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अठारहवाँ पद (92) है, इसलिए (S_{18}=\frac{18}{2}(7+92)=891)। अंतिम पद सही निकालना मुख्य चरण है। / The eighteenth term is (92), so (S_{18}=\frac{18}{2}(7+92)=891). Finding the last term correctly is the key step.
सूत्र (S_n=\frac{n}{2}[2a+(n-1)d]) से \(S_{20}=1390\) मिलता है। ((n-1)d) की गणना ध्यान से करें। / Using (S_n=\frac{n}{2}[2a+(n-1)d]), we get \(S_{20}=1390\). Calculate ((n-1)d) carefully.
यहाँ (a=-5), (d=4), (n=15) है, इसलिए \(S_{15}=345\)। ऋणात्मक प्रथम पद में चिन्ह की गलती न करें। / Here (a=-5), (d=4), and (n=15), so \(S_{15}=345\). Do not make a sign error with a negative first term.
(S_{13}=\frac{13}{2}(11+83)=611)। जब अंतिम पद दिया हो तो (S_n=\frac{n}{2}(a+l)) तेज रहता है। / (S_{13}=\frac{13}{2}(11+83)=611). When the last term is given, (S_n=\frac{n}{2}(a+l)) is faster.
चौदहवाँ पद (-5) है, इसलिए (S_{14}=\frac{14}{2}(60-5)=385)। घटती श्रेणी में अंतिम पद ऋणात्मक भी हो सकता है। / The fourteenth term is (-5), so (S_{14}=\frac{14}{2}(60-5)=385). In a decreasing progression, the last term may become negative.
छठे से दसवें पदों का योग \(S_{10}-S_5=185\) है। बीच के पदों के योग के लिए आंशिक योग घटाएँ। / The sum of the (6)th to (10)th terms is \(S_{10}-S_5=185\). Subtract partial sums for the sum of middle terms.
पहला पद (3) और बारहवाँ पद (47) है, इसलिए (S_{12}=\frac{12}{2}(3+47)=300)। \(a_n\) से पहले और अंतिम पद निकालें। / The first term is (3) and the twelfth term is (47), so (S_{12}=\frac{12}{2}(3+47)=300). Use \(a_n\) to find the first and last terms.
सोलहवीं पंक्ति में (78) सीटें हैं, इसलिए कुल (S_{16}=\frac{16}{2}(18+78)=768)। शब्द-प्रश्न में पंक्तियों को पद मानें। / The sixteenth row has (78) seats, so the total is (S_{16}=\frac{16}{2}(18+78)=768). In word problems, treat rows as terms.
सत्रहवाँ पद (149) है, इसलिए (S_{17}=\frac{17}{2}(5+149)=1309)। पहले अंतिम पद निकालकर औसत विधि लगाएँ। / The seventeenth term is (149), so (S_{17}=\frac{17}{2}(5+149)=1309). Find the last term first and use the average method.
(\frac{n(n+1)}{2}=325) से (n(n+1)=650), इसलिए (n=25)। ऐसे प्रश्न में पास-पास की संख्याओं का गुणन देखें। / From (\frac{n(n+1)}{2}=325), (n(n+1)=650), so (n=25). In such questions, look for products of consecutive numbers.
(456=\frac{12}{2}(8+l)) से (l=68)। योग सूत्र को उल्टा लगाना भी जरूरी कौशल है। / From (456=\frac{12}{2}(8+l)), (l=68). Using the sum formula in reverse is also an important skill.
(S_n=\frac{n}{2}[4+9(n-1)]) से (n=12) मिलता है। दिए गए योग से (n) निकालते समय विकल्प जाँचें। / Using (S_n=\frac{n}{2}[4+9(n-1)]), we get (n=12). When finding (n) from a given sum, check the options.
गुणज (6) से (96) तक हैं और (16) पद हैं, इसलिए योग (816) है। सीमा वाले प्रश्न में अंतिम पद पहले तय करें। / The multiples are from (6) to (96), and there are (16) terms, so the sum is (816). In boundary questions, decide the last term first.
संख्याएँ \(56,63,\ldots,147\) हैं और (14) पद हैं, इसलिए योग (1407) है। बीच की सीमा में पहला और अंतिम पद सावधानी से चुनें। / The numbers are \(56,63,\ldots,147\), with (14) terms, so the sum is (1407). For numbers between limits, choose the first and last terms carefully.
ग्यारहवाँ पद (-8) है, इसलिए (S_{11}=\frac{11}{2}(32-8)=132)। ऋणात्मक अंतिम पद होने पर भी सूत्र वही रहता है। / The eleventh term is (-8), so (S_{11}=\frac{11}{2}(32-8)=132). The formula remains the same even with a negative last term.
पंद्रहवाँ पद (96) है, इसलिए कुल (S_{15}=\frac{15}{2}(12+96)=810) फल हैं। दिनों की संख्या को पदों की संख्या मानें। / The fifteenth term is (96), so the total is (S_{15}=\frac{15}{2}(12+96)=810) fruits. Treat the number of days as the number of terms.
नौवें से पंद्रहवें पदों का योग \(S_{15}-S_8=371\) है। लगातार पदों के समूह के लिए आंशिक योगों का अंतर लें। / The sum of the (9)th to (15)th terms is \(S_{15}-S_8=371\). For a group of consecutive terms, take the difference of partial sums.
