. यह फलन है और यह अनेक-से-एक हो सकता है/It is a function and it can be many-one
Explanation
Simple Explanation
अलग प्रथम अवयवों की समान छवि हो सकती है, इसलिए अनेक-से-एक फलन मान्य है। गलती यह है कि समान छवि को दोष मान लिया जाता है। / Different first elements may have the same image, so a many-one function is valid. The common mistake is treating the same image as an error.
हर \(x \in A\) के लिए (y=x+1) का ठीक एक मान (B) में है। इसलिए यह (A) से (B) में फलन है। / For every \(x \in A\), (y=x+1) gives exactly one value in (B). Hence it is a function from (A) to (B).
A. \(R=\{(1,1),(2,4),(3,9)\}\) और यह फलन है/\(R=\{(1,1),(2,4),(3,9)\}\) and it is a function
Explanation
Simple Explanation
\(y=x^2\) रखने पर हर (x) की ठीक एक छवि मिलती है। सूत्र आधारित संबंध में भी प्रांत पूरा जांचना जरूरी है। / Using \(y=x^2\), each (x) gets exactly one image. Even in formula-based relations, check the whole domain.
यदि \(f:{1,2,3,4}\to{0,1}\) और (f(x)) को (x) के सम-विषम होने से परिभाषित किया गया है, (f(x)=0) जब (x) सम है और (f(x)=1) जब (x) विषम है, तो परिसर क्या है?
विषम संख्याओं से (1) और सम संख्याओं से (0) मिलता है। इसलिए परिसर ({0,1}) है। / Odd numbers give (1) and even numbers give (0). Therefore the range is ({0,1}).
विकल्प (D) में \(3 \in A\) की कोई छवि नहीं है। फलन में प्रांत का कोई अवयव छूटना नहीं चाहिए। / In option (D), \(3 \in A\) has no image. In a function, no domain element may be left out.
B. यह फलन नहीं है क्योंकि (2) की दो छवियां हैं/It is not a function because (2) has two images
Explanation
Simple Explanation
(2) से (3) और (4) दोनों जुड़े हैं, इसलिए एकल छवि की शर्त टूटती है। केवल सभी प्रथम अवयव आना पर्याप्त नहीं है। / The element (2) is linked to both (3) and (4), so the single-image condition fails. Having all first elements is not enough.
A. हर \(a \in A\) के लिए ठीक एक ((a,b)) वाला उपसमुच्चय/A subset with exactly one ((a,b)) for every \(a \in A\)
Explanation
Simple Explanation
फलन संबंध का विशेष रूप है जिसमें हर प्रांत अवयव की ठीक एक छवि होती है। यह परिभाषा आधारित प्रश्नों में सबसे महत्वपूर्ण बिंदु है। / A function is a special relation where each domain element has exactly one image. This is the key point in definition-based questions.
फलनों की संख्या \(2^3=8\) और संबंधों की संख्या \(2^{3\cdot2}=64\) है। अनुपात लेते समय क्रम को ध्यान रखें। / The number of functions is \(2^3=8\) and the number of relations is \(2^{3\cdot2}=64\). Keep the order of the ratio in mind.
B. यह फलन है क्योंकि हर (x) की ठीक एक छवि है/It is a function because every (x) has exactly one image
Explanation
Simple Explanation
दो अलग (x) की समान छवि होना फलन के विरुद्ध नहीं है। शर्त केवल हर (x) की एक छवि है। / Two different (x)-values having the same image does not violate being a function. The condition is only one image for each (x).
A. क्योंकि \(f(3)=6\notin{1,2,3,4,5}\)/Because \(f(3)=6\notin{1,2,3,4,5}\)
Explanation
Simple Explanation
फलन की हर छवि सहप्रांत में होनी चाहिए। यहां (3) की छवि (6) सहप्रांत से बाहर है। / Every image of a function must lie in the codomain. Here the image of (3) is (6), outside the codomain.
