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B. यह फलन नहीं है क्योंकि (2) की दो छवियां हैं/It is not a function because (2) has two images
Explanation
Simple Explanation
फलन में (A) के हर अवयव की ठीक एक छवि होनी चाहिए। परीक्षा में पहले किसी इनपुट की दो छवियां जांचें। / In a function every element of (A) must have exactly one image. In exams first check whether any input has two images.
यदि (|A|=3) और (|B|=3) हो, तो फलनों की संख्या \(3^3=27\) होती है। परीक्षा में सूत्र \(|B|^{|A|}\) याद रखें। / If (|A|=3) and (|B|=3), the number of functions is \(3^3=27\). Remember the formula \(|B|^{|A|}\) for exams.
B. क्योंकि (4) की दो छवियां हैं/Because (4) has two images
Explanation
Simple Explanation
(4) के लिए (y=2) और (y=-2) दोनों मिलते हैं। एक इनपुट की दो छवियां फलन को अस्वीकार कर देती हैं। / For (4), both (y=2) and (y=-2) occur. Two images for one input reject a function.
A. डोमेन को \([2,\infty\)) कर दें/Change the domain to \([2,\infty\))
Explanation
Simple Explanation
\(\sqrt{x-2}\) वास्तविक तभी है जब \(x\ge 2\) हो। ऐसे प्रश्नों में सूत्र से पहले डोमेन की वैधता जांचें। / The value \(\sqrt{x-2}\) is real only when \(x\ge 2\). In such questions check domain validity before the formula.
(p) और (q) तय हैं, इसलिए (r,s) के लिए \(2^2=4\) विकल्प हैं। तय इनपुट हटाकर बाकी पर सूत्र लगाएं। / The values of (p) and (q) are fixed, so (r,s) have \(2^2=4\) choices. Remove fixed inputs and apply the formula to the rest.
हर \(x\in X\) के लिए ठीक एक (y) मिलता है। यहां उल्टा वर्ग संबंध भी दिए गए सीमित समुच्चयों में फलन बन रहा है। / For every \(x\in X\), exactly one (y) is obtained. Here the reverse square relation becomes a function on the given finite sets.
(f(1)=4), (f(2)=3), (f(3)=2), (f(4)=1) है। परिसर केवल वास्तविक प्राप्त मानों का समुच्चय होता है। / Here (f(1)=4), (f(2)=3), (f(3)=2), and (f(4)=1). The range is the set of actually obtained values.
विकल्प (C) में (A) का हर अवयव ठीक एक बार प्रथम घटक के रूप में आता है। फलन में कई इनपुटों की एक ही छवि हो सकती है। / In option (C), every element of (A) appears exactly once as the first component. Many inputs may have the same image in a function.
B. यह फलन है और परिसर ({3,4,6,12}) है/It is a function and range is ({3,4,6,12})
Explanation
Simple Explanation
प्रत्येक दिए गए (x) के लिए \(\frac{12}{x}\) प्राकृतिक संख्या है। प्राप्त मान ({12,6,4,3}) हैं। / For each given (x), \(\frac{12}{x}\) is a natural number. The obtained values are ({12,6,4,3}).
हर में \(x^2-9\ne0\) चाहिए, इसलिए \(x\ne -3,3\)। भिन्न वाले फलनों में हर को शून्य न होने दें। / The denominator needs \(x^2-9\ne0\), so \(x\ne -3,3\). In rational functions never allow the denominator to be zero.
B. यह फलन है और परिसर ({0,1}) है/It is a function and range is ({0,1})
Explanation
Simple Explanation
विषम संख्याओं की छवि (1) और सम संख्या की छवि (0) है। समान छवि होना फलन के लिए बाधा नहीं है। / Odd numbers have image (1) and the even number has image (0). Having the same image is not a problem for a function.
(ax+6) सभी वास्तविक (x) के लिए अऋण तभी रहेगा जब (a=0) हो। पूरे \(\mathbb{R}\) पर मूल फलन में रैखिक भाग स्थिर अऋण होना चाहिए। / The expression (ax+6) stays non-negative for all real (x) only when (a=0). For a square-root function on all \(\mathbb{R}\), the linear part must be constant non-negative.
(2,3,5) के लिए मान (1) और (1,4) के लिए मान (0) है। परिसर सहप्रांत का वह भाग है जो सच में प्राप्त होता है। / For (2,3,5), the value is (1), and for (1,4), the value is (0). The range is the part of the codomain that is actually obtained.
