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A. यह y-अक्ष पर स्थित कटान है और इसमें y\neq0 है, इसलिए 7 शून्यक नहीं है/It is a y-axis intercept with y\neq0, so 7 is not a zero
Explanation
Simple Explanation
शून्यक (root) का अर्थ वह x‑मान है जहाँ ग्राफ का y‑मान शून्य हो यानी बिंदु का दूसरा निर्देशांक 0 होना चाहिए (उदा. (a,0)). बिंदु (0,7) में y=7 है, इसलिए यह x‑अक्ष पर नहीं है बल्कि y‑अक्ष कटान (y‑intercept) है; 7 y‑सह‑निर्देशांक है न कि शून्यक। नज़दीकी भ्रम (विकल्प C) गलत है क्योंकि x=0 होना शर्त नहीं है कि y वह शून्यक हो—शून्यक के लिये y=0 चाहिए। परीक्षा सुझाव: रूट देखने के लिये हमेशा बिंदु का दूसरा निर्देशांक (y) 0 है या नहीं जांचें। / A zero (root) of a polynomial is an x‑value where the graph meets the x‑axis, so the point must have y=0 (e.g. (a,0)). The point (0,7) has y=7, so it is a y‑axis intercept (y‑intercept), not an x‑intercept; 7 is the y‑coordinate, not a root. The closest distractor (option C) is wrong because x=0 alone does not make 7 a root—the y coordinate must be 0. Exam tip: to identify a root from a point, always check that the second coordinate equals 0.
x-अक्ष पर किसी बिंदु का अर्थ है उस बिंदु का y-मान शून्य होना। इसलिए यदि आलेख x = 10 पर x-अक्ष को काटता है तो बहुपद का मान \(p(10)=0\) होगा। विकल्प (D) सबसे निकटका भ्रमक है क्योंकि \(p(-10)=0\) होने का मतलब जड़ x = -10 है, जो हमें दिया नहीं गया। विकल्प (B) और (C) गलत हैं क्योंकि वे क्रमशः x = 0 पर मान और x = 10 पर मान को 10 मानते हैं, जो x-अक्ष पर कटान के अर्थ के विपरीत हैं। परीक्षा-tip: कोई भी दिए हुए x-संयोजन को बहुपद में रखकर देखें — अगर मान 0 आए तो वह x-अक्ष पर कट बिंदु है। / An intersection with the x-axis at x = 10 means the function value (y) is zero at x = 10, so \(p(10)=0\). The closest distractor is (D): \(p(-10)=0\) would mean the root is at x = -10, which is not stated. Options (B) and (C) are incorrect because they assert numeric values at x = 0 or x = 10 that contradict the x-axis intersection. Exam tip: substitute the given x-coordinate into the polynomial — if the result is 0, that x is a zero (root).
A. आलेख (3,0) से गुजरे/The graph passes through (3,0)
Explanation
Simple Explanation
यदि 3 बहुपद p(x) का शून्यक है तो p(3)=0 होगा। ग्राफ y=p(x) पर x=3 पर y का मान 0 होना चाहिए, यथा बिंदु (3,0) ग्राफ पर स्थित होगा। विकल्प B और C में y ≠ 0 है और इसलिए शून्यक नहीं बनाते; विकल्प D में y=0 सही है पर x = -3 है न कि 3। परीक्षा टिप: किसी संख्या a का शून्यक होने का मतलब है ग्राफ का x-अक्ष के साथ अंतरछेद (a,0) होना। / If 3 is a zero of the polynomial p(x), then p(3)=0. Geometrically the graph y = p(x) must pass through the x-intercept (3,0). Options B and C fail because their y-coordinate is not zero; option D has y=0 but x = -3, not 3. Exam tip: a number a is a zero iff the curve meets the x-axis at (a,0).
x-अक्ष पर जो बिंदु ग्राफ काटता है वे बहुपद के शून्यक होते हैं। यहाँ शून्यक \\(-1\\) और \\(+1\\) हैं, अतः उनका योग \\(-1+1=0\\) है। सबसे संभावित भ्रम विकल्प B (2) तब होता है जब कोई मानों के परिमाण (absolute values) जोड़ देता है। परीक्षा टिप: यदि शून्यक सममित रूप से \(±a\) हैं तो उनका योग हमेशा 0 होगा। / Points where the graph crosses the x-axis are the zeros. Here the zeros are \(-1\) and \(+1\), so their sum is \(-1+1=0\). The common mistake giving option B (2) comes from adding absolute values instead of signed numbers. Exam tip: For symmetric roots \(±a\) the sum is always 0; use signs carefully when adding roots.