(4) को (3) से भाग देने पर शेषफल (1) है। ऐसे प्रश्नों में नियम को सीधे दिए गए अवयव पर लगाएं। / When (4) is divided by (3), the remainder is (1). In such questions, apply the rule directly to the given element.
विकल्प (B) में (1,2,3) प्रत्येक प्रथम अवयव के रूप में ठीक एक बार आया है। यही वैध फलन की पहचान है। / In option (B), each of (1,2,3) appears exactly once as a first element. This identifies a valid function.
आने वाली वास्तविक छवियां (1) और (2) हैं, इसलिए परिसर ({1,2}) है। परिसर को प्रांत से अलग रखें। / The actual images obtained are (1) and (2), so the range is ({1,2}). Keep range separate from domain.
A. क्योंकि (x=4) पर (y=2) और (y=-2) दोनों संभव हैं/Because for (x=4), both (y=2) and (y=-2) are possible
Explanation
Simple Explanation
एक ही (x) के लिए दो अलग (y) मिल रहे हैं, इसलिए यह फलन नहीं है। वर्ग वाले संबंधों में धन और ऋण मूल जांचें। / For the same (x), two different (y)-values occur, so it is not a function. In square relations, check positive and negative roots.
हर प्राकृतिक (x) के लिए (x+2) एक प्राकृतिक संख्या है और एक ही मान देता है। इसलिए यह फलन है। / For every natural (x), (x+2) is a natural number and gives one value. Hence it is a function.
मान क्रमशः (0,1,1,2,2) मिलते हैं। अलग मानों को लिखने से परिसर ({0,1,2}) मिलता है। / The values are (0,1,1,2,2). Listing distinct values gives the range ({0,1,2}).
(f(1)) तय है, इसलिए बाकी (2) अवयवों के लिए (3) विकल्प हैं। कुल \(3^2=9\) फलन होंगे। / Since (f(1)) is fixed, the remaining (2) elements each have (3) choices. Total functions are \(3^2=9\).
B. यह फलन है और इसका परिसर (B) है/It is a function and its range is (B)
Explanation
Simple Explanation
हर प्रांत अवयव की एक छवि है और दोनों (a,b) प्राप्त होते हैं। अतः यह फलन है और परिसर (B) है। / Every domain element has one image and both (a,b) occur. Hence it is a function and its range is (B).
A. क्योंकि (x=2) पर मान अपरिभाषित है/Because it is undefined at (x=2)
Explanation
Simple Explanation
(x=2) रखने पर हर शून्य हो जाता है, इसलिए मान परिभाषित नहीं है। फलन के लिए हर प्रांत अवयव पर मान होना चाहिए। / At (x=2), the denominator becomes zero, so the value is undefined. A function must have a value at every domain element.
B. हर फलन संबंध होता है, पर हर संबंध फलन नहीं होता/Every function is a relation, but every relation is not a function
Explanation
Simple Explanation
फलन संबंध का विशेष प्रकार है जिसमें एकल छवि की शर्त होती है। यह मूल परिभाषा परीक्षा में बार-बार पूछी जाती है। / A function is a special type of relation with the single-image condition. This basic definition is asked often in exams.
(x=1,2,3) पर (x-1) क्रमशः (0,1,2) देता है। ग्राफ में क्रम ((x,f(x))) ही रखें। / For (x=1,2,3), (x-1) gives (0,1,2). In the graph, keep the order as ((x,f(x))).
A. सहप्रांत \(B=\{2,4,6,8\}\), परिसर ({2,4,6})/Codomain \(B=\{2,4,6,8\}\), range ({2,4,6})
Explanation
Simple Explanation
सहप्रांत दिया हुआ (B) है, जबकि परिसर वास्तविक प्राप्त छवियां हैं। यहां (8) सहप्रांत में है पर परिसर में नहीं। / The codomain is the given set (B), while the range is the set of actual images. Here (8) is in the codomain but not in the range.