A. फलन है और परिसर ({1,2,3,4}) है/It is a function and range is ({1,2,3,4})
Explanation
Simple Explanation
हर (x) के लिए (y=5-x) अद्वितीय और (B) में है। सीमित समुच्चय में हर इनपुट की छवि अलग से जांचें। / For every (x), (y=5-x) is unique and lies in (B). In finite sets check each input image separately.
A. प्रत्येक \(a\in A\) के लिए ठीक एक \(b\in B\) ऐसा है कि \((a,b)\in f\)/For each \(a\in A\), exactly one \(b\in B\) has \((a,b)\in f\)
Explanation
Simple Explanation
फलन संबंध का विशेष रूप है जिसमें प्रथम समुच्चय का हर अवयव ठीक एक बार मैप होता है। सहप्रांत का हर अवयव आना आवश्यक नहीं है। / A function is a special relation where each element of the first set maps exactly once. Every codomain element need not occur.
A. यह (A) से (B) में फलन है और परिसर ({2,3,4}) है/It is a function from (A) to (B) and range is ({2,3,4})
Explanation
Simple Explanation
(1,2,3) की छवियां क्रमशः (2,3,4) हैं और सभी (B) में हैं। सहप्रांत और परिसर में अंतर याद रखें। / The images of (1,2,3) are (2,3,4), all lying in (B). Remember the difference between codomain and range.
A. ((2,3)) या ((2,4)) में से एक हटाएं/Remove one of ((2,3)) or ((2,4))
Explanation
Simple Explanation
केवल (2) की दो छवियां हैं, इसलिए उनमें से एक हटाना पर्याप्त है। फलन बनाने के लिए हर प्रथम घटक को ठीक एक छवि दें। / Only (2) has two images, so removing one of them is enough. To make a function, give each first component exactly one image.
\(|x-2|\ge0\), इसलिए न्यूनतम मान (3) है। मापांक वाले फलनों में न्यूनतम मान से परिसर निकालें। / Since \(|x-2|\ge0\), the minimum value is (3). For modulus functions find the minimum value to get the range.
(f(x)=\frac{1}{x}) में (x=0) पर मान परिभाषित नहीं है। \(\mathbb{R}\) से फलन के लिए हर वास्तविक (x) पर मान चाहिए। / For (f(x)=\frac{1}{x}), the value is undefined at (x=0). A function from \(\mathbb{R}\) must have a value for every real (x).
(f(1)=f(2)) के लिए (3) विकल्प हैं और (3,4) के लिए \(3^2\) विकल्प हैं। कुल \(3\cdot3^2=27\) फलन हैं। / There are (3) choices for the common value of (f(1)=f(2)) and \(3^2\) choices for (3,4). Total functions are \(3\cdot3^2=27\).
A. यह फलन है और परिसर ({0,1,2}) है/It is a function and range is ({0,1,2})
Explanation
Simple Explanation
हर इनपुट का केवल एक मापांक मान है, भले दो इनपुटों की छवि समान हो। प्राप्त मान (0,1,2) हैं। / Each input has only one absolute value, even if two inputs share an image. The obtained values are (0,1,2).
B. क्योंकि (x=0) पर मान \(\frac{1}{2}\notin\mathbb{Z}\) है/Because at (x=0), the value is \(\frac{1}{2}\notin\mathbb{Z}\)
Explanation
Simple Explanation
(x=0) देने पर मान \(\frac{1}{2}\) आता है, जो सहप्रांत \(\mathbb{Z}\) में नहीं है। फलन में हर मान सहप्रांत में होना चाहिए। / Putting (x=0) gives \(\frac{1}{2}\), which is not in the codomain \(\mathbb{Z}\). Every value of a function must lie in the codomain.
B. यह फलन है और परिसर ({1,4,9}) है/It is a function and range is ({1,4,9})
Explanation
Simple Explanation
हर \(x\in A\) की एक छवि \(x^2\in B\) है। (16) सहप्रांत में है पर परिसर में नहीं आता। / Every \(x\in A\) has one image \(x^2\in B\). The element (16) is in the codomain but not in the range.
B. नहीं, क्योंकि \(f(4)=8\notin{1,2,3,4}\)/No, because \(f(4)=8\notin{1,2,3,4}\)
Explanation
Simple Explanation
(f(4)=16-12+4=8) है, जो सहप्रांत में नहीं है। सीमित प्रांत में सभी मानों की जांच करना सुरक्षित तरीका है। / Here (f(4)=16-12+4=8), which is not in the codomain. For finite domains, checking all values is the safe method.