शेष योग \(18^2-10^2=224\) है। विषम संख्याओं के योग में \(n^2\) का उपयोग करें। / The remaining sum is \(18^2-10^2=224\). Use \(n^2\) for the sum of odd numbers.
(S_{19}=\frac{19}{2}(14+86)=950)। (a) और (l) दिए हों तो औसत विधि सरल है। / (S_{19}=\frac{19}{2}(14+86)=950). If (a) and (l) are given, the average method is simple.
(S_n=\frac{n}{2}[2+7(n-1)]) में (n=12) रखने पर (504) मिलता है। विकल्पों से जाँच करना तेज तरीका है। / Putting (n=12) in (S_n=\frac{n}{2}[2+7(n-1)]) gives (504). Checking options is a quick method.
दसवाँ जमा (825) रुपये है, इसलिए कुल (S_{10}=\frac{10}{2}(150+825)=4875) रुपये है। राशि वाले प्रश्न में इकाई न भूलें। / The tenth deposit is (825) rupees, so the total is (S_{10}=\frac{10}{2}(150+825)=4875) rupees. Do not forget the unit in money problems.
यह श्रेणी \(20,30,\ldots,200\) है जिसमें (19) पद हैं, इसलिए योग (2090) है। सीमा के दोनों सिरों को शामिल करें। / The sequence is \(20,30,\ldots,200\) with (19) terms, so the sum is (2090). Include both boundary terms.
पहले (n) सम संख्याओं का योग (n(n+1)) है, इसलिए (n=20)। \(20\times21=420\) तुरंत जाँच देता है। / The sum of the first (n) even numbers is (n(n+1)), so (n=20). \(20\times21=420\) checks it quickly.
बारहवाँ पद (-21) है, इसलिए (S_{12}=\frac{12}{2}(45-21)=144)। घटते क्रम में अंतिम पद निकालते समय (d) ऋणात्मक रखें। / The twelfth term is (-21), so (S_{12}=\frac{12}{2}(45-21)=144). In decreasing order, keep (d) negative while finding the last term.
(203=\frac{7}{2}(5+l)) से (l=53)। योग से अंतिम पद निकालने में (a+l) को अलग करें। / From (203=\frac{7}{2}(5+l)), (l=53). To find the last term from the sum, isolate (a+l).
इक्कीसवाँ पद (149) है, इसलिए (S_{21}=\frac{21}{2}(9+149)=1659)। बड़े (n) में अंतिम पद पहले लिखें। / The twenty-first term is (149), so (S_{21}=\frac{21}{2}(9+149)=1659). For larger (n), write the last term first.
सोलहवाँ पद (-5) है, इसलिए (S_{16}=\frac{16}{2}(25-5)=160)। ऋणात्मक अंतर में अंतिम पद घटता है। / The sixteenth term is (-5), so (S_{16}=\frac{16}{2}(25-5)=160). With a negative difference, the last term decreases.
बारहवें सप्ताह में (195) किताबें आएँगी, इसलिए कुल (1350) किताबें हैं। क्रम को (a=30), (d=15), (n=12) मानें। / In the twelfth week, (195) books arrive, so the total is (1350) books. Treat the pattern as (a=30), (d=15), (n=12).
आठवें से चौदहवें पदों का योग \(S_{14}-S_7=301\) है। आंशिक योगों का अंतर सीधे उत्तर देता है। / The sum of the (8)th to (14)th terms is \(S_{14}-S_7=301\). The difference of partial sums gives the answer directly.
यह (4) के पहले (25) गुणजों का योग है, इसलिए \(4\times\frac{25\times26}{2}=1300\)। गुणजों में प्राकृतिक संख्याओं का योग लगाएँ। / This is the sum of the first (25) multiples of (4), so \(4\times\frac{25\times26}{2}=1300\). Use the sum of natural numbers for multiples.
अठारहवाँ पद (81) है, इसलिए (S_{18}=\frac{18}{2}(13+81)=846)। औसत विधि से गणना सरल होती है। / The eighteenth term is (81), so (S_{18}=\frac{18}{2}(13+81)=846). The average method makes calculation simple.
पहले (n) विषम संख्याओं का योग \(n^2\) है, इसलिए \(n^2=441\) और (n=21)। पूर्ण वर्ग पहचानना उपयोगी है। / The sum of the first (n) odd numbers is \(n^2\), so \(n^2=441\) and (n=21). Recognizing perfect squares is useful.
योग (=) औसत \(\times\) पदों की संख्या, इसलिए \(42\times11=462\)। औसत दिया हो तो लंबा सूत्र जरूरी नहीं है। / Sum equals average \(\times\) number of terms, so \(42\times11=462\). If the average is given, the long formula is not necessary.
(S_n=\frac{n}{2}[32+6(n-1)]) में (n=10) रखने पर (430) नहीं, (n=12) रखने पर (588) नहीं मिलता; सही जाँच से (n=13) नहीं बल्कि कोई विकल्प नहीं दिखता। / Using (S_n=\frac{n}{2}[32+6(n-1)]), checking the options shows none match (640). This question should be corrected before import.
उन्नीसवाँ पद (184) है, इसलिए (S_{19}=\frac{19}{2}(4+184)=1786)। बड़े अंतर में अंतिम पद पहले निकालें। / The nineteenth term is (184), so (S_{19}=\frac{19}{2}(4+184)=1786). With a large difference, find the last term first.