किसी बहुपद f(x) का शून्यक a वह मान है जहाँ f(a)=0। ग्राफ़ के संदर्भ में यह x-अक्ष पर बिंदु (a,0) के रूप में दिखता है क्योंकि y‑निर्देशांक शून्य होता है। इसलिए (9,0) दिखाता है कि x=9 पर बहुपद का मान शून्य है। विकल्प (0,9), (9,9) और (0,-9) में y‑निर्देशांक शून्य नहीं है इसलिए वे शून्यक नहीं दर्शाते। परीक्षा सुझाव: शून्यक खोजने के लिए हमेशा ऐसे बिंदु चुनें जिनका y‑coördinate 0 हो। / A zero a of a polynomial f(x) satisfies f(a)=0. On the graph this corresponds to an x‑intercept at the point (a,0), i.e. the y‑coordinate is zero. Thus (9,0) indicates the polynomial is zero at x=9. The other choices have y≠0, so they cannot represent zeros. Exam tip: look for points on the x‑axis (y=0) to identify zeros quickly.
किसी भी फलन के लिए \(y=p(x)\) मानकर देखें। \(p(-4)=0\) का अर्थ है कि जब \(x=-4\) हो तो \(y=0\) होता है, इसलिए क्रमबद्ध युग्म (-4, 0) ग्राफ़ पर होगा। नज़दीकी भूलभुलैया: (0, -4) में x और y उलट दिये गये हैं; (4,0) में x का मुद्रांक गलत है; (-4,-4) में y शून्य नहीं है। परीक्षा टिप: हमेशा \(p(x)\) को \(y\) मानकर ordered pair लिखें: \((x, p(x))\). / Interpret the polynomial as the function \(y=p(x)\). \(p(-4)=0\) means at \(x=-4\) the value is \(y=0\), so the graph must contain the point (-4, 0). Common mistakes: (0, -4) swaps x and y; (4, 0) uses the wrong x-value; (-4, -4) gives the wrong y-value. Exam tip: write the ordered pair as (x, p(x)) to convert a root into a point on the graph.
शून्यक की परिभाषा के अनुसार किसी संख्या \(a\) के लिए \(a\) शून्यक तभी होता है जब \(p(a)=0\)। यहाँ \(p(2)=3\) है जो शून्य नहीं है, अतः \(2\) शून्यक नहीं है। ज्यामितीय रूप से शून्यक वह x‑समानांतर बिंदु होता है जहाँ आलेख x‑अक्ष (y=0) को छूता है; बिंदु \((2,3)\) x‑अक्ष के ऊपर है। नजदीकी विचलन "निर्धारित नहीं किया जा सकता" गलत है क्योंकि \(p(2)\) का मान दिया हुआ है; "केवल द्विघात में हाँ" गलत है क्योंकि डिग्री का कोई संबंध नहीं है — शर्त हमेशा \(p(a)=0\) है। टिप: किसी बिंदु के लिए y‑निर्देशांक को देखें — शून्य होने पर ही x मान शून्यक होता है। / By definition a number \(a\) is a zero (root) of a polynomial only if \(p(a)=0\). Here \(p(2)=3\), which is not zero, so 2 is not a root. Geometrically roots are x‑intercepts where the graph meets the x‑axis (y=0); the point \((2,3)\) lies above the x‑axis. The distractor "Cannot be determined" is wrong because the value \(p(2)\) is explicitly given; "Only for quadratics" is also incorrect since degree does not change the condition \(p(a)=0\). Exam tip: always check whether the y‑value equals 0 to decide if an x‑value is a root.
x-अक्ष पर हर बिंदु के लिए \(y=0\) होता है। अतः प्रतिच्छेदन पाने के लिए \(0 = x + 2\) करना होगा, जिससे \(x = -2\) मिलता है। इसलिए सही उत्तर -2 है। निकटभ्रांत उत्तर 0 इसलिए गलत है क्योंकि \(x=0\) पर रेखा का y-मूल्य होगा (यानी y-आवरण/y-intercept = 2) — यह x-अक्ष पर छेदन नहीं देता। परीक्षा टिप: x-अक्ष पर छेदन जानने के लिए हमेशा रेखा में \(y=0\) रखिये। / On the x-axis the y-coordinate is \(0\). So set \(0 = x + 2\), giving \(x = -2\). Hence the correct x-coordinate is -2. A common error is to set \(x=0\) (which gives the y-intercept y=2), but that does not give the x-axis intersection. Exam tip: to find where a line meets the x-axis, substitute \(y=0\).