विकल्प (B) में (0) और (1) दोनों की छवि (1) है और हर इनपुट की एक ही छवि है। समान छवि फलन को नहीं रोकती। / In option (B), both (0) and (1) have image (1), and every input has exactly one image. A common image does not prevent a function.
A. क्योंकि (x=2) पर सूत्र अपरिभाषित है/Because the formula is undefined at (x=2)
Explanation
Simple Explanation
भले सरलीकरण (x+2) जैसा दिखे, मूल सूत्र (x=2) पर परिभाषित नहीं है। प्रांत तय करते समय मूल हर को देखें। / Even though simplification looks like (x+2), the original formula is undefined at (x=2). When deciding domain, check the original denominator.
हर (x) का वास्तविक घनमूल अद्वितीय है और दिए गए (Y) में है। घनमूल संबंध वर्गमूल वाले संबंध जैसा दो मान नहीं देता। / Each (x) has a unique real cube root lying in the given (Y). A cube-root relation does not give two values like a square-root relation.
परिसर ठीक ({1}) होने के लिए हर इनपुट की छवि (1) ही होनी चाहिए। इसलिए केवल एक स्थिर फलन संभव है। / For the range to be exactly ({1}), every input must have image (1). So only one constant function is possible.
विकल्प (C) में (4) की दो छवियां (a) और (b) हैं। केवल सभी प्रथम घटकों का होना काफी नहीं, अद्वितीयता भी चाहिए। / In option (C), (4) has two images (a) and (b). Having all first components is not enough; uniqueness is also required.
A. क्योंकि (1) की पूर्वछवियां (1) और (-1) दोनों हैं/Because (1) has preimages (1) and (-1)
Explanation
Simple Explanation
उल्टे संबंध में (1) से (1) और (-1) दोनों जुड़ते हैं। एक इनपुट की दो छवियां होने से उल्टा संबंध फलन नहीं रहता। / In the inverse relation, (1) is related to both (1) and (-1). Two images for one input make the inverse relation not a function.
(0) वे इनपुट देते हैं जो सम हैं, यानी (2) और (4)। पूर्वछवि में डोमेन के अवयव आते हैं, सहप्रांत के नहीं। / The value (0) is produced by even inputs, namely (2) and (4). A preimage contains elements of the domain, not of the codomain.
A. क्योंकि \(f(2)=4\notin B\)/Because \(f(2)=4\notin B\)
Explanation
Simple Explanation
(2) की छवि (4) है जो सहप्रांत (B) में नहीं है। फलन के लिए हर छवि सहप्रांत में होनी चाहिए। / The image of (2) is (4), which is not in the codomain (B). For a function, every image must lie in the codomain.
ऋणात्मक (x) के लिए मान (-1) और धनात्मक (x) के लिए (1) है। (x=0) प्रांत में नहीं है, इसलिए समस्या नहीं है। / For negative (x), the value is (-1), and for positive (x), it is (1). Since (x=0) is not in the domain, there is no issue.
वास्तविक मान के लिए \(4-x^2\ge0\), इसलिए \(-2\le x\le2\)। मूल वाले प्रश्नों में भीतर की राशि अऋण रखें। / For real values, \(4-x^2\ge0\), so \(-2\le x\le2\). In square-root questions keep the radicand non-negative.
(a) की छवि तय है, इसलिए (b,c) के लिए \(4^2=16\) विकल्प हैं। प्रतिबंधित फलनों में मुक्त इनपुट गिनें। / The image of (a) is fixed, so (b,c) have \(4^2=16\) choices. In restricted functions count the free inputs.
प्रत्येक प्राकृतिक (n) के लिए (2n+1) प्राकृतिक संख्या है। अन्य विकल्प सभी (n) के लिए \(\mathbb{N}\) में मान नहीं देते। / For every natural (n), (2n+1) is a natural number. The other options do not give values in \(\mathbb{N}\) for all (n).
A. यह फलन है और परिसर ([0,4]) है/It is a function and range is ([0,4])
Explanation
Simple Explanation
हर (x) की छवि \(x^2\) अद्वितीय है और ([0,4]) में है। समान आउटपुट फलन होने में बाधा नहीं है। / Each (x) has a unique image \(x^2\) lying in ([0,4]). Equal outputs do not prevent a relation from being a function.
\(0\ge0\) है, इसलिए दूसरा नियम लागू होगा और (f(0)=02=0)। खंडित फलन में सीमा चिह्न ध्यान से पढ़ें। / Since \(0\ge0\), the second rule applies and (f(0)=02=0). In piecewise functions read the boundary symbol carefully.