(S_{15}=2(15)2+5(15)=525)। \(S_n\) सीधे दिया हो तो केवल (n) का मान रखें। / (S_{15}=2(15)2+5(15)=525). If \(S_n\) is directly given, just substitute the value of (n).
(S_n=\frac{n}{2}[12+9(n-1)]) में (n=15) रखने पर (1035) मिलता है। ऐसे प्रश्न में विकल्पों से जाँच तेज होती है। / Putting (n=15) in (S_n=\frac{n}{2}[12+9(n-1)]) gives (1035). In such questions, checking the options is fast.
संख्याएँ \(104,112,\ldots,248\) हैं और (19) पद हैं, इसलिए योग (3192) है। सीमा वाले प्रश्न में पहला और अंतिम पद सावधानी से चुनें। / The numbers are \(104,112,\ldots,248\), and there are (19) terms, so the sum is (3192). In boundary questions, choose the first and last terms carefully.
सातवें से तेरहवें पदों का योग \(S_{13}-S_6=383\) है। लगातार पदों के समूह के लिए आंशिक योग घटाएँ। / The sum of the (7)th to (13)th terms is \(S_{13}-S_6=383\). For a group of consecutive terms, subtract partial sums.
पंद्रहवाँ पद (-12) है, इसलिए (S_{15}=\frac{15}{2}(72-12)=450)। घटती श्रेणी में (d) को ऋणात्मक रखें। / The fifteenth term is (-12), so (S_{15}=\frac{15}{2}(72-12)=450). In a decreasing progression, keep (d) negative.
शेष योग \(24\times25-9\times10=510\) नहीं बल्कि (600-90=510) है, इसलिए दिए विकल्प गलत हैं। प्रश्न आयात से पहले सुधारें। / The remaining sum is \(24\times25-9\times10=510\), not any listed option. This question should be corrected before import.
चौदहवाँ पद (153) है, इसलिए (S_{14}=\frac{14}{2}(10+153)=1141)। पहले अंतिम पद निकालना गणना को सरल बनाता है। / The fourteenth term is (153), so (S_{14}=\frac{14}{2}(10+153)=1141). Finding the last term first makes calculation easier.
(S_{16}=4(16)2-16=1008)। \(S_n\) सीधे दिया हो तो केवल (n) का मान रखें। / (S_{16}=4(16)2-16=1008). If \(S_n\) is directly given, just substitute the value of (n).
(S_n=\frac{n}{2}[16+6(n-1)]) में (n=15) रखने पर (750) मिलता है। ऐसे प्रश्न में विकल्पों को सूत्र में जाँचें। / Putting (n=15) in (S_n=\frac{n}{2}[16+6(n-1)]) gives (750). In such questions, check the options in the formula.
संख्याएँ \(204,216,\ldots,396\) हैं और (17) पद हैं, इसलिए योग (5100) है। सीमा में पहला और अंतिम पद सावधानी से चुनें। / The numbers are \(204,216,\ldots,396\), and there are (17) terms, so the sum is (5100). Choose the first and last terms carefully in boundary questions.
दसवें से अठारहवें पदों का योग \(S_{18}-S_9=630\) है। लगातार पदों के समूह के लिए आंशिक योगों का अंतर लें। / The sum of the (10)th to (18)th terms is \(S_{18}-S_9=630\). For a group of consecutive terms, take the difference of partial sums.
तेरहवाँ पद (0) है, इसलिए (S_{13}=\frac{13}{2}(96+0)=624)। घटती श्रेणी में अंतिम पद शून्य भी हो सकता है। / The thirteenth term is (0), so (S_{13}=\frac{13}{2}(96+0)=624). In a decreasing progression, the last term can also be zero.
अठारहवीं पंक्ति में (143) ईंटें हैं, इसलिए कुल (S_{18}=\frac{18}{2}(24+143)=1503) है। शब्द-प्रश्न में पंक्तियों को पद मानें। / The eighteenth row has (143) bricks, so the total is (S_{18}=\frac{18}{2}(24+143)=1503). In word problems, treat rows as terms.
सत्रहवाँ पद (105) है, इसलिए (S_{17}=\frac{17}{2}(9+105)=969)। पहले अंतिम पद निकालने से गणना आसान होती है। / The seventeenth term is (105), so (S_{17}=\frac{17}{2}(9+105)=969). Finding the last term first makes calculation easier.
सूत्र (S_n=\frac{n}{2}[2a+(n-1)d]) से \(S_{18}=981\) मिलता है। ((n-1)d) को ध्यान से निकालें। / Using (S_n=\frac{n}{2}[2a+(n-1)d]), we get \(S_{18}=981\). Calculate ((n-1)d) carefully.
यहाँ (a=-8), (d=7), (n=16) है, इसलिए \(S_{16}=712\)। ऋणात्मक प्रथम पद में चिन्ह की गलती न करें। / Here (a=-8), (d=7), and (n=16), so \(S_{16}=712\). Do not make a sign error with a negative first term.
पंद्रहवाँ पद (-36) है, इसलिए (S_{15}=\frac{15}{2}(20-36)=-120)। घटती श्रेणी में (d) ऋणात्मक लें। / The fifteenth term is (-36), so (S_{15}=\frac{15}{2}(20-36)=-120). In a decreasing progression, take (d) as negative.
इक्कीसवाँ पद (185) है, इसलिए (S_{21}=\frac{21}{2}(5+185)=1995)। बड़े (n) में अंतिम पद पहले लिखें। / The twenty-first term is (185), so (S_{21}=\frac{21}{2}(5+185)=1995). For larger (n), write the last term first.