यदि किसी बिंदु का रूप (a, 0) है तो वह x-अक्ष पर एक शून्यक देता है क्योंकि y = 0 होता है। दिए गए बिंदुओं के x-निर्देशांक 0 और 3 हैं, अतः शून्यक 0 और 3 होंगे। निकटतम भ्रांत विकल्पों की जाँच: विकल्प B में 1 का कोई बिंदु नहीं दिया गया, इसलिए गलत है; विकल्प C में −3 का संकेत गलत है; विकल्प D अधूरा है क्योंकि दोनों बिंदु शून्यक देते हैं। परीक्षा-सुझाव: किसी भी x-अक्ष पर बिंदु (a,0) हो तो तुरंत a को शून्यक मानें। / A point (a, 0) on the x-axis corresponds to a zero because the polynomial (or graph) takes value 0 at x = a. Here the x-coordinates are 0 and 3, so the zeros are 0 and 3. Why other options fail: option B includes 1 which is not given; option C has −3 which is incorrect sign; option D ignores the origin (0,0). Exam tip: For any x-intercept (a,0), record a as a root immediately to avoid sign errors.
यदि किसी बहुपद का शून्यक a है तो बहुपद a पर शून्य देता है, अर्थात् उस बिंदु पर y=0 होगा — इसलिए वह बिंदु \,\((a,0)\) होता है। शून्यक 1 और 4 के लिए कटान बिंदु \,\((1,0)\) और \,\((4,0)\) होंगे। विकल्प B गलत है क्योंकि वह y-अक्ष के उपर के बिंदु दिखाता है (x=0); C गलत है क्योंकि वहाँ y≠0 होने पर x-अक्ष पर कटान नहीं होता; D गलत है क्योंकि संकेत उल्टे दिए गए हैं। परीक्षा टिप: शून्यक को हमेशा x-निर्देशांक समझें — x=a पर y=0। / If a polynomial has a zero a, the graph takes the value 0 at x=a, so the intersection point with the x-axis is (a,0). For zeros 1 and 4 the graph meets the x-axis at (1,0) and (4,0). Option B lists points on the y-axis (x=0), C lists points with y≠0 so they are not x-intercepts, and D has the wrong signs. Exam tip: a zero gives the x-coordinate of the intercept; set y=0 to find the points.
y-अक्ष पर कटान बिंदु \((0,5)\) का मतलब है कि बहुपद का मान \(x=0\) पर \(p(0)=5\) है। शून्यक होने के लिए आवश्यक है कि \(p(0)=0\) हो। इसलिए \(x=0\) शून्यक नहीं है। विकल्प B गलत है क्योंकि किसी भी बिंदु का y-अक्ष पर होना उसे शून्यक नहीं बनाता; शून्यक वह x-मूल्य है जहाँ y=0 होता है। विकल्प C सही की व्याख्या देता है पर A अधिक सटीक है क्योंकि यहां दिया गया विशिष्ट मान \(p(0)=5\) है। विकल्प D गलत है क्योंकि y-अक्ष कटान हमें सीधे \(p(0)\) देता है, अत: अतिरिक्त अभिव्यक्ति की आवश्यकता नहीं है। टिप: किसी भी ग्राफ़ पर y-अक्ष कटान \\((0,y_0)\\) देखें — वह तुरंत बताता है \(p(0)=y_0\)। / The y-intercept \((0,5)\) means the polynomial evaluates to \(p(0)=5\). A zero (root) requires \(p(0)=0\), so \(x=0\) is not a root. Option B is incorrect because being on the y-axis does not imply the function value is zero. Option C states the correct idea that zeros occur where the graph meets the x-axis (y=0), but A is the best answer here since the specific value \(p(0)=5\) is given. Option D is incorrect because the y-intercept already gives the required value \(p(0)\). Exam tip: the y-intercept \((0,y_0)\) always tells you \(p(0)=y_0\); roots are where \(y_0=0\).