दो फलन समान होते हैं जब उनका प्रांत, सहप्रांत और हर अवयव पर मान समान हो। यहां दी गई शर्त (f=g) देती है। / Two functions are equal when their domain, codomain, and values at every element are the same. The given condition gives (f=g).
(y=3x-5) हर वास्तविक (x) के लिए ठीक एक वास्तविक (y) देता है। बाकी विकल्पों में कुछ (x) पर शून्य या अनेक (y) मिलते हैं। / (y=3x-5) gives exactly one real (y) for every real (x). The other options give zero or multiple (y)-values for some (x).
(f(1)=f(2)) के लिए (2) विकल्प हैं और (3,4) के लिए अलग-अलग (2) विकल्प हैं। कुल \(2\cdot2\cdot2=8\) फलन हैं। / There are (2) choices for (f(1)=f(2)), and (2) choices each for (3) and (4). Total functions are \(2\cdot2\cdot2=8\).
A. यह \(\mathbb{R}\) से \(\mathbb{R}\) में फलन है/It is a function from \(\mathbb{R}\) to \(\mathbb{R}\)
Explanation
Simple Explanation
हर वास्तविक (x) के लिए (|x|) का एक ही वास्तविक मान होता है। समान छवि वाले अलग इनपुट फलन को अमान्य नहीं बनाते। / For every real (x), (|x|) has one real value. Different inputs with the same image do not make a function invalid.
(f(3)=9-9+2=2), इसलिए ((3,1)) ग्राफ में नहीं है। हमेशा दिए गए युग्म में दूसरा घटक जांचें। / (f(3)=9-9+2=2), so ((3,1)) is not in the graph. Always check the second component of the given pair.
(f(1)) तय है, (f(2)) के लिए (2) विकल्प और (f(3)) के लिए (3) विकल्प हैं। इसलिए कुल \(2\cdot3=6\) फलन हैं। / (f(1)) is fixed, (f(2)) has (2) choices, and (f(3)) has (3) choices. Hence total functions are \(2\cdot3=6\).
A. किसी \(a\in A\) के लिए कोई छवि नहीं है/Some \(a\in A\) has no image
Explanation
Simple Explanation
प्रांत का कोई अवयव बिना छवि के रह जाए तो फलन नहीं बनता। समान छवि या अतिरिक्त सहप्रांत अवयव सामान्यतः समस्या नहीं हैं। / If any domain element has no image, it is not a function. Same images or extra codomain elements are usually not a problem.
A. क्योंकि \(f(4)=4\notin B\)/Because \(f(4)=4\notin B\)
Explanation
Simple Explanation
सहप्रांत (B) में (4) नहीं है, इसलिए (4) की छवि बाहर चली जाती है। फलन में छवि सहप्रांत के अंदर होनी चाहिए। / The codomain (B) does not contain (4), so the image of (4) goes outside. In a function, each image must lie in the codomain.
(4) के धनात्मक गुणनखंड (1,2,4) हैं, इसलिए (f(4)=3)। नियम आधारित फलन में पहले नियम को स्पष्ट समझें। / The positive factors of (4) are (1,2,4), so (f(4)=3). In rule-based functions, first understand the rule clearly.
A. हाँ, क्योंकि हर (x) के लिए \(y=\sqrt[3]{x}\) अद्वितीय है/Yes, because for every (x), \(y=\sqrt[3]{x}\) is unique
Explanation
Simple Explanation
हर वास्तविक (x) का वास्तविक घनमूल अद्वितीय होता है। इसलिए यह संबंध \(\mathbb{R}\) से \(\mathbb{R}\) में फलन है। / Every real (x) has a unique real cube root. Hence this relation is a function from \(\mathbb{R}\) to \(\mathbb{R}\).
कुल फलन \(2^3=8\) हैं और दो स्थिर फलनों में परिसर केवल ({0}) या ({1}) है। इसलिए (8-2=6) फलन बचते हैं। / There are \(2^3=8\) total functions, and two constant functions have range only ({0}) or ({1}). Hence (8-2=6) functions remain.