बीसवाँ पद (128) है, इसलिए (S_{20}=\frac{20}{2}(14+128)=1420)। अंतिम पद और पदों की संख्या दोनों सही रखें। / The twentieth term is (128), so (S_{20}=\frac{20}{2}(14+128)=1420). Keep both the last term and the number of terms correct.
उन्नीसवाँ पद (78) है, इसलिए (S_{19}=\frac{19}{2}(-12+78)=627)। ऋणात्मक से शुरू होने वाली श्रेणी में भी वही सूत्र लगता है। / The nineteenth term is (78), so (S_{19}=\frac{19}{2}(-12+78)=627). The same formula works even when the progression starts with a negative term.
बाईसवाँ पद (171) है, इसलिए (S_{22}=\frac{22}{2}(3+171)=1914)। पहले और अंतिम पद का औसत उपयोगी रहता है। / The twenty-second term is (171), so (S_{22}=\frac{22}{2}(3+171)=1914). The average of the first and last terms is useful.
अठारहवाँ पद (-26) है, इसलिए (S_{18}=\frac{18}{2}(25-26)=-9)। घटती श्रेणी का योग ऋणात्मक भी हो सकता है। / The eighteenth term is (-26), so (S_{18}=\frac{18}{2}(25-26)=-9). The sum of a decreasing progression can also be negative.
यह (11) के पहले (14) गुणजों का योग है, इसलिए \(11\times\frac{14\times15}{2}=1155\)। गुणजों में प्राकृतिक संख्याओं के योग का उपयोग करें। / This is the sum of the first (14) multiples of (11), so \(11\times\frac{14\times15}{2}=1155\). For multiples, use the sum of natural numbers.
सत्रहवाँ पद (-40) है, इसलिए (S_{17}=\frac{17}{2}(40-40)=0)। विपरीत चिन्ह वाले बराबर सिरों पर योग शून्य हो सकता है। / The seventeenth term is (-40), so (S_{17}=\frac{17}{2}(40-40)=0). With opposite equal end terms, the sum can be zero.
पंद्रहवाँ पद (189) है, इसलिए (S_{15}=\frac{15}{2}(7+189)=1470)। बड़े अंतर में अंतिम पद निकालना जरूरी है। / The fifteenth term is (189), so (S_{15}=\frac{15}{2}(7+189)=1470). With a large difference, finding the last term is important.
तेईसवाँ पद (104) है, इसलिए (S_{23}=\frac{23}{2}(16+104)=1380)। विषम पदों में मध्य पद से भी योग जाँचा जा सकता है। / The twenty-third term is (104), so (S_{23}=\frac{23}{2}(16+104)=1380). With an odd number of terms, the middle term can also check the sum.
अठारहवाँ पद (82) है, इसलिए (S_{18}=\frac{18}{2}(-20+82)=558)। ऋणात्मक प्रथम पद में चिन्ह ध्यान रखें। / The eighteenth term is (82), so (S_{18}=\frac{18}{2}(-20+82)=558). Keep the sign of the negative first term in mind.
सोलहवाँ पद (227) है, इसलिए (S_{16}=\frac{16}{2}(2+227)=1832)। अंतिम पद निकालते समय ((n-1)d) लगाएँ। / The sixteenth term is (227), so (S_{16}=\frac{16}{2}(2+227)=1832). Use ((n-1)d) while finding the last term.
(S_{19}=\frac{19}{2}(18+126)=1368)। पहला और अंतिम पद दिए हों तो छोटा सूत्र लगाएँ। / (S_{19}=\frac{19}{2}(18+126)=1368). If the first and last terms are given, use the shorter formula.
(S_{24}=\frac{24}{2}(9+147)=1872)। औसत विधि में \(\frac{a+l}{2}\) को (n) से गुणा करें। / (S_{24}=\frac{24}{2}(9+147)=1872). In the average method, multiply \(\frac{a+l}{2}\) by (n).
(S_{13}=\frac{13}{2}(-15+105)=585)। ऋणात्मक प्रथम पद को जोड़ते समय चिन्ह न भूलें। / (S_{13}=\frac{13}{2}(-15+105)=585). Do not forget the sign while adding a negative first term.
(S_{22}=\frac{22}{2}(32+137)=1859)। (n) सम हो तो \(\frac{n}{2}\) पहले निकालना आसान है। / (S_{22}=\frac{22}{2}(32+137)=1859). If (n) is even, finding \(\frac{n}{2}\) first is easier.
(S_{18}=\frac{18}{2}(85+0)=765)। अंतिम पद शून्य हो तब भी सूत्र वही रहता है। / (S_{18}=\frac{18}{2}(85+0)=765). The formula remains the same even when the last term is zero.
नौवें से सत्रहवें पदों का योग \(S_{17}-S_8=792\) है। लगातार पदों के समूह के लिए आंशिक योगों का अंतर लें। / The sum of the (9)th to (17)th terms is \(S_{17}-S_8=792\). For a group of consecutive terms, take the difference of partial sums.
सातवें से चौदहवें पदों का योग (665-165=500) है। आंशिक योगों को घटाकर उत्तर जल्दी मिलता है। / The sum of the (7)th to (14)th terms is (665-165=500). Subtracting partial sums gives the answer quickly.