A. आलेख (-1, 0) से गुजरता है/The graph passes through (-1, 0)
Explanation
Simple Explanation
यदि p(-1)=0 का अर्थ है कि x=-1 पर बहुपद का मान शून्य है, यानी अक्षांश y=0; इसलिए बिंदु (-1,0) आलेख पर अवश्य है। यह शून्य (zero/root) x-अक्ष पर छेद दर्शाता है। विकल्प B गलत है क्योंकि (0,-1) तब होता जब p(0)=-1 हो — p(-1)=0 का उससे कोई संबंध नहीं। विकल्प C गलत है क्योंकि y-अक्ष पर प्रतिच्छेद x=0 पर होता है और यह p(0) के मान पर निर्भर करता है; p(-1)=0 होने से यह तय नहीं होता। विकल्प D गलत है क्योंकि केवल प्रथम श्रेणी के बहुपद (degree 1) ही सीधे रेखा बनाते हैं, अधिक डिग्री के बहुपद वक्र होते हैं। परीक्षा-सुझाव: किसी बहुपद की जड़ p(a)=0 होने पर उसे x-अक्ष पर बिंदु (a,0) के रूप में याद रखें; y-अक्ष के लिए p(0) देखें। / p(-1)=0 means the polynomial evaluates to zero at x = -1, so the graph has the point (-1, 0). A root of a polynomial is an x-intercept. Option B is incorrect because (0, -1) would require p(0) = -1, which is unrelated to p(-1)=0. Option C is wrong since intersection with the y-axis occurs at x = 0 and depends on p(0); p(-1)=0 gives no information about that. Option D is false because only degree-1 polynomials are straight lines; higher-degree polynomials are curves. Exam tip: remember p(a)=0 corresponds to x-intercept (a,0); check p(0) for the y-intercept.
बिंदु (6, 0) का अर्थ है कि x = 6 पर y का मान 0 है। चूँकि y = p(x), इसलिए जब x = 6 होगा तो p(6) = 0। सामान्य त्रुटि: कुछ छात्र x‑निर्देशांक 6 को p(6) समझ लेते हैं — यह गलत है क्योंकि x‑मान और फलन मान अलग होते हैं। टिप: किसी भी ग्राफ़ का x‑अक्ष पर अंतर्प्रवेश हमेशा फलन का मान 0 देता है (बहुपद के शून्य या मूल)। / The point (6, 0) means that at x = 6 the function value y is 0. Since y = p(x), we have p(6) = 0. Common mistake: confusing the x-coordinate 6 with the function value p(6). Exam tip: an intersection with the x-axis always gives a function value of 0 — this corresponds to a root/zero of the polynomial.
शून्यक वह x-मूल होता है जहाँ बहुपद की मान शून्य हो और ग्राफ x-अक्ष को काटता है।\(p(x)=0\) रखकर \(2x-6=0\) मिलता है। इससे \(2x=6\) और \(x=3\) आता है, इसलिए शून्यक \(x=3\) है। सबसे नज़दीकी भ्रामक विकल्पों की जाँच: \(2\) केवल सहगुणक है (रूट नहीं), \(6\) स्थायी पद है (स्वत: रूट नहीं), और \(-3\) साइन की गलती है। परीक्षा टिप: हमेशा पहले \(p(x)=0\) रखें और हल करके मिलने वाला x-पमान जाँचें। / A zero (root) is the x-value where the polynomial equals zero and the graph meets the x-axis. Set \(p(x)=0\): \(2x-6=0\). Solving gives \(2x=6\) and \(x=3\), so the x-intercept is \(x=3\). Why other choices are wrong: 2 is the coefficient (not the root), 6 is the constant term (not the root), and -3 is a sign error. Exam tip: always set \(p(x)=0\) and solve for x, then optionally substitute back to verify.
x-अक्ष पर बिंदु पाने के लिए बहुपद को शून्य पर रखें: \(p(x)=0\) ⇒ \(x+4=0\) ⇒ \(x=-4\)। इसलिए प्रतिच्छेद बिंदु \((-4,0)\) है। नज़दीकी भ्रमित विकल्प (4,0) गलत है क्योंकि वह \(x=4\) देता है, जो समीकरण को संतुष्ट नहीं करता; (0,4) और (0,-4) y-अक्ष के प्रतिच्छेद हैं। परीक्षात्मक टिप: x-अक्ष पर प्रतिच्छेद के लिए हमेशा \(p(x)=0\) हल करें और उत्तर को \((x,0)\) के रूप में लिखें। / The x-intercept occurs where the function equals zero: set \(p(x)=0\) ⇒ \(x+4=0\) ⇒ \(x=-4\). Thus the intercept is \((-4,0)\). The distractor (4,0) is incorrect because it corresponds to \(x=4\), which does not satisfy the equation; (0,4) and (0,-4) are y-intercepts. Exam tip: find x-intercepts by solving \(p(x)=0\) and give the point as \((x,0)\).
x-अक्ष पर बिंदु यों होते हैं जहाँ बहुपद का मान शून्य हो। इसलिए \(p(x)=0\) रखें: \(x-7=0\) से \(x=7\) मिलता है। अतः x-अक्ष पर छेदन बिंदु \((7,0)\) है। सबसे नज़दीकी भ्रामक विकल्प \((-7,0)\) गलत है क्योंकि वहाँ \(x=-7\) होने पर \(p(x)=-14\) होता है, शून्य नहीं। परीक्षा-सुझाव: x-छेदन पाने के लिए हमेशा \(p(x)=0\) रखें और उत्तर को \((x,0)\) के रूप में लिखें। / Points where the graph meets the x-axis are where the polynomial equals zero. Set \(p(x)=0\): \(x-7=0\) gives \(x=7\). So the x-intercept is \((7,0)\). The closest distractor \((-7,0)\) is wrong because at \(x=-7\), \(p(x)=-14\), not zero. Exam tip: find x-intercepts by solving \(p(x)=0\) and record the result as \((x,0)\).