एक प्रांत अवयव से दो तीर एकल छवि की शर्त तोड़ते हैं। तीर आरेख में यह सबसे तेज जांच है। / Two arrows from one domain element break the single-image condition. In arrow diagrams, this is the fastest check.
विषम (x) पर मान (-1) और सम (x) पर (1) मिलता है। इसलिए परिसर ({-1,1}) है। / For odd (x), the value is (-1), and for even (x), it is (1). Therefore the range is ({-1,1}).
B. नहीं, क्योंकि सहप्रांत अलग हैं/No, because the codomains are different
Explanation
Simple Explanation
फलन की समानता में सहप्रांत भी समान होना चाहिए। केवल समान सूत्र पर्याप्त नहीं है। / Equality of functions also requires the codomain to be the same. The same formula alone is not sufficient.
विकल्प (A) में प्रत्येक प्रांत अवयव की ठीक एक छवि है। अन्य विकल्पों में या तो छवि छूटी है या दो छवियां हैं। / In option (A), every domain element has exactly one image. In the others, an image is missing or two images occur.
A. यह फलन है क्योंकि \(x+5\in\mathbb{Z}\) हर \(x\in\mathbb{Z}\) के लिए/It is a function because \(x+5\in\mathbb{Z}\) for every \(x\in\mathbb{Z}\)
Explanation
Simple Explanation
पूर्णांक में (5) जोड़ने पर फिर पूर्णांक मिलता है और मान अद्वितीय होता है। अनंत प्रांत फलन होने में बाधा नहीं है। / Adding (5) to an integer gives an integer and the value is unique. An infinite domain is not a problem for being a function.
पहले तीन अवयवों की समान छवि के लिए (3) विकल्प हैं और (4) की छवि के लिए (3) विकल्प हैं। कुल \(3\cdot3=9\) फलन हैं। / There are (3) choices for the common image of the first three elements and (3) choices for the image of (4). Total functions are \(3\cdot3=9\).
A. क्योंकि (x<0) के लिए \(\sqrt{x}\) वास्तविक नहीं है/Because for (x<0), \(\sqrt{x}\) is not real
Explanation
Simple Explanation
पूरे \(\mathbb{R}\) को प्रांत लेने पर ऋणात्मक (x) के लिए वास्तविक मान नहीं मिलता। इसलिए यह दिए गए प्रांत पर फलन नहीं है। / With the whole \(\mathbb{R}\) as domain, negative (x)-values have no real image. Hence it is not a function on the given domain.
(5-x) के मान (4,3,2,1) मिलते हैं। ग्राफ में प्रांत के सभी चार अवयव शामिल होने चाहिए। / The values of (5-x) are (4,3,2,1). The graph must include all four elements of the domain.
A. हर \(x\in A\) के लिए (f(x)=c) होता है, जहां \(c\in B\)/For every \(x\in A\), (f(x)=c), where \(c\in B\)
Explanation
Simple Explanation
स्थिर फलन में सभी प्रांत अवयवों की छवि एक ही सहप्रांत अवयव होती है। यह वैध अनेक-से-एक फलन का सरल उदाहरण है। / In a constant function, all domain elements have the same codomain element as image. It is a simple valid many-one function.
स्थिर फलन के लिए सभी अवयवों की समान छवि (B) से चुनी जाती है। (B) में (3) विकल्प हैं, इसलिए (3) स्थिर फलन हैं। / For a constant function, the common image is chosen from (B). Since (B) has (3) choices, there are (3) constant functions.
रिक्त प्रांत से किसी भी समुच्चय में ठीक एक रिक्त फलन होता है। सूत्र से भी \(|B|^0=1\) मिलता है। / From the empty domain to any set, there is exactly one empty function. The formula also gives \(|B|^0=1\).