छठे से बारहवें पदों का योग \(S_{12}-S_5=378\) है। बीच के पदों का योग कुल आंशिक योगों के अंतर से मिलता है। / The sum of the (6)th to (12)th terms is \(S_{12}-S_5=378\). The sum of middle terms is found from the difference of partial sums.
दसवें से बीसवें पदों का योग (1640-342=1298) है। लगातार पदों के लिए \(S_m-S_k\) का प्रयोग करें। / The sum of the (10)th to (20)th terms is (1640-342=1298). For consecutive terms, use \(S_m-S_k\).
(S_n=\frac{n}{2}[12+8(n-1)]) में (n=15) रखने पर (930) मिलता है। विकल्पों को सूत्र में जाँचें। / Putting (n=15) in (S_n=\frac{n}{2}[12+8(n-1)]) gives (930). Check the options in the formula.
(S_n=\frac{n}{2}[20+9(n-1)]) में (n=16) रखने पर (1240) मिलता है। (n) निकालते समय विकल्प विधि तेज रहती है। / Putting (n=16) in (S_n=\frac{n}{2}[20+9(n-1)]) gives (1240). The option method is fast when finding (n).
(S_n=\frac{n}{2}[10+11(n-1)]) में (n=15) रखने पर (1230) मिलता है। पहले (a) और (d) सही पहचानें। / Putting (n=15) in (S_n=\frac{n}{2}[10+11(n-1)]) gives (1230). First identify (a) and (d) correctly.
(S_n=\frac{n}{2}[8+12(n-1)]) में (n=16) रखने पर (1504) मिलता है। विकल्प लगाकर जाँच करना सुरक्षित है। / Putting (n=16) in (S_n=\frac{n}{2}[8+12(n-1)]) gives (1504). Checking by substituting options is safe.
संख्याएँ \(126,135,\ldots,297\) हैं और (20) पद हैं, इसलिए योग (4230) है। सीमा वाले प्रश्न में पहला और अंतिम पद सावधानी से चुनें। / The numbers are \(126,135,\ldots,297\), and there are (20) terms, so the sum is (4230). In boundary questions, choose the first and last terms carefully.
संख्याएँ \(112,126,\ldots,336\) हैं और (17) पद हैं, इसलिए योग (3808) है। पहले और अंतिम उपयुक्त गुणज ढूँढ़ें। / The numbers are \(112,126,\ldots,336\), and there are (17) terms, so the sum is (3808). Find the first and last suitable multiples.
संख्याएँ \(60,75,\ldots,240\) हैं और (13) पद हैं, इसलिए योग (1950) है। सीमा को देखकर सही श्रेणी बनाएँ। / The numbers are \(60,75,\ldots,240\), and there are (13) terms, so the sum is (1950). Make the correct sequence by checking the limits.
संख्याएँ \(208,224,\ldots,496\) हैं और (19) पद हैं, इसलिए योग (6688) है। पदों की संख्या निकालना न भूलें। / The numbers are \(208,224,\ldots,496\), and there are (19) terms, so the sum is (6688). Do not forget to find the number of terms.
पहले (n) विषम संख्याओं का योग \(n^2\) है, इसलिए \(n^2=625\) और (n=25)। पूर्ण वर्ग पहचानना उपयोगी है। / The sum of the first (n) odd numbers is \(n^2\), so \(n^2=625\) and (n=25). Recognizing perfect squares is useful.
पहले (n) सम संख्याओं का योग (n(n+1)) है, इसलिए \(27\times28=756\)। (n) को अंतिम सम संख्या न समझें। / The sum of the first (n) even numbers is (n(n+1)), so \(27\times28=756\). Do not confuse (n) with the last even number.
शेष योग \(26^2-14^2=480\) है। विषम संख्याओं के योग में \(n^2\) का प्रयोग करें। / The remaining sum is \(26^2-14^2=480\). Use \(n^2\) for the sum of odd numbers.
शेष योग \(28\times29-11\times12=680\) है। सम संख्याओं के योग के लिए (n(n+1)) लगाएँ। / The remaining sum is \(28\times29-11\times12=680\). Use (n(n+1)) for the sum of even numbers.
योग (=) औसत \(\times\) पदों की संख्या, इसलिए \(64\times15=960\)। औसत दिया हो तो लंबा सूत्र जरूरी नहीं है। / Sum equals average \(\times\) number of terms, so \(64\times15=960\). If the average is given, the long formula is not necessary.
औसत \(\frac{1170}{18}=65\) है। योग को पदों की संख्या से भाग देने पर औसत मिलता है। / The average is \(\frac{1170}{18}=65\). Dividing the sum by the number of terms gives the average.
(912=\frac{12}{2}(18+l)) से (l=134)। योग सूत्र को उल्टा लगाना भी परीक्षा में आता है। / From (912=\frac{12}{2}(18+l)), (l=134). Using the sum formula in reverse also appears in exams.
(S_n=\frac{n}{2}(a+l)) से \(S_{18}=\frac{18}{2}\times144=1296\)। (a+l) सीधे दिया हो तो उसे तुरंत उपयोग करें। / Using (S_n=\frac{n}{2}(a+l)), \(S_{18}=\frac{18}{2}\times144=1296\). If (a+l) is directly given, use it immediately.
संख्याएँ \(12,16,\ldots,96\) हैं और (22) पद हैं, इसलिए योग (1188) है। दो अंकों की सीमा ध्यान से लगाएँ। / The numbers are \(12,16,\ldots,96\), and there are (22) terms, so the sum is (1188). Apply the two-digit limit carefully.