यदि बहुपद का रूप
\(p(x)=c\) जहाँ \(c\neq0\) हो, तो उसका ग्राफ क्षैतिज रेखा \(y=c\) होगा जो \(x\)-अक्ष को नहीं काटती; इसलिए किसी भी \(x\) पर \(p(x)\neq0\) होगा और शून्यक संख्या शून्य होगी। निकटवर्ती भ्रम: रैखिक बहुपद (degree 1) सामान्यतः एक शून्यक देता है क्योंकि उसकी रेखा \(x\)-अक्ष को एक बिंदु पर काटती, पर यहाँ रेखा क्षैतिज और \(c\neq0\) है। विशेष मामला: यदि \(c=0\) (यानी \(p(x)=0\), शून्य बहुपद) तो हर \(x\) पर शून्य होता है — अनंत शून्यक। परीक्षा टिप: पहले बहुपद की डिग्री और स्थिर पद \(c\) की जाँच करें। / If \(p(x)=c\) with \(c\neq0\), the graph is the horizontal line \(y=c\) which does not meet the x-axis, so \(p(x)\) is never zero and there are zero roots. Common confusion: a linear (degree 1) polynomial meets the x-axis once, but a nonzero constant is degree 0 and never crosses. Special case: if \(c=0\) (the zero polynomial \(p(x)=0\)), every x is a root (infinitely many roots). Exam tip: always check the degree and the constant term first.
किसी बहुपद का x-अक्ष पर कटान बिंदु (a, 0) के रूप में दिया हो तो उस बहुपद का शून्यक वही x-निर्देशांक a होता है। यहाँ कटान (-2, 0) है, अतः शून्यक -2 है। निकटतम ग़लत विकल्प 2 इसलिए गलत है क्योंकि वह मान का चिन्ह उल्टा है। परीक्षा टिप: x-अक्ष के कटान को (x,0) के रूप में लिखकर हमेशा x‑निर्देशांक लें। / If a polynomial's graph meets the x-axis at (a, 0), then a is a zero of the polynomial. Here the intersection is at (-2, 0), so the zero is -2. The closest distractor 2 is incorrect because it ignores the negative sign. Exam tip: always note the full coordinate (including the sign) and take the x-coordinate as the root.
यदि बहुपद का आलेख किसी बिंदु \((a,0)\) से गुजरता है तो उस बिंदु के x‑निर्देश पर बहुपद का मान शून्य होगा, अर्थात् \(p(a)=0\)। यहाँ बिंदु \((0,0)\) है, अतः \(p(0)=0\) और इसलिए \(x=0\) एक निश्चित शून्यक है। विकल्पों जैसे \(1\) या \(-1\) तब तक शून्यक नहीं माने जा सकते जब तक कि विशेष रूप से \(p(1)=0\) या \(p(-1)=0\) न दिया गया हो। परीक्षा-टिप: किसी दिये हुए बिंदु का x‑मान बहुपद में रखकर जांचें कि वह मान शून्य देता है या नहीं। / If a polynomial's graph passes through a point \((a,0)\), then the polynomial evaluated at that x‑value is zero, i.e. \(p(a)=0\). For the origin \((0,0)\) this gives \(p(0)=0\), so \(x=0\) is certainly a root. Numbers like 1 or -1 are not necessarily roots unless it is explicitly given that \(p(1)=0\) or \(p(-1)=0\). Exam tip: substitute the x-coordinate of the given point into the polynomial to check whether it equals zero.