C. (f(x)=\begin{cases}x-2,&x\le2\x+3,&x\ge2\end{cases})
Explanation
Simple Explanation
विकल्प (C) में (x=2) दोनों नियमों में आता है और मान (4) तथा (5) मिलते हैं। एक ही इनपुट पर दो मान फलन नहीं बनाते। / In option (C), (x=2) belongs to both rules and gives values (4) and (5). Two values for one input do not define a function.
फलन \(A\times B\) का ऐसा उपसमुच्चय है जिसमें (A) के हर अवयव के लिए (2) में से एक जोड़ी चुनी जाती है। कुल \(2^3=8\) हैं। / A function is a subset of \(A\times B\) where one pair is chosen for each element of (A) from (2) choices. Total is \(2^3=8\).
(f(1)=4), (f(2)=2), (f(3)=2), (f(4)=4), इसलिए परिसर ({2,4}) है। खंडित नियम में हर इनपुट का मान लिखें। / Here (f(1)=4), (f(2)=2), (f(3)=2), and (f(4)=4), so the range is ({2,4}). For a piecewise rule list every input value.
फलनों की संख्या \(|B|^{|A|}=2^5=32\) होती है। कुल संबंधों और कुल फलनों के सूत्र अलग रखें। / The number of functions is \(|B|^{|A|}=2^5=32\). Keep the formulas for all relations and all functions separate.
B. फलन नहीं है क्योंकि (1) की छवियां (-1) और (1) हैं/It is not a function because (1) has images (-1) and (1)
Explanation
Simple Explanation
(x=1) के लिए (y=-1) और (y=1) दोनों संभव हैं। एक (x) के दो (y) होने से संबंध फलन नहीं है। / For (x=1), both (y=-1) and (y=1) are possible. Two (y)-values for one (x) mean the relation is not a function.
(x-2+2x+2=(x+1)2+1), इसलिए न्यूनतम मान (1) है। वर्ग पूरा करना परिसर निकालने का उपयोगी तरीका है। / Since (x-2+2x+2=(x+1)2+1), the minimum value is (1). Completing the square is useful for finding range.
(0,1,2,3) के शेषफल क्रमशः (0,1,2,0) हैं। शेषफल अद्वितीय होता है, इसलिए यह फलन है। / The remainders of (0,1,2,3) are (0,1,2,0). The remainder is unique, so this is a function.
A. यह पूरे \(\mathbb{R}\) पर कभी फलन नहीं होगा/It will never be a function on all of \(\mathbb{R}\)
Explanation
Simple Explanation
हर \(x^2-4\) शून्य होता है जब \(x=\pm2\), इसलिए मूल सूत्र वहां अपरिभाषित है। हर की शून्यता को घटाने से पूरी तरह नहीं हटाया जा सकता। / The denominator \(x^2-4\) is zero at \(x=\pm2\), so the original formula is undefined there. A zero denominator cannot be fully removed for all real inputs.
B. \((R={(x,y):y=0\) यदि \(x<3,\ y=1\) यदि \(x\ge3})\)/\((R={(x,y):y=0\) if \(x<3,\ y=1\) if \(x\ge3})\)
Explanation
Simple Explanation
विकल्प (B) हर (x) को ठीक एक मान देता है। बाकी विकल्पों में कुछ इनपुट छूटते हैं या कई मान मिलते हैं। / Option (B) assigns exactly one value to every (x). The other options miss some inputs or give multiple values.
A. यह फलन है और परिसर ({1,3,5}) है/It is a function and range is ({1,3,5})
Explanation
Simple Explanation
मान (1,3,5) मिलते हैं और सभी सहप्रांत में हैं। सहप्रांत के सभी अवयवों का आना आवश्यक नहीं होता। / The values obtained are (1,3,5), and all lie in the codomain. Not every element of the codomain needs to occur.
B. यह फलन नहीं है क्योंकि (A) के अवयवों की छवि नहीं है/It is not a function because elements of (A) have no images
Explanation
Simple Explanation
जब \(A\ne\emptyset\) हो, तो खाली संबंध (A) के किसी अवयव को छवि नहीं देता। फलन के लिए हर इनपुट की छवि आवश्यक है। / When \(A\ne\emptyset\), the empty relation gives no image to any element of (A). A function requires an image for every input.
रिक्त प्रांत से किसी भी समुच्चय में एक ही खाली फलन होता है। सूत्र \(|B|^{|A|}=3^0=1\) भी यही देता है। / From the empty domain to any set, there is exactly one empty function. The formula \(|B|^{|A|}=3^0=1\) gives the same result.