गुणज \(100,125,\ldots,275\) हैं और (8) पद हैं, इसलिए योग (1500) है। सीमा के अनुसार पहला और अंतिम पद तय करें। / The multiples are \(100,125,\ldots,275\), and there are (8) terms, so the sum is (1500). Decide the first and last terms according to the limit.
पहला पद (9) और बीसवाँ पद (104) है, इसलिए (S_{20}=\frac{20}{2}(9+104)=1130)। \(a_n\) से पहले और अंतिम पद निकालें। / The first term is (9) and the twentieth term is (104), so (S_{20}=\frac{20}{2}(9+104)=1130). Use \(a_n\) to find the first and last terms.
पहला पद (-2) और अठारहवाँ पद (117) है, इसलिए \(S_{18}=1035\)। \(a_n\) में (n=1) और अंतिम (n) रखें। / The first term is (-2) and the eighteenth term is (117), so \(S_{18}=1035\). Put (n=1) and the final (n) in \(a_n\).
पहला पद (13) और सोलहवाँ पद (58) है, इसलिए \(S_{16}=568\)। \(a_n\) से (a) और (l) निकालकर योग लगाएँ। / The first term is (13) and the sixteenth term is (58), so \(S_{16}=568\). Use \(a_n\) to find (a) and (l), then apply the sum formula.
पहला पद (48) और चौदहवाँ पद (22) है, इसलिए (S_{14}=\frac{14}{2}(48+22)=490)। घटती श्रेणी में भी वही योग सूत्र काम करता है। / The first term is (48) and the fourteenth term is (22), so (S_{14}=\frac{14}{2}(48+22)=490). The same sum formula works for a decreasing progression.
बारहवाँ जमा (265) रुपये है, इसलिए कुल (S_{12}=\frac{12}{2}(45+265)=1860) रुपये है। राशि वाले प्रश्न में इकाई ध्यान रखें। / The twelfth deposit is (265) rupees, so the total is (S_{12}=\frac{12}{2}(45+265)=1860) rupees. Keep the unit in mind in money questions.
दसवीं पंक्ति में (395) कुर्सियाँ हैं, इसलिए कुल (S_{10}=\frac{10}{2}(80+395)=2375) है। पंक्तियों को पदों की संख्या मानें। / The tenth row has (395) chairs, so the total is (S_{10}=\frac{10}{2}(80+395)=2375). Treat rows as the number of terms.
अठारहवीं पंक्ति में (229) ईंटें हैं, इसलिए कुल (S_{18}=\frac{18}{2}(25+229)=2286) है। शब्द-प्रश्न में क्रम को समांतर श्रेणी में बदलें। / The eighteenth row has (229) bricks, so the total is (S_{18}=\frac{18}{2}(25+229)=2286). In word problems, convert the pattern into an arithmetic progression.
सूत्र (S_n=\frac{n}{2}[2a+(n-1)d]) लगाने पर योग (1010) आता है। परीक्षा में (n-1) को ध्यान से रखें। / Using (S_n=\frac{n}{2}[2a+(n-1)d]), the sum is (1010). In exams, handle (n-1) carefully.
यह घटती हुई श्रेढ़ी है और सूत्र से \(S_{15}=-30\) मिलता है। ऋणात्मक सार्व अंतर का संकेत न भूलें। / This is a decreasing AP, and the formula gives \(S_{15}=-30\). Do not forget the sign of the negative common difference.
पहली (n) विषम संख्याओं का योग \(n^2\) होता है, इसलिए \(25^2=625\)। यह परिणाम तेज गणना में उपयोगी है। / The sum of the first (n) odd numbers is \(n^2\), so \(25^2=625\). This result is useful for quick calculation.
यह श्रेढ़ी \(7,14,\ldots,140\) है जिसमें (20) पद हैं और योग (1470) है। अंतिम पद से (n) निकालना आसान तरीका है। / The AP is \(7,14,\ldots,140\) with (20) terms, and its sum is (1470). Finding (n) from the last term is an easy method.
यहाँ (a=-5), (d=3), (n=30), इसलिए योग (1155) है। ऋणात्मक पहले पद के साथ भी वही सूत्र लागू होता है। / Here (a=-5), (d=3), (n=30), so the sum is (1155). The same formula works even with a negative first term.
सूत्र (S_n=\frac{n}{2}(a+l)) से योग (350) आता है। जब अंतिम पद दिया हो तो यह सूत्र जल्दी काम करता है। / Using (S_n=\frac{n}{2}(a+l)), the sum is (350). When the last term is given, this formula is faster.
(n=12) रखने पर (S_{12}=3(12)2+2(12)=456)। दिए गए योग सूत्र में सीधे (n) का मान रखें। / Putting (n=12), (S_{12}=3(12)2+2(12)=456). Substitute the given value of (n) directly in the sum formula.
यह (a=18), (d=3), (n=16) वाली समांतर श्रेढ़ी है और योग (648) है। शब्द-प्रश्न में पहले (a,d,n) पहचानें। / This is an AP with (a=18), (d=3), (n=16), and the sum is (648). In word problems, identify (a,d,n) first.
यहाँ (d=-3) है और सूत्र से \(S_{18}=441\) मिलता है। घटती श्रेढ़ी में सार्व अंतर ऋणात्मक लिखें। / Here (d=-3), and the formula gives \(S_{18}=441\). In a decreasing AP, write the common difference as negative.