A. \((4)\) बहुपद का शून्यक (root) है/\((4)\) is a zero (root) of the polynomial
Explanation
Simple Explanation
बिंदु \((4,0)\) का अर्थ है कि x = 4 पर बहुपद का मान 0 है, यानी \(p(4)=0\)। इसलिए \(4\) बहुपद का शून्यक (root) है। विकल्प C भ्रमित करने वाला है क्योंकि y-अक्ष पर छेदन के लिए x = 0 होना चाहिए (बिंदु का रूप \((0,b)\)) — यहाँ x = 4 है, इसलिए वह y-अक्ष छेदन नहीं हो सकता। विकल्प B तभी सही होता अगर ग्राफ पर \((0,0)\) हो, और विकल्प D गलत है क्योंकि एक बिंदु \((4,0)\) होने से बहुपद का मान सभी x के लिए समान होने का निष्कर्ष नहीं निकला जा सकता। परीक्षा टिप: किसी बिंदु \((a,0)\) को देखकर तुरंत समझें कि x = a एक शून्यक है; y-अक्ष छेदन के लिए बिंदु का x-समन्वय 0 होना चाहिए। / The point \((4,0)\) means the polynomial takes value 0 at x = 4, i.e. \(p(4)=0\). Hence 4 is a zero (root) of the polynomial. Option C is a common confusion: a y-intercept has x = 0 (points of form \((0,b)\)), so x = 4 cannot be a y-intercept. Option B would be true only if the graph contained \((0,0)\). Option D is incorrect because a single point at \((4,0)\) does not imply the polynomial is constant. Exam tip: from a point \((a,0)\) read the x-coordinate as the root; for the y-intercept look for x = 0.
A. जहाँ आलेख x-अक्ष को काटता है/Where the graph intersects the x-axis
Explanation
Simple Explanation
किसी बिंदु पर बहुपद का मान \(p(x)=0\) होने पर उस बिंदु का आव्यूह (ordinate) शून्य होता है, अर्थात् बिंदु रूप में \((a,0)\) और यह x-अक्ष पर स्थित होता है। इसलिए शून्य उस स्थान को दर्शाता है जहाँ आलेख x-अक्ष को काटता है। विकल्प B गलत है क्योंकि y-अक्ष पर x=0 होता है — केवल तब y-अक्ष पर शून्य होगा जब \(p(0)=0\) हो; यह सामान्य सिद्धांत नहीं है। परीक्षायी टिप: रूट देखने के लिए देखिए कि किन x के लिए \(y=p(x)=0\) होता है — वे बिंदु x-अक्ष पर ही होंगे। / A zero means a value a with \(p(a)=0\), so the graph passes through the point \((a,0)\) where the y-coordinate is zero. Hence zeros appear where the curve intersects the x-axis. Option B is incorrect because the y-axis has x=0; it is a zero only if \(p(0)=0\) specifically. Exam tip: to locate roots on the graph, look for intersection points with the x-axis (where y=0).
यदि किसी बहुपद का मान \(p(a)=0\) होता है तो \(x=a\) उस बहुपद की शून्य (root) है और ग्राफ x-अक्ष को बिंदु \((a,0)\) पर काटेगा। यहाँ \(p(-4)=0\) होने का अर्थ है कि \(x=-4\) पर \(y=0\)। इसलिए सही बिंदु \((-4,0)\) है। विकल्प B में x का चिह्न उल्टा है; विकल्प C में x=0 है अतः वह y-अक्ष का बिंदु है; विकल्प D में y≠0 है इसलिए x-अक्ष पर नहीं है। परीक्षा संकेत: किसी दिए बिंदु पर ग्राफ x-अक्ष को तभी काटेगा जब उस x-मान पर फलन का मान शून्य हो — इसलिए तुरंत \((a,0)\) लिखें। / If a polynomial satisfies \(p(a)=0\), then \(x=a\) is a root and the graph crosses the x-axis at \((a,0)\). Here \(p(-4)=0\) means \(y=0\) when \(x=-4\), so the intercept is \((-4,0)\). Option B has the wrong sign for x; option C has x=0 so it's on the y-axis; option D has y≠0 so it is not on the x-axis. Exam tip: For quick MCQs remember a root \(a\) gives the x-intercept \((a,0)\).
बिंदु \((7,0)\) का अर्थ है कि जब \(x=7\) है तो मूल्य \(y=0\) होता है। बहुपद का मान फ़ंक्शन के रूप में लिखा जाता है: \(y=p(x)\)। इसलिए \(p(7)=0\)। विकल्प B (7) भ्रमित करने वाला है क्योंकि 7 केवल x-निर्देशांक है, परन्तु प्रश्न में पूछा गया है पॉलिनोम का मान (y)। परीक्षात्मक टिप: किसी भी बिंदु \((a,0)\) पर बहुपद का मान हमेशा 0 होता है। / The point \((7,0)\) means that when \(x=7\), the function value \(y=0\). For a polynomial written as \(y=p(x)\), this gives \(p(7)=0\). Option B (7) is incorrect because 7 is the x-coordinate, not the value of the polynomial at that x. Short exam tip: any point \((a,0)\) on the x-axis is a root of the polynomial, so \(p(a)=0\).