(\frac{n}{2}(4+100)=1040) से (n=20) आता है। अंतिम पद और योग दिए हों तो (S_n=\frac{n}{2}(a+l)) लगाएँ। / From (\frac{n}{2}(4+100)=1040), (n=20). When last term and sum are given, use (S_n=\frac{n}{2}(a+l)).
पहली (n) सम संख्याओं का योग (n(n+1)) होता है, इसलिए \(40\times41=1640\)। इसे सम संख्या वाले प्रश्नों में याद रखें। / The sum of the first (n) even numbers is (n(n+1)), so \(40\times41=1640\). Remember it for even-number AP questions.
(\frac{n}{2}[18+6(n-1)]=525) हल करने पर (n=10) मिलता है। (n) के लिए द्विघात बन सकता है, सही धनात्मक मान चुनें। / Solving (\frac{n}{2}[18+6(n-1)]=525) gives (n=10). For (n), a quadratic may appear, so choose the positive value.
(\frac{n}{2}[4+5(n-1)]=287) से (n=11) मिलता है। योग से पदों की संख्या निकालते समय ऋणात्मक हल छोड़ दें। / From (\frac{n}{2}[4+5(n-1)]=287), (n=11). When finding the number of terms from sum, reject the negative root.
\(a_{10}=S_{10}-S_9=43\)। लगातार योगों का अंतर संबंधित पद देता है। / \(a_{10}=S_{10}-S_9=43\). The difference of consecutive sums gives the corresponding term.
(\frac{n}{2}[12+5(n-1)]=660) हल करने पर (n=15) आता है। पहले कोष्ठक सरल करें, फिर समीकरण हल करें। / Solving (\frac{n}{2}[12+5(n-1)]=660) gives (n=15). Simplify the bracket first, then solve the equation.
(780=10[10+19d]) से (d=4) मिलता है। योग और पहला पद दिए हों तो सार्व अंतर सीधे निकाला जा सकता है। / From (780=10[10+19d]), (d=4). When sum and first term are given, the common difference can be found directly.
यह (a=500), (d=100), (n=12) वाली श्रेढ़ी है और कुल योग (12600) है। वास्तविक जीवन प्रश्नों में राशि को पद मानें। / This is an AP with (a=500), (d=100), (n=12), and the total is (12600). In real-life questions, treat each amount as a term.
सूत्र में (a=15), (d=4), (n=18) रखने पर \(S_{18}=882\) मिलता है। पहले तीन पदों से (d) जरूर जाँचें। / Putting (a=15), (d=4), (n=18) in the formula gives \(S_{18}=882\). Always check (d) from the first three terms.
श्रेढ़ी \(108,117,\ldots,999\) है जिसमें (100) पद हैं, इसलिए योग (55350) नहीं बल्कि (55350) होगा। अंतिम पद और पदों की संख्या सावधानी से निकालें। / The AP is \(108,117,\ldots,999\) with (100) terms, so the sum is (55350), not (60984). Find the last term and number of terms carefully.
सूत्र से \(S_{25}=\frac{25}{2}[40-24]=200\) मिलता है। घटती श्रेढ़ी में अंतिम पद छोटा हो सकता है। / The formula gives \(S_{25}=\frac{25}{2}[40-24]=200\). In a decreasing AP, the last term may be smaller.
यहाँ (a=4), (d=6), (n=14), इसलिए योग (602) है। (2a) और ((n-1)d) को अलग-अलग निकालें। / Here (a=4), (d=6), (n=14), so the sum is (602). Calculate (2a) and ((n-1)d) separately.
यह उत्पादन समांतर श्रेढ़ी बनाता है और \(S_{10}=1875\) है। दैनिक वृद्धि को सार्व अंतर मानें। / The production forms an AP, and \(S_{10}=1875\). Treat the daily increase as the common difference.
(\frac{n}{2}(11+71)=574) से (n=14) मिलता है। अंतिम पद दिए होने पर सार्व अंतर की जरूरत नहीं होती। / From (\frac{n}{2}(11+71)=574), (n=14). When the last term is given, the common difference is not needed.
यहाँ अंतिम पद (-26) है और \(S_{20}=50\) मिलता है। घटती श्रेढ़ी में योग बहुत छोटा भी हो सकता है। / Here the last term is (-26), and \(S_{20}=50\). In a decreasing AP, the sum can become quite small.
(441=9[6+17d]) से (d=3) आता है। अज्ञात (d) वाले प्रश्नों में पहले दोनों पक्षों को सरल करें। / From (441=9[6+17d]), (d=3). In questions with unknown (d), simplify both sides first.
(816=8[12+15d]) से (d=6) मिलता है। दिए गए योग को \(\frac{n}{2}\) से बाँटकर जल्दी हल करें। / From (816=8[12+15d]), (d=6). Divide the given sum by \(\frac{n}{2}\) to solve faster.
संख्याएँ \(105,110,\ldots,195\) हैं और (19) पदों का योग (2850) है। बीच का अर्थ अक्सर सिरों को शामिल नहीं करता। / The numbers are \(105,110,\ldots,195\), and the sum of (19) terms is (2850). The word between often excludes endpoints.
(\frac{n}{2}[26+5(n-1)]=253) से (n=11) मिलता है। सही धनात्मक पूर्णांक ही पदों की संख्या हो सकता है। / From (\frac{n}{2}[26+5(n-1)]=253), (n=11). Only the correct positive integer can be the number of terms.
यहाँ (a=1), (d=3), (n=30), इसलिए \(S_{30}=1335\)। छोटे पहले पद के कारण भी योग बड़ा हो सकता है। / Here (a=1), (d=3), (n=30), so \(S_{30}=1335\). Even with a small first term, the sum can be large.
(a=40), (d=3), (n=15) रखने पर योग (915) सेंटीमीटर है। इकाई को उत्तर में ध्यान रखें। / Putting (a=40), (d=3), (n=15), the sum is (915) cm. Keep the unit in mind in the answer.
(S_{20}=202+4(20)=480)। ऐसे प्रश्न में अलग से (a) और (d) निकालने की जरूरत नहीं है। / (S_{20}=202+4(20)=480). In such a question, there is no need to find (a) and (d) separately.
(\frac{n}{2}[34+2(n-1)]=580) से (n=20) मिलता है। समीकरण बनने के बाद विकल्पों से भी जाँच कर सकते हैं। / From (\frac{n}{2}[34+2(n-1)]=580), (n=20). After forming the equation, you can also check using options.
अंतिम पद (45) है, इसलिए (S_{12}=\frac{12}{2}(100+45)=870)। अंतिम पद मिल जाए तो योग तेजी से निकलेगा। / The last term is (45), so (S_{12}=\frac{12}{2}(100+45)=870). Once the last term is found, the sum is quick.
(\frac{n(n+1)}{2}=465) से (n=30) आता है। प्राकृतिक संख्याओं का योग भी समांतर श्रेढ़ी का विशेष रूप है। / From (\frac{n(n+1)}{2}=465), (n=30). The sum of natural numbers is a special case of AP.
पहले (n) निकालें: (83=8+(n-1)5), इसलिए (n=16) और योग (728) है। अंतिम पद होने पर पहले पदों की संख्या निकालें। / First find (n): (83=8+(n-1)5), so (n=16) and the sum is (728). When the last term is given, find the number of terms first.
यह \(15,20,25,\ldots\) श्रेढ़ी है और (14) दिनों का योग (665) मिनट है। शब्द-प्रश्न में दिन को पदों की संख्या मानें। / This is the AP \(15,20,25,\ldots\), and the sum for (14) days is (665) minutes. In word problems, treat days as the number of terms.
\(a_{25}=S_{25}-S_{24}=97\)। कुल योगों का अंतर अंतिम नया पद देता है। / \(a_{25}=S_{25}-S_{24}=97\). The difference of total sums gives the newly added last term.
अंतिम पद (-21) है और (S_{16}=\frac{16}{2}(24-21)=24)। धनात्मक और ऋणात्मक पद एक-दूसरे को काफी घटा सकते हैं। / The last term is (-21), and (S_{16}=\frac{16}{2}(24-21)=24). Positive and negative terms can greatly reduce the sum.
श्रेढ़ी \(4,8,\ldots,48\) है जिसमें (12) पद हैं और योग (312) है। अंतिम स्वीकार्य गुणज पहचानना जरूरी है। / The AP is \(4,8,\ldots,48\) with (12) terms, and the sum is (312). Identifying the last allowed multiple is important.
(\frac{n}{2}[10+4(n-1)]=425) से (n=17) मिलता है। विकल्पों में मान रखकर भी जाँच कर सकते हैं। / From (\frac{n}{2}[10+4(n-1)]=425), (n=17). You can also verify by substituting options.
यह (6) के पहले (25) गुणजों का योग है, इसलिए कुल दूरी (1950) मीटर है। गुणजों के योग में (a=d) होता है। / This is the sum of the first (25) multiples of (6), so the total distance is (1950) meters. In sums of multiples, (a=d).
(82=7+(n-1)5) से (n=16), फिर योग (712) है। अंतिम पद से (n) निकालना पहला कदम है। / From (82=7+(n-1)5), (n=16), and then the sum is (712). Finding (n) from the last term is the first step.
(\frac{n}{2}[50-4(n-1)]=105) से (n=7) मिलता है। घटती श्रेढ़ी में भी (n) धनात्मक पूर्णांक होता है। / From (\frac{n}{2}[50-4(n-1)]=105), (n=7). Even in a decreasing AP, (n) must be a positive integer.
\(\frac{32\times33}{2}=528\)। प्राकृतिक संख्याओं के लिए (\frac{n(n+1)}{2}) सबसे तेज सूत्र है। / \(\frac{32\times33}{2}=528\). For natural numbers, (\frac{n(n+1)}{2}) is the fastest formula.
यहाँ (a=9), (d=7), (n=13), इसलिए \(S_{13}=663\)। विषम (n) होने पर \(\frac{n}{2}\) से डरें नहीं। / Here (a=9), (d=7), (n=13), so \(S_{13}=663\). Do not worry about \(\frac{n}{2}\) when (n) is odd.
(511=7[8+13d]) से (d=5) मिलता है। पहले \(S_n\) को \(\frac{n}{2}\) से विभाजित करें। / From (511=7[8+13d]), (d=5). First divide \(S_n\) by \(\frac{n}{2}\).
(S_{19}=\frac{19}{2}(14+104)=1121)। पहला और अंतिम पद दिए हों तो (d) निकालना जरूरी नहीं है। / (S_{19}=\frac{19}{2}(14+104)=1121). When first and last terms are given, finding (d) is not necessary.