किसी बहुपद का शून्यक वह x‑मान होता है जहाँ ग्राफ x‑अक्ष को छूता यानी \(y=0\) होता है। बिंदु (4, 2) में \(y=2\) है, न कि 0, इसलिए \(x=4\) शून्यक नहीं है। विकल्प C और D गलत हैं क्योंकि बहुपद की डिग्री या ग्राफ का प्रकार (रेखा या गैर‑रेखा) शून्यक होने की परिभाषा को बदलते नहीं हैं। परीक्षा टिप: किसी भी दिए बिंदु के लिए पहले y‑निर्देशांक देखिए — शून्यक तभी जब y=0 हो। / A zero of a polynomial is an x‑value where the graph meets the x‑axis, i.e. where \(y=0\). The point (4, 2) has \(y=2\), not 0, so \(x=4\) is not a zero. Options C and D are incorrect because degree or whether the graph is a straight line does not change the definition of a zero. Exam tip: always check the y‑coordinate — zeros occur only when y = 0 (x‑intercepts).
A. ग्राफ़ \(x\)-अक्ष को \(x=12\) पर काटेगा या छुएगा/The graph will cut or touch the x-axis at \(x=12\)
Explanation
Simple Explanation
\(p(12)=0\) का अर्थ है कि बहुपद का मान \(x=12\) पर शून्य है, अर्थात बिंदु \((12,0)\) ग्राफ़ पर मौजूद है। इसलिए ग्राफ़ \(x\)-अक्ष से \(x=12\) पर मिलेगा। ध्यान दें: यदि उस शून्य की गुणात्मक बहुलता (multiplicity) सम है तो ग्राफ़ केवल स्पर्श कर सकता है, विषम होने पर कटेगा। परीक्षा टिप: किसी भी शून्य के लिए बिंदु \((a,0)\) को खोजें — यदि \(p(a)=0\) हो तो वह x-अक्ष पर है। / \(p(12)=0\) means the polynomial's value at \(x=12\) is zero, so the point \((12,0)\) lies on the graph. Hence the graph meets the x-axis at \(x=12\). Note: whether it cuts or just touches depends on the root's multiplicity (odd → cuts, even → touches). Exam tip: for any root \(a\) with \(p(a)=0\), check the point \((a,0)\) on the graph to locate the intersection with the x-axis.
A. \,\(r\\) उस बहुपद का शून्यक (root) है/r is a zero (root) of the polynomial
Explanation
Simple Explanation
जब ग्राफ x-अक्ष को बिंदु \,\((r,0)\\) पर छूता है तो उस बिंदु पर y का मान शून्य होता है, यानी बहुपद का मान \,\(f(r)=0\\) होता है। इसलिए \,\(r\\) उस बहुपद का शून्यक (मूल) है। विकल्प B गलत है क्योंकि स्थिर पद से तात्पर्य \(x=0\\) पर बहुपद का मान होता है, न कि किसी सामान्य बिंदु \(r\\) से। विकल्प D स्पष्टतः गलत है क्योंकि \(y=0\\) होने पर वह शून्यक ही माना जाएगा। (अतिरिक्त जानकारी: यदि ग्राफ केवल छूता है और काटकर नहीं जाता तो उस शून्यक की गुणांकीयता (multiplicity) सम (even) होगी।) परीक्षा-सुझाव: ग्राफ के किसी बिंदु पर y=0 हो तो सीधे वह x-मूल है; छूना/काटना देखकर गुणांकीयता के बारे में अनुमान लगाइए। / If the graph touches the x-axis at \,\((r,0)\\) then the function value there is zero, i.e. \,\(f(r)=0\\). Hence \,\(r\\) is a zero (root) of the polynomial. Option B is wrong because the constant term means the value of the polynomial at \(x=0\\), not the x-coordinate of a general intercept. Option D is incorrect since \(y=0\\) at that point implies it is a root. (Additional note: when the graph only touches and does not cross, the root typically has even multiplicity.) Exam tip: whenever a graph meets the x-axis at a point, that x-coordinate is a root; use whether it crosses or only touches to infer multiplicity.
यदि किसी बहुपद के लिए \(p(a)=0\) है, तो \(x=a\) पर क्रिया का मान शून्य होगा; अर्थात् शून्य किसी बिंदु का \(y\)-निर्देशांक होगा। इसलिए \(p(-10)=0\) का अर्थ है कि बिंदु \((-10,0)\) \(x\)-अक्ष पर स्थित है। सबसे नज़दीकी भ्रामक विकल्प \((10,0)\) इसलिए गलत है क्योंकि वहाँ का \(x\)-निर्देशांक +10 है, न कि −10। अन्य विकल्पों में \((0,-10)\) में \(y\) शून्य नहीं है और \((-10,-10)\) में भी \(y\) शून्य नहीं है, इसलिए वे भी गलत हैं। परीक्षा-सूत्र: यदि \(p(a)=0\) हो तो तुरंत बिंदु \((a,0)\) चुनें। / If \(p(a)=0\), the graph meets the x-axis at \(x=a\) because the function value (y) is zero there. Thus \(p(-10)=0\) corresponds to the point \((-10,0)\) on the x-axis. The closest distractor \((10,0)\) is wrong because the x-coordinate has the wrong sign (+10 instead of −10). Options \((0,-10)\) and \((-10,-10)\) are incorrect since their y-coordinate is not zero. Exam tip: whenever \(p(a)=0\), write the point as \((a,0)\) immediately to avoid sign mistakes.
x-अक्ष पर कटान बिंदुओं के शून्यक उनके x-निर्देशांक होते हैं। दिए हुए बिंदु (-7,0), (0,0) और (4,0) के x-निर्देशांक क्रमशः -7, 0 और 4 हैं, इसलिए शून्यक (-7), (0) और (4) होंगे। विकल्प B गलत है क्योंकि वह संकेत उल्टा कर देता है (–7 को 7 और 4 को –4 कर दिया गया है), जबकि संकेत महत्वपूर्ण होता है। विकल्प D में 0 को दो बार दिखाया गया है — यह तब सही हो सकता है जब शून्यक की बहुगुणकता 2 हो, पर यहाँ दिए बिंदु अलग-अलग हैं इसलिए ऐसा नहीं है। परीक्षा-टिप: x-अक्ष पर किसी भी इंटरसेप्ट का x-कोऑर्डिनेट सीधे शून्यक देता है; बिंदु के आदेश (x,0) में x ही शून्यक है। / The zeroes of a polynomial are the x-coordinates of its x-axis intercepts. From the points (-7,0), (0,0) and (4,0) the x-values are -7, 0 and 4, so the zeroes are (-7), (0) and (4). Option B is incorrect because it reverses signs (turning -7 into 7 and 4 into -4) — sign matters for zeros. Option D shows 0 twice, which would indicate multiplicity 2 at x=0, but the given intercepts are distinct so that is not the case. Exam tip: read the x-coordinate of an intercept (x,0) to get the corresponding zero directly; watch the sign carefully.
बिंदु \((a,0)\) ग्राफ पर होने का अर्थ है कि जब x=a होगा तो y का मान 0 होगा। बहुपद के ग्राफ पर y का मान \(p(x)\) है, अतः \(p(a)=0\)। विकल्प B (a) ग़लत है क्योंकि x का मान (a) होना यह नहीं दर्शाता कि बहुपद की मान वही होगा — y मान अलग होता है; विकल्प C और D भी स्पष्ट रूप से गलत हैं। परीक्षा-टिप: x-अक्ष पर आने वाले किसी भी बिंदु की y-कोऑर्डिनेट हमेशा 0 होती है, इसलिए सीधे \(p(a)=0\) देख लें। / The point \((a,0)\) on the graph means that for x=a the y-value is 0. Since the graph represents y = \(p(x)\), we have \(p(a)=0\). Option B (a) is wrong because the x-coordinate being a does not imply the function value equals a; options C and D are also incorrect. Exam tip: any x-intercept has y = 0, so substitute x = a into \(p(x)\) to get \(p(a)=0\).
एक बहुपद का शून्यक वह \(x\)-मान होता है जिस पर \(p(x)=0\) होता है. यहाँ दिया है कि \(p(-3)=0\), अतः \(-3\) पर बहुपद का मान शून्य है, यानी \(-3\) शून्यक (root) है. निकटतम भ्रामक विकल्प \(3\) गलत है क्योंकि केवल \(-3\) के लिए ही मूल्य शून्य होने का दावा किया गया है; \(3\) के लिए ऐसा होना आवश्यक नहीं है। परिक्षा-सुझाव: किसी दिए हुए मान के लिए \(p(मान)\) निकालकर चेक करें — यदि परिणाम शून्य हो तो वही शून्यक है। / A zero (root) of a polynomial is an x-value for which \(p(x)=0\). Since \(p(-3)=0\) is given, \(-3\) is a root of the polynomial. The closest distractor, 3, is incorrect because the condition is satisfied only at \(-3\) as stated; there is no information that \(p(3)=0\). Exam tip: To identify a root, substitute the candidate value into \(p(x)\) — if the result is zero, it is a root.
